powerpoint presentation chương 3 cơ học lượng tử i xác suất của hàm phân bố liên tục tk ii hàm sóng iii toán tử operator iv phương trình schrodinger v hạt trong hố thế vi dao động tử điều hòa vii

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (573.17 KB, 30 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG 3 CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I. XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC

(TK)

II. HÀM SĨNG

III. TỐN TỬ (OPERATOR)

IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

V. HẠT TRONG HỐ THẾ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

II. HÀM SÓNG (Wave fuction)

1. Biểu thức sóng phẳng đơn sắc tại điểm M cách

nguồn O một đoạn :

Véctơ sóng xác định theo véctơ đơn vị của phương

truyền sóng:

Hàm sóng ở dạng phức:

vì

 

OM



)

r.

k

t

sin(

A

)

v

.

T

r.

2 t

sin(

A

)

t

,

r

(





















)]

r

k

t

(

i

exp[

A

)

t

,

r

(

















k



n
2

k 





)}

r

k

t

sin(

i

)

r

k

t

{cos(

A

)

t

,

r

(

























}

sin

i

{cos

A

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1.Ý nghĩa thống kê của hàm sóng
Theo thuyết sóng ánh sáng:

Thuyết hạt ánh sáng: hạt photon tạo ra I tỷ lệ số photon qua 1m2

trong 1 s gọi là mật độ hạt:

Vì Hàm sóng phức mơ tả trạng thái vi mô của hạt chuyển động 
nhanh có bình phương của biên độ:

2. Điều kiện chuẩn hóa: Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bất 
kỳ mà hạt cư trú là 1.0.

3. Điều kiện của hàm sóng:
1- Giới nội.

2- Đơn trị. 
3- Liên tục.

4- Đạo hàm bậc nhất của 
hàm sóng phải liên tục.

2
i

.
i

2 A.e Ae *

I       

2
i

.
i
2

A

Ae

e.

A

*

.

)t

,r

(

p













  



A

*

)

t

,

r

(









1
dV
)
t
,
r
(
*
).
t
,
r
(






</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4.

Quan hệ giữa sóng Broglie và vi hạt chuyển

động tự do

có năng lượng

và xung lượng

Tính tần số góc:

Cịn véctơ sóng:

Hàm sóng viết dưới dạng:

P  




h h c

.
E
hc

.
h
2
c

2
2





















 P

n
h
h
2

k 









)]

r

.

k

t

(

i

exp[

A

)

t

,

r

(















]
r
P
Et

)[
i
exp(

A 

 


</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm

Vận tốc Pha:

Vận tốc truyền sóng sao cho pha là khơng đổi:

suy ra : 
hay:

Vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng 

Vận tốc pha không phải là vận tốc truyền năng lượng.

const

)

dx

x

(

P

)

dt

t

(

E

Px

Et















Pdx

Edt 

v
c
v

c
.
m
P

E
dt

dx
u

2
2




Vận tốc nhóm là vận tốc chuyển động 
 của toàn bộ bó sóng. 
Vận tốc nhóm của bó sóng bằng

vận tốc của hạt chuyển động.

v
mc

mv
c

E
P
c
P

u 2

2
2










)]

r

k

t

(

i

exp[

A

)

t

,

r

(















</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

III. TỐN TỬ (OPERATOR)

1. Tốn tử: Ánh xạ tác dụng lên một hàm biến hàm đó 
thành một hàm khác:

Ví dụ :

)

t

,

z

,

y

,

x

(

g

)

t

,

z

,

y

,

x

(

f

Aˆ



xt
4
)
z
y
x
2
(

Aˆ  2 

2. Một số tốn tử thơng dụng 
A-Tốn tử đạo hàm:

Ví dụ: dx

Aˆ  (2x y z) 2

dx
d
)
z
y
x
2
(

Aˆ 2 2





3
2
1 e
z
e
y
e
x
d

Gra   













3
2
2
1
2

z

)

(

2

x

y

z

)

2

e

2

yz

e

y

e

y

x

2 (

d

gra























2
2
2
2
2

2
z
y
x
Aˆ











2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
)
z
y

x
2
(
y
)
z
y
x
2
(
x
)
z
y
x
2
(
)
z
y
x
2
(
Aˆ














z
2
)
z
y
x
2
(

Aˆ  2 

z
y
x
2
)
z
,
y
,
x
(

f   2

C-Toán tử Laplace: 
Ví dụ :

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

A. PHÉP TỐN CHO TỐN TỬ 
1. PHÉP CỘNG:

Ví dụ :

Aˆ



Bˆ



Cˆ

z
xy
x
2
2
)
z
,
y
,
x
(
f
)
x
dx
d
(
)
z

y
x
2
(

Cˆ  2     2  2

2. PHÉP TRỪ 
Ví dụ:

Dˆ
Bˆ
Aˆ 

z
xy
x
2
2
)
z
y
x
2
(

Dˆ  2   2  2

)
f

Bˆ
(
Aˆ
f
)
Bˆ
.
Aˆ
( 

z

y

x

4 )}

z

y

x

2 (

x

{

dx

d

f

)

Bˆ

.

