Bài giảng môn lý thuyết ôtômát và ngôn ngữ hình thức - Chương 8

Ch

ng 8 Các tính ch t c a NNPNC

H NNPNC chi m m t v trí trung tâm trong h th ng phân c p
các ngơn ng hình th c.
M t m t, NNPNC bao g m các h ngôn ng quan tr ng nh ng
b gi i h n ch ng h n nh các NNPNC và PNC .
M t khác, có các h ngơn ng khác r ng l n h n mà NNPNC
ch là m t tr ng h p đ c bi t.
nghiên c u m i quan h gi a các h ngôn ng và trình bày
nh ng cái gi ng nhau và khác nhau c a chúng, chúng ta nghiên
c u các tính ch t đ c tr ng c a các h khác nhau.
Nh trong Ch ng 4, chúng ta xem xét tính đóng d i nhi u
phép tốn khác nhau, các gi i thu t đ xác đ nh tính thành viên,
và cu i cùng là b đ b m.
Trang 268
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Cơng Ngh Thơng Tin


Ch

ng 8 Các tính ch t c a NNPNC

8.1 Hai b đ b m
8.2 Tính đóng và các gi i thu t quy t đ nh cho NNPNC

Trang 269
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Cơng Ngh Thơng Tin

B đ b m cho NNPNC
nh lý 8.1
Cho L là m t NNPNC vô h n, t n t i m t s nguyên d
sao cho b t k chu i w nào ∈ L v i |w| ≥ m, w có th đ
ho ch thành
w = uvxyz
(8.1) v i
|vxy| ≤ m
(8.2) và
|vy| ≥ 1
(8.3) sao cho
uvixyiz ∈ L
(8.4) ∀ i = 0, 1, 2, ...
nh lý này đ c g i là b đ b m cho NNPNC.

ng m
c phân

Ch ng minh
Xét ngôn ng L – {λ}. ây là NNPNC ⇒ ∃ v n ph m có d ng
chu n Chomsky G ch p nh n nó.
Trang 270
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Cơng Ngh Thơng Tin


Ch ng minh
B đ

N u cây d n xu t c a m t chu i w đ c sinh ra b i m t v n
ph m Chomsky mà có chi u dài m i con đ ng đi t g c t i lá

nh h n hay b ng h thì |w| ≤ 2h-1.
B đ này có th ch ng minh b ng qui n p d a trên h.
S
S
A
B
T2
T1
Tr l i ch ng minh c a đ nh lý. Gi s G có k bi n (|V| = k).
Ch n m = 2k. L y w b t k ∈ L sao cho |w| ≥ m. Xét cây d n
xu t T c a w.
Theo b đ trên suy ra T ph i có ít nh t m t con đ ng đi t
g c t i lá có chi u dài ≥ k+1.
a

Trang 271
Lý thuy t Ôtômát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin


Ch ng minh (tt)
Xét m t đ ng nh v y. Trên đ ng này có ≥ k+2 ph n t . N u
khơng tính n t lá là kí hi u k t thúc thì có ≥ k+1 n t là bi n.
Vì t p bi n ch có k bi n ⇒ ∃ hai n t trùng vào m t bi n. Gi
s đó là bi n A (hai l n xu t hi n kí hi u là A1 và A2)
Cây d n xu t T c a w

S
A1
A2

u

z
y

v

x

Trang 272
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin


Ch ng minh (tt)
Trong cây trên, g i u, v, x, y, z là các chu i có tính ch t sau:
* uA z
S ⇒
(1)
1
*
A1 ⇒
vA2y
(2)
* x
A2 ⇒
(3)
Và
w = uvxyz.
vxy là k t qu c a cây có g c là A1 mà m i con đ ng c a cây
này có chi u dài ≤ (k +1) ⇒ theo b đ trên |vxy|≤ 2k = m.

M t khác vì v n ph m có d ng chu n Chomsky t c là khơng có
lu t sinh-đ n v và lu t sinh-λ nên t (2) suy ra |vy|≥ 1.
T (1), (2), (3) chúng ta có:
* uvAyz ⇒
* uviAyiz ⇒
* uvixyiz
* uAz ⇒
S⇒
hay uvixyiz ∈ L ∀ i = 0, 1, 2, . . .
i u này k t thúc ch ng minh.
Trang 273
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin


Ví d
B đ b m này đ c dùng đ ch ng minh m t ngôn ng là
không PNC t ng t nh
Ch ng 4.

