Đặc trưng của toán tử khả nghịch dạng suy rộng và ứng dụng giải các bài toán biên tương ứng

DAI HOC QUOC GIÀ HA NOI
•

•

•

TRNG DAI HOC KHOA HOC TU NHIÉN

PHAMTHIBACHNGOC

OÀC TRJNG CUA TOÀN l\i KHA NGHICH DANG SUY RỊNG
t

f

ff

VA (JfNG DUNG
GIÀI CÀC BÀI TỒN BIÉN T U O N G (JfNG

LUAN AN TIEN SÌ TOAN HOC
Chuyén ngành : Gìài tich
M a s 6 : 1.01.01
TRil'iGli'-^l riìCNi'jTiij r;-iL[v^^;,i

WUJJWI
TÀP THÈ H U O N G DAN KHOA HOC
•

•

GS.TSKH.

IMGUN VÀN

MÀU

TS. N G U Y Ì N M I N H T U À N

HA NOI 2001

t


M U C LUC

hcfì c a m d o a n

1

M u c lue

2

Càc ky hieu dring t r o n g l u a n à n

3

MÒ d a u

5

-. ChiTo^ng I. D a c triTng cùa t o à n tii k h à nghich p h à i suy r o n g

10

1.1. Toàn t u khà nghich phài suy rong

10

1.2. Càc còng thuc noi suy co bàn

24

1.3. Cịng thuc bieu dién nghieni cua phuong trình sinh bịi tồn tu
khà nghich phài suy rong

34

Chu'o^ng I I . M o t so bài t o à n bién doi vó'i pIiLTo'ng t r ì n h sinli
bị'i t o à n tT3f k h à nghich p h à i suy r o n g

51

2.1. Bài toàn già tri ban dau

51

2.2. Bài toàn già tri bién ca bàn

CI

2.3. Bài (.ồn già tri bién hón hgp thu nhat

73

2.4. Bài tồn già tri bién hón hgp thu hai

84

2.5. Nhan xét ve bài tồn già tri bién tịng qL

92

Chiro'ng I I I . M o t so k é t q u a ve t o à n tiV k h à ngh:ch pliài suy
r o n g b a c cao

LOG

3.1 Toàn t u khà nghich phài suy rong bac cao
" 3.2. Dieu kien khà nghich phài suy rong bac cao ciìa tồn t u dai so .

100
.

107

3.3. Dac trung Volterra cua da thuc vai toàn tu khà nghich phài suy
rong bac cao

Ili

3.4. Nghiéni cua phuong trình sinh beri tồn tu khà nghich phài suy
rong bac cao

.

.

.

."

117

Két luan

122

C à c cịng t r ì n h d à cịng bo Hén q u a n d é n l u a n à n

123

T à i lìeu t h a m k h à o

124

Lò'i c à m o'n

126

M U C LUC

hcfì c a m d o a n

1

M u c lue

2

Càc ky hieu dring t r o n g l u a n à n

3

MÒ d a u

5

-. ChiTo^ng I. D a c triTng cùa t o à n tii k h à nghich p h à i suy r o n g

10

1.1. Toàn t u khà nghich phài suy rong

10

1.2. Càc còng thuc noi suy co bàn

24

1.3. Cịng thuc bieu dién nghieni cua phuong trình sinh bịi tồn tu
khà nghich phài suy rong

34

Chu'o^ng I I . M o t so bài t o à n bién doi vó'i pIiLTo'ng t r ì n h sinli
bị'i t o à n tT3f k h à nghich p h à i suy r o n g

51

2.1. Bài toàn già tri ban dau

51

2.2. Bài toàn già tri bién ca bàn

CI

2.3. Bài (.ồn già tri bién hón hgp thu nhat

73

2.4. Bài tồn già tri bién hón hgp thu hai

84

2.5. Nhan xét ve bài tồn già tri bién tịng qL

92

Chiro'ng I I I . M o t so k é t q u a ve t o à n tiV k h à ngh:ch pliài suy
r o n g b a c cao

LOG

3.1 Toàn t u khà nghich phài suy rong bac cao
" 3.2. Dieu kien khà nghich phài suy rong bac cao ciìa tồn t u dai so .

100
.

107

3.3. Dac trung Volterra cua da thuc vai toàn tu khà nghich phài suy
rong bac cao

Ili

3.4. Nghiéni cua phuong trình sinh beri tồn tu khà nghich phài suy
rong bac cao

.

.

.

."

117

Két luan

122

C à c cịng t r ì n h d à cịng bo Hén q u a n d é n l u a n à n

123

T à i lìeu t h a m k h à o

124

Lò'i c à m o'n

126


CAC KY HIEU DUNG TRONG LUAN AN

IN - Tàp hgp càc so t u nhién
JN* - Tàp hgp càc so nguyén duong
C^ C - Truàng so phue, truò-ng so phuc raò rong
]R - Truàng so thuc
X - Khòng gian tuyen tinh trén truò-ng so R hoac C
X' - Khòng gian doi ngàu vó-i X,
L{X) - Tap hgp càc tồn tu tuyen tmh vó-i niien xàc dinh va mien già tri
dugc cliua trong X

doni A, {A E L{X)) - Mien xàc dinh cua toàn tu A
Im A, {A e L{X)) - Mien già tri cua toàn tu A
Lo{X) := {A G L{X) : doni A = X}
kerA = {x e doni A : A{x) = 0}
dim coker A = dim {X \ k e r ^ }
dim X - So chieu cua khòng gian X
rank G - Hang cua ma tran G
det G - Dinh thuc cua ma tran G
I - Tồn t u dịng nhat
R{X) - Tap hgp càc tồn tu khà nghich phài thuòc L{X)
TZo - Tap hgp càc nghich dào phài cua D G R{X)
A{X) ~ Tap hgp càc tồn tu khà nghich trai thc L{X)
Ci ~ Tap hgp càc nghich dào trai ciia L G A{X)
W{X) - Tap hgp càc tồn tu khà nghich suy rong thc L{X)
Wy - Tap hgp càc nghich dào suy rong cua V G W{X)
R\{X)

- Tap hgp càc toàn tu khà nghich phài suy rong thuòc L{X)

TZy - Tap hgp càc nghich dào phài suy rong ciia V G R.i{X)

n\)^ = {IV e ni -. wvw = w, vw^ = w}
Tv - Tap hgp càc toàn t u ban dau phài cua V
Qy - Tap hgp càc toàn tu ban dau trai cua V
Ty^w ' Tap hgp càc toàn tu' ban dau phài cua V co tinh chat c{W)


^VyWc ' T à p h g p càc toàn t u ban dau phài cua V co tmh chat
Rk{X)

- T a p h g p càc toàn t u khà nghich phài suy rong bac k

TZy - T a p h g p càc k- nghich dào phài suy rong cua V G
TÓ^^ = {W G n^

: WVW

Rk{X)

= W}

V{X)

- T a p h g p càc toàn t u Volterra thc

A^{X)

- T a p h g p càc tồn t u dai so thuòc

C

cc{W)

L{X)
L{X)

[a, b] - Khòng gian càc liàm so co dao hàni lién tue dén càp A'^ trén [a, b]

r - D u à n g tròn d a n vi trong mat phang p h u c
D~^ - Mien hiru han trong mat phang gió*! han bị'i F

D' = c\{D-^ur)
H^{r)

- Khịng gian càc hàm giói noi va thòa man dieu kien Holder trén F vai

s o niU ^i ( 0 < yLi < 1 ) .

