BT ON HINH 12CBHKI Co loi giai

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>KHỐI ĐA DIỆN</b>

<b>CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN 12</b>
<i>I. TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG </i>

1. sin



₌

AB

BC

<i>_{(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos}</i>



₌

AC

BC

<i>_{(KỀ chia HUYỀN)}</i>

3. tan



₌

AB

AC

<i>_{(ĐỐI chia KỀ) 4. cot}</i>



₌

AC

AB

<i>_{(KỀ chia ĐỐI)}</i>

<i>II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG</i>

1. BC

2

_{= AB}

2

_{+ AC}

2

_{(Định lí Pitago)}

2. AB

2

_{= BH.BC 3. AC}

2

_{= CH.BC}

4. AH

2

_{= BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6.}

2 2 2

1

1

1

AH



AB



AC

<i>III. ĐỊNH LÍ CƠSIN</i>

1. a

2

_{= b}

2

_{+ c}

2

_{– 2bccosA 2. b}

2

_{= a}

2

_{+ c}

2

_{– 2accosB 3. c}

2

_{= a}

2

_{+ b}

2

_{– 2abcosC}

<i>IV. ĐỊNH LÍ SIN</i>

a

b

c

2R

sin A



sin B sin C





<i>V. ĐỊNH LÍ TALET</i>

<b> MN // BC</b>

a)

AM

AN

MN

AB



AC



BC

_{; b)}

AM

AN

MB



NC

<i>VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG</i>

<i><b>1. Tam giác thường:</b></i>

a) S =

1

ah

2

_{b) S =}

p(p a)(p b)(p c)  

_{(Công thức Hê-rơng)}

c) S = pr (r: bk đ.trịn nội tiếp tam giác)

<i><b>2. Tam giác đều cạnh a:</b></i>

a) Đường cao: h =

a 3

2

_{; b) S =}

2

a 3

4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

<i><b>3. Tam giác vng:</b></i>

a) S =

1

2

_{ab (a, b là 2 cạnh góc vng)}

<i><b>b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền</b></i>

<i><b>4. Tam giác vng cân (nửa hình vuông):</b></i>



H C

B

A

N
M

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a) S =

1

2

_a

2

_{(2 cạnh góc vng bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a}

2

<i><b>5. Nửa tam giác đều:</b></i>

a) Là tam giác vng có một góc bằng 30

o

_{hoặc 60}

o

b) BC = 2AB c) AC =

a 3

2

_{d) S =}

2

a 3

8

<i><b>6. Tam giác cân: a) S = </b></i>

1

ah

2

_{(h: đường cao; a: cạnh đáy)}

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung

trực

<i><b>7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)</b></i>

<i><b>8. Hình thoi: S = </b></i>

1

2

_d

₁

_.d

₂

_(d

₁

_{, d}

₂

_{là 2 đường chéo)}

<i><b>9. Hình vng: a) S = a</b></i>

2

_{b) Đường chéo bằng a}

2

<i><b>10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)</b></i>

<i><b>11. Đường tròn: a) C = 2</b></i>



_{R (R: bán kính đường trịn)}

b) S =



_R

2

_{(R: bán kính đường trịn)}

<i>VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC</i>

<i><b>1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác</b></i>

<i><b>a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm</b></i>

b) * BG =

2

3

_{BN; * BG = 2GN; * GN =}

1

3

_BN

<i><b>2. Đường cao:</b></i>

<i><b> Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm </b></i>

<i><b>3. Đường trung trực:</b></i>

<i><b> Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam </b></i>

<i><b>giác</b></i>

<i><b>4. Đường phân giác:</b></i>

<i><b> Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường trịn nội tiếp tam </b></i>

