Tài liệu kinh tế lượng

Trường Đại học An Giang
Khoa Kinh tế – QTKD
Bộ môn Kinh tế tổng hợp

Tài liệu

KINH TẾ LƯỢNG
(Econometrics)
(Dùng cho các lớp Đại học khối ngành Kinh tế)
Ths. Dương Phú Điền

LƯU HÀNH NỘI BỘ
Long Xuyên, tháng 05 – 2013


Chương 0. Hướng dẫn học tập bộ môn

Chương 0. HƯỚNG DẪN HỌC TẬP MƠN KINH TẾ LƯỢNG
1. Hình thức tính điểm
A/ Hệ CQ



Điểm giữa kỳ
A=(Bài KT giữa kỳ + Báo cáo Nhóm)/2

(Trong q trình học có điểm cộng cho sinh viên phát biểu xây dựng bài và tham gia
giải bài tập)



Điểm thi kết thúc học phần
B=Bài thi kết thúc học phần



Điểm cuối khóa
C = (A+B)/2

B/ Hệ VLVH



Điểm giữa kỳ
A=(Bài KT+(Bài KT giữa kỳ)*2)/Tổng hệ số

(Trong q trình học có điểm cộng cho sinh viên phát biểu xây dựng bài và tham gia
giải bài tập)



Điểm thi kết thúc học phần
B=Bài KT cuối kỳ



Điểm cuối khóa
C = (A+B)/2
2. Tài liệu học tập

+ Bài giảng Kinh tế lượng (của thầy).

+ Tài liệu Kinh tế lượng của trường ĐHAG (thầy Khiêm, cô Hương)
3. Tài liệu tham khảo
+ Bài giảng Kinh tế lượng (Nguyễn Quang Dong – Trường ĐH KTQD HN)
+ Giáo trình Kinh tế lượng và Bài tập dùng kèm (Hoàng Ngọc Nhậm – Trường
ĐHKT TP HCM)
+ Kinh tế lượng: Hướng dẫn trả lời Lý thuyết và Giải các bài tập (Nguyễn Cao Văn
– Bùi Dương Hải).
+ Các tài liệu khác về Kinh tế lượng.
1


Chương 0. Hướng dẫn học tập bộ môn

4. Tài liệu thực hành
+ Phân tích số liệu thống kê với phần mềm SPSS (Hoàng Trọng + Chu Nguyễn Mộng
Ngọc – Trường ĐHKT TP HCM)
5. Dụng cụ học tập
+ MTXT có cài đặt phần mềm SPSS. (Download trên mạng ở trang ftp.agu.edu.vn hoặc
mua đĩa phần mềm hoặc nhờ thầy Minh Tuấn ở VP Khoa Kinh tế - QTKD cài dùm).
+ MTBT có chức năng thống kê.
+ Các bảng tra thống kê.
6. Thắc mắc liên hệ
 0918 405 651 hoặc  hoặc
7. Phân phối chương trình
A/ Hệ CQ
Chương (Bài)
Chương 1.

Số tiết
(4 tiết)

Nội dung chính

Sinh viên chuẩn bị

Giới thiệu chung về mơn học Photo tài liệu mơn học.

Kinh tế lượng nhập
mơn
Cách tính số đo tập trung, số

Tham khảo trước tài liệu

Thống kê cơ bản

đo độ biến động

ở nhà.

thường dùng trong

Các phân phối XS thông dụng

kinh tế lượng

Ước lượng khoảng tin cậy.

Chương 2.

(4 tiết)

Kiểm định giả thuyết
Xác định cỡ mẫu
Phương sai một chiều.

Tham khảo trước tài liệu

Phân tích phương sai

Phương sai hai chiều

ở nhà.

Chương 4.

Phân tích hồi qui

Mơ hình hồi qui hai
biến – vấn đề cơ bản

Mơ hình hồi qui tổng thể, hồi

Chương 3.

(4 tiết)

qui mẫu
Ước lượng mơ hình

Tham khảo trước tài liệu

Mơ hình hồi qui hai

Khoảng tin cậy và kiểm định

ở nhà.

biến – vấn đề ước

giả thuyết

lượng

Kiểm định sự phù hợp của

Chương 5.

(4 tiết)

hàm hồi qui
2


Chương 0. Hướng dẫn học tập bộ môn

Hệ số xác định

Tham khảo trước tài liệu

Chương 6.

Mơ hình hồi qui phi tuyến

ở nhà.

Hồi qui bội

tính

Chương 5. (tt)

(4 tiết)

Mơ hình hồi qui tuyến tính
đa biến. (Các thống kê HQ)
(4 tiết)

Chương 6.
Hồi qui bội

Mơ hình hồi qui tuyến tính

Tham khảo trước tài liệu

đa biến. (Kiểm định)

ở nhà.

Hồi qui với biến giả
Hiện tượng đa cộng tuyến.

Tham khảo trước tài liệu

Vi phạm giả thuyết

Hiện tượng tự tương quan.

ở nhà.

hồi qui

Hiện tượng phương sai

(4 tiết)

Chương 7.

không đồng đều
(2 tiết)

Chương 8.
Phương pháp số

Phương pháp số tương đối.

Tham khảo trước tài liệu

Phương pháp chỉ số

ở nhà.

tương đối và chỉ số
Thực hành

(5 tiết)

Phân tích số liệu với Excel

Thực hành

(5 tiết)

Phân tích số liệu với SPSS

Bài tập, Thảo luận

(5 tiết)

Hướng dẫn bài tập.