6ij - Ky hieu Kronecker


MÒ^ D A U

Ly t h u y é t càc toàn t u khà nghich mot phia khcri d a u tii' càc y tuò'ng cua
Micusinski va d u g c Przeworska Rolewicz D. xày d u n g lan dau tién vào dau
nhirng nani 70, là mot trong càc linh vuc nghién cuu quan trong d a t ca sa khài
quàt dai so cho n h u n g bài toàn cua Giài tfch nhu: p h u o n g trình vi phàn, p h u o n g
trình tich phàn, p h u o n g trình dao hàm riéng, p h u o n g trình sai phàn, càc bài
tồn nói suy, ...
Ngay sau khi ra dịi, h u ó n g nghién cuu này d à thu hut d u g c su chù y cua
nhieu nlià toàn hoc. N h u n g két qua quan trong ve ly thuyét toàn t u khà nghich
mot phia ciìa Przeworska Rolewicz D. ([17]- [22]), Tasclie M. ([25]-[26]), Von
Ti-otha H. ([27]), Nguyén Vàn Mau ([7]- [12]), Binderman Z. ([3]- [4]), ... cho
t h à y nhiéu bài toàn riéng ré cua giài tich co the bieu dién 6u'ac d u a i dang mị
liình cliung va co the d u g c nghién cuu theo nhirng t h u à t toàn co bàn tong quàt.
Cliang han, càc bài tồn noi suy Lagrange, nói suy Newton, noi suy Hermite va
mot so bài toàn bién trong Giài tich co the d u g c xeni nliu là càc tr'ng h g p
dac biet cua bài tồn già tri bién vói nhirng dieu kien ban d a u t u o n g thich va
càc p l i u a n g trình vi phàn, p h u o n g trình sai phàn, p h u o n g trình dao hàm riéng,
... co the d u g c xeni nhu là p h u o n g trình sinh boi tồn t u khà nghich phài. Hon

nira, nhiéu két qua cua ly thuyét càc toàn t u khà nghich mot phia d à dóng góp
mot phàn quan trong vào viec hoàn chinh ly thuyét Noether càc toàn t u tuyén
tmh.
Ta biét rang, nioi toàn t u tuyén t m h tàc dòng trong mot khòng gian hiru
han cliiéu hoac khà nghich hoac khà nghich suy rong n h u n g khòng khà nghich
phài t h u c su. T u do ly thuyét càc toàn t u khà nghich suy rong ra dòi (xeni
Dinh nghia 1.1.3) va d u g c nhiéu nguòi quan t à m nghién cuu n h u Anselone P.
M., Nashed M. Z. ([1], [24]), Ben-israel A. va GreviUe T. N. E. ([2]), Caradus S.
R. ([5]), Nguyén Vàn Mau ([10], [11]), ... Tuy nhién co r a t nhiéu t m h chat quan
trong ciia n h u n g toàn t u quen biét trong Giài tich nhu: toàn t u d a o hàm, toàn
t u sai phàn, toàn t u vi phàn, ... khòng d u g c the hien n h u là nhirng dac t r u n g


ca bàn n h a t ciia toàn tu' khà nghich suy rong.
Vào n à m 1996, Nguyén Vàn Mau va Nguyén Minh T u a n ([13]-[14]) d à d u a
ra khài niem ve toàn tu* khà nghich phài suy rong (xem Dinh nghia 1.1.4) va
nghién cuu mot so t m h chat cua no. Co the nói rang t a p h g p toàn t u khà nghich
phài suy rong nani giira tap h g p toàn t u khà nghich phài va t a p h g p toàn t u
khà nghich suy rong. T a p h g p toàn t u khà nghich phài suy rong chua t à t cà càc
toàn tu' khà nghich phài va nhiéu toàn tu' quen biét nhu: toàn t u chiéu, toàn
tu' vi tich phàn, mot so toàn t u dai so va toàn t u trong khòng gian hiru han
chiéu,...
Muc tiéu ciia luan àn này là tiép tue nghién cuu mot so t m h chat mói cua
tồn tu' khà nghich phài suy rong V nhu: nghién cuu càu triic khòng gian hach
va khòng gian ànli cua V^ ... Tiép theo nghién cuu mot so tinh chat cua toàn
(;u khà nghich phài suy rong bac cao va d u a ra viec phàn lóp càc tồn t u tun
tmh theo dị khà nghich cua no. Bc d a u nghién cuu mot so dac t r u n g cua
toàn t u khà nghich phài suy rong bac cao.
Viec nghién cuu tình chat c{R) va ung dung vào giài mot so bài toàn bién
va bài toàn noi suy tong qt sinh bịi tồn tu' khà nghich phài vói he tồn

t u ban dau co tinh chat do d à d u g c Przeworska-Rolewicz D. va Binderman Z.
nghién cuu (xem [18], [4]). Sau do Nguyén Vàn Mau va P h a m Quang H u n g d à
m ó rong tinli chat c{R) tliành t m h chat CG{R)

va d u a ra còng t h u c nghiem cua

bài tồn nói suy tong qt sinh bịi tồn tu* khà nghich phài vói he tồn t u ban
d a u co tinh chat CQ{R)
c{W) va ca{W)

(xem [15]). Luan àn này tiép tue xày d u n g t m h chat

ciia toàn t u ban dau phài cua V, tìx dị d u a ra mot so dac t r u n g

mói cua he toàn t u ban dau phài cua V co tinh chat c{W) va

CG{W).