<i><b>giác</b></i>

<i>VIII. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN</i>

<i><b>1. Hình tứ diện đều:</b></i>

60o ₃₀o

C
B

A

G
P

N
M

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau

<i><b>b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)</b></i>

c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

<i><b>2. Hình chóp đều: </b></i>

<i><b>a) Có đáy là đa giác đều </b></i>

b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

<i><b>c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy </b></i>

d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

<i><b>3. Đường thẳng d vng góc với mp(</b></i>



<i><b>_):</b></i>

a) Đt d vng góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(



_{) Tức là:}

d a; d

b

a b

a,b















_{ }





_d



₍



₎

b)

( ) ( )

( ) ( ) a

a

d

( )

  





   



   





_d



₍



₎

c) Đt d vng góc với mp(



_{) thì d vng góc với mọi đt nằm trong mp(}



₎

<i><b>4. Góc </b></i>



<i><b> giữa đt d và mp(</b></i>



<i><b>_{): d cắt (}</b></i>



_{) tại O và A}



_d

Nếu

AH ( )

H ( )

 





 



_{thì góc giữa d và (}



_{) là}



_hay

AOH

ˆ

₌



<i><b>5. Góc giữa 2 mp(</b></i>



<i><b>_{) và mp(}</b></i>



<i><b>_):</b></i>

Nếu

( ) ( ) AB

FM

AB;EM

AB

EM

( ),FM

( )

   













_{ }

_{ }



thì góc giữa (



_{) và (}



_{) là}



_hay

EMF

ˆ

₌



<i><b>6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(</b></i>



<i><b>_):</b></i>

(hình ở mục 4)

Nếu AH



(



_{) thì d(A, (}



_{)) = AH}

(với H



₍



₎₎

<i>IX. KHỐI ĐA DIỆN:</i>

<i><b>1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)</b></i>

<i><b>2. Thể tích khối chóp: V = </b></i>

1

Bh

3

_{(diện tích đáy là đa giác)}






F

E

M
B

A

 O

H
A

d'
d

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a H M

D

C
B

A

<i><b>3. Tỉ số thể tích của khối chóp: </b></i>

S.A B C
S.ABC

V

SA SB SC

.

.

V

SA SB SC

  

_







<i><b>4. Diện tích xq của hình nón trịn xoay: S</b></i>

xq

=



Rl

(R: bk đường trịn; l: đường

sinh)

<i><b>5. Thể tích của khối nón trịn xoay: V = </b></i>

1

Bh

3

_{(diện tích đáy là đường trịn)}

<i><b>6. Diện tích xq của hình trụ trịn xoay: S</b></i>

xq

= 2



Rl

(R: bk đường trịn; l: đường sinh)

<i><b>7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = </b></i>

R2

_{h ( h: chiều cao khối trụ)}

<i><b>8. Diện tích của mặt cầu: S = 4</b></i>

R2

_{(R: bk mặt cầu )}

<i><b>9. Thể tích của khối nón trịn xoay: V = </b></i>

3

4

R

3



_{(R: bán kính mặt cầu)}

<i><b>Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a</b></i>

<b>HD: * Đáy là </b>



BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a

* Tính: V =

1

3

_{Bh =}

1

3

_{SBCD . AH * Tính: SBCD =}

2

₃

4

a

(



_BCD

đều cạnh a)

* Tính AH: Trong



V_{ABH tại H :}

AH2_{= AB}2_{– BH}2_{(biết AB = a; BH =}

2

3

_{BM với BM =}

3

2

a

)
ĐS: V =

3

₂

12

a

<i><b>Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a </b></i>

<b>HD: * Đáy ABCD là hình vng cạnh a. H là giao điểm của 2 đường chéo</b>

* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V =

1

3

_{Bh =}

1

3

_{SABCD . SH * Tính: SABCD = a}2
* Tính AH: Trong



V_{SAH tại H:}

a _H

S

D

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

SH2_{= SA}2_{– AH}2_{(biết SA = a; AH =}

2

2

a

)
ĐS: V =

3

₂

6

a

. Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a. ĐS: V =
3

₂

3

a

<i><b>Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A</b></i><b>’_B’_C’_{có tất cả các cạnh đều bằng a}</b>

