Sử dụng phương pháp FDTD khảo sát anten vi dải (analysis of microstrip antennas using the finite difference time domain method)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN CHƯƠNG ĐỈNH

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP FDTD
KHẢO SÁT ANTEN VI DAÛI
ANALYSIS OF MICROSTRIP ANTENNAS USING THE
FINITE DIFFERENCE TIME DOMAIN METHOD

CHUYÊN NGÀNH
MÃ SỐ NGÀNH

: KỸ THUẬT VÔ TUYẾN ĐIỆN TỬ
: 2.07.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH tháng 12-2002


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN CHƯƠNG ĐỈNH

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP FDTD
KHẢO SÁT ANTEN VI DAÛI
ANALYSIS OF MICROSTRIP ANTENNAS USING THE
FINITE DIFFERENCE TIME DOMAIN METHOD

CHUYÊN NGÀNH
MÃ SỐ NGÀNH

: KỸ THUẬT VÔ TUYẾN ĐIỆN TỬ
: 2.07.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH tháng 12-2002


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
ThS. TRẦN VĂN SƯ
Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐƯC BẢO VỆ TẠI
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Ngày tháng năm 2002

Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện cao học Trường Đại Học Bách Khoa,
Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

Đại Học Quốc Gia Tp.Hồ Chí Minh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập – Tự Do – Hanh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: Nguyễn Chương Đỉnh
Ngày tháng năm sinh: 25 – 10 – 1975
Chuyên ngành : KỸ THUẬT VÔ TUYẾN ĐIỆN TỬ
Khóa (Năm trúng tuyển) : 11 (2000)

Phái : Nam
Nơi sinh: Hà Tónh
Mã số : 02.07.01

I – TÊN ĐỀ TÀI

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP FDTD
KHẢO SÁT ANTEN VI DẢI
II . NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

Nghiên cứu áp dụng phương pháp FDTD trong trường điện từ.
Ứng dụng phương pháp FDTD để khảo sát anten vi dải
Thực hiện chương trình mô phỏng trên máy tính
III . NGÀY GIAO NHIỆM VỤ (Ngày bảo vệ đề cương) : 1 – 6 – 2002
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ (Ngày bảo vệ luận án tốt nghiệp) :
V. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : ThS TRẦN VĂN SƯ
VI . HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 1 :

VII. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 2:
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CÁN BỘ NHẬN XÉT 1

CÁN BỘ NHẬN XÉT 2

ThS Trần Văn Sư

Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông
qua.

TRƯỞNG PHÒNG QLKH – SĐH
PHÓ TRƯỞNG PHÒNG

TPHCM ngày tháng năm 2002
CHỦ NHIỆM NGÀNH


Lời cảm ơn

1

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện từ tháng 6-2002 đến tháng 12-2002 dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của thầy M.Eng Trần Văn Sư.
Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến
Thầy M.Eng Trần Văn Sư đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài
này.
Quý thầy cô Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM đã truyền đạt kiến

thức giúp tôi trưởng thành hơn trong nghề nghiệp và cuộc sống.
Các bạn học viên cao học Điện tử – Viễn thông khóa 11 đã giúp đỡ,
trao đổi kiến thức trong quá trình học lập.
Xin cảm ơn gia đình và tất cả bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian qua.
TP. Hồ Chí Minh tháng 12 năm 2002
Nguyễn Chương Đỉnh


Tóm tắt

2

TÓM TẮT

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP FDTD
KHẢO SÁT ANTEN VI DẢI
Phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian (FDTD = Finite-Difference
Time-Domain Method) có ưu thế vượt trội trong việc giải bài toán lan truyền
trường điện từ. Phương pháp này là công cụ giải phương trình Maxwell dạng
sai phân trong miền thời gian. Phương pháp FDTD dựa trên nguyên lý là rời
rạc không gian vật lý 3 chiều bằng lưới không gian và cũng như rời rạc thời
gian bằng lưới thời gian đều hoặc không đều.
Trong luận án, tập trung vào việc nghiên cứu việc ứng dụng phương pháp
FDTD để khảo sát anten vi dải (microstrip antenna) và so sánh kết quả với các
kết quả thực nghiệm. Qua đó phát triển FDTD thành một cơ sở ứng dụng, áp
dụng để giải các bài toán về sóng điện từ và đưa ra một cái nhìn tổng quát về
phương pháp FDTD.

ANALYSIS OF MICROSTRIP ANTENNAS USING THE

FINITE - DIFFERENCE TIME - DOMAIN METHOD
ABSTRACT
The Finite-Difference Time - Domain Method has been a dominant tool for
the analysis of electromagnetic wave propagation. This technique provides the
solution in the time domain of Maxwell equation in difference form. Both
physical region and time interval of interest are discreticized using a uniform or
non-uniform grid.
In this thesis, using the Finite-Difference Time Domain Method to analyze
electromagnetic wave propagation for microstrip antenna. The simulation
results are compared with published results when available. And then,
objective of this thesis will be to develop the FDTD method to become a strong
tool that use to compute the electromagnetic problems.


