1 1 chuyªn ®ò §a thøc baøi 1 tính giaù trò cuûa bieåu thöùc a a taïi x 16 b b taïi x 14 c c taïi x 9 d d taïi x 7 baøi 2 tính giaù trò cuûa bieåu thöùc a m b n baøi 3 tính giaù trò

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (290.29 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1. Chuyên đề : Đa thức

Baứi 1: Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực:

a. A = x417x317x217x20 taïi x = 16.

b. B = x515x416x3 29x213x taïi x = 14.

c. C = x14 10x1310x12 10x11... 10 x2 10x10 tại x = 9
d. D = x15 8x148x13 8x12... 8 x28x 5 tại x = 7.
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a. M =

1 1 1 650 4 4

2 . .3

315 651 105 651 315.651 105  

b. N =

1 3 546 1 4

2 . .

547 211 547 211 547.211 
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

a. A =









3 2 2 2 3 3

x x  y y x  y với x = 2; y 1.

b. M.N với x 2.Biết rằng:M = 2x23x5; N = x2 x3.
Bài 4: Tính giá trị của đa thức, biết x = y + 5:

a. x x



2



y y



 2 2



 xy65

b. x2 y y



 2x



75

Bài 5: Tính giá trị của đa thức:

x



1y



 y xy



1





x2.

Tính M theo a, b, c, biết rằng

1 1 1

2 2 2

x a b c
.

Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh 
rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13.
Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B.

b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia
hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17.

Bài 12: Chứng minh rằng:
a. 81 27 97 9 13

  chia heát cho 405.

b. 122 1n 11n2

 chia hết cho 133.

Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…,





2
n n

, …

Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là
số chính phương.

2. Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên

I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
1. (a  b)2 = a2  2ab + b2 ;

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;
2

1 2 n

(a + + +a ... a ) =

=             

2 2 2

1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n

a a ... a 2(a a a a ... a a a a ... a a ... a a );

2. (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 = a3  b3  3ab(a  b);

(a  b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 ;

3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ;

an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ;

4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;

a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 +

b2k) ;

II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n Tam giác Pascal

Đỉnh 1

Dòng 1 (n = 1) 1 1

Dßng 2 (n = 2) 1 2 1

Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1

Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1

Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập
từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dịng 3 ta có 3 = 2 +
1, 3 = 1 + 2, ở dịng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Khai triển (x +
y)n thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của

bảng trên. Ngời ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi
n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì :

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

vµ víi n = 5 th× :

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5

II. C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 1. Đơn giản biểu thức sau :

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Lời gi¶i

A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3

= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x

+ y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x –

y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz

VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5

Lêi gi¶i
a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b

b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab

c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2

d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)

Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2  x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2

Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2
 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)
 = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3)

Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Lêi gi¶i

a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2

= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)

= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)

= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]

= 3(a + b)(b + c)(c + a)
VÝ dô 4. Cho x + y + z = 0.

Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

Lêi gi¶i

V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z  (x + y)3 = –z3

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3

Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = z). Tơng tự :

y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.

V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) +

z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)

Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm)

Bài tập:

1. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14.

Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4.

2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.

3. Cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) =

(3a – 5b)2.

4. Chøng minh r»ng nÕu:

5. (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x

– 2y)2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì

a b

x=y.

b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2

và x, y, z khác 0 thì

a b c

x= =y z .

7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng :

a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;

b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;

c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).

8. Chứng minh các hằng đằng thức sau :

a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;

b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.

9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2.

Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4

10. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1.

Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945.

11. Hai sè a, b lần lợt thỏa mÃn các hệ thức sau :

a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b.

12. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H·y tÝnh : E = a2 + b2.

13. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. Tính giá trị của các biểu thøc sau :

a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;

e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008.

3. Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

I- Ph¬ng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 2

, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24

, 3 16 5 h, 8 30 7

, 2 5 12 k, 6 7 20

a x x x x

b x x x x

c x x x x

g x x x x

i x x x x

   

   

   

   

   

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

3 2 3

3 2 3 2

1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6

5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1

x x x x x

x x x x x x

    

    

     

      

3 2 3

3 3 2

3 2 3 2

3 3

9, 6 486 81 10, 7 6
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4
15, 2 4 16, 2

x x x x x

x x x x x x

x x x

    

    

     

  2

3 2 3 2

3 2 4 3 2

12 17 2

17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1

21, 3 14 4 3 22, 2 1

x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

  

    

     

      

(Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)
II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu
của hai bình phơng: A2 – B2 = (A – B)(A + B)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>





2 2 2 2

4 4

4 4 4

4 4 4 2

1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64

5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,

x x x x

x x

x x y

x y x x

  

2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tö:

7 2 7 5

5 4 5

8 7 5 4

5 10 5

1,

1 2,

1 3,

1 4,

1 5,

1 6,

1 7,

1 8,

1 x









III- Phng phỏp i bin

Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12

5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x xy y x y x a x a x a x a a

x x

        

         

         

 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20

11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16

x x x x

x xy y x y x x x x

x xy y x y x x x x

    

        

         

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

4 3 2

2 2 2 2 2

1, 6 7 6 1

2, ( )( ) ( )

x x x x

x y z x y z xy yz zx

   

   

IV- Phơng pháp xét giá trị riêng

Phng phỏp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi
gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.

VÝ dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2 2 2

, P = (

)

(

)

(

)

, Q = (

)

(

)

(

) (

)(

)

a

x y z

y z x z x y

b

a b c a

b c a b

c a b c

a b c b c a c a b











 



 



 



 

Gi¶i

a, Gi¶ sư thay x bëi y th× P = y y z2(  )y z y2(  ) 0
Nh vËy P chøa thõa sè x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi(ta nói đa
thức P có thể hốn vị vịng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa
thùa số x – y thì cũng chúa thừa số y – z, z – x. Vậy P phải có dạng

P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(khơng chúa biến) vì P
có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng

có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức

2 2 2

(

x y z



)



y z x z x y

(



)



(



)



k x y y z z x

(



)(



)(



)

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn
x = 2, y = 1, z = 0

ta đợc k = -1

VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y z)(x - z)
Các bài toán

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

M a b c a  b c a b  c a b c   a b c b c a c a b     

2 2 2

( ) ( ) ( )

Na m a b m b c m c  abc, víi 2m = a+ b + c.

B i 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

3 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 2 3 2

3 3 3

2 2

) ( )( ) .

) ( 2 ) (2 ) .

) ( ) ( ) ( ).

) ( )( ) ( )( ) ( )( )

) ( ) ( ) ( ) ( 1).

) ( ) ( ) ( ) .

) (

a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b

c C ab a b bc b c ac a c

d D a b a b b c b c c a c a

e E a c b b a c c b a abc abc

f f a b c b c a c a b
g G a b a b

     

   

     

        

       

     

  2 2 2 2

4 4 4

) ( ) ( ).

) ( ) ( ) ( ).

b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b

   

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

V-Phong pháp hệ số bất nh

B i 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

4 3 2

2 2

4 3 2

) 6 12 14 3

) 4 4 5 2 1

) 3 22 11 37 7 10

) 7 14 7 1

) 8 63

a A x x x x
b B x x x x

c C x xy x y y
d D x x x x

e E x x

    

    

     

  

Bài tập:

Ví dụ . Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :

A = x3 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)

Lêi gi¶i

Đặt S = a + b và P = ab, th× a2 + b2 = S2- 2P; a3 + b3 = S3- 3SP. V× vËy :

A = x3 – 3(S2- 2P)x + 2(S3- 3SP) =

3 3 2 3

(x - S )- (3S x- 3S )+(6Px- 6SP)

= (x- S)(x2 +Sx+S )2 - 3S (x2 - S)+6P(x- S)
= (x- S)(x2 +Sx- 2S2+6P)

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x 2(a2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tö :
a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ;

b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ;

c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;

d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ;

e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1.

f) x8 + x4 + 1;

g) x10 + x5 + 1 ;

h) x12 + 1 ;

i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;

k) (x + y + z)5 – x5 – y5 z5.

4. Chuyờn : Xỏc nh a thc

* Định lí Beout (BêZu) và ứng dụng:
1) Định lí BêZu:

D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị của
f(x) tại x = a): f(x)=(x a)q(x)+f(a)

(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a.

áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.
Thực hiện nh sau:

Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm
của f(x) khơng.

Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BờZu ta cú: f(x)=(x a)p(x)

Để tìm p(x) thực hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ
số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức.

*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :

NÕu hai ®a thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc
ở hai đa thức phải có hƯ sè ph¶i cã hƯ sè b»ng nhau.