<b> a) Tính thể tích của khối lăng trụ</b>
<b> b) Tính thể tích khối tứ diện A’_BB’_C</b>

<b>HD: a) * Đáy A</b>’_B’_C’_là_<b>_{đều cạnh a . AA}</b>’_{là đường cao}

<b> * Tất cả các cạnh đều bằng a</b>

*

V

ABC.A B C   = Bh =

S

A B C  .AA’
* Tính:

S

A B C   =

2

₃

4

a

(A’_B’_C’_là__{đều cạnh a) và AA}’_{= a}
ĐS:

V

ABC.A B C   =

3

₃

4

a

b)

V

A BB C  =

1

3

V

ABC.A B C   ĐS:
3

₃

12

a

( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)

<i><b>Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A</b></i><b>’_B’_C’_{, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a,}</b>C



<b>= 600_,</b>

<b>đường chéo BC’</b>

<b> của mặt bên (BCC’_B’_{) hợp với mặt bên (ACC}’_A’_{) một góc 30}0_.</b>

<b> a) Tính độ dài cạnh AC’_{b) Tính thể tích lăng trụ}</b>

<b>HD: a) * Xác định</b>



là góc giữa cạnh BC’_{và mp(ACC}’_A’₎
+ CM: BA _{( ACC}’_A’₎

 BA



AC (vì



ABC vng tại A)
 BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng)
+  = BC A



 _{= 30}0_{* Tính AC}’_{: Trong}



V_BAC’_{tại A (vì BA}__AC’₎

tan300₌

AB

AC

 _AC’₌

30

0

AB

tan

_{= AB} 3

* Tính AB: Trong



V_{ABC tại A, ta có: tan60}0₌

AB

AC

 AB = AC. tan600_{= a} 3_{(vì AC = a). ĐS: AC}’_{= 3a}
b)

V

ABC.A B C   = Bh =

S

ABC.CC’ * Tính:

S

ABC =

1

2

_{AB.AC =}

1

2

_.a 3_{.a =}
2

₃

2

a

C'

B'
A'

C

B
A

60
30

C'
B'

A'

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

* Tính CC’_{: Trong}



V_ACC’_{tại C, ta có: CC}’2_{= AC}’2_{– AC}2_{= 8a}2  _CC’₌

2

a

2

ĐS:

V

ABC.A B C   = a3 6

<i><b>Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A</b></i><b>’_B’_C’_{có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A}’</b>

<b>cách đều các</b>

<b> điểm A, B, C. Cạnh bên AA’_{tạo với mp đáy một góc 60}0_{. Tính thể tích của lăng trụ.}</b>

<b>HD: * Kẻ A</b>’_H__(ABC)

* A’_{cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của}

_

_{ABC đều cạnh a}
* Góc giữa cạnh AA’_{và mp(ABC) là}



₌

A A H





_{= 60}0
* Tính:

V

ABC.A B C   = Bh =

S

ABC.A’H

* Tính:

S

ABC₌
2

₃

4

a

(Vì



ABC đều cạnh a)
* Tính A’_{H: Trong}



_V_AA’_{H tại H, ta có:}

tan600₌

A H

AH



 _A’_{H = AH. tan60}0₌

2

3

_AN. 3_{= a}
ĐS:

V

ABC.A B C   =

3

₃

4

a

<i><b> Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A</b></i><b>’_B’_C’_{, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và}</b>

<b>AA’_{= 3a.}</b>

<b> Tính thể tích của lăng trụ</b>
<b>HD: * Đường cao lăng trụ là AA</b>’_{= 3a}
* Tính:

V

ABC.A B C   = Bh =

S

ABC.AA’
* Tính:

S

ABC₌

1

2

_{AB.AC (biết AC = a)}

* Tính AB: Trong



V_{ABC tại A, ta có:}
AB2_{= BC}2_{– AC}2_{= 4a}2_{– a}2_{= 3a}2
ĐS:

V

ABC.A B C   =

3

3

3

2

a

<i><b>Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A</b></i><b>’_B’_C’_D’_{có đáy là hình thoi cạnh a, góc}</b>