Aˆ

(









)
f
Aˆ
(
Bˆ
f
)
Aˆ
.
Bˆ
( 
x
Bˆ
;
dx
d

Aˆ  

3. PHÉP NHÂN 
Ví dụ :

z
y
x
2
)
z
,

y
,
x
(

f   2

Dˆ
Eˆ

Aˆ

Bˆ  

x

2 )}

z

y

x

2 (

dx

d

{

x

f

)

Aˆ

Bˆ

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

B. GIAO HỐN TỬ 
1. Định nghĩa:

Ví dụ :

Aˆ

.

Bˆ



Bˆ

.

Aˆ

0
)
yz
2
(
dx
d
)}
z
y
x
2
(
dy
d
{
dx
d
)
z
y
x
2
(

Bˆ
.

Aˆ  2   2  

zˆ

,

yˆ

,

xˆ

dy
d
Bˆ
;
dx
d

Aˆ  

2. Các toán tử giao hoán được

z
y
x
2
)
z
,
y
,

x
(

f   2

0
)
2
(
dy
d
)}
z
y
x
2
(
dx
d
{
dy
d
)
z
y
x
2
(
Aˆ
.

Bˆ  2   2  

dz
d
;
dy
d
;
dx
d
2
2
2
2
2
2
dz
d
;
dy
d
;
dx
d
x
y
;
y
x

2
2







3. Các tốn tử khơng giao hốn được

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài tập : Xem các TT sau có thể giao hoán được với nhau ? 
2. Tổ hợp toán tử giao hoán được

Khi mà

)

Dˆ

Cˆ

)(

Bˆ

Aˆ

(



Aˆ

Dˆ

Aˆ

Cˆ

Aˆ







Bˆ

Dˆ

Bˆ

Cˆ

Bˆ







3
2

1 e

z
e

y
e

x
d

Gra   















2
2
2

2
2

x
Aˆ















3
2

y

e

z

e

x

rˆ







rˆ

d

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

C. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH (LINEAR OPERATOR)
1. Định nghĩa: cho các hàm f1 f2…fn và các hằng số c1
c2…cn A là TT tuyến tính

Các TT tuyến tính



c

f.

}



c

[

Aˆ

f.

]

{

Aˆ

i i i

3
2

1 e

z
e

y
e

x
d

Gra   















2
2
2

2
2

z
y

x
Aˆ















3
2

y

e

z

e

x

rˆ







Bài tập : Xem các TT sau có tuyến tính khơng ? 
2

2
2

dz
d
;
dy

d
;
dx

d
;

d
;
z
;
dy

d
;
y
;
dx

d
;
x

rˆ

d

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

D.HÀM RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ 
1. Định nghĩa:

Ví dụ : Ta có tìm hàm riêng trị riêng

)
x
(
f

)

x
(
f

Aˆ 

2. Dùng định nghĩa

dx
d
aˆ 

3. Chuyển vế:

)
x
(
f
dx

)
x
(
df
)

x
(

aˆ  

dx
)

x
(
f

)
x
(
df





4. Lấy tích phân dx ln f(x) c(lnc ) .x

)
x
(
f

)
x
(

1  












5. Biến đổi x

1f(x) .x c f (x) e

ln  









x
2e

c
)

x
(

f  



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

E. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HỢP TUYẾN TÍNH HERMITTE
1. Định nghĩa:Ta có là các hàm bất kỳ

Â là TT Hermitte:

2. Ví dụ Xét tốn tử

Xét vế trái : Dùng tích phân từng phần:

Vế phải: 
So sánh:

Để Â là Hermitte thì ta có:

Kết luận: các hàm fi(x) khi nhân lẫn nhau bằng không
Gọi là trực giao

)
x
(
f
),
x
(

f1 2

dx
)
x
(
f
].
Aˆ
)[
x
(
f
dx

)
x
(
f
Aˆ
)

x
(

f1 2 2  1





dx
d
i
Aˆ 

]
)
dx
f

dx
d
f

(
f

f
[
i
dx

)
x
(
f
dx

d
)
x
(
f



1 2 1 2



2 1







dx
)
x
(
f
dx

d
)

x
(
f
i
dx
)
x
(
f
].
dx

d
i
)[
x
(

f2 1 2 1





0 )

x

(

f

).