Ví d
Ch ng minh ngơn ng L = {anbncn : n ≥ 0} là không PNC.

Ch ng minh
Gi s L là PNC ⇒ ∃ s nguyên d ng m.
Ch n w = ambmcm ∈ L. ∃ m t phân ho ch c a w thành b 5
w = uvxyz
Vì |vxy| ≤ m nên vxy khơng ch a đ ng th i c 3 kí hi u a, b, c.
Ch n i = 2 ⇒ w2 = uv2xy2z s ch a a, b, c v i s l ng không
b ng nhau ⇒ w2 ∉ L (><).
Trang 274

Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Cơng Ngh Thông Tin


Bài t p
Ngôn ng nào sau đây PNC? Ch ng minh.
L1 = {anbjck: k = jn}
L2 = {anbjck: k > n, k > j}
L3 = {anbjck: n < j, n ≤ k ≤ j}
L5 = { anbjanbj: n ≥ 0, j ≥ 0}
L4 = {w: na(w) < nb(w) < nc(w)}
L6 = { anbjakbl: n + j ≤ k + l}
L7 = { anbjakbl: n ≤ k, j ≤ l}
L8 = {anbncj: n ≤ j}

Trang 275
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin


B đ b m cho ngơn ng tuy n tính
nh ngh a 8.1
M t NNPNC L đ c g i là tuy n tính n u ∃ m t VPPNC tuy n
tính G sao cho L = L(G).

nh lý 8.2
Cho L là m t NN tuy n tính vơ h n, t n t i m t s nguyên
d ng m sao cho b t k chu i w nào ∈ L v i |w| ≥ m, w có th
đ c phân ho ch thành w = uvxyz v i
|uvyz| ≤ m
(8.7) và
|vy| ≥ 1

(8.8) sao cho
uvixyiz ∈ L
(8.9) ∀ i = 0, 1, 2, ...
Trang 276
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin


Ch ng minh
G i G là v n ph m tuy n tính mà khơng ch a lu t sinh-đ n v
và lu t sinh-λ.
G i k = max {các chi u dài v ph i} ⇒ m i b c d n xu t
chi u dài d ng câu t ng t i đa (k-1) kí hi u ⇒ m t chu i w d n
xu t dài p b c thì |w| ≤ 1 + p(k-1) (1).
t |V|= n. Ch n m = 2 + n(k-1). Xét w b t k ∈ L, |w|≥ m. (1)
⇒ d n xu t c a w có ≥ (n+1) b c ⇒ d n xu t có ≥ (n+1) d ng
câu mà không ph i là câu. Chú ý m i d ng câu có đúng m t
bi n.
Xét (n+1) d ng câu đ u tiên c a d n xu t trên ⇒ ∃ hai bi n c a
hai d ng câu nào đó trùng nhau, gi s là bi n A. Nh v y d n
xu t c a w ph i có d ng:
*
*
* uvAyz ⇒
S⇒
uAz ⇒
uvxyz, (2)
v i u, v, x, y, z ∈ T*.
Trang 277
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Cơng Ngh Thơng Tin

Ch ng minh (tt)
Xét d n xu t riêng ph n
* uAz ⇒
* uvAyz
S⇒
vì A đ c l p l i trong (n + 1) d ng câu đ u tiên nên dãy này có
≤ n b c d n xu t ⇒ |uvAyz|≤ 1 + n(k-1), ⇒ |uvyz|≤ n(k-1) < m.
M t khác vì G khơng có lu t sinh-đ n v và lu t sinh-λ nên ta
có |vy|≥1.
T (2) c ng suy ra:
*
*
* uAz ⇒
* uvAyz ⇒
S⇒
uviAyiz ⇒
uvixyiz
⇒ uvixyiz ∈ L ∀ i = 0, 1, 2, ...
Ch ng minh hồn t t.

Trang 278
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin


Ví d
Ch ng minh ngơn ng L = {w: na(w) = nb(w)} là khơng tuy n
tính.

Ch ng minh

Gi s L là tuy n tính. Ch n w = amb2mam.
T (8.7) ⇒ u, v, y, z ph i ch a toàn a. N u b m chu i này lên,
chúng ta nh n đ c chu i am+kb2mam+l, v i k ≥ 1 ho c l ≥ 1, mà
chu i này ∉ L (><) ⇒ L không ph i là ngôn ng tuy n tính.