A



<b>= 600_{. Chân đường}</b>

<b>vng góc hạ từ </b>

a
60

N
H

C'

B'
A'

C

B
A

2a
3a

a

C'
B'

A'

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b> B’_{xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB}’_{= a.}</b>

<b> a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy</b>

<b> b) Tính thể tích hình hộp</b>

<b>HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD</b>

* B’_O__{(ABCD) (gt)}

* Góc giữa cạnh bên BB’_{và đáy (ABCD) là}₌B BO


* Tính  = B BO



 _{: Trong}



V_BB’_{O tại O, ta có:}

cos =

OB

BB

=

OB

a

+ _{ABD đều cạnh a (vì}

A



= 600_{và AB = a)} _{DB = a}
 OB =

1

2

_{DB =}

2

a

. Suy ra: cos =

1

2

 _{= 60}0

b) * Đáy ABCD là tổng của 2 đều ABD và BDC 

S

ABCD_{= 2.}
2

₃

4

a

=
2

₃

2

a

*

V

ABCD.A B C D    = Bh =

S

ABCD.B’O =
2

₃

2

a

.B’_O
* Tính B’_{O: B}’_{O =}

3

2

a

(vì B’_{BO là nửa tam giác đều) ĐS:}
3

3

4

a

<i><b>Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a. Dựng đường cao SH</b></i>

<b> a) Chứng minh: SA</b>



<b>_BC</b>
<b> b) Tính thể tích của hình chóp</b>
<b>HD: a) Gọi M là trung điểm của BC</b>

* CM: BC_{SH (SH}_{mp( ABC))}
BC



_AM

 BCmp(SAM). Suy ra: SABC (đpcm)
b) * Tất cả các cạnh đều bằng a

* Tính: VS.ABC =

1

3

_{Bh =}

1

3

_{SABC .SH * Tính: SABC =}

2

a 3

4

* Tính SH: Trong



V_{SAH tại H, ta có: SH}2_{= SA}2_{– AH}2

(biết SA = a; AH =

2

3

_{AM mà AM =}

a 3

2

_vì_{ABC đều cạnh a). ĐS: VS.ABC =}
3

a 2

12

<i><b>Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo </b></i>

<b>với đáy một </b>

<b> góc 600_{. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vng góc với SA.}</b>

<b> a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC</b>
<b> b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC</b>

<b>HD: a) Hạ SH </b>



(ABC)  H là trọng tâm của



ABC đều cạnh a
Gọi E là trung điểm của BC


a

60
a

O

D' _C'

B'
A'

D C

B
A

a

M H

C

B A

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

* Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là



=


SA E_{= 60}0
* Tính:

S.DBC
S.ABC

V

SD SB SC SD

.

.

V



SA SB SC SA



* Tính SD: SD = SA – AD

* Tính SA: SA = 2AH (vì SAH là nửa tam giác đều)
và AH =

2

3

_{AE mà AE =}

a 3

2

_vì_{ABC đều cạnh a.}
Suy ra: SA =

2a 3

3



* Tính AD: AD =

AE

2

_{( vì}ADE là nửa tam giác đều). Suy ra: AD =

a 3

4

* Suy ra: SD =

5a 3

12

_{. ĐS:}

S.DBC
S.ABC

V

SD 5

V



SA 8



b) Cách 1: * Tính VS.ABC =

1

3

_{Bh =}

1

3

_{SABC.SH * Tính: SABC =}

2

a 3

4

_(vìABC đều cạnh a)
* Tính SH: Trong



V_{SAH tại H, ta có: sin60}0₌

SH

SA

 _{SH = SA.sin60}0_{= a. Suy ra: VS.ABC =}
3

a 3

12

* Từ
S.DBC
S.ABC

V

5

V



8

_{. Suy ra: VS.DBC =}

3

5a 3

96

Cách 2: * Tính: VS.DBC =

1

3

_{Bh =}

1

3

_{SDBC.SD * Tính: SDBC =}

1

2

_DE.BC

* Tính DE: Trong



V_{ADE tại D, ta có: sin60}0₌

DE

AE

 _{DE = AE.sin60}0₌

3a

4

_{. Suy ra: SDBC =}

2

3a

8

<i><b>Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam </b></i>

<b>giác đều và </b>

<b> vng góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB </b>
<b> a) Chứng minh rằng: SH </b>