Làm việc theo nhóm

Thảo luận theo chủ đề của
nhóm
Thực hành

(5 tiết)

Thực hành với bài tập nhóm

Làm việc theo nhóm

Thảo luận nhóm

(5 tiết)

Thảo luận theo chủ đề của

Làm việc theo nhóm

nhóm
Báo cáo

(5 tiết)

Báo cáo nhóm

Làm việc theo nhóm

B/ Hệ VLVH
Buổi

Tiết trong

Tên bài dạy

Sinh viên chuẩn bị

PPCT
1

2

1-2

Chương 1. Giới thiệu

3-5

Chương 2. Suy luận thống kê

6-10

Chương 2. Suy luận thống kê (tt)

Photo tài liệu môn học.

Tham khảo trước tài
liệu ở nhà.

3

11-13

Chương 3. Phân tích phương sai
3

Tham khảo trước tài
liệu ở nhà.

Chương 0. Hướng dẫn học tập bộ môn

14-15

Chương 4. Hồi quy đơn

4

16-20

Chương 4. Hồi quy đơn (tt)

5

21-25

Chương 5. Hồi quy bội

6

26-27

Chương 5. Hồi quy bội (tt)

28-30

Chương 6. Hồi quy với biến giả

31-33

Chương 7. Mở rộng mơ hình hồi quy

34-35

Chương 8. Vi phạm giả định hồi quy

8

36-40

Chương 8. Vi phạm giả định hồi quy

9

41-45

Chương 9. Phương pháp số tương đối

7

và phương pháp chỉ số

Tham khảo trước tài
liệu ở nhà.
Tham khảo trước tài
liệu ở nhà.
Tham khảo trước tài
liệu ở nhà.
Tham khảo trước tài

liệu ở nhà.
Tham khảo trước tài
liệu ở nhà.
Tham khảo trước tài
liệu ở nhà.

8. Cấu trúc đề thi kết thúc học phần
a) Thời gian làm bài: 90 phút.
b) Sinh viên được xem tài liệu.
c) Cấu trúc đề:
A/ Hệ CQ
* Dạng 1:
+ Câu 1: (Hồi quy đơn) (4 điểm)
+ Câu 2: (Hồi quy bội + Hồi quy với biến giả + Mở rộng mơ hình hồi quy) (4 điểm)
+ Câu 3: (Suy luận thống kê hoặc Phân tích phương sai) (2 điểm)
* Dạng 2:
+ Câu 1: (Hồi quy đơn) (4 điểm)
+ Câu 2: (Hồi quy bội + Hồi quy với biến giả + Mở rộng mơ hình hồi quy + Một số
vấn đề liên quan đến mơ hình hồi quy) (6 điểm)
B/ Hệ VLVH
* Dạng 1:
+ Câu 1: (Hồi quy đơn) (4 điểm)
+ Câu 2: (Hồi quy bội + Hồi quy với biến giả) (4 điểm)
+ Câu 3: (Suy luận thống kê hoặc Phân tích phương sai) (2 điểm)
* Dạng 2:
+ Câu 1: (Hồi quy đơn) (4 điểm)
+ Câu 2: (Hồi quy bội + Hồi quy với biến giả + Mở rộng mơ hình hồi quy ) (6 điểm)
4

Chương 1. Giới thiệu

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU
1.1. Kinh tế lượng là gì?
Thuật ngữ tiếng Anh “Econometrics” có nghĩa là đo lường kinh tế1. Thật ra phạm vi
của kinh tế lượng rộng hơn đo lường kinh tế. Chúng ta sẽ thấy điều đó qua một định
nghĩa về kinh tế lượng như sau:
“Khơng giống như thống kê kinh tế có nội dung chính là số liệu thống kê, kinh tế
lượng là một môn độc lập với sự kết hợp của lý thuyết kinh tế, cơng cụ tốn học và
phương pháp luận thống kê. Nói rộng hơn, kinh tế lượng liên quan đến: (1) Ước lượng
các quan hệ kinh tế, (2) Kiểm chứng lý thuyết kinh tế bằng dữ liệu thực tế và kiểm định
giả thiết của kinh tế học về hành vi, và (3) Dự báo hành vi của biến số kinh tế.”2
Sau đây là một số ví dụ về ứng dụng kinh tế lượng.
Ước lượng quan hệ kinh tế
(1) Đo lường mức độ tác động của việc hạ lãi suất lên tăng trưởng kinh tế.
(2) Ước lượng nhu cầu của một mặt hàng cụ thể, ví dụ nhu cầu xe hơi tại thị trường
Việt Nam.
(3) Phân tích tác động của quảng cáo và khuyến mãi lên doanh số của một công ty.
Kiểm định giả thiết
(1) Kiểm định giả thiết về tác động của chương trình khuyến nơng làm tăng năng suất
lúa.
(2) Kiểm chứng nhận định độ co dãn theo giá của cầu về cá basa dạng fillet ở thị
trường nội địa.
(3) Có sự phân biệt đối xử về mức lương giữa nam và nữ hay không?
Dự báo
(1) Doanh nghiệp dự báo doanh thu, chi phí sản xuất, lợi nhuận, nhu cầu tồn kho…
(2) Chính phủ dự báo mức thâm hụt ngân sách, thâm hụt thương mại, lạm phát…
(3) Dự báo chỉ số VN Index hoặc giá một loại cổ phiếu cụ thể như REE.
1.2. Phương pháp luận của kinh tế lượng
Theo phương pháp luận truyền thống, còn gọi là phương pháp luận cổ điển, một

nghiên cứu sử dụng kinh tế lượng bao gồm các bước như sau3:
(1) Phát biểu lý thuyết hoặc giả thiết.
(2) Xác định đặc trưng của mơ hình toán kinh tế cho lý thuyết hoặc giả thiết.
(3) Xác định đặc trưng của mơ hình kinh tế lượng cho lý thuyết hoặc giả thiết.
(4) Thu thập dữ liệu.
(5) Ước lượng tham số của mơ hình kinh tế lượng.
(6) Kiểm định giả thiết.
(7) Đánh giá kết quả nhận được
(8) Dự báo và sử dụng mơ hình để quyết định chính sách