x

(

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Tính chất TT hermitte

1. Nó có trị riêng là các giá trị thực.

2. Các hàm riêng là trực giao:

3. Các hàm riêng tạo thành một hệ đủ: một hàm bất

kỳ được khai triển thành tổ hợp TT các hàm trực

giao























K

L

khi

0 K

L

khi

1 )

K

L

(

)

x

(

f

).

x

(

f

L K

)
x

(
f
C
)

x
(

U n

1
k

k
k





</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Các tiên đề trong Cơ lượng tử

1.Mỗi đại lượng a trong CH cổ điển tương ứng một TT 
Hermitte â trong CH Lượng tử sao cho trị riêng của â là số 
thực bằng chính giá trị của đại lượng a.

Ví dụ là tốn tử năng lượng có trị riêng là E

2. Hệ thức của các TT có hình thức giống hệt như các

đại lượng cổ điển tương ứng

H

rˆ

,

zˆ

,

yˆ

,

xˆ



]

P

.

x

r

[

L







Ví dụ: TT tọa độ là phép nhân
TT mơmen xung lượng

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Các tốn tử thơng dụng trong Cơ lượng tử 
1. TT tọa độ= Tương ứng phép nhân

rˆ

,

zˆ

,

yˆ

,

xˆ



2. Các toán tử xung lượng

4. toán tử năng lượng:

toán tử thế năng

x
i

Pˆx





 

y
i

Pˆy





 

z
i

Pˆz





 

]
z
.
e
y

.
e
x

.
e

[
i
i

Pˆ 1 2 3













      

3. tốn tử xung lượng tịan phần

)
z
,
y

,
x
(
U
m

2
P
E

2



)
z
y

x
(
m
2
m

2
Pˆ

2
2
2

2
2













 

)
x
,
y
,
x
(

U
)

z
,
y
,
x
(

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Ý nghĩa

1. Hàm riêng và trị riêng của tốn tử năng lượng.

Nếu năng lượng là không đổi

2. PT Schodinger không phụ thuộc t

Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng

- Hàm riêng mô tả trạng thái

)

t

,

z

,

y

,

x

(

E

)

t

,

z

,

y

,

x

(

Hˆ







)
z
,
y
,
x
(
)
iEt
exp(

A
)

(
)
iEt
exp(

A
)

t
,
r

(      






)

z

,

y

,

x

(

E

)

z

,

y

,

x

(

Hˆ

)

r

(

Hˆ













)

z

,

y

,

x

(

.

E

)

z

,

y

,

x

(

)]

z

,

y

,

x

(

U

m

2 [









</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

MỤC ĐÍCH KHI GIẢI

1.TÌM TRỊ RIÊNG: Tức là xác định các mức năng 
lượng và xem nó có bị gián đọan khơng (lượng tử hóa)

2.TÌM HÀM RIÊNG: Dùng tính xác suất những nơi 
tìm thấy hạt (đám mây điện tử). Xác định hàm mật độ xác 
suất CÁC LƯU Ý KHI GIẢI

1.BIẾT DẠNG TOÁN TỬ THẾ NĂNG: Thường đó là 
một phép nhân. Nếu đơn giản thì U=0

2.CHIỀU CỦA KHƠNG GIAN: 1D/ 2D/ 3D. Đơn giản 
là một chiều khi đó

3.Có khi phải tách không gian làm nhiều vùng khác 
nhau để tìm hàm sóng cho từng vùng.

2
2
2

dx

d

m

2 m

2 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

V HẠT TRONG HỐ THẾ VUÔNG

Bên trong hố 0  x  a thì U = 0

Bên ngịai hố 0 > x và x > a thì U vơ hạn

Bên ngịai U lớn nên hạt khơng thể nhảy ra
hạt chỉ tồn tại bên trong  Phương trình S

Xét chuyển động theo 1 phương x nên:

Nghiệm là:

Lưu ý tại x=a thì hàm sóng bằng khơng

a
0

U=0

)

z

,

y

,

x

(

E

0 )

z

,

y

,

x

(

)

z

y

x

(

m

2

2
2























)
x
(
k
)

x
(
E
m
2
x

)
x

( 2

2
2














 

mE
2
k 

kx

sin

A

)

x

(









0 sin

n

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Kết quả: ka n

2
n
2

2
2
2

n
n

m
E
2
a

n
k

a
n
k











...
3
,
2
,
1
n

ma
2
n
m

2
k

E 2

2
2
2
2

n
2

n 




 

Kết luận về mức năng lượng:
1- Năng lượng bị lượng tử hóa
2- Năng lượng tỉ lệ với bình

phương các số nguyên
3- E1 là mức thấp nhất (Ground state)
4- Từ E2 lên trên là mức kích thích 
 (excited state)
5- Khỏang cách các mức không đều

)

1 n

2 (

ma

2 ]

n

)

1 n

[(

ma

2 E

2

2
2
2

2
2

2
2
n



















</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Kết quả:

Kết luận về các hàm sóng bậc n:

1- Ta chứng minh các hàm sóng là trực giao.