Mục lục

3

MỤC LỤC
Lời cảm ơn

1

Tóm tắt

2

Mục lục

3

Các thuật ngữ viết tắt

6

Phần I. Lý thuyết

8

Chương 1. Giới thiệu

9

1.1. Lịch sử phát triển FDTD
1.2. Nguyên lý phương pháp FDTD
1.3. Ứng dụng của phương pháp FDTD
1.4. Nội dung của luận văn

9
9
10
11

Chương 2. Phương pháp FDTD

13

2.1 Giới thiệu
2.2 Hệ phương trình Maxwell
2.2.1. Hệ phương trình Maxwell trong không gian 3D

2.2.2. Hệ phương trình Maxwell trong không gian 2D
2.3 Thuật giải FDTD tổng quát trong không gian 3D
2.3.1. Hệ phương trình sai phân
2.3.2. Điều kiện hội tụ.

13
13
13
16
17
17
22

Chương 3. Điều kiện biên hấp thụ

24

3.1. Giới thiệu
3.2. Điều kiện biên Merewether
3.2.1. Điều kiện biên bức xạ
3.2.2. Xét sự ổn định
3.3. Điều kiện biên Mur
3.4 PML
3.4.1. PML trong không gian 2D
3.4.2. PML trong không gian 3D
3.4.3. Các thông số vật liệu PML
3.3.4. Biểu thức sai phân hữu hạn

24
24

24
28
29
33
33
34
35
37


Mục lục

4

Chương 4. Mô hình anten

42

4.1 Giới thiệu
4.2 Công thức bài toán anten
4.2.1. Anten phát
4.2.2. Anten thu
4.2.3. Đối xứng.
4.2.4.Nguồn kích thích
4.3 Mô hình nguồn.
4.3.1 Mô hình khe đơn giản cho anten monopole
4.3.2 Nguồn gần tónh
4.4. Phép biến đổi trường gần sang trường xa.
4.4.1. Biến đổi miền thời gian.
4.4.2. Biến đổi miền tần số.

42
42
42
44
45
47
47
48
50
53
54
59

Phần II. Mô phỏng bài toán tán xạ và anten

62

Chương 1. Bài toán tán xạ không gian đóng của K. Yee

64

1.1 Mô hình
2.1.1. Ý nghóa lịch sử
2.1.2. Lý thuyết
2.1.3. Tính toán cho mô hình
2.1.4. Giải thuật cho bài toán
1.2 Kết quả mô phỏng
1.2.1. Các hình ảnh mô phỏng động 3D
1.2.2. So sánh kết quả K.Yee.

2.3. Nhận xét

64
64
65
67
68
70
70
75
77

Chương 2. Bài toán anten monopole

78

2.1 Mô hình
2.1.1. Vai trò và ý nghóa
2.1.2. Giới thiệu
2.1.3. Lý thuyết
2.1.4. Tính toán cho mô hình
2.1.5. Giải thuật cho bài toán
2.2 Kết quả mô phỏng
1.2.1. Các hình ảnh mô phỏng động.
1.2.2. So sánh kết quả Maloney.

78
78
78
78

84
90
92
92
97


Mục lục

5

2.3. Nhận xét

99

Chương 3. Bài toán anten microstrip

100

3.1 Mô hình anten microstrip.
3.1.1. Vai trò và ý nghóa
3.1.2. Một số đặc tính cơ bản
3.1.3. Phân tích lý thuyết
3.1.4. Tính toán cho mô hình anten microstrip
3.1.5. Giải thuật chương trình
3.2 Kết quả mô phỏng bài toán anten microstrip
3.2.1. Các hình ảnh mô phỏng động.
3.2.2. So sánh kết quả
3.3. Nhận xét

100
100
100
102
106
108
110
110
117
118

Chương 4. Chương trình minh họa mô phỏng FDTD

119

4.1 Giới thiệu
4.2 Hướng dẫn sử dụng

119
119

Chương 5. Kết luận và phương hướng phát triển

124

5.1 Nhận xét về phương pháp FDTD
5.2.Kết luận
5.3. Phương hướng phát triển

124

125
126

Phần III. Phụ lục và tham khảo

127

Phụ lục

127

A. Nội dung CDROM
B. Một số đoạn chương trình mẫu
Tham khảo
Danh sách tài liệu tham khảo
Tóm tắt lý lịch trích ngang

127
128
133
133
135


Các thuật ngữ viết tắt

CÁC THUẬT NGỮ

6

VIẾT TẮT

ABC

Absorbing boundary condition
Điều kiện biên hấp thụ

DFT

Discrete Fourier transformation
Biến đổi Fourier rời rạc

FDTD

Finite-Difference Time-Domain
Sai phân hữu hạn trong miền thời gian

FFT

Fast Fourier transformation
Phép biến đổi Fourier nhanh

FD -NFFF

Frequency – domain near field to far field transformation
Phép biến đổi trường gần sang trường xa trong miền tần số

NFFF

Near field to far field transformation

Phép biến đổi trường gần sang trường xa

NFNF

Near field to near field transformation
Phép biến đổi trường gần sang cận trường gần