1. A.Koutsoyiannis, Theory of Econometrics-Second Edition, ELBS with Macmillan-1996, trang 3
2
Ramu Ramanathan, Introductory Econometrics with Applications, Harcourt College Publishers-2002, trang 2.
3

Theo Ramu Ramanathan, Introductory Econometrics with Applications, Harcourt College Publishers-2002

5


Chương 1. Giới thiệu

Lý thuyết hoặc giả thiết

Lập mơ hình tốn kinh tế

Lập mơ hình kinh tế lượng

Thu thập số liệu

Ước lượng thông số

Kiểm định giả thiết

Xây dựng lại mô hình

Đánh giá kết quả nhận được

Quyết định chính sách

Dự báo

Hình 1.1 Phương pháp luận của kinh tế lượng
Ví dụ 1: Các bước tiến hành nghiên cứu một vấn đề kinh tế sử dụng kinh tế lượng với đề tài
nghiên cứu xu hướng tiêu dùng biên của nền kinh tế Việt Nam.
(1) Phát biểu lý thuyết hoặc giả thiết
Keynes cho rằng:
Qui luật tâm lý cơ sở ... là đàn ông (đàn bà) muốn, như một qui tắc và về trung bình, tăng tiêu
dùng của họ khi thu nhập của họ tăng lên, nhưng không nhiều như là gia tăng trong thu nhập của
họ.4
Tóm lại, Keynes cho rằng xu hướng tiêu dùng biên (marginal propensity to consume-MPC),
tức tiêu dùng tăng lên khi thu nhập tăng 1 đơn vị tiền tệ lớn hơn 0 nhưng nhỏ hơn 1.
(2) Xây dựng mơ hình tốn cho lý thuyết hoặc giả thiết
Dạng hàm đơn giản nhất thể hiện ý tưởng của Keynes là dạng hàm tuyến tính.
TD  1  2GNP , trong đó : 0 < 2 < 1

Biểu diển dưới dạng đồ thị của dạng hàm này như sau:

4

John Maynard Keynes, 1936, theo D.N.Gujarati, Basic Economics, 3rd , 1995, trang 3.

6

(1.1)


Chương 1. Giới thiệu

TD

2=MPC

1
0

GNP

1 : Tung độ gốc
2: Độ dốc
TD : Biến phụ thuộc hay biến được giải thích
GNP: Biến độc lập hay biến giải thích
Hình 1. 2. Hàm tiêu dùng theo thu nhập
(3) Xây dựng mơ hình kinh tế lượng
Mơ hình tốn với dạng hàm (1.1) thể hiện mối quan hệ tất định (deterministic relationship)
giữa tiêu dùng và thu nhập trong khi quan hệ của các biến số kinh tế thường mang tính khơng
chính xác. Để biểu diễn mối quan hệ khơng chính xác giữa tiêu dùng và thu nhập chúng ta đưa
vào thành phần sai số:
TD  1  2GNP   (1.2)

Trong đó  là sai số, là một biến ngẫu nhiên đại diện cho các nhân tố khác cũng tác động lên
tiêu dùng mà chưa được đưa vào mơ hình.
Phương trình (1.2) là một mơ hình kinh tế lượng. Mơ hình trên được gọi là mơ hình hồi quy
tuyến tính. Hồi quy tuyến tính là nội dung chính của học phần này.
(4) Thu thập số liệu
Số liệu về tiêu dùng và thu nhập của nền kinh tế Việt Nam từ 1986 đến 1998 tính theo đơn vị
tiền tệ hiện hành như sau:
Năm
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998

Tiêu dùng
TD, đồng hiện hành
526.442.004.480
2.530.537.897.984
13.285.535.514.624
26.849.899.970.560
39.446.699.311.104
64.036.997.693.440

88.203.000.283.136
114.704.005.464.064
139.822.006.009.856
186.418.693.406.720
222.439.040.614.400
250.394.999.521.280
284.492.996.542.464

Tổng thu nhập
GNP, đồng hiện hành
553.099.984.896
2.667.299.995.648
14.331.699.789.824
28.092.999.401.472
41.954.997.960.704
76.707.000.221.696
110.535.001.505.792
136.571.000.979.456
170.258.006.540.288
222.839.999.299.584
258.609.007.034.368
313.623.008.247.808
361.468.004.401.152
7

Hệ số khử
lạm phát
2,302
10,717
54,772

100
142,095
245,18
325,189
371,774
425,837
508,802
540,029
605,557
659,676


Chương 1. Giới thiệu

Bảng 1.1. Số liệu về tổng tiêu dùng và GNP của Việt Nam
Nguồn : World Development Indicator CD-ROM 2000, WorldBank.
TD: Tổng tiêu dùng của nền kinh tế Việt Nam, đồng hiện hành.
GNP: Thu nhập quốc nội của Việt Nam, đồng hiện hành.
Do trong thời kỳ khảo sát có lạm phát rất cao nên chúng ta cần chuyển dạng số liệu về tiêu
dùng và thu nhập thực với năm gốc là 1989.
Năm
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994

1995
1996
1997
1998

Tiêu dùng
TD, đồng-giá cố định 1989
22.868.960.302.145
23.611.903.339.515
24.255.972.171.640
26.849.899.970.560
27.760.775.225.362
26.118.365.110.163
27.123.609.120.801
30.853.195.807.667
32.834.660.781.138
36.638.754.378.646
41.190.217.461.479
41.349.567.191.335
43.126.144.904.439