2- Xác suất tìm thấy hạt tỉ lệ với mức năng lượng thứ n

?
A
kx

sin
A
)

(   



a
2
A

1
a
2
1
A
dx

)
kx
(

sin

A 2 2

0
2









Theo sự chuẩn hóa hàm sóng :

)
a

x
n
sin(
a

2
)

x
k
sin(
a

2
)

( n







)
n
m

(
0
dx

)
x

k
sin(
)

x
k
sin(
a

/ n

m
n

m    



 



U(x)

a
x

U(x)

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Kết quả: nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính các nghiệm
)
a
x
n
sin(
c
a
2
c
)
x
(

f 



nn 



n 

Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian

)
t
iE
exp(
)
a
x
n
sin(
c
a
2
)
iEt
exp(
)
x
(
)
t
,
x

(    n   n





)
t
ma

2
n
i
exp(
)
a
x
n
sin(
c
a
2
2
2
2
n







Kết quả: cho trường hợp 3D hạt trong hộp vuông
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
3
2
1
mc
2
nx
mb
2
ny
ma
2
nx
E
E
E

E            

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Trong 1D : Hệ chịu tác động lực tuần

hồn f=-kx, nên động năng U=kx2/2

Phương trình Schrodinger một chiều:

Xét hai toán tử tăng và giảm:

Lấy phép nhân 2 tốn tử đó  viết lạI PT Schrodinger

2
x
m

2
xˆ
m

2
xˆ
k
)

x
(
Uˆ

2
2
2

2
2









)

x

(

u

E

)

x

(

u

)

x

2 m

dx

d

m

2 i

(

2 n n n

2
2














,

aˆ

]

x

im

dx

d

i

[

m

2

1 aˆ











)
x
(
u
E
)

x
(
u
}
2

1
)

a
a
{(
)

x
(
u

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Ta chứng minh được luận điểm sau:

Nếu U(x) là nghiệm riêng thỏa PT Schrodinger 
với trị riêng E thì hàm â+(x) cũng là nghiệm riêng 
của PT Schrodinger với năng lượng riêng là E  

Hàm â-(x) cũng là nghiệm riêng của PT 
Schrodinger với năng lượng riêng là E 

Kết qủa về mức năng lượng

1- Các năng lượng cách đều nhau một đoạn 
2- Mức năng lượng thấp nhất có giá trị dương
và là năng lượng ở nhiệt độ 0K. ??

3- Mức thứ J bất kỳ có giá trị







E





 

2

1 E

0







(

j

0 ,

5 )



</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

NGHIỆM CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Nghiệm ở trạng thái cơ bản u0: khi đó

Nếu tác dụng hạ bậc sẽ khơng cịn sóng

Phương trình xác định:

Giải được nghiệm:

Dùng điều kiện chuẩn hóa  Biên độ sóng là
Và viết lại hàm cơ bản:

Hàm ở trạng thái m

0 )

x

(

u

aˆ

 0



0
)
x
(

u
]
x
im
dx
d
i
[
m
2
1
)
x
(
u

aˆ 0     0 

)

x

2 m

exp(

A

)

x

(

u

0 0 2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian m(x,t) um(x)exp( iEmt)

Kết quả: cho trường hợp 3D hạt trong hộp vuông

2
2
2

2
2

2
3

1 m z

2
1
y

m
2
1
x

m
2
1

)
z
(
U
)

y
(
U
)

x
(
U
)

z
,
y
,
x
(

U         

Kết quả: Về năng lượng

)

nz

ny

nx

N

(

)

2

3 nz

ny

nx

(

E

N













)

z

(

Z

).

y

(

Y

).

x

(

X

)

x

,

y

,

x

(

nx ny nz

nz
,
ny
,





Kết quả: Về hàm sóng

Lúc này có sự suy biến: Cùng một mức năng lượng sẽ có

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

nx ny nz

Trạng thái 1 2 0 0

Trạng thái 2 0

2 0

Trạng thái 3 0 0 2

Trạng thái 4 1 1 0

Trạng thái 5 0 1 1

Trạng thái 6 1 0 1

Ví dụ với mức     

2
7
)

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

VII Hiệu ứng đường hầm Tuner effect

Giải bài toán hạt chuyển động vướt qua rào thế có U 
cao hơn năng lượng của nó.

