ve don gian hoa la mĩ thuật 4 nguyễn văn toại thư viện tư liệu giáo dục

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 </b>

<b>………..</b>

Ứng Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

<b> (phần 1) </b>

<b>I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.</b>

<b>Ví dụ 1: </b>

Giải phương trình 3x_{= 4 - x.}
Bài giải:

Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3x_{+ x - 4 = 0.}
Xét hàm số f(x ) = 3x _{+ x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R}

f’(x) = 3x_{.ln3 + 1 > 0  x R. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.}_ _{phương trình (1) có khơng quá một}
nghiệm . mà f(1) = 0 ; vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

<b>ví dụ 2 : </b>

giải phương trình : 4<i>x</i>1 4<i>x</i>2 1 1
<i>bài giải : </i>

điều kiện : 2

4 1 0 ₁

2

4 1 0

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 


 



 

 

xét hàm số <i>f x</i>( ) 4<i>x</i>1 4<i>x</i>21 xác định và liên tục trong nửa đoạn
1

;
2

 




 

ta có 2

2 4

'( ) 0

4 1 4 1

<i>x</i>
<i>f x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  

 _ _{với mọi}

1
2
<i>x</i>
 

; vậy hàm số đồng biến trên nửa đoạn
1

;
2

 




  

phương trình (1) khơng có q một nghiệm . mặt khác

1 1

( ) 1

2 2

<i>f</i>  

là nghiệm duy nhất của phương trình
<b>Ví dụ 3: </b>

<b>Giải bất phương trình sau : </b> 7<i>x</i> 7 7<i>x</i> 6 2 49 <i>x</i>27<i>x</i> 42 181 14  <i>x</i><b> (1)</b>

<i><b>Bài giải</b></i><b> :</b>

(1) 7<i>x</i> 7 7<i>x</i> 6 2 49 <i>x</i>27<i>x</i> 42 181 14  <i>x</i>0

<b>Đặt </b><i>t </i> 7<i>x</i> 7 7<i>x</i> 6 <i>t</i>2 14<i>x</i>2 49<i>x</i>27<i>x</i> 42<b></b>(<i>t </i>0)

Phương trình trở thành : <i>t</i>2 <i>t</i> 182 0  14 <i>t</i> 13_{kết hợp điều kiện}(<i>t </i>0)<b></b>

<b> ta được : </b>0 <i>t</i> 13 (1) 7<i>x</i> 7 7<i>x</i> 6 1 <b>3 (2) ; điều kiện </b>

6

;
7
<i>x </i>_ _

 

1) Định lí 1:

Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m khơng có q một
nghiệm <i>D</i>

<i><b>Chứng minh</b></i>:

Giả sử phương trình f(x) = m có nghiệm x = <i>x</i>0 nghĩa là <i>f x</i>( )0 <i>m</i>

Nếu <i>x x</i> 0 thì <i>f x</i>( ) <i>f x</i>( )0 <i>m</i>  phương trình vơ nghiệm.

Nếu <i>x x</i> 0_thì <i>f x</i>( ) <i>f x</i>( )0 <i>m</i> _{phương trình vơ nghiệm}

<i><b>Chú ý</b></i> :

Nếu hàm số <i>f x</i>( ) luôn nghịch biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m khơng có q một
nghiệm <i>D</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>http:chuyentoan.wordpress.com</b>

<b>Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 </b>

<b>………..</b>

<b>xét hàm : </b> <i>f x</i>( ) 7<i>x</i> 7 7<i>x</i> 6<b> ; hàm số xác định và liên tục trên </b>
6

;
7
<i>x </i>_ _

 

<b>ta có </b>

1 1 6

'( ) 0 ; ( ; )

7

2 7 7 2 7 6

<i>f x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

     

  <b>_{hàm số đồng biến trên}</b>

6

;
7
<i>x </i>_ _

 <b>_{; mặt khác}</b>

(6) 13

<i>f</i>  <b>_nên</b><i>f x</i>( ) 13  <i>x</i>6<b>_{vậy nghiệm của bất phương trình là}</b>
6

6
7 <i>x</i> <b>_hay</b>

6
.6
7
<i>x </i>_ _

 

<b>Ví dụ 4: </b>

<b> giải bất phương trình </b> <i>x</i>6 7 <i>x</i> 1
<i>bài giải: </i>

Tập xác định D = - 6; 7 . Xét hàm số f(x) = <i>x</i>6 7 <i>x</i>_.

Ta có f’(x) =

1 1

0

2 <i>x</i>6 2 7 <i>x</i>  _{ x  (- 6; 7).}
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn - 6; 7

Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x)  f(3)  x  3.