Sau dò

d u a ra càcli giài bài tồn nói suy tong qt sinh bịi V vói he toàn t u ban dau
phài co t m h chat c{W) va CG{W)

m a mot so bài toàn noi suy co dién nhu: nói

suy Lagrange, nói suy Newton, nói suy Hermite d u g c xem n h u là càc t r u ó n g
h g p riéng dac biet.
P h u a n g trình sinh b ò i toàn tu' khà nghich phài D va càc bài toàn bién
6

tuang ung dang
N

Q{D)x := J2 ^-^"^ = y ^ y ^ x

(o-o-i)

n=0
N

Q{D)x := J2 D^'AnX ^y^

yeX

(0.0.2)

n=0

dà dugc Przeworska Rolewicz D. nghién cuu (xem [18]). Sau do, trong [11]
Nguyén Vàn Mau dà nghién cuu lóp phuang trình dang
M

N

Q[D]x ~J2Y^

D'^AmnD'^x

= y, yeX

(0.0.3)

771=0 n = 0

Luan àn này dua ra càch giài phuong trình sinh bịi tồn tu' khà nghich phài
suy rong V dang
M

N

Q[V]x -J2Y1

y^^muV^x

= y^yeX

(0.0.4)

Tn=0 71=0

ó day AMN

= L Amn ^ Lo{X), Amn^N-n

C X ^ , Xm ~ dom V^. Sau dò

nghién cuu tmh giài dugc cua mot so bài toàn bién doi vói phuang trình (0.0.4)
thịng qua do khà nghich (khà nghjch, khà nghich phài, khà nghich trai, khà
nghich suy rong) cua toàn t u giài tuang ung va àp dung vào giài mot so lóp

phuang trình nhu phuang trình vi tich phàn hàm, phuang trình tich phàn ky
di,...
Luan àn goni ba chuang
Chuang I nghién cuu dac trung cua toàn t u khà nghich phài suy rong.
Chuang này gom 3 muc. Muc 1.1 gòm 2 tiét : Trong tiét 1.1.1 dua ra dinh
nghia va mot so tinh chat ciia toàn tu' khà nghich phài suy rong V, toàn tu ban
dau phài va trai cua V, xày dung càu triic khòng gian k e r V ^ va d o m ì / ^ ; tiét
1.1.2 xày dung tinh chat c(W) va CG{W) cua tồn t u ban dau phài ciìa V sau
dị xày dung mot so dac trung mói cua he toàn tu' ban dau phài cua V co tmh
chat c(W) va CG{W) làm ca so de giài mot so bài tồn bién va bài tồn nói suy


ò càc muc sau. Muc 1.2 d u a ra càch giài bài toàn noi suy tong q u à t sinh bai
toàn t u khà nghich phài suy rong V vói he tồn t u ban dau phài co t m h chat
c{W)

va CG{W)

va àp dung bài toàn này d u a ra d u g c mot so cịng t h u c noi

suy ca bàn nhu: nói suy Lagrange, noi suy Newton, noi suy Hermite. Muc 1.3
nghién cuu càch giài p h u a n g trình sinh bịi tồn t u khà nghich phài suy rong V
dang (0.0.4) va ung dung vào giài p h u o n g trình tich p h à n ky di, p h u a n g trình
vi tich phàn hàm, ...
C h u a n g II d u a ra càch giài mot so bài toàn bién doi vói p h u a n g trình dang
(0.0.4). C h u a n g này goni 5 muc. Muc 2.1, nghién cuu bài tồn già tri ban dau
doi vói toàn t u (5[^], t u e là tini nghiem cua p h u a n g trình (0.0.4) tlióa man dieu
kien ban dau (2.1.1). Muc 2.2, néu càch giài bài tồn già tri bién ca bàn doi vói
tồn t u Q[ì^], t u e là tini nghiem cua p h u a n g trình (0.0.4) thịa man dieu kien
bién (2.2.1). Muc 2.3, nghién cuu bài toàn già tri bién hón h g p t h u n h a t doi vói

tồn tu' Ql^]? t u e là tini nghiem cua p h u a n g trinh (0.0.4) thòa man dieu kien
bién (2.3.1). Muc 2.4, nghién cuu bài tồn già tri bién hón h g p t h u hai doi vói
tồn t u Q[K], t u e là tini nghiem cua p h u o n g trinh (0.0.4) thòa man dieu kien
bién liòn h g p (2.4.1). Cuoi cìmg, muc 2.5 nghién cuu bài tồn già tri bién tong
qt doi vói tồn t u Q[l^], t u e là tini nghiem cua p h u a n g trinh (0.0.4) thòa
man dieu kien ban dau (2.5.1). Ĩ mói bài tồn déu d u a ra dang cua toàn t u
giài, dieu kien de bài toàn tliiét lap diing d à n va vi du àp dung vào giài p h u a n g
trình vi tich phàn hàm co dieu kien trong giài tich.
C h u a n g III trình bay mot so két qua ve toàn tu* khà nghich phài suy rong
bac cao. C h u a n g này goni 4 muc. Muc 3.1 trinh bay khài niem toàn t u khà
nghich phài suy rong bac k (k G W ) (a day coi toàn t u khà nghich phài va
khà nghich phài suy rong là toàn t u khà nghich phài suy rong bac 0 va bac 1),
tìi" do dàn dén viec phàn lóp càc tồn t u tun t m h theo t ù n g dò khà nghich
cua no (khà nghich, khà nghich phài, khà nghich phài suy rong, khà nghich suy
rong bac k {k > 1), khà nghich suy rong). Dac biét trong muc này chi ra rang,
toàn t u khà nghich suy rong bac cao co nhiéu tinh chat quan trong t u a n g t u
n h u toàn t u khà nghich phài d à biét. Khài niem toàn t u ban d a u phài va trai
cua toàn t u khà nghich phài suy rong bac cao d u g c xày d u n g giong n h u toàn


t u ban dau phài va trai ciia toàn t u khà nghich phài suy rong. Ben canli mot
*

so tinh chat quen thuòc n h u còng t h u c Taylor-Gontcharov, còng t h u c Taylor,...
con co mot so t m h chat mói cua tồn t u ban dau phài suy rong bac k (nhu
Dinh ly 3.1.5, 3.1.6). Trong muc 3.2, d u a ra diéu kien càn va du de tồn t u dai
so trong khịng gian hiru han chiéu là toàn t u khà nghich phài suy rong bac k,
diéu dac biet là nioi toàn t u dai so S khà nghich phài suy rong bac k ung vói
A:-nghich d à o phài W déu co tinh chat

SW^-^^ = W^; S^W^S^

theo, muc 3.3 nghién cuu dac t r u n g Volterra cua da t h u c P{V)
vói V G Rh{X)

- S^.

dang (3.3.2)

va To dang (3.3.3) là nghich dào suy rong Volterra cua

day là su m ó rong t r u c tiép diéu kien khà nghich phài cua d a t h u c P{D)
D E R{X)

Tiép
P{V)^
vói

d à d u g c càc nhà toàn hoc Przeworska Rolewicz D. va Von Trotha H.