<b>_(ABCD)</b>

<b> b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD</b>
<b>HD: a) * Ta có: mp(SAB) </b>(ABCD)

* (SAB) _{(ABCD) = AB; * SH}_(SAB)
* SH



_{AB ( là đường cao của}



_{SAB đều)}

60

E
D

a
H

C

B
A

S

S

D _a

H
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Suy ra: SH (ABCD) (đpcm)
b) * Tính: VS.ABCD =

1

3

_{Bh =}

1

3

_SABCD.SH

* Tính: SABCD = a2_{* Tính: SH =}

a 3

2

_(vìSAB đều cạnh a)
ĐS: VS.ABCD =

3

a 3

6

<i><b>Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), </b></i>

<b>(SCA) tạo với đáy </b>

<b> một góc 600_{. Tính thể tích của khối chóp đó.}</b>

<b>HD: * Hạ SH </b>



(ABC) và kẻ HM



AB, HN



BC, HP



AC
* Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là



= SMH



= 600<b></b>
* Ta có: Các vng SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh

góc vng và 1 góc nhọn bằng 600₎

* Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường trịn nội tiếp



_ABC

* Tính: VS.ABC =

1

3

_{Bh =}

1

3

_{SABC .SH}

* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c)  

= p(p AB)(p BC)(p CA)  

(công thức Hê-rông)

* Tính: p =

5

6

7

9

2

a



a



a

_a



Suy ra: SABC = 6 6a2
* Tính SH: Trong



V_{SMH tại H, ta có: tan60}0₌

SH

MH

 _{SH = MH. tan60}0
* Tính MH: Theo cơng thức SABC = p.r = p.MH  _{MH =}

ABC

S

p

₌

2

a

₃

6

_{Suy ra: SH =}

2

a

2

ĐS: VS.ABC = 8a3 3

<i><b>Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng </b></i>

3

₃

6

a

<b>. </b>

<b> Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. ĐS: SA = </b>

5

2

a

7a

6a
5a

N

M H

P

C

B
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i><b>Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng </b></i>

3

2

a

<b> và thể tích bằng a3_.</b>

<b>Tính cạnh đáy của hình chóp. ĐS: AB = </b>

a

2

<i><b>Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a</b></i><b>3_{/8, các mặt bên tạo với đáy}</b>

<b>(ABC) một góc 600_{. Tính độ dài cạng đáy AB. ĐS: AB =}</b>a 3

<b>Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu</b>

<i>Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay (2 tiết)</i>

<i><b>Bài 1: Trong khơng gian cho tam giác vng OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay </b></i>

<b>tam giác vng OAB quanh cạnh góc vng OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành </b>
<b>một hình nón trịn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình </b>
<b>nón</b>

<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Sxq =



Rl =



.OB.AB = 15



Tính: AB = 5 (



 AOB tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = 15



+ 9



= 24



b) V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OB .OA

₌

2

1

3 4

3



. .

_{= 12}



<i><b>Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Sxq =



Rl =



.OB.SB = 2



a2

* Stp = Sxq + Sđáy = 2



a2 +



a2 = 23



a2

b) V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OB .SO

₌

3
2

1

3

3

3

3

a

.a .a







Tính: SO =

2

3

3

2

a

_a



(vì SO là đường cao của _{SAB đều cạnh 2a)}

<i><b>Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vng.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên

A



=

B



= 450

* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



a2

2

Tính: SA = a

2

; OA = a (



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =



a2

2

+



a2 = (1 +

2

)



a2

b) V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OA .SO

₌

3
2

1

3

3

a

.a .a







<i><b>Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vng.</b></i>
2a

A B

S

O
3
4

A

B
O

45
S

B
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên

A



=

B



= 450

* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



.