Tổng thu nhập
GNP, đồng-giá cố định 1989
24.026.999.156.721
24.888.000.975.960
26.165.999.171.928
28.092.999.401.472
29.526.000.611.153
31.285.998.882.813
33.990.999.913.679

36.735.001.692.581
39.982.003.187.889
43.797.002.601.354
47.888.002.069.333
51.790.873.128.795
54.794.746.182.076

Bảng 1.2. Tiêu dùng và thu nhập của Việt Nam, giá cố định 1989
(5) Ước lượng mơ hình (Ước lượng các hệ số của mơ hình)
Sử dụng phương pháp tổng bình phương tối thiểu thơng thường (Ordinary Least Squares)5
chúng ta thu được kết quả hồi quy như sau:
TD = 6.375.007.667 + 0,680 GNP
t
[4,77]
[19,23]
2
R = 0,97
Ước lượng cho hệ số 1 là ˆ  6.375.007.667
1

Ước lượng cho hệ số 2 là ˆ2  0,68
Xu hướng tiêu dùng biên của nền kinh tế Việt Nam là MPC = 0,68.
(6) Kiểm định giả thiết thống kê
Trị số xu hướng tiêu dùng biên được tính tốn là MPC = 0,68 đúng theo phát biểu của
Keynes. Tuy nhiên chúng ta cần xác định MPC tính tốn như trên có lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 với
ý nghĩa thống kê hay khơng. Phép kiểm định này cũng được trình bày trong chương 2.
(7) Diễn giải kết quả
Dựa theo ý nghĩa kinh tế của MPC chúng ta diễn giải kết quả hồi quy như sau:
Tiêu dùng tăng 0,68 ngàn tỷ đồng nếu GNP tăng 1 ngàn tỷ đồng.
(8) Sử dụng kết quả hồi quy

Dựa vào kết quả hồi quy chúng ta có thể dự báo hoặc phân tích tác động của chính sách. Ví
dụ nếu dự báo được GNP của Việt Nam năm 2004 thì chúng ta có thể dự báo tiêu dùng của Việt

5

Sẽ được giới thiệu trong chương 2.

8


Chương 1. Giới thiệu

Nam trong năm 2004. Ngoài ra khi biết MPC chúng ta có thể ước lượng số nhân của nền kinh tế
theo lý thuyết kinh tế vĩ mô như sau:
M = 1/(1-MPC) = 1/(1-0,68) = 3,125
Vậy kết quả hồi quy này hữu ích cho phân tích chính sách đầu tư, chính sách kích cầu…
1.3. Những câu hỏi đặt ra cho một nhà kinh tế lượng
1.
Mơ hình có ý nghĩa kinh tế khơng?
2.
Dữ liệu có đáng tin cậy khơng?
3.
Phương pháp ước lượng có phù hợp khơng?
4.
Kết quả thu được so với kết quả từ mơ hình khác hay phương pháp khác như thế nào?
1.4. Dữ liệu cho nghiên cứu kinh tế lượng
Có ba dạng dữ liệu kinh tế cơ bản: dữ liệu chéo, dữ liệu chuỗi thời gian và dữ liệu bảng.
Dữ liệu chéo bao gồm quan sát cho nhiều đơn vị kinh tế ở một thời điểm cho trước. Các đơn
vị kinh tế bao gồm các các nhân, các hộ gia đình, các cơng ty, các tỉnh thành, các quốc gia…
Dữ liệu chuỗi thời gian bao gồm các quan sát trên một đơn vị kinh tế cho trước tại nhiều

thời điểm. Ví dụ ta quan sát doanh thu, chi phí quảng cáo, mức lương nhân viên, tốc độ đổi mới
công nghệ… ở một công ty trong khoảng thời gian 1990 đến 2002.
Dữ liệu bảng là sự kết hợp giữa dữ liệu chéo và dữ liệu chuỗi thời gian. Ví dụ với cùng bộ
biến số về cơng ty như ở ví dụ trên, chúng ta thu thập số liệu của nhiều công ty trong cùng một
khoảng thời gian.
Biến rời rạc hay liên tục
Biến rời rạc là một biến có tập hợp các kết quả có thể đếm được.Ví dụ biến Quy mơ hộ gia
đình ở ví dụ mục 1.2 là một biến rời rạc.
Biến liên tục là biến nhận kết quả một số vơ hạn các kết quả. Ví dụ lượng lượng mưa trong
một năm ở một địa điểm.
Dữ liệu có thể thu thập từ một thí nghiệm có kiểm sốt, nói cách khác chúng ta có thể thay
đổi một biến số trong điều kiện các biến số khác giữ khơng đổi. Đây chính là cách bố trí thí
nghiệm trong nông học, y khoa và một số ngành khoa học tự nhiên.
Đối với kinh tế học nói riêng và khoa học xã hội nói chung, chúng ta rất khó bố trí thí nghiệm
có kiểm sốt, và sự thực dường như tất cả mọi thứ đều thay đổi nên chúng ta chỉ có thể quan sát
hay điều tra để thu thập dữ liệu.
1.5. Vai trị của máy vi tính và phần mềm chuyên dụng
Vì kinh tế lượng liên quan đến việc xử lý một khối lượng số liệu rất lớn nên chúng ta cần dến
sự trợ giúp của máy vi tính và một chương trình hỗ trợ tính tốn kinh tế lượng. Hiện nay có rất
nhiều phần mềm chuyên dùng cho kinh tế lượng hoặc hỗ trợ xử lý kinh tế lượng.
Excel
Nói chung các phần mềm bảng tính (spreadsheet) đều có một số chức năng tính tốn kinh tế
lượng. Phần mềm bảng tính thơng dụng nhất hiện nay là Excel nằm trong bộ Office của hãng
Microsoft. Do tính thơng dụng của Excel nên mặc dù có một số hạn chế trong việc ứng dụng
tính tốn kinh tế lượng, giáo trình này có sử dụng Excel trong tính tốn ở ví dụ minh hoạ và
hướng dẫn giải bài tập.
Phần mềm chuyên dùng cho kinh tế lượng
Hướng đến việc ứng dụng các mơ hình kinh tế lượng và các kiểm định giả thiết một cách
nhanh chóng và hiệu quả chúng ta phải quen thuộc với ít nhất một phần mềm chuyên dùng cho
kinh tế lượng. Hiện nay có rất nhiều phần mềm kinh tế lượng như:

9


Chương 1. Giới thiệu

Phần mềm Công ty phát triển
AREMOS/PC Wharton Econometric Forcasting Associate
BASSTALBASS Institute Inc
BMDP/PCBMDP Statistics Software Inc
DATA-FITOxford Electronic Publishing
ECONOMIST WORKSTATIONData Resources, MC Graw-Hill
ESPEconomic Software Package
ETNew York University
EVIEWS Quantitative Micro Software
GAUSS Aptech System Inc
LIMDEP New York University
MATLAB MathWorks Inc
PC-TSPTSP International
P-STATP-Stat Inc
SAS/STATVAR Econometrics
SCA SYSTEMSAS Institute Inc
SHAZAMUniversity of British Columbia
SORITECThe Soritec Group Inc
SPSS SPSS Inc
STATPROPenton Sofware Inc
Trong số này có hai phần mềm được sử dụng tương đối phổ biến ở các trường đại học và viện
nghiên cứu ở Việt Nam là SPSS và EVIEWS. SPSS rất phù hợp cho nghiên cứu thống kê và
cũng tương đối thuận tiện cho tính tốn kinh tế lượng, trong khi EVIEWS được thiết kế chuyên
cho phân tích kinh tế lượng.

10


Chương 2. Suy luận thống kê

Chương 2. Suy luận thống kê
2.1. Ước lượng khoảng tin cậy cho tham số của tổng thể
2.1.1. Ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình (kỳ vọng) của một tổng thể
2.1.1.1. Ước lượng khoảng hai phía
ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG HAI PHÍA CHO TRUNG BÌNH  (Mức ý nghĩa )

n  30

Trường
hợp

 2 đã biết

Các bước
1. Nhận
định
tham số
cần ước
lượng
2. Tính
giá trị tới
hạn
3. Tính
độ chính
xác

4. Xác
định
khoảng
ước lượng

n  30 , X  N ;  2 

 2 chưa biết



 2 đã biết





 2 chưa biết

Không biết qui luật
phân phối
Áp dụng bất đẳng
thức Chebyshev, ta



được   x  K X

z

z

z

2

2

2

  z
2



  z

n

s

2

n

  z
2

với X 

t n 1
2


n

  t n1
2

s
n

X 


n

s
n

hoặc

và

K  1 thỏa



P X    K X

x  ; x   x  ; x  






 z  thỏa  z    1  
2
 2 
2





x  ; x  

x  ; x  

 1

1
K2

 1
tra từ Bảng giá trị hàm Laplace.
2


 t n1 thỏa P T  t n 1   1  

2

2
2 

1 
tra từ Bảng phân phối Student.
2

Ví dụ 2.1.1.1.1. Một cơng ty bánh kẹo đóng gói kẹo trong những bao 20 gr. Số kẹo trong
một bao có biến động và kẹo được bán theo trọng lượng. Công ty muốn ước lượng trọng lượng
kẹo trong mỗi bao. Nhân viên kiểm tra chọn ngẫu nhiên 120 gói kẹo để cân số kẹo trong mỗi
bao. Họ nhận thấy rằng trọng lượng kẹo trung bình trong một bao là 18,720 gr với độ lệch
chuẩn mẫu là 0,874 gr. Ước lượng điểm của trọng lượng kẹo trung bình trong một bao là bao
nhiêu? Tìm khoảng tin cậy 99% của trọng lượng kẹo trung bình trong một bao.
Giải.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
11




Chương 2. Suy luận thống kê

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...
Ví dụ 2.1.1.1.2. Để nghiên cứu sản lượng sữa hàng ngày (SLSHN) của một đàn bò, người

ta điều tra ngẫu nhiên trên 100 con bò của nơng trường và có kết quả sau:
SLSHN (kg)

9

10

12

14

15

Số con bị

10

24

42

16

8

Ước lượng sản lượng sữa trung bình mỗi ngày của một con bò bằng khoảng tin cậy
97%. ĐS: 11, 392;12,168kg .
Giải.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...
2.1.1.2. Ước lượng khoảng một phía

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG BÊN TRÁI CHO TRUNG BÌNH  (Mức ý nghĩa )

n  30

Trường
hợp
Các
bước
1. Nhận
định

 2 đã biết



n  30 , X  N ;  2 

 2 chưa biết

 2 đã biết




12

 2 chưa biết

Không biết qui
luật phân phối



Áp dụng bất đẳng
thức Chebyshev.


Chương 2. Suy luận thống kê

tham số
cần ước
lượng
2. Tính
z
giá trị tới
hạn
3. Tính

  z
độ chính
n
xác
4. Xác
định
khoảng
;x  
ước
lượng

z
  z

tn 1

z
s
n



  z

n

  tn1

s
n

;x   ;x   ;x  

 z  thỏa  z    1     tra từ Bảng giá trị hàm Laplace.





 tn1 thỏa P T  tn1  1     tra từ Bảng phân phối Student.
ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG BÊN PHẢI CHO TRUNG BÌNH  (Mức ý nghĩa )

n  30

Trường
hợp
Các bước
1. Nhận
định
tham số
cần ước
lượng
2. Tính
giá trị tới
hạn
3. Tính
độ chính
xác
4. Xác
định
khoảng
ước lượng

n  30 , X  N ;  2 

 2 đã biết

 2 chưa biết

 2 đã biết

 2 chưa biết









z

z

z

tn 1

  z


n

  z

s
n

  z


n

  tn1

s
n

x  ;  x  ;  x  ;  x  ; 
 

 z  thỏa  z   1     tra từ Bảng giá trị hàm Laplace.