(xem [18]) khào sàt nani 1988 doi vói he so hàng, sau dò vào nani 1992 Nguyén
Vàn M a u d à tong quàt cho t r u à n g h g p he so là toàn t u dai so dìrng (giao hồn
vói D va i?)(xeni [11]). Trong muc 3.4 d u a ra càch giài mot so p h u a n g trinh
vói tồn t u khà nghich phài suy rong bac cao.
Càc két qua cua luan àn d u g c nghién cuu bang p h u a n g pliàp cua Giài tich
- Dai so. Càc két qua ca bàn cua luan àn d à d u g c dang va nhan dang ó càc tap
chi chuyén ngành ([l]-[9]) va d à d u g c bào cào tai càc Hòi nghi Khoa hoc va càc
Xéniina sau;
- Hịi nghi tồn quoc làn t h u n h a t ve IJng dung Toàn hoc, 12-1999.
- Hòi nghi P h u a n g trinh dao hàm riéng va ITng dung, Vien Tồn hoc, 121999.

- Hịi nghi Khoa hoc T r u à n g Dai hoc Khoa hoc T u nhién. Dai hoc Quoc già
Ha Noi, 11- 2000.
- Xémina Giài tich - Dai so, Khoa Toàn - C a - Tin h9c T r u à n g Dai hoc
Khoa hoc T u nhién. Dai hoc Quoc già Ha Nói.
- Xémina P h u a n g trình dao hàm riéng, lién t r u à n g Dai hoc Bach khoa Dai hoc Khoa hoc T u nhién.

9


Chu-ang I
D A C TRITNG C U A T O A N Tl> K H À N G H I C H P H À I S U Y R O N G

Nói dung cua chuang này nghién cuu dac trung cua toàn tu khà nghich
phài suy rong. Trong muc 1.1, dau tién chiing tòi dua ra càc dinh nghia ve toàn
tu khà nghich phài suy rong V, toàn tu ban dau phài, toàn t u ban dau trai cua
V va mot so tinh chat mói ciìa V sé dugc ung dung vào giài phuang trinh ò*
muc 1.3. Sau dò xày dung tinh chat c{W) va CG{W) cua toàn tu ban dau phài
cua V dong thài dua ra mot so dac trung mói cua he tồn tu ban dau phài co
tmh chat trén. Vàn de giài bài toàn noi suy tong qt sinh bịi tồn tu khà
nghich phài suy rong V vói he tồn tu ban dau phài co tinh chat c{W) hoac
CG{W) va thuat tồn xày dung cịng thuc noi suy co bàn cua mot so bài toàn
noi suy co dien dugc trình bay trong muc 1.2. Cuoi cùng, trong muc 1.3 chiing
tịi dua ra càch giài phuang trình tuyén tinh sinh bai toàn tu khà nghich phài
suy rong V.
1.1. T o à n ti3f k h à n g h j c h p h à i s u y r o n g
Già su X là khòng gian tuyén tinh trén truàng so /C, K, — M hoac K", = C
Ky hieu L{X) là tàp hgp tàt cà càc tồn tu tun tmh tàc dịng trong X va
Lo{X) = {A ^ L{X) : dom A = X}. Ta co Lo{X) là mot dai so vói don vi / .
1.1.1. Dinh nghia va tfnh c h a t c ù a t o à n tu k h à n g h i c h p h à i suy r o n g
Dinh nghia 1.1.1. [18] Toàn tó D e L{X) dicqc ggi là khà nghich phài néu

ton tqi toàn hi R e Lo{X) sao cho Im i? C doni D va DR, = I. Toàn tu R.
dica e ggi là nghich dào phài cua D.
Tàp hgp càc toàn tu khà nghich phài trong L{X) dugc ky hieu là

R{X).

Tap hgp càc nghich dào phài cua D G R{X) dugc ky hieu là Ti-oDinh nghia 1.1.2. [18] Toàn tu L 6 Lo{X) duqc ggi là khà nghich trai néu
ton tqi toàn té A E L{X) sao cho Ini L C dom A va AL = I. Toàn tu A duac
ggi là nghich dào trai cua L.
10


Tàp hgp càc toàn tu khà nghich trai trong L{X) dugc ky hieu là

A{X).

Tap hgp càc nghich dào trai cùa L G A{X) dugc ky hieu là Ci.
Dinh nghia 1.1.3. [11] Toàn tu V G L{X) dicqc ggi là khà nghich suy róng
néu ton tqi W G L{X) sao cho Im F C dom W, Ini W C doni V va VWV

= V

trén dom V. Toàn té W dicqc ggi là nghich dào suy rong cua V.
Tap hgp càc toàn tu khà nghich suy rong trong L{X)
W{X).

dugc ky hieu là

Tàp hgp càc nghich dào suy rong cua V G H^(X) dugc ky hieu là Wy.

Dinh nghia 1.1.4. [13] Toàn tu V G W{X)

duqc ggi là khà nghich phài suy

rong néu ton tqi W G Wy sao cho Ini {VW - / ) C kerl/, (tiic là V'^W = V).
Toàn té W dicqc ggi là nghich dào phài suy rong cua V.
Tap hgp càc toàn tu khà nghich phài suy rong trong L{X) dugc ky hieu là
Ri{X).

Tap hgp càc nghich dào phài suy rong cua V dugc ky hieu là 7?.|/. Tue

là

nl = {weL{x):

vwv = v, vHv = v}.

(i.i.i)

Tir càc dinh nghia trén, de dàng suy ra càc bao hàm thuc sau
R{X) C Ri{X)

C W{X),

A{X) C

W{X).

Ky hieu

n^^^ = {wenl:

wvw = w, vw^ = w}.

M e n h d e 1.1.1. Vài moi V G Ri{X)

(1.1.2)

deu ton tqi W G 7^Sj^

Chung minh. Do ^ G Ri{X)

nén ton tai Wi G n\, sao cho VW^V = V, V'^Wx =

V. Néu dat W = VW^VWx

thi de dàng Idem tra thay W G 7?/J\

M e n h d e 1.1.2. Cho V E Ri{X),

i)
ti)

W^... ,Wn ETéy\

y^-'^
V^W^ . • • W,, = { VWn
14^,,,+1 ---Wn
V'^Wi---WrnV'''

Vài m,n e IN\ ta co
khi m > n,
khi m - n,
khim < n.

= V''\

Chung minh. i) Néu m = n = 1 thi i) hien nhién diing.
11


Néu m = n > 2 thi
V^Wi •••Wn = V'^-^{V^Wi)W2 • • • Wn
= V'^-^W2--'Wn

= ••• = VWn.

Néu VI < n thi

V^W, • • • Wn = {V'^W, • • • Wrr,.)W^,+i • • • w,, = vw„,w^+,
= {VWr„y)Wl^,

• • • w„,

• • • Wn = H/„,+ i • • • Wn.