VÝ dơ: P(x)=ax2+2 bx−3 ; Q(x)=x2−4x − p

NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã:

a = 1(hƯ sè cđa lịy thõa 2)

2b = - 4 (hƯ sè cđa lịy thõa bËc 1)

- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)
*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x)
Gäi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)

Khi ú ta cú: P(x)=Q(x).M(x)+N(x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)

Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : x=α

( α là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các
hệ số của các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức
bị chia, số d).

VÝ dô: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)

Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã:

a2x3+3 ax2−6x −2a=(x+1).Q(x) .

Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược:

a=−2
a=3

−a2+3a+6−2a=0⇒− a2+a+6=0⇒¿

Với a = -2 thì A=4x3−6x2−6x+4, Q(x)=4x2−10x+4

Với a = 3 thì A=9x3+9x26x 6,Q(x)=9x26

*Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK)
Bài tập áp dụng

B i 1: Cho a thc A x( )a x2 33ax2 6x 2 (a a Q ). X¸c định a sao cho A(x)
chia hết cho x + 1.

Bài 2: Phân tích đa thức P x( )x4  x3 2x 4 thµnh nhân tử, biết rằng một
nhân tử có dạng: x2dx2

Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thøc : x3

+ax2+2x+b chia hÕt cho ®a

thøc: x2

+x+1 . HÃy giải bài toán trên bằng nhiều cách kh¸c nhau.

Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f(x)=x4−9x3+21x2+x+k chia hết cho

®a thøc: g(x)=x2− x −2 .

Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức: f(k)=k3+2k2+15 chia hết

cho nhị thức: g(k)=k+3 .

Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: f(x)=x4−3x3+3x2+ax+b chia

hết cho đa thức: g(x)=x2−3x+4 .

Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: P(x)=x4+ax2+bx+c

Chia hết cho x −3¿3

¿ .

b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: Q(x)=6x4−7x3+ax2+3x+2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

c) Xác định a, b để P(x)=x3+5x2−8x+a chia hết cho M(x)=x2+x+b

x3−ax2+bx− c=(x −a)(x −b)(x −c) Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có

đẳng thức:

(Để học tốt Đại số 8)
Bài 9: Xác định hằng số a sao cho:

a) 10x2−7x+a chia hết cho 2x −3 .

b) 2x2+ax+1 chia cho x −3 dư 4.

c) ax5

+5x4−9 chia hết cho x −1 .

Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho:

a) x4

+ax2+b chia hết cho x2− x+1 .

b) ax3+bx2+5x −50 chia hết cho x2+3x+10 .

c) ax4

+bx2+1 chia hết cho x −1¿
2

¿ .

d) x4

+4 chia hết cho x2+ax+b .

Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho x3

+ax+b chia cho x+1 thì dư 7,

chia cho x −3 thì dư -5.

Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax3+bx2+c chia hết cho x+2 , chia

cho x2−1 thì dư x+5 .

(Một số vấn đề phát triển Đại số 8)

Bài 13: Cho đa thức: P(x)=x4+x3− x2+ax+b và Q(x)=x2+x −2 . Xác định

a, b để P(x) chia hết cho Q(x).

Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức P(x)=ax4+bx3+1 chia hết cho đa

thức Qx −1¿2

(x)=¿

Bài 15: Cho các đa thức P(x)=x4−7x3+ax2+3x+2 và Q(x)=x2− x+b . Xác

định a và b để P(x) chia hết cho Q(x).

(23 chuyên đề toán sơ cấp)

Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn

Phương pháp:

Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n +
1 điểm C1, C2, C3,⋯, Cn+1 ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:

P(x)=b0+b1(x −C1)+b2(x −C1)(x −C2)+⋯+bn(x −C1)(x −C2)⋯(x −Cn)

Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị C1, C2, C3,⋯, Cn+1 vào

biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số b0, b1, b2,, bn .

Bài tập áp dụng

Bi 1: Tỡm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0)=25, P(1)=7, P(2)=−9 .

Giải

Đặt P(x)=b0+b1x+b2x(x −1) (1)

Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được:

b0=25

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

P(x)=25−18x+x(x −1)⇔P(x)=x2−19x+25 .

Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: P(0)=10, P(1)=12, P(2)=4, P(3)=1

Hướng dẫn:Đặt P(x)=b0+b1x+b2x(x −1)+b3x(x −1)(x −2) (1)

Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho (x −1),(x −2),(x −3)

đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18.