2

l

.l =
2

2

l



Tính: OA =

2

l

(



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

2

l



+
2

2

l



=
2

1

1

2

2

l



















b) V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OA .SO

₌

2 3

1

3

2

2

6 2

l

l

l

. .







Tính: SO =

2

l

(



 SOA tại O)

<i><b>Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 120</b></i><b>0_.</b>
<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>

<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên

A



=

B



= 300

hay ASO



= BSO



= 600

* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



.a 3.2a =

2
2a 3

Tính: OA = a 3; SA = 2a (



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

2a 3_{+ 3}



_a2₌





2

2 3 3





a

b) V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OA .SO

₌

2 3

1

3

3



. a .a



a

<i><b>Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy </b></i>

<b>bằng </b>



<b>_.</b>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là

A



=

B



=



* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



. lcos



.l =

2
l cos

 

Tính: OA = lcos



₍



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2
l cos

 ₊



_l2_cos2

_

₌



1



cos

 



l cos

2





</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

b) V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OA .SO

=

2

1

3

2

.l cos .lsin







=

3

3

2

l cos sin







Tính: SO = lsin



₍



 SOA tại O)

<i><b>Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng</b></i>

<b>2</b>



<b>_a2_.</b>

<b> Tính thể tích của hình nón</b>

HD: * Sxq =



Rl 



Rl = 2



a2  R =

2 2

2

2

2

a

a

_a

l

a









* Tính: SO = a 3 (



 SOA tại O)

* V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OA .SO

₌

3
2

1

3

3

3

3

a

.a .a







<i><b>Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60</b></i><b>0_{và diện tích đáy bằng 9}</b>

_

<b>_{. Tính thể tích}</b>
<b>của hình nón</b>

HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều

* Sđáy =



R2  9



=



R2  R2 = 9  R = 3

* SO =

3

2

3

3 3

2

2

AB

R





* V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OA .SO

₌

2

1

3 3 3 9

3

3



. .

 

<i><b>Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng </b></i>

<b>bằng a.</b>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nó</b>

<b>c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600_{. Tính diện tích của thiết diện}</b>
<b>này</b>

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên

A



=

B



= 450

* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



.

2

a

.a =

2

2

a



2a

S

B
A

O

a

S

60
S

B
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Tính: OA =

2

a

(



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

2

a



+

2

2

a



=

2

1

1

2

2

a



















b) V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OA .SO

₌

2 3

1

3

2

2

6 2

a a

a

. .







Tính: SO =

2

a

(



 SOA tại O)

c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600_:SMO



= 600

* SSAC =

1

2

_{SM.AC =}

1

2

_.

6

3

a

.

2

3

3

a

=

2

₂

3

a

* Tính: SM =

6

3

a

(



 SMO tại O). * Tính: AC = 2AM =

2

3

3

a

* Tính: AM =

OA

2



OM

2 =

3

3

a

* Tính: OM =

6

6

a

(



 SMO tại O)

<i><b>Bài 10: Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

<b>c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt</b>
<b>phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó</b>

HD: a) * Sxq =



Rl =



.OA.SA =



.25.SA = 25



1025(cm2)

Tính: SA = 1025 (



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = 25



1025 + 625



b) V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OA .SO

₌

2 2

1

25 20

3



. .

_(cm3₎

c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH



_SI _{OH = 12cm}

* SSAB =

1

2

_{.AB.SI =}

1

2

_{.40.25 = 500(cm}2₎

l

h

O

I

H

B

A

S

C

M

45

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

* Tính: SI

=

OS.OI

OH

₌

20

12

.OI

= 25(cm) (



 SOI tại O)

* Tính: 2

1

OI

₌

2

1

OH

_-

2

1

OS

 _{OI = 15(cm) (}



 SOI tại O)

* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)

* Tính: AI =

OA

2



OI

2



20

(cm) (



 AOI tại I)

<i><b>Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vng </b></i>

<b>cân có cạnh huyền bằng </b>

a

2

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón</b>
<b>b) Tính thể tích của khối nón</b>

<b>c) Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo </b>
<b>với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600_{. Tính diện tích tam giác SBC}</b>

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên

A



=

B



= 450

* Sxq =



Rl =



.OA.SA =



.