Néu m > n thi
V^'Wi • • • Wn = V"'-"{V"Wi

• • • Wn) = V"'-"VWn

= V"""".

ii) Theo i) ta co
V^Wi • • • WmV"" = {vWmy)^^^^

=

v^.

Dac biet, khi Wi = • • • = Wn ta nhan dugc két qua quen thuòc sau:
M e n h d e 1.1.3. [13] Cho V 6 Ri{X)
( F'"-"
i) F'"H/'^ = <^ VW
l ly"-"

va W e u'yK

khi m > n,
khi m = n,
khi VI < n.

D i n h ly 1.1.1. ([11], [13]) Già sic A,B

Vài m,ne

N*, ta co

H) y " ' H / ' " F ' " = F"^.

e L{X) sao cho Im A e dom B va

Im B C dom A. Khi dà I + AB lan luqt là khà nghich phài, khà nghich trai, khà
nghich. suy róng, khà nghich. phài suy róng va khà nghich khi va chi khi I + BA
tieang ung là khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy róng, khà nghich
phài suy róng va khà nghich. Han mìa, néu RAB
WAB

e Wi+AB, w\s

e 7^J+4i? ^à (I + AB)-^

REA

= I - BRAB^

€ T^I+BA,

WBA

= I -

e W,+BA,

{I + BA)-'

=I-B{I

BWABA

+ AB)-'A

G 7?.J^.AB,

e UJ+AB^CI+AB,

LBA = I - BLABA

Wl^ =1-

e TZj+BA n CJ+BA12

LAB

BW\„A

G Cf.^.AB,

thi
G

CJ+BA,

e 7?,] + ^^,


D i n h n g h i a 1.1.5. (cf [11]) Toàn tu F G L{X)
'

phài dia V G Ri{X)

duqc

ggi là tồn tu ban dau

ung vói W G 7?.|j' néu thòa m,àn càc diéu kien sau day:

F^ = F, Ini F - ker V, FW = 0 trén

doni W.

Ky liiéu J-y là t a p liop càc toàn tu' ban dau phài ciìa V.
M e n h d e 1.1.4.

(cf [11]) Néu F là toàn tv; ban dau phài cua V

ung vai

W G n\^^ thi
ij Fz — z vói m.gi z G ker V,
a) VF = 0 trén doni F,
in) kevFnkeiV
D i n h ly 1.1.2.
V G Ri{X)

^ {0}.
(cf [11]) Toàn tu F G L{X)

là toàn tu ban dau phài

ring vói W G 7^S^^ khi va chi khi F = I - WV

cua

trén doni V.

D i n h ly 1.1.3. (cf [11] Gòng t h u c Taylor - Gontcharov)
Néu {is,}7:=o,...,N-i ià càc toàn tu ban dau phài cua V G R]{X)
vói {TV'^i}i=o,...,yv-i C Ry

sao cho Ini Wj C doni Wj^\,

tuang

ung

(j — 1 , . . . , A^ — 1), thi

trén dom V^ ta co

/ - Fo + ^

Wo • • • Wi-iFiV'

+ Wo • • •

Wj^.iV^,

i=ì

D i n h ly 1.1.4.

Cho V G Ri{X)

va VFo, • - •, ^ ^ N - i ^ T^y^ sao cho Ini Wj C

doni H ' j - i : (j = 1, - . . , A/' — 1). Khi do ta co
N-l

i) ker V^ = IxeX

: x ^ Zo + J^ ^^^^o ' • • Wk-iZ'k,

ii) doni V^ = Wo • • -WN-IV^Xj^

ekevV^,

z^ G ker V i ,
X^

: - d o m V^,

(1.1.3)
(1.1.4)

N-1

xeX

:x = Wo--- Wp^^iy + J ] H^o • • • Wk^xZf,, y G

V^X^

;

Chiing

minh.

i) Néu X G k e r T / ^ thi V^x

= 0.

Già su FQ, . .. , F/v-^i làn l u o t là càc

toàn tu' ban d a u phài cua V ung vói WQ, . - . , Wjsf-].
13

Theo cịng t h u c Taylor-


Gontcharov ta co
N-X

x = FoX+^Wo-"

Wk-iF^V^x

+ P^o • • •

W^-iV'x.

k=l

Dat 2fc = FkV^x, {k = 0,...,N

-1),

hien nhién Zf, G ker V. Tir do suy ra

N
N -- ll

= zo-\-J2Wo---Wk^iZf,,

(1-1.5)

Nguac lai, già su x co dang (1.1.5), khi do
7V-1

N-l

V'^x = V^'zo + F ^ 2 ] 1^0 • • • W,.rz,

= V'^zo + J^ ^""'"'^

k=X

= 0"

k=l

Vày X G k e r F ^ . Gòng thuc (1.1.3) duac chung minh,
ii) Già SU' X G dom V^. Dat x = u + v vai u ~ WQ - • • Wj^^xV^x,
{I -

Wo--- WM-IV^)X.

Khi

Wo - - - Wi^-iV^XN-^kerV^,
thi ton tai x G dom

dò u G VKo • • • WN-IV^XJ^,

V^V

= 0 va X G

Mat khàc, néu y G T^o • • • WN-IV^X^^

V^ vk z e ker V^ sao cho y = VFQ • • • W ^ A ^ - I ^ ^ X + z.

dị F ^ y = V^Wo • • • WM-IV^X

+ V^z = V^x.

Già su rang u G T^o " • " WN^IV^XN
sao elio n = V7o • • • WN-IV^V
V^v = V^Wo - - • WN-IV^V

Suy ra y G dom

nkerV^.

v =

+kevV^
Do

V^.

Khi dò ton tai v G dom V^

va F ^ u = 0. Mat khàc, tir
= V^u = 0 suy ra n = 1^0 • • • Wpj-iV^v

= 0. V

vày PFo---VF;v-iV^^^7vnkery^ = {0}. Gòng thuc (1.1,4) duac chung minh.
iii) Suy truc tiép tir i) va ii).
Dac biet, khi WQ = • • • = W A ^ - J , ta co càc he qua sau:
H e q u a 1.1.1. (cf [11] Gòng thuc Taylor)
Néu F G L{X)
W G n[^\

là toàn té ban dau phài cua V G R\{X)

thi vói moi N e N* ta co
7V-1

I=Y1

W'FV' + W^V^
7=0

14

trén dom V^.

tuang lìng vói


H e q u a 1.1.2. Néu V G Ri{X),

W G R\]^

{

: x=
x=J2^^^
) _ ^ Wz^,

ii) dom V^ =

W^V^XN®keiV^,

i) kevV^

thi

N-l

x^X
=U^X:
l

z^ G kexV ) ,

k=0
k-o

iii) dom V^ = ìxeX
[

: x:=W^y+

^ M/'^^fc, Zk G k e r F ,
k=0

D i n h n g h i a 1.1.6. (cf [11]) Toàn tic G G L{X)
trai cua V G Ri{X)

tuang

ung vói W G Ry

duqc

geV'^Xr,})

ggi là tồn tu ban dau

néu thịa m.àn càc dieu kien sau

day:
G^ = G, Ini G = ker W, GV = 0 trén

dom V

Ky hieu Qy là t à p t à t cà toàn t u ban dau trai cua V.
M e n h d e 1.1.5. (cf [11]). Néu G là toàn té ban dau trai cua V G R\{X)

ring

vói W G n\!r^ , thi
i) Gu = u vói m.gi u G ker W,
il) WG = 0 trén doni G,
iii) k e r G ' n k e r i y = {0}.
D i n h ly 1-1.5. (cf [11]) G G L{X)

là toàn tu ban dau trai cua V G R\{X)

vói W G R.\l^ khi va chi khi G = 1 - VW

trén dom

ung

W.