<b> </b>

<b>Bài Tập áp dụng </b>

<b>bài tập 1: Giải phương trình </b> <i>x</i>1 <i>x</i>2 3
<b>bài tập 2: Giải phương trình : </b> <i>x</i>1<i>x</i>3 4<i>x</i>5
<b>bài tập3: Giải phương trình: </b>logx11 <i>x</i>

<b>bài tập 4: Giải phương trình: </b>

2 ₂ 2 ₂

9<i>x</i>  (13 <i>x</i> ).3<i>x</i>  9x 36 0

<b>bài tập 5 :Giải bất phương trình </b> <i>x</i> 9 2<i>x</i>4 5

<b>bài tập 6: Giải bất phương trình </b> <i>x</i>2 2<i>x</i> 3 <i>x</i>2 6<i>x</i>11 3 <i>x</i> <i>x</i>1

<b>bài 8 : Giải bất phương Trình </b> 2<i>x</i>  1 7 <i>x</i>_.

<b>Bài tập 9: Giải bất phương trình </b> <i>x</i>3 3x2 6x16 2 3 4 <i>x</i>

<b>Bài tập 10 : Giải bất phương trình </b>

6 8

6
3 <i>x</i>  2 <i>x</i> 

<b>Ví dụ 1 : </b>

<b> Giải phương trình : </b>

2

2

3 2

3

log 3 2

2x 4x 5 x

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

   

  

 

 

 

Định lý 2 : cho hàm số <i>y</i><i>f t</i>( ) ; xác định trên D

Nếu <i>y</i><i>f t</i>( ) là hàm luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) , với <i>x y D</i>, 
Nếu <i>x</i><i>y</i>  <i>f x</i>( ) <i>f y</i>( ) phương trình <i>f x</i>( )<i>f y</i>( )

Nếu <i>x y</i>  <i>f x</i>( ) <i>f y</i>( ) phương trình <i>f x</i>( )<i>f y</i>( )

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Bài giải: </i>

Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với

2 2 2 2

3 3

log (<i>x</i> <i>x</i>3) ( <i>x</i> <i>x</i>3) log (2 x 4x5) (2 x 4x5)_(*)
<b></b>

<b>Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949 </b>

<b>………..</b>
Xét hàm số f(t) = <i>log t t</i>3  _{.Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ )}

f’(t) =
1

1
.ln 3

<i>t</i>  _{> 0 t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ )}
Phương trình (*)  f(x2_{+x + 3) = f(2x}2_{+ 4x + 5)}

 x2_{+x + 3 = 2x}2_{+ 4x + 5 }

2 ₃ _{2 0} 1

2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>


 _{   }


<b>Ví dụ 2 : </b>

<b> Giải phương trình : </b>

2

1 2

2<i>x</i> 2<i>x</i> <i>x</i> (<i>_x</i> 1)

   <b>₍₁₎</b>

<i>Bài giải : </i>
<b> (1) </b>

2 2 2

1 2 1 2 1 2

2<i>x</i> 2<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> 2<i>_x</i> 1 2<i>x</i> 2<i>x</i> <i>x</i> (<i>_x</i> <i>_x</i>) (<i>_x</i> 1) 2<i>x</i> (<i>_x</i> 1) 2<i>x</i> <i>x</i> (<i>_x</i> <i>_x</i>)

                 <b>_{xét hàm}</b>

<b>trung gian : </b> <i>f t</i>( ) 2 <i>t</i><i>t</i> <b> ; </b><i>t R</i>

<b> </b> <i>f t</i>'( ) 2 ln 2 1 0 <i>t</i>   <i>t</i><b> , vậy </b><i>f t</i>( )<b> là hàm đồng biến </b>

<b>vậy </b><i>f x</i>( 1)<i>f x</i>( 2 <i>x</i>) <i>x</i>1<i>x</i>2 <i>x</i> <i>x</i>2 2<i>x</i>  1 0 <i>x</i>1

<b> Bài Tập Áp Dụng</b>

<b>Bài tập 1: Giải hệ phương trình </b>

3 3
2 2
3 3
4
x
2x

<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>y</i>
   


 



<b>Bài tập 2: Giải hệ phương trình </b>

3 3
2 2
3 3
1
x
3x

<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>y</i>
   


 



<b>Bài tập 3: Giải hệ phương trình </b>

3 10 5

3 10 5

<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>x</i>
    


   



<b>Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm </b>

3 3 2

2 2 2

3 3 2 0

1 3 2 0

x

<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>m</i>

     


     



<b>Bài tập 5 : giải phương trình </b>2009sin2<i>x</i> 2009<i>c</i>os2<i>x</i> <i>c</i>os2x
<b>Bài tập 7 : giải và biện luận theo m : </b>

2 ₂ ₂ ₂ 2 ₄ ₂ ₂

5<i>x</i> <i>mx</i> 5 <i>x</i> <i>mx m</i>  <i>_x</i> 2<i>_{mx m}</i>

   

<b>Bài tập 8 :Giải hệ Phương Trình </b>

3 3

6 6

3 3

1

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài tập 9 : Giả hệ phương trình </b>

3

1 1

2 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>y x</i>


  




 _ _



<i>Bài giảng này gồm tất cả 10 phần trên đây là phần 1 , các phần tiếp theo tôi tiếp tục đăng trên trang web </i>
<i>của tôi để các bạn tham khảo </i>

</div>

<!--links-->