13

Không biết qui
luật phân phối

Áp dụng bất đẳng
thức Chebyshev.


Chương 2. Suy luận thống kê





 tn1 thỏa P T  tn 1  1     tra từ Bảng phân phối Student.

* Chú ý:
 Khi có ước lượng khoảng bên trái cho trung bình  với độ tin cậy  là

;x



  , ta nói giá trị tối đa của trung bình  với độ tin cậy  là x   .

 Khi có ước lượng khoảng bên phải cho trung bình  với độ tin cậy  là

x



 ;  , ta nói giá trị tối thiểu của trung bình  với độ tin cậy  là x   .
Ví dụ 2.1.1.2. (1)

Để nghiên cứu sản lượng sữa hàng ngày (SLSHN) của một đàn bò, người ta điều
tra ngẫu nhiên trên 100 con bò của nơng trường và có kết quả sau:
SLSHN (kg)

9

11

12

13

15

Số con bị

10

24

42

16

8

Với độ tin cậy 98%, có thể nói sản lượng sữa trung bình hàng ngày của một
con bị ít nhất và nhiều nhất bằng bao nhiêu?
Giải.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
14


Chương 2. Suy luận thống kê

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...

2.1.2. Ước lượng khoảng tin cậy cho tỉ lệ một tổng thể
2.1.2.1. Ước lượng khoảng tin cậy hai phía
ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG HAI PHÍA CHO TỈ LỆ p
Các bước

(Mức ý nghĩa )

p

1. Nhận định tham số
cần ước lượng
2. Tính giá trị tới hạn

z
2

3. Tính độ chính xác

  z
2





n

p  ; p  

4. Xác định khoảng ước
lượng





p 1 p



 z  thỏa  z    1  
2
 2 
2

 1
tra từ bảng giá trị hàm Laplace.
2

Ví dụ 2.1.2.1.

Để nghiên cứu sản lượng sữa hàng ngày (SLSHN) của một đàn bò, người ta điều
tra ngẫu nhiên trên 100 con bị của nơng trường và có kết quả sau:
SLSHN (kg)

9

10

12

14

15

Số con bị

10

24

42

16

8

Tìm khoảng tin cậy 94% cho tỉ lệ bị cho SLSHN khơng nhiều hơn 12kg.
Giải.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
15


Chương 2. Suy luận thống kê

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...

2.1.2.2. Ước lượng khoảng tin cậy một phía
ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG BÊN TRÁI CHO TỈ LỆ p
Các bước

(Mức ý nghĩa )

p

1. Nhận định tham số
cần ước lượng
2. Tính giá trị tới hạn

z

3. Tính độ chính xác

  z



p 1 p



n

; p  

4. Xác định khoảng ước
lượng

 

 z  thỏa  z   1     tra từ Bảng giá trị hàm Laplace

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG BÊN PHẢI CHO TỈ LỆ p
Các bước

(Mức ý nghĩa )

p

1. Nhận định tham số
cần ước lượng
2. Tính giá trị tới hạn

z

3. Tính độ chính xác

  z



p 1 p



n

p  ; 

4. Xác định khoảng ước
lượng

 

 z  thỏa  z   1     tra từ Bảng giá trị hàm Laplace

* Chú ý:
 Khi có ước lượng khoảng bên trái cho tỉ lệ p với độ tin cậy  là ; p   , ta nói
giá trị tối đa của tỉ lệ p với độ tin cậy  là p   .
 Khi có ước lượng khoảng bên phải cho tỉ lệ p với độ tin cậy  là p  ; , ta nói
giá trị tối thiểu của tỉ lệ p với độ tin cậy  là p   .
Ví dụ 2.1.2.2. (2)
16


Chương 2. Suy luận thống kê

Một công ty sản xuất bột giặt muốn thăm dò mức độ tiêu thụ sản phẩm này trong
thành phố H. Công ty tiến hành điều tra 500 hộ gia đình và có kết quả sau:
Nhu cầu (kg/tháng)

<1

[1; 1,5)

[1,5; 2)

[2; 2,5)

[2,5; 3)

[3; 3,5)

≥ 3,5

Số hộ gia đình

21

147

192

78

34

16

12

Những hộ có nhu cầu trên 2 kg trong một tháng được gọi là những hộ có nhu cầu
cao. Với độ tin cậy 96%, có thể nói tỉ lệ tối đa và tỉ lệ tối thiểu của những hộ có nhu cầu

cao ở thành phố H bằng bao nhiêu?
Giải.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...

2.1.3. Một số bài tốn có liên quan đến ước lượng khoảng tin cậy hai phía cho trung
bình (kỳ vọng) và tỉ lệ của một tổng thể
Yếu tố đã biết
Yếu tố cần tìm
Ước lượng khoảng Ước lượng khoảng
cho trung bình
cho tỉ lệ
- Cỡ mẫu n

Độ chính xác 
  z

- Độ tin cậy
n
p 1 p
2
  1
  z
s
n
2
hoặc   z 
n
2



- Cỡ mẫu n
- Độ chính xác 
- Độ tin
  1

Độ
tin
  1 

cậy Cỡ mẫu n’

- Độ chính xác 

cậy

 
  2 z    1
 2 



 
  2 z    1
 2 

2

  
n '  z  
 2  

n '  z 
 2

Ví dụ 2.1.3.1. (3)
17

2

s 

 

hoặc

n '  z 2
2

p 1  p 
2


Chương 2. Suy luận thống kê

Nghiên cứu về độ bền X (kg/mm2) của một loại thép, người ta tiến hành quan sát
một số tấm thép trên mẫu và có kết quả cho trong bảng sau:
Độ bền (kg/mm2)

Độ bền đại diện (kg/mm2 )

Số tấm thép

(95, 115]

105

15

(115,135]

125

19

(135,155]

145

23

(155,175]

165

31

(175,195]

185

29

(195,215]

205

21

> 215

225

6

(a) Tìm khoảng tin cậy 97% cho độ bền trung bình của loại thép trên.