C h ù y 1.1.1. Khi V là toàn t u khà nghich phài thi tồn t u ban dau phài cua
V trìmg vói toàn t u ban dau dà biét cua toàn t u khà nghich phài va toàn t u
ban d a u trai cua V bang 0.
V i d u 1.1.1. Già su D G R{X),R

G Rp-

vng càp 2 vó-i he so toàn t u n h u sau:

15

Dat K = X x X.

Xét càc m a tran


De dàng kieni tra thày rang Im l^ C doni VF, Im H^ C dom V. Han nira, lai co

kerV = {(.T,c) :x G X , C G kerL>} ^ {(0,0)},
Ini V = {(0,.T), xeX}

Vi vày V eRi{K),

W

g/f.

eR^.

Vi d u 1.1.2, Già SU' X là khịng gian tun tinh tìiy y , P e Lo{X) là toàn tu
chiéu, nghia là P 7^ 0, P 7^ / va P^ == p . Vay P G Ri (X), P G 7^},.
Vi d u 1.1.3. Già SU' X = (7^[a, 6], a < fo < b, to co dinh. Xét càc toàn tu
trén X sau day:
t

{Vx){t) = x^t) - x\to)^

{Wx){t) - Jx{s)ds

- x{to){t - to).

to
t

Khi do, néu dat Z? = — va i? = / , thi V = RD^, W = R^D, DR = I. De
to

kiém tra thay rang VWV
W G

= V, WVW

= W, V^V = V. Vay V e Ri{X)

n\)\

Tlieo càc dinh ly 1.1.2 va 1.1.5, ta co
{Fx){t) = ( ( / - WV)x) (t) = ( ( / - R^D'')x) {t) = .T(^n) + .T'(f„)(t - U),
{Gx){i) = ( ( / - VW)x){t)

( y \ T ) ( 0 = iRD^+'x){t)

= ( ( / - RD)x){t)

= .T«(0 -

= .T(to),

x^'\to),

t

(i-I)!

' '

^"^

z!

«0

(Fy'.T)(i) = -T('+'^(io)(i-io), k e r F = U n { l , 0 , dim ker 1/ = 2.

16

va


Ap dung còng thuc Taylor doi vai mòi x{t) G C^[a,ò], ta co

N-l

x{t) = {Fx){t) + Y,{W'FV'x){t)

+

{W^V''x){t)

i^l
Rr

-1

C

= x{to) + x'itoKt -to)+J2f
1=1

^\7^V^^'"-'HtoKs
{i-l)

;

~ to)ds

co

t

N-l

to

= x((„) + ,T'((„)(( -

(O) + É

x<-">(to)''^~_^°]jj"'

to

i!

~

^"^ • y

^=0

Gms^xx{t)

(iV-1)!

to

eC°°[a,ị] va

N^loJ

(7V-1)! -"^

^^'"^^

^•

to

Khi do
oo

x{t)=Y:^-^xiHto).
1=0

Ghi trén chmh là chi Taylor kliai trién tai t = ÌQ.
1.1.2. Tinh chat c{W) va CG{W) cùa tồn tị ban dau phài
a) Tinh chat c{W)
Dinh nghia 1.1.7. ([20] Przeworska Rolewicz)

17

F^'^

1 . 1 ' . .

•..•

' . . ' - • • • •

'

' •

•

"

'

-

'


Cho D G R{X) va R E RD'

Toàn té ban dau Fo cua D duqc ggi là co tinh

chat c{R) néu vói m.oi k £ Fsf deu ton tai Cf^ E /C sao cho
k

^k

FoR z = -—2 vói moi z G kerZ?.
A;!
Bay già chung ta sé xày dung tinh chat c{W) cho toàn tu' ban dau phài
doi vài toàn tu khà nghich phài suy róng V.
Dinh nghia 1.1.8. Cho V G Ri{X)

va W e Ry.

Toàn té ban dau phài FQ

cua V duqc ggi là co tmh chat c{W) néu vói mói fc G iV deu ton tai dk E IC
sao cho
FQW^Z

= dkZ vói mgi

z G kerK

Tàp hap tồn tu ban dau phài cua V co tinh chat c{W) duac ky hieu là Ty^wM e n h d e 1.1.6. Cho V G Ri{X),

W G n\,,

dim k e r F = 5, (0 < s < +oo) va

( e i , , . , ,65) là mot ca sa cua k e r F . Di^u kien càn va de de toàn té ban dau
phài Fo céa V co tinh chat c{W) là vói mgi k e N deu ton tai d^ E )C sao cho
FoW^ej=dkej,

j = l,...,s.

(1.1.6)

Chiing minh. Hien nhién, néu Fo G J-'y^w thi (1.1.6) duac thòa man.
s

Nguac lai, vài z G kevV thi z = J2 ^j^j ^^^ ^j ^ ^^ tir do suy ra
s

FoW^z = ^
j=i

s

FoW^ajCj = ^

s

ajdkej = dk"^ ajSj = dkZ.

j=i

j=i

Vay Fo G :Fy^w
Dinh ly 1.1.6. Néu dim kevV = 1 thi Tyy^ = Ty.
Chung minh. Già su dim kerV = 1, tue là k e r ^ = Un {e} vài e là ca sa cua
kerV. Do Fo G Ty nén vài moi k e IN deu co FQW^S
•k

dk G /C sao cho FoWe

G

kerX^. Tue là ton tai

= d^e. Vày FQ CO tmh chat c{W) nén Ty^w = T^y •

Vi d u 1.1.4. Cho X — IR va càc toàn tu' tuyén tinh trén X nhu sau:

-(:")•

"-^(oj)' - - ( o i ) '
18

^-(J 0^


De kieni t r a t h à y rang V G Ri{X),
•

W, Wi G R\,,

vài e = (1,0), dim k e r F =- 1 va F^W^e
Vay Fi co t m h chat

Fi G Ty,

k^iV

= hn{e},

- 2^e, A: G W .

c{W).