O X

U0

Miền 3
Miền 2

Miền 1

Khi 0  x  U = 0: miền 1 
Khi a  x  0 U = U0: miền 
2

Khi x  a  U = 0: miền 3 
d

dx k

2
1

2 12 1 0



 

Trong Miền I và III
Nghiệm:

k12 2mE2


Trong Miền II d

dx k

2
2

2 2
2

2 0




  k22 m U E
0

 (  )



)

x

ik

exp(

B

)

x

ik

exp(

A

1 1 1 1









)

x

k

exp(

B

)

x

k

exp(

A

1 2 2 2







</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Để tìm nghiệm, dùng điều kiện biên, vì có 6 biên độ ứng các

miền nhưng chỉ có 4 DK biên  phải bỏ một hệ số B3 với giả

thuyết sóng khơng phản xạ ở vơ cùng.

Vấn đề ta quan tâm là sóng có qua rào khơng?

Hệ số truyền qua D: là tỷ số giữa bình phương biên độ sóng 
truyền qua hàng rào thế và bình phương biên độ sóng tới tại 
hàng rào thế.

???

0 A

D

2

1
2
3





Kết qủa thu được

0 )

a

k

2 exp(

)

n

1 (

n

16 D

2 2 2









n k

U E

 


1

2 0

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Ví dụ: Nếu hiệu năng lượng cho là E-U0=1,28.10-31 J, khi

đó ta có thể dùng lý thuyết để tính sự phụ thuộc của hệ số 
truyền qua D vào độ rộng hố thế a.

a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10

D 0,1 0,03 0,008 5.10-7

Hệ số truyền qua D chỉ đáng kể khi độ rộng hố thế a là 
rất nhỏ, khi đó hạt thể hiện tính chất sóng của vi hạt và 
điều đó khơng thể có với các hạt vĩ mơ.

Ứng dụng:

1- Giải thích phát xạ lạnh electron trong kim loại

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

1- Phương trình truyền sóng vật chất: 
2- Ýnghĩa và tính chất hàm sóng

3-Vận tốc pha và nhóm

4- Tốn tử và các phép toán của Toán tử. Toán Tử Hermitte
5- Giao hốn tử và các tính chất. Hàm riêng trị riêng.

6- PT Schrodinger
7- Hạt trong hố thế

8- Dao động tử điều hịa.

9- Hiệu ứng đường ngầm

Ơn tập

)]
r
k
t
(
i
exp[
A
)
t
,
r
(     

v
u
;
v
c
u N
2

P  

)
z
,
y
,
x
(
.
E
)
z
,
y
,
x
(
)]
z
,
y
,
x
(
U
m
2
[

2





 
...
3
,
2
,
1
n
ma
2
n
m
2
k
E 2
2
2
2
2
n
2
n 



 
)
a
x
n
sin(
a
2
)
x
k
sin(
a
2
)
x
( n
n







(j 0,5)

Ej
)
x

2
m
exp(
m
)
x
(
u 2
4
/
1
0













0
)
a
k
2

exp(
)
n
1
(
n
16

D 2 2 2






 n kk  U E E


1

2 0

</div>

powerpoint presentation chương 3 cơ học lượng tử i xác suất của hàm phân bố liên tục tk ii hàm sóng iii toán tử operator iv phương trình schrodinger v hạt trong hố thế vi dao động tử điều hòa vii

<b>CHƯƠNG 3 CƠ HỌC LƯỢNG TỬ</b>

<b>I. XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC </b>

<b>(TK) </b>

<b>II. HÀM SĨNG </b>

<b>III. TỐN TỬ (OPERATOR)</b>

<b>IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER</b>

<b>V. HẠT TRONG HỐ THẾ</b>

<b>II. HÀM SÓNG (Wave fuction)</b>

<b>1. Biểu thức sóng phẳng đơn sắc tại điểm M cách </b>

<b>nguồn O một đoạn :</b>

<b>Véctơ sóng xác định theo véctơ đơn vị của phương </b>

<b>truyền sóng:</b>

<b>Hàm sóng ở dạng phức:</b>

<b>vì</b>

)

r.

k

t

sin(

A

)

v

.

T

r.

2

t

sin(

A

)

t

,

r

(























)]

r

k

t

(

i

exp[

A

)

t

,

r

(

















k



)}

r

k

t

sin(

i

)

r

k

t

{cos(