Trang 279
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin


Bài t p
Ngôn ng nào sau đây PNC tuy n tính? Ch ng minh.
L1 = {anbnambm: n, m ≥ 0}
L2 = { w: na(w) ≥ nb(w)}
L3 = {anbj: j ≤ n ≤ 2j - 1}
L4 = L(G) v i G đ c cho nh sau:
E→T|E+T
T→F|T*F
F → I | (E)
I→a|b|c

Trang 280
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Cơng Ngh Thơng Tin


Tính đóng c a NNPNC
nh lý 8.3
H NNPNC là đóng d

i phép h i, k t n i, và bao đóng sao.

Ch ng minh
Gi s G1 = (V1, T1, S1, P1), G2 = (V2, T2, S2, P2) là hai VPPNC.
V n ph m G3 = (V1 ∪ V2 ∪ {S3}, T1 ∪ T2, S3, P1 ∪ P2 ∪ {S3 →
S1 | S2}) s có L(G3) = L(G1) ∪ L(G2).
V n ph m G4 = (V1 ∪ V2 ∪ {S4}, T1 ∪ T2, S4, P1 ∪ P2 ∪ {S4 →
S1S2}) s có L(G4) = L(G1)L(G2).
V n ph m G5 = (V1 ∪ {S5}, T1, S5, P1 ∪ {S5 → S1S5 | λ}) s có
L(G5) = L(G1)*.
Trang 281
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin


Tính đóng c a NNPNC (tt)
nh lý 8.4
H NNPNC khơng đóng d

i phép giao và bù.

Ch ng minh
Hai ngơn ng {anbncm: n, m ≥ 0} và {anbmcm: n, m ≥ 0} là phi
ng c nh, tuy nhiên giao c a chúng là ngôn ng {anbncn: n ≥ 0}
l i không phi ng c nh, nên h NNPNC khơng đóng d i phép
giao.
D a vào lu t Morgan suy ra h NNPNC c ng khơng đóng d i
phép bù. Vì n u đóng đ i v i phép bù thì d a vào tính đóng đ i
v i phép h i suy ra tính đóng d i phép giao theo lu t Morgan.

Trang 282
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin

Tính đóng c a NNPNC (tt)
nh lý 8.5
Cho L1 là m t NNPNC và L2 là m t NNCQ, thì L1 ∩ L2 là phi
ng c nh. Chúng ta nói r ng h NNPNC là đóng d i phép
giao chính qui.

Ch ng minh
Cho M1 = (Q, Σ, Γ, δ1, q0, z, F1) là npda ch p nh n L1 và M2 =
(P, Σ, δ2, p0, F2) là dfa ch p nh n L2.
Xây d ng m t npda M’= (Q’, Σ, Γ, δ’, q’0, z, F’) mô ph ng
ho t đ ng song song c a M1 và M2
Q’ = Q × P, q’0 = (q0, p0), F’ = F1 × F2,
δ’((qk, pl), x) ∈ ((qi, pj), a, b), ⇔ (qk, x) ∈ δ1(qi, a, b), và δ2(pj,
a) = pl,
Trang 283
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Cơng Ngh Thông Tin


Tính đóng c a NNPNC (tt)
N u a = λ, thì pj = pl.
B ng qui n p ch ng minh r ng
δ’*((q0, p0), w, z) |-*M’ ((qr, ps), x), v i qr ∈ F1 và ps ∈ F2 ⇔
δ1*(q0, w, z) |-*M1 (qr, x), cịn δ2*(p0, w) = ps.
Vì v y L(M’) = L(M1) ∩ L(M2) (đi u ph i ch ng minh)

Trang 284
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Công Ngh Thông Tin

M t vài tính ch t kh quy t đ nh c a
NNPNC
nh lý 8.6
Cho m t VPPNC G = (V, T, S, P), thì t n t i m t gi i thu t đ
quy t đ nh L(G) có tr ng hay khơng.

nh lý 8.7
Cho m t VPPNC G = (V, T, S, P), thì t n t i m t gi i thu t đ
quy t đ nh L(G) có vơ h n hay khơng.

Trang 285
Lý thuy t Ơtơmát & NNHT - Khoa Cơng Ngh Thơng Tin