V i d u 1.1.5. Gho X là khòng gian day vò han càc so thuc, a = {ao^cx\^...),

à

day ao = 0, oci ^ Q {i >_ 1), x = ( x o , . x i , . . . ) G X . Xét càc toàn t u tuyén tmh
trén X sau day:
Vx = y,

y = (yo,2/i,. • •) vài y,,. = a,,,.T„+i; n = 0 , 1 , . ..
•j^

Wx = z,

z = (zo.zu...)

vai Zo = Xo, Zi = Xu

Wox = t, t:= {to.t'U--^) yài to = 0, ti =xu

,

Zn = ^——, ("• > 2),
O^n-1

tn =

, (n > 2),
<^77-l

FoX = u, u = (uo.ui,...)

vai uo = xo,

Ui = Xi - aiX2,

w,, = 0, (n > 2).

De t h à y y G i ? i ( X ) , 1^,1^0 ^ 7^[., FQ G F K ung vài Wo, kevV

= lin {ei, es}

vài ei = (1, 0 , . . . ) , 62 = ( 0 , 1 , 0 , . . . ) , dim ker V = 2 va
F o i y ^ e i = l e i , FoW^e2 = 0.e2,
Tir Menh de 1.1.6 suy ra FQ khòng co tinh chat

keJN.

c{W).

Sau d a y t a xét mot so dac t r u n g cua he toàn t u ban dau phài cua V co
tmh chat

c{W).

Già su he { F i , . , . , F^^} C F\/vv > t u e là vài mòi k e JN déu ton tai dii^ G K'^
sao cho
FiW^z

= dii,z vài ?:-= l , . . . , n ;

z e kerV.

(i-1-7)

Ky hieu
Vn := det{d,^f,_i))i^k=h...,n]
FÌ:=(F,,...,F,W/^-1),

'
^ = l,...,n;

di := ( r ì i o , . . . , d i ( n - i ) ) , ^ == l , . . . , n .

(1.1.8)
(1.1.9)
(1.1.10)

D i n h n g h i a 1.1.9. He toàn té ^ i , . . . ,^;,, ditqc ggi là dgc lap tuyén tinh
n

tàp D néu ^

aiAiX ~ 0 vói m.gi x £ D thi ai = 0.

i=ì

19

trén


M e n h de 1.1.7. Cho V G Ri{X),

W eR\.

va he { F i , . . . , F , J d Ty^y•

Dwu

kien càn va du de he vecta toàn té { F i , . . . , F^,,} dgc lap tuyén tinh trén ker V là
he { d i , . . . ,dn} ^9<^ làp tuyén tinh, trong dò Fj va di duqc xàc dinh bài (1.1.9)
va (1.1.10).
Chung minh. Già su he { F i , . . . , F„,} doc lap tuyén tinh trén ker V va
n

71

V^ P-di = 0, vài /3i e IC tue là Y^ ftidik = 0, A: — 0 , . . . , n - 1.
1=1

i=l

Suy ra
71

71

^PiFiW^z^O,

fc

= 0,...,r?, - 1 ^ ^ / 3 i F i ^ - 0 ,

1=1

V^ G kerì/.

i=l

Theo già tliiét suy ra Pi ~ 0 vài i = 1 , . . , , n. Vay he { d ] , . . . , d^} doc lap
tuyén tmh.
Nguac lai, néu he { d i , . . . , d^^} doc lap tuyén tinh va
n

n

Y^ PifiZ = 0, \/z e kei V, ngliìa là ^
i=l

PÌFÌW''z

= 0,

VA: = 0,. . . , n - 1.

t=l

Do do
J^A^ifc^ = 0, V2 G ker F, A: =: 0 , . . . ,r?. - 1.
1=1

Vi dim ker V ^ 0 nén ton tai z ^ 0. Suy ra
n

J2PidiM=-0,

n

A: = 0 , . . . , n - 1 ; tue là

i=l

J^/5,d,-0.
z=l

Tir già thiét suy ra Pi = 0. Vày he { F i , . . . , Fn} doc lap tuyén tfnh trén ker V,
Dinh ly 1.1.7. Cho V G Ri{X),

W G 7^|, m he { F i , . . . , F „ } C Fi/^v- i'^^eu

kien càn va du de Vn ^ Q là he { F i , . . . , Fn} dgc lap tuyén tinh trén Pn{W),

ò

day
F„(H/) = lin{TF'^^, ^ G k e r F , A — 0 , . . . , n - l } .
20

(1.1.11)


Chung minh. Già su Vi 7^ 0, tue là he { d i , . . . , d,,} doc lap tuyén tfnh, tir Menh
de 1.1.7 suy ra he vecta tồn tu {Fi, • • •, Fn} doc lap tun tinh trén ker V va

già su
n

Y,aiFiX

= Q,

yx^Pn{W).

i=i

Suy ra
71

^aiFiW^z^Q,

V A : - 0 , . . . , n - 1 ; 2 G kerì/.

i=l
^

T7.

Tir dị dàn dén X] ^ÌFÌ^ = 0- Theo già thiét suy ra a^ = 0. Vay he { F i , . . . , F„ }
i=l

doc lap tuyén tfnh trén Pn{W).
Nguac lai, già su he { F i , . . . ,Fn} doc lap tuyén tfnh trén Pn{W) va
n

y^ aiFiZ = 0,

V2 G ker K, a^ G /C.

7=1

Suy ra
n

Y^aiFiW'^z^O,

VA;-0,...,n-1, ^GkerK

7:=i

Nén
n—l

71

J2 /?fc X]^^^^^'^'^^ - 0,
fc = 0

V/3fc G IC.

7=1

Do do
71

n—l

71

^ QiFi Yl PkW'^) =0<^Y1 "'^-'^ = 0' ^•'^ ^ ^"(^)
i=0

k=0

i=l

Tir già thiét suy ra ai = 0, z = 1 , . . . , n. Vay he { F i , . . . , F„} doc lap tuyén tfnh
trén kerV. Tii' Menh de 1.1.7 suy ra Vn 7^ 0. Dinh ly duac chung minh.
b) Tfnh chat CG{W)
Dinh nghia 1.1.10. Cho V G Ri{X)

va W e Ri.

ella V dicqc ggi là co tinh chat CG{W)

Toàn té ban dau phài Fo

(tue là tinh chat c(W)-

suy róng) néu

ton tai bó càc khóng gian con Z i , . . . , Zs (5 > 2) cria kerV sao cho
21

i) kerV = 0 Z j vói Zj ^ {0}, Zi n Zj = {0}, i 7^ j ,
ii^

FQVF'^ZJ

= CkjZj vói mgi Zj G Zj^ c^. e ÌC, k e W ,

(^(i day Coj = l vi

~ z vói mgi z G ker V).