(b) Sẽ đạt độ tin cậy bao nhiêu nếu muốn ước lượng độ bền trung bình của loại
thép trên bằng khoảng tin cậy có độ dài bằng 6?
(c) Thép có độ bền trên 195kg/mm2 được gọi là thép loại A. Tìm khoảng tin cậy
98% cho độ bền trung bình của thép loại A. Giả sử độ bền X (kg/mm2 ) của loại
thép đó có phân phối chuẩn.
Độ bền (kg/mm2)

Độ bền đại diện (kg/mm2 )

Số tấm thép

(195,215]

205

21

> 215

225

6

Giải.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...
Ví dụ 2.1.3.2. (4) Giả sử bạn muốn ước lượng tỉ lệ xe gắn máy hiệu Air Blade

trong tổng số xe gắn máy đang lưu hành ở Tp.Long Xuyên trong giờ cao điểm bằng cách
đứng ở góc cầu Nguyễn Trung Trực và đếm số xe hiệu Air Blade. Bạn nghĩ rằng tỉ lệ này
không quá 0,40 và muốn sai số của khoảng tin cậy không lớn hơn 0,03. Bạn cần phải
chọn một mẫu ít nhất cỡ bao nhiêu xe? Dùng mức tin cậy 90%.
Giải.
18


Chương 2. Suy luận thống kê

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 2.1.3.3. (5) Để nghiên cứu sản lượng sữa hàng ngày (SLSHN) của một đàn
bò, người ta điều tra ngẫu nhiên trên 100 con bị của nơng trường và có kết quả sau:
SLSHN (kg)

9

11

12

13

15

Số con bò
10
24
42
16
8
Muốn sai số khi ước lượng sản lượng sữa trung bình mỗi ngày khơng vượt q
0,5kg và sai số khi ước lượng tỉ lệ bị cho SLSHN khơng nhiều hơn 12kg không vượt quá
12%, với cùng độ tin cậy 98%, thì cần điều tra ít nhất bao nhiêu con bò?
Giải.
……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………….......………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………….......………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………….......……………………………………………………...

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
2.1.4. Ước lượng khoảng tin cậy cho phương sai một tổng thể
2.1.4.1. Ước lượng khoảng hai phía

Giả sử tổng thể X có phân phối chuẩn N(;2), trong đó 2 chưa biết và chúng ta
muốn tìm khoảng ước lượng cho  2 với độ tin cậy   1   (0 <  < 1) cho trước. Ta
có các cơng thức ước lượng khoảng cho  2 như sau:

19


Chương 2. Suy luận thống kê

X có phân phối chuẩn N ;  2 

Công thức

n
2
 (x  ) n
i
i 1 i

 đã biết

2 (n )

2

 2 

n  1 s2
 chưa biết

2 (n  1)

2

n
2
 (x  ) n
i
i 1 i

 2 

2

(n )
1 
2

n  1s2
2
(n  1)
1 
2

Tra 2 (n ); 12 (n ) từ bảng phân phối Chi bình phương với n bậc tự do.
2

2

Tra 2 (n  1); 12  (n  1) từ bảng phân phối Chi bình phương với (n – 1) bậc tự do.
2

2

Ví dụ 2.1.4.1. Để khảo sát tính chính xác của một cái cân, người ta đặt quả cân
100g lên cân và đọc kết quả do cân chỉ. Lặp lại nhiều lần, người ta thu được các kết quả
sau:
xi(g): 102

101

97

102

99

101

102

99

98

Tính chính xác của cân thể hiện qua phương sai. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho
phương sai của cân, biết trọng lượng cân có phân phối chuẩn.
Giải.
Theo giả thuyết, ta có  = 100.
Ta có khoảng ước lượng của phương sai với độ tin cậy  =1–  = 95%   0, 05
là:

n
2
 (x  ) n
i
i 1 i
2 (n )

2

 2 

n

2
 (x  ) n
i
i 1 i
2
(n )
1 
2

n
Với mẫu trên, chúng ta tính được n = 9;  (x  )2n  29 .
i
i 1 i
Tra bảng phân phối Chi bình phương ta được:
20


Chương 2. Suy luận thống kê

20,025 (9)  19, 023

20,975 (9)  2, 700

và

Vậy khoảng tin cậy 95% cho phương sai của cân là:

 29 ; 29   1,524;10,741

 19,023 2,700  



Ví dụ 2.1.4.2. Cho biết khối lượng trẻ sơ sinh có phân phối chuẩn. Một mẫu cỡ 20
cho giá trị trung bình mẫu bằng 2982 (g) và giá trị phương sai mẫu bằng 209108 (g2).
Tìm khoảng tin cậy 90% cho độ lệch chuẩn tổng thể.
Giải.
Theo giả thuyết, ta có: x  2982 (g) và s2 = 209108 (g2).
Với n = 20 và  = 90%, chúng ta có:
(n  1)s2 = 19  209108 = 3973052
Khoảng tin cậy 90% cho phương sai tổng thể:

19 s 2
2 (19)
0, 05

 2 

19 s 2
2 (19)
0, 95

2
Tra bảng ta được: 0,05
(19)  30,144 và

2
0,95
(19)  10,117

Vậy khoảng tin cậy 90% cho  là: (363,046;626,666) (g)

Ví dụ 2.1.4.3. Mức tiêu hao nguyên liệu cho một đơn vị sản phẩm là một biến ngẫu
nhiên X tuân theo quy luật chuẩn. Quan sát 28 sản phẩm được chọn ngẫu nhiên, người ta
thu được kết quả cho trong bảng sau:
x (gam)

19

19,5

20

20,5

số sản phẩm

5

6

14

3

Hãy xây dựng khoảng tin cậy 90% cho phương sai tổng thể trong hai trường hợp:
(a) biết E(X) = 20g; ĐS: 0,175; 0, 428
(b) chưa biết E(X).

