Mot so PP giai PT nghiem nguyenOn thi vao10 phan 4

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN</b>

Trong q trình giảng dạy và làm tốn, tơi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương
trình nghiệm nguyên, hi vọng sẽ giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi
giải bài toán loại này.

<b>Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích</b>

<i>Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các </i>
<i>số ngun.</i>

<b>Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : </b>
y3_{- x}3_{= 91 (1)}

<b>Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x</b>2_{+ xy + y}2_{) = 91 (*)}

Vì x2_{+ xy + y}2_{> 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0.}

Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2_{+ xy + y}2_{đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng}

sau :

y - x = 91 và x2_{+ xy + y}2_{= 1 ; (I)}

y - x = 1 và x2_{+ xy + y}2_{= 91 ; (II)}

y - x = 3 và x2_{+ xy + y}2_{= 7 ; (III)}

y - x = 7 và x2_{+ xy + y}2_{= 13 ; (IV)}

Đến đây, bài toán coi như được giải quyết.

<b>Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn</b>

<i>Nếu các ẩn x, y, z, ... có vai trị bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ ... để tìm các nghiệm thỏa </i>
<i>mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hốn vị để => các nghiệm của phương trình đã cho.</i>

<b>Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : </b>
x + y + z = xyz (2).

<b>Lời giải : </b>

Do vai trị bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.

Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc
{1 ; 2 ; 3}.

Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vơ lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hốn vị của (1 ; 2 ; 3).
<b>Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : </b>

1/x + 1/y + 1/z = 2 (3)

<b>Lời giải : Do vai trị bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có : </b>
2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1.

Thay x = 1 vào (3) ta có :

1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2

=> y = 1 => 1/z = 0 (vơ lí)

hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2).
<b>Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết</b>

<i>Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vơ nghiệm hoặc tìm </i>
<i>nghiệm của phương trình.</i>

<b>Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : </b>
x2_{- 2y}2_{= 5 (4)}

<b>Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta </b>
được :

4k2_{+4k + 1 - 2y}2_{= 5}

tương đương 2(k2_{+ k - 1) = y}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có :
2(k2_{+ k - 1) = 4t}2

tương đương k(k + 1) = 2t2_{+ 1 (**)}

<i>Nhận xét :</i> k(k + 1) là số chẵn, 2t2_{+ 1 là số lẻ => phương trình (**) vơ nghiệm.}

Vậy phương trình (4) khơng có nghiệm ngun.

<b>Thí dụ 5 : Chứng minh rằng khơng tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn : </b>

x3_{+ y}3_{+ z}3_{= x + y + z + 2000 (5)}

<b>Lời giải : Ta có x</b>3_{- x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên).}

Do đó : x3_{- x chia hết cho 3.}

Tương tự y3_{- y và z}3_{- z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x}3_{+ y}3_{+ z}3_{- x - y - z chia hết cho 3.}

Vì 2000 khơng chia hết cho 3 nên x3_{+ y}3_{+ z}3_{- x - y - z ≠ 2000 với mọi số ngun x, y, z tức là}

phương trình (5) khơng có nghiệm ngun.

<b>Thí dụ 6 : Tìm nghiệm ngun của phương trình : </b>
xy + x - 2y = 3 (6)

<b>Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 khơng thỏa mãn phương trình nên </b>
(6) tương đương với:

y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2).

Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương
đương với x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).

<i>Chú ý :</i> Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y
+ 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1.

<b>Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức</b>

<i>Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị ngun của</i>
<i>ẩn này.</i>

<b>Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : </b>
x2_{- xy + y}2_{= 3 (7)}

<b>Lời giải : </b>

(7) tương đương với (x - y/2)2_{= 3 - 3y}2_/4

Vì (x - y/2)2_{≥ 0 => 3 - 4y}2_{/4 ≥ 0}

=> -2 ≤ y ≤ 2 .

Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm ngun của
phương trình là :

(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.

Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm ngun và cịn nhiều thí dụ hấp
dẫn khác. Mong các bạn tiếp tục trao đổi về vấn đề này. Các bạn cũng thử giải một số phương
trình nghiệm nguyên sau đây :

<b>Bài 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên :</b>
a) x2_{- 4 xy = 23 ;}

b) 3x - 3y + 2 = 0 ;
c) 19x2_{+ 28y}2_{=729 ;}

d) 3x2_{+ 10xy + 8y}2_{= 96.}

<b>Bài 2 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : </b>

a) 4xy - 3(x + y) = 59 ;

</div>

<!--links-->