FQZ

T à p h g p càc toàn t u ban dau phài cua V co tfnh chat CG{W)

d u a c ky hieu

là F\/,VVG*

M e n h d e 1.1.8. Cho V G Ri{X),

W G R},,

dim k e r ì / < + 0 0 , k e r F - 0

(5 > 2). Dieu kien càn va dd de FQ G J^y co tinh chat CG{W)

Zj,

là vói mói k E IN

deu ton tai c^j G /C sao cho
FoW Cij — CkjSij
à day ( e i j , . . . , e^jj) là mot ca sa cua Zj (j — 1 , . . . , s; z = 1 , . . . , 5j).
Chung minh. Néu Zj G Zj thi Zj = ^

CLÌ^ÌJ^

ai G /C. Tir dò suy ra

i=l
Sj

FoW^Zj

= FoW^ ^

Sj

OiCij = ^

1=1

Vay Fo co tfnh chat

Sj

aiCkjEij = CA;J ^

1=1

0^6^^ = c^^^j.

1=1

CG{W).

Tir Dinh nghia 1.1.9 va Menh de 1.1.8 suy ra r a n g moi toàn t u ban dau
phài co tfnh chat c{W) déu co tfnh chat
t h i J^y^w =

Dac biét néu dim keiV

CG{W).

= 1

^V,WG'

Vi du d u à i day chi ra rang ton tai F G F y co tfnh chat CG{W) n h u n g
khòng co tfnh chat

c{W).

V i d u 1.1.6. Gho X = K^ vài K = C{R).

Xét càc toàn t u tuyén tfnh trén X

sau day:

V=\

/

/

o\

I

I

Q \,

0

Q D I

(li

= 1li

W=\

0

0

li

Q

l o O i ?

^^ = I 1^ i^ 0 ì ,
0

li

F, = ( # / | / 0

i?i/

V 0
22

0

K-


à day
f

t

^ = J t ' ^ ^ j ' ^ ' ^
0

/ '

^^•'''^^^^ ^ ^^'^' ""^^^ e / r , z G W*, (/.7:)(0 = x ( 0

i

De dàng kiém tra thày V G i ? i ( X ) , W, Wi G 7?.|^, F^ G F u ung vài H/^ va
k e r l / = Z i e Z 2 , Zi - l i n { e i : a = {t\-t},Q),

i e

N},

Z2 = lin{t;: z; = ( 0 , 0 , 1 ) } ,

FiW'z=
FiW^v

(^)

z vài

zeZu

= -~v vài V G Z2.
k\

Vày Fi G F i / co tfnh chat CG{W)

nhung khòng co tfnh chat

c{W).

Bay già, ta xét mot so dac t r u n g mài cua he toàn t u ban d a u phài cua
V G Ri{X)

co tfnh chat

CG{W).

Già su he { F i , . . . , F „ } C J^y^Wc ™ S "^ó^i bo khịng gian con khịng t à m
t h u ò n g { Z i , . . . , Z5} cua k e r ì / , Khi dị vài mịi k G W , v G { 1 , . . . , 5} déu ton
tai Ciky G /C sao elio
FiW^z^=CikvZxn

yzyeZy]

i = l,...,n.

(1.1.12)

Ky hieu
V^:'^ -

det{ci^,_ij„)i^,=

Fi := ( F , , . . . , FiVW'-'),
Cl''^ •= {ciOv^---^Ci{n-i)v):

i

n
,: = 1 , . . . , n
i = l,...,n.

(1.1-13)
(1.1.14)
(1.1.15)

Ta biét rang, toàn t u ban dau phài FQ CO tfnh chat CG{W) vài bo khòng
gian con Z i , . . , , Zg cua ker V khi va chi khi FQ CO tinh chat c{W) trén mòi khòng
gian Z i , . . . Z5. Vi vay, d u a vào Menh de 1.1.7 va Dinh ly 1.1.7 suy ra càc két
qua sau:
23


M e n h d e 1.1.9. Cho V G Ri{X),

W G R\,

va he {Fi,...,Fn}

C F i / i r ^ - Va?,

m.oi V G { 1 , . . . , s}, dieu kien càn va du de he càc vecta {Fi,...,

F „ } dgc lap

tuyén tinh trén Zy là he càc vecta { C } ' ' \ . . . , C,/ } dgc lap tuyén

tmh.

à day

Fi, C | ' ^ duqc xàc dinh bài (1.1.14) va (1.1.15).
D i n h ly 1.1.8. Già sé V e Ri{X),

W G Ri

va he {Fi,...

, F n } C J='y,Wa- Vài

moi V G { 1 , . . . , s}, Dieu kien càn va du de Vn^ ^ 0 là he {F\,...
tuyén tinh trén P^rviW),

à day Vn

P,,,,{W)=\m{W^z^:

, Fn} dgc lap

dicqc xàc dinh bài (1.1.13) va

Zy^Zy,

A = 0 , . . . , n - 1}.

(1.1.16)

1.2. Càc cịng thiic nói suy co* bàn

Trong muc này, chung t a de cap dén càch giài bài toàn noi suy tong quàt
sinh bài tồn t u khà nghich phài suy róng V vài he toàn t u ban dau phài co
tfnh chat c{W) hoac

CG{W).

Tir do xày d u n g d u a c càc còng t h u c noi suy co

bàn doi vài bài toàn noi suy Hermite, noi suy Lagrange, noi suy Newton.
D i n h n g h i a 1.2.1. Cho V G Ri{X)

, W G R\,.

Phàn té

N

u^^W'^-h.n

vài ^iv/O; zu...,zj^ ekevV,

(1.2.1)

m-l

dicqc ggi làV~ da thuc bac N — l.
Xét bài toàn noi suy tong quàt ( B T N S T Q ) sau day:
Gho n tap hiru han J^;, (z = 1 , . . . , n) càc so nguyén khòng ani vài #7^ — r,;,
ri + • • • + rn = N. Tini w là ì/ - d a t h u c bac A^ - 1 thịa man TV diéu kien sau:
FiV^u^Uikvàìk^Ii,

trong &ĨV eR,

( X ) , W e n^y\

{Fu...,

z = l,...,n;

F„} e Tv^wa,

(1.2.2)

ker V = ^

Z„ G e Gy

v=l

ung vài W t h ò a man diéu kien Gzy = dyZy, Vzy G Zy, dy G /C va Uik G k e r ì /
d à elio. ( T u e là, tini u tlióa man p h u a n g trinh V^u = 0 va FiV^u
24

= liik)-