2

2

a

.a =

2

₂

2

a



Tính: OA =

2

AB

=

2

2

a

; Tính: SA = a (



 SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

₂

2

a



+

2

2

a



=

2

2 1

2

(

 

) a

b) V =

2

1

3



R h

₌

2

1

3



.OA .SO

₌

2 3

1

2

2

3

2

2

12

a a

a

. .







Tính: SO =

2

2

a

(



 SOA tại O)

c) * Kẻ OM



_BC SMO



= 600_{; * S}
SBC =

1

2

SM.BC

₌

1

2 2

2

3

3

a

a

.

.

=

2

₂

3

a

* Tính: SM =

2

3

a

(



 SOM tại O) * Tính: BM =

3

a

(



 SMB tại M)

<i><b>Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vng.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ</b>
<b>b) Tính thể tích của khối trụ</b>

HD: a) * Sxq = 2



Rl = 2



.OA.AA’ = 2



.R.2R = 4



R2

* OA =R; AA’_{= 2R}

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4



R2 +



R2 = 5



R2

b) * V = R h2 ₌.OA .OO2 ₌.R . R2 2  2 R3

C

M
a 2

S

B

A O

A

B
O

O'
A'

B'

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<i><b>Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.</b></i>

a)

<i><b> Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ</b></i>

<b>b) Tính thể tích của khối trụ</b>

<b>c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính </b>
<b>diện tích của thiết diện được tạo nên</b>

HD: a) * Sxq = 2



Rl = 2



.OA.AA’ = 2



.5.7 = 70



(cm2)

* OA = 5cm; AA’_{= 7cm}

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70



+ 50



= 120



(cm2)

b) * V = R h2 ₌.OA .OO2 ₌



_.52_{.7 = 175}

_

_(cm3₎

c) * Gọi I là trung điểm của AB  _{OI = 3cm}

*

S

ABB A  = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)

* AA’_{= 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8}

* Tính: AI = 4(cm) (



 OAI tại I)

<i><b>Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r</b></i> 3

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ</b>
<b>b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho </b>

<b>c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho góc giữa </b>
<b>đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300_{. Tính khoảng cách giữa đường}</b>
<b>thẳng AB và trục của hình trụ</b>

HD: a) * Sxq = 2



Rl = 2



.OA.AA’ = 2



.r. r 3 = 2 3



r2

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2



r2 3 + 2



r2 = 2 (

3 1



)



r2

b) * V = R h2 ₌.OA .OO2 ₌.r .r2 3 r3 3

c) * OO’_//AA’ _

BAA





_{= 30}0

* Kẻ O’_H__A’_B_ _O’_{H là khoảng cách giữa đường thẳng AB}

và trục OO’_{của hình trụ}

* Tính: O’_{H =}

3

2

r

(vì



_BA’_O’_{đều cạnh r)}

* C/m: _BA’_O’_{đều cạnh r * Tính: A}’_{B = A}’_O’_{= BO}’_{= r}

* Tính: A’_{B = r (}



_ _AA’_{B tại A}’₎

<i><b> Cách khác: * Tính O</b></i>’_{H =}

O A

 

2



A H



2 ₌

2

2

3

4

2

r

r

r 



(



 A’O’H tại H)

* Tính: A’_{H =}

2

A B



=

2

r

* Tính: A’_{B = r (}



_ _AA’_{B tại A}’₎

<i><b>Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường trịn tâm O và O</b></i><b>’_{, bán kính R, chiều}</b>
<b>cao hình trụ là R</b>