ĐS: 0,143; 0, 356

Giải.

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
21


Chương 2. Suy luận thống kê

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...
2.1.4.2. Ước lượng khoảng một phía

Giả sử tổng thể X có phân phối chuẩn N(;2), trong đó 2 chưa biết và chúng ta
muốn tìm khoảng ước lượng cho  2 với độ tin cậy   1   (0 <  < 1) cho trước. Ta
có các cơng thức ước lượng khoảng một phía cho  2 như sau:
Ước lượng khoảng bên trái cho phương sai 2



X có phân phối chuẩn N ;  2



Công thức

 đã biết

0  2 

n
2
 (x  ) n
i
i 1 i

0  2 

 chưa biết

2
(n )
1

n  1 s2
2
(n  1)
1

Tra 2

(n ) từ bảng phân phối Chi bình phương với n bậc tự do.

Tra 2

(n  1) từ bảng phân phối Chi bình phương với n – 1 bậc tự do.

1 
1

Ước lượng khoảng bên phải cho phương sai 2



X có phân phối chuẩn N ;  2



Công thức

n
2
 (x  ) n
i
i 1 i

 đã biết

2 (n )


22

 2  


Chương 2. Suy luận thống kê

n  1s2

 chưa biết

2 (n  1)


 2  

Tra 2 (n ) từ bảng phân phối Chi bình phương với n bậc tự do.
Tra 2 (n  1) từ bảng phân phối Chi bình phương với n – 1 bậc tự do.

* Chú ý:





 Khi có ước lượng khoảng bên trái cho phương sai  2 với độ tin cậy  là 0; ˆ2 , ta
nói giá trị tối đa của phương sai  2 với độ tin cậy  là ˆ2 .






Khi có ước lượng khoảng bên phải cho phương sai  2 với độ tin cậy  là ˆ2 ;  ,

ta nói giá trị tối thiểu của phương sai  2 với độ tin cậy  là ˆ2 .
Ví dụ 2.1.4.2.

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
Giải.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………...

2.1.5. Ước lượng khoảng tin cậy cho sự khác biệt giữa trung bình (kỳ vọng) của hai
tổng thể
2.1.5.1. Trường hợp hai mẫu phối hợp từng cặp
Giả sử rằng chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên gồm n cặp quan sát từ những phân phối với
trung bình µx và µy. Ðặt d và sd là trung bình và độ lệch chuẩn của n sự khác biệt di= xi – yi.
Nếu phân phối của những khác biệt này là phân phối chuẩn thì khoảng tin cậy 100 (1 - α) % cho
(µx - µy) được tính như sau:
23


Chương 2. Suy luận thống kê

d
Trong đó d

tn1, /2sd
n

d

n

i

2
d

;s

 x  y  d 

d


2
i

 nd 2

n 1

tn1, /2sd
n
và t n 1

; sd  sd2

là một số thỏa

2



 1 
tra từ Bảng phân phối Student với n  1 bậc tự do.
P T  t n1   1  


2
2

2 
Ví dụ 2.1.5.1. (6) Trọng lượng của các kiện hàng (kg) được sản xuất bởi cùng một phân xưởng
trước cải tiến và sau cải tiến trong một nhà máy được cho trong bảng dưới đây:
Kiện hàng

Trước cải tiến

Sau cải tiến

Chênh lệch

(i)

(xi: kg)

(yi: kg)

di = xi - yi

di2

1

19,4

19,6

- 0,2

0,04

2

18,8

17,5

1,3

1,69

3

20,6

18,4

2,2

4,84

4

17,6

17,5

0,1

0,01

5

19,2

18,0

1,2

1,44

6

20,9

20,0

0,9

0,81

7

18,3

18,8

- 0,5

0,25

8

20,4

19,2

1,2

1,44

6,2

10,52

Tổng cộng

Với độ tin cậy 99%, hãy ước lượng sự chênh lệch trọng lượng trung bình tổng thể của
mỗi kiện hàng được sản xuất bởi phân xưởng nói trên trước cải tiến và sau cải tiến.
Giải.
Gọi X ; Y lần lượt là trọng lượng trung bình của mỗi kiện hàng được sản xuất bởi phân
xưởng trước cải tiến và sau cải tiến.
Theo đề bài ta có:

d

6,2

 0, 775
n
8
di2  nd 2
1

2
sd 
 10, 52  (8)(0, 775)2   0, 816

n 1
7

d 

i



sd  sd2  0, 816  0, 903
và


 0, 005 => t(n-1, α/2) = t(7; 0,5%) = 3,499
2
Khoảng tin cậy 99% cho ( µx - µy):

- 0,342 < x - y < 1,892
Vậy với khoảng tin cậy 99% sự chênh lệch trọng lượng trung bình tổng thể của mỗi kiện
hàng được sản xuất từ phân xưởng nói trên trước cải tiến và sau cải tiến nằm trong khoảng

- 0,342 kg đến 1,892 kg. Khoảng này chứa đựng giá trị 0, hàm ý rằng có sự bằng nhau về
24