Hướng dẫn:Đặt P(x)=b0+b1(x −1)+b2(x −1)(x −2)+b3(x −1)(x −2)(x −3) (1)

Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:

P(−1)=0

P(x)− P(x −1)=x(x+1)(2x+1),(1)

a) Xác định P(x).

b) Suy ra giá trị của tổng S=1 . 2. 3+2 .3 . 5+…+n(n+1)(2n+1),(n∈N❑) .

Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

P(−1)− P(−2)=0⇔P(−2)=0,
P(0)− P(−1)=0⇔P(0)=0
P(1)− P(0)=1 .2 . 3⇔P(1)=6
P(2)− P(1)=2 .3 . 5⇔P(2)=36

Đặt P(x)=b0+b1(x+1)+b2(x+1)x+b3(x+1)x(x −1)+b4(x+1)x(x −1)(x −2) (2)

Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:

0=b0

0=b1⇔b1=0,

6=b2. 2. 1⇔b2=3,

36=3. 3 .2+b3. 3 .2 . 1⇔b3=3

0=3.(−1)(−2)+3.(−1)(−2)(−3)+b4(−1)(−2)(−3)(−4)⇔b4=1

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

x+1¿

2
(x+2)
P(x)=3(x+1)x+3(x+1)x(x −1)+1

2(x+1)x(x −1)(x −2)=
1
2x¿

(Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)

Bài 5: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c ,(a , b , c ≠0) . Cho biết 2a+3b+6c=0

1) Tính a, b, c theo P(0), P

(

)

, P(1) .
2) Chứng minh rằng: P(0), P

(

)

, P(1) khơng thể cùng âm hoặc cùng
dương.

Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:

P(0)=19
P(1)=85
P(2)=1985

5. Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

a) Chứng minh rằng phân số

3n 1
5n 2

+ là phân số tối giản nN ;

b) Cho phân số

n 4

n 5

+
=

+ (nN). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n

2009 sao cho phân số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiờn
ú.

Lời giải

a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d
 d = 1.

VËy ph©n sè

3n 1
5n 2

+ là phân số tối giản.

b) Ta cã

A n 5

n 5

= - +

+ . §Ĩ A cha tối giản thì phân số

n+5 phải cha

tối gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1

của 29.

Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5  29
 n + 5 =29k (k  N) hay n=29k – 5.

Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009
 1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69}

Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bi.

Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690.
VÝ dô 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iỊu kiƯn

1 1 1 1

a + + =b c a+ +b c.

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :

2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1 1 1

a +b +c =a +b +c .

Lêi gi¶i
Ta cã :

1 1 1 1

a + + =b c a+ +b c 

1 1 1 1

a + + -b c a+ +b c=



a b a b

ab c(a b c)

+ +

+ =

+ + 

c(a b c) ab

(a b). 0

abc(a b c)

+ + +

+ =

+ +

 (a + b)(b + c)(c + a) = 0 

a b 0

b c 0

c a 0

é + =
ê

ê + =
ê

ê + =

ë 

a b

b c

c a

é
=-ê

ê
=-ê
ê

=-ë  ®pcm.

Từ đó suy ra : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1 1 1 1 1 1

a +b +c =a +( c)- +c =a

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1 1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

 2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1 1 1

a +b +c =a +b +c .

VÝ dô 3. Đơn giản biểu thức :

3 3 3 4 2 2 5

1 1 1 3 1 1 6 1 1

(a b) a b (a b) a b (a b) a b

ổ ửữ ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ ỗ
= ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ
ố ứ ố ứ ố ứ
+ + + .
Lời giải

Đặt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2- 2P

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3- 3SP.

Do đó :

1 1 a b S

;

a b ab P

+ = = 12 12 a22 2b2 S2 22P;

a b a b P

-+ = =

3 3 3

3 3 3 3 3

1 1 a b S 3SP

a b a b P

-+ = =

Ta cã : A =

3 2

3 3 4 2 5

1 S 3SP 3 S 2P 6 S

. . .

S P S P S P

-+ +

2 2 4 2 2 2 2 4

2 3 4 2 4 4 3 4 3

S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S

S P S P S P S P S P

- - - + - +

+ + = =

Hay A = 3 3 3

1 1

.
P =a b

VÝ dơ 4. Cho a, b, c lµ ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức
sau không phụ thuộc vào giá trị của x :

(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)