PEC

Perfect electric conductor
Vật dẫn điện lý tưởng

PMC

Perfect magnetic conductor
Vật dẫn từ lý tưởng

PML

Perfectly matched layer
Môi trường phối hợp lý tưởng

TD -NFFF

Time – domain near field to far field transformation
Phép biến đổi trường gần sang trường xa trong miền thời gian

TEZ

Transverse Electric in z direction

Sóng điện ngang theo trục z

TMZ

Transverse Magnetic in z direction
Sóng từ ngang theo trục z


PHẦN I

LÝ THUYẾT


Lý thuyết

8

PHẦN I

LÝ THUYẾT
Phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian (FDTD = Finite-Difference
Time-Domain Method) được công bố đầu tiên bởi Kane Yee năm 1966 [1].
Ngày nay, FDTD đã khác rất nhiều so với ý tưởng ban đầu của K.Yee. Trong
khoảng từ thập niên 80 trở lại đây, với nhiều lý thuyết bổ sung đã đưa FDTD
thành một công cụ sắc bén.
Tuy vậy, hiện nay các tài liệu về FDTD vẫn chưa nhiều. Đa số các tài liệu về
FDTD là dựa trên các bài báo, mà thông thường trình bày một giải pháp lý
thuyết cụ thể để ứng dụng cho một vài bài toán. Tham khảo các bài báo này
để hiểu rõ thêm về ý tưởng, cũng như các giới hạn của lý thuyết cũng như có
định hướng đúng để áp dụng vào việc mô phỏng các bài toán cụ thể. Một vài

tác giả, điển hình như Taflove [20], [24] đã trình bày lý thuyết về phương pháp
FDTD một cách hệ thống. Trong phần lý thuyết này dựa chủ yếu vào tài liệu
của ông cũng như một số bài báo của các tác giả khác.
Trong phần này trình bày các lý thuyết nền tảng của FDTD, mà dựa trên các
lý thuyết đó chúng ta có thể mô phỏng các bài toán khá phức tạp. Tuy vậy do
giới hạn của luận văn không thể nào đưa vào toàn bộ các lý thuyết liên quan
có thể tham khảo các phần này trong phần phụ lục.


Giới thiệu

CHƯƠNG 1

9

GIỚI THIỆU

1.1 Lịch sử phát triển của FDTD
Phương pháp FDTD được công bố đầu tiên bởi Yee năm 1966 [1] là một
phương pháp đơn giản và hữu hiệu để rời rạc phương trình vi phân của hệ
phương trình Maxwell. Yee sử dụng lưới điện trường với những khoảng lệch
không gian và thời gian với lưới từ trường để tính toán truy hồi và thu được
trường hiện tại bằng máy tính thông qua những bước tính trường trước đó.
Phương trình truy hồi được sử dụng trong mô hình nhảy bước theo tuần tự của
trường E và H theo thời gian. Mặc dù sự đơn giản và hiệu quả của thuật toán
Yee, nó đã không nhận được sự quan tâm ngay tức khắc sau khi công bố. Điều
này chứng tỏ một thực tế rằng ngày đó tốc độ máy tính còn quá chậm, cũng
như bài báo còn có những giới hạn riêng của nó (bài báo đã không nêu ra được
một bài toán mở cho một khoảng thời gian dài có ý nghóa hơn). Tuy nhiên khi
những thiếu sót của FDTD bắt đầu giảm bớt và tốc độ máy tính ngày càng

tăng thì sự quan tâm đến FDTD cũng bắt đầu tăng nhanh.
Hiện nay, FDTD được xem như là một trong những phương pháp phổ biến nhất
để giải bài toán trường điện từ. Sự lớn mạnh của nó vẫn tiếp tục tăng khi tốc
độ máy tính ngày càng tăng. Hơn nữa, sự mở rộng và các kỹ thuật tăng cường
cho phương pháp đang được công bố ngày càng nhiều trên các tạp chí và càng
xâm nhập vào các lónh vực khác nhau. Thật sự là dựa trên những thông tin
thống kê, những bài báo liên quan đến FDTD tăng gần như hàm mũ trong gần
10 năm trở lại đây.
1.2 Nguyên lý của FDTD
Về khía cạnh toán học, thực chất của bài toán FDTD là giải hệ phương trình
Maxwell. Hệ phương trình Maxwell được rời rạc hóa để có thể giải bằng
phương pháp số. FDTD dựa trên nguyên lý xấp xỉ không gian vật lý 3 chiều
bằng các lưới không gian và xấp xỉ thời gian bằng lưới thời gian. Khi các mắt
lưới này đủ nhỏ có nghóa là các quy luật biến thiên trong khoảng này là tuyến
tính. Nếu xác định được giá trị cho tập hợp điểm trong không gian này thì bài
toán được giải quyết. Các lưới thời gian được chọn sao cho thuật toán hội tụ,
lưới thời gian và lưới không gian liên hệ với nhau trong một điều kiện hội tụ,
điều kiện Courant.


Giới thiệu

10