2

<b>.</b>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ</b>
h

r

l

B'
A'
O'

I

O B

A

r 3

H
A

B
O

O'
A'

r

R 2
R

A' O'

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>b) Tính thể tích của khối trụ</b>

HD: a) * Sxq = 2



Rl = 2



.OA.AA’ = 2



.R. R

2

= 2

2 

R2

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2

2 

R2 + 2



R2 = 2 (

2 1



)



R2

b) * V = R h2 ₌.OA .OO2 ₌



.R .R

2

2



R

3

2

<i><b>Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm.</b></i>

<b>a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ</b>
<b>b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho </b>

<b>c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường trịn </b>
<b>đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ</b>

<i>( Cách giải và hình vẽ như bài 14)</i>

ĐS: a) * Sxq = 2



Rl = 5000



(cm2) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000



+ 5000



= 10000



_(cm2₎

b) * V = R h2 _{= 125000}



_(cm3₎

c) * O’_{H = 25(cm)}

<i>Bài 2: Mặt cầu (1 tiết)</i>

<i><b>Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC), </b></i>



<b>_{ABC vuông tại B}</b>

<b>và </b>

<b>AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D</b>

<b> b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu</b>

HD: a) * Gọi O là trung điểm của CD.
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;

* Chứng minh: _{DAC vuông tại A} _{OA = OC = OD =}

1

2

_CD

(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

* Chứng minh:



_{DBC vuông tại B} _{OB =}

1

2

_CD

* OA = OB = OC = OD =

1

2

_CD _{A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O;}

2

CD

)

b) * Bán kính R =

2

CD

=

1

2

AD

2



AC

2 ₌

1

2

AD

2



AB BC

2



2

=

1

2

2 2 2

5

2

25

9

16

2

a

a



a



a



O
D

C

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

* S =

2

2

5

2

4

50

2

a

_a







_

_









_{; * V =}

4

3 

_R3₌

3

3

4

5

2

125 2

3

2

3

a

a





_



_

_







<i><b>Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.</b></i>

<b>a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S</b>

<b>b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu</b>

HD: a) Gọi O là tâm hình vng (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS

b) R = OA =

2

2

a

; S = 2a2

_

_{; V =}

3

₂

3

a 

<i><b>Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vng cạnh bằng a. SA = 2a và </b></i>

<b>vng góc với mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S</b>

<b> b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt </b>
<b>cầu</b>

HD: a) * Gọi O là trung điểm SC

* Chứng minh: Các



_SAC,



_SCD,



_SBC

lần lượt vuông tại A, D, B

* OA = OB = OC = OD = OS =

2

SC

 _S(O;

2

SC

)

b) * R =

2

SC

=

1

2

SA

2



AB BC

2



2 ₌

6

2

a

* S =

2

2

6

4

6

2

a

_a







_

_

 





_{; * V =}

3
3

4

6

6

3

2

a

_a







_

_







<i><b>Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC </b></i>

<b>= c và ba cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối </b>

<b>cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.</b>

HD: * Gọi I là trung điểm AB. Kẻ



_{vng góc với mp(SAB) tại I}

* Dựng mp trung trực của SC cắt _{tại O} _{OC = OS (1)}

* I là tâm đường tròn ngoại tiếp



_{SAB (vì}



_{SAB vng tại S)}

 _{OA = OB = OS (2)}

* Từ (1) và (2)  _{OA = OB = OC = OS}

Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)

* R = OA =

2 2

2 2

2

2

SC

AB

OI



AI





_



_





_



_









₌

2 2 2

4

a



b



c

2a

a
S

O

D

C
B

A

c

b

a _I

O
S

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

* S =

2

2 2 2

2 2 2

4

4

a

b

c

_(a

_b

_{c )}



_

_







_



_











* V =

3

2 2 2

2 2 2 2 2 2

4

1

3

4

6

a

b

c

_(a

_b

_{c ) a}

_b

_c



_

_





_

_

 













</div>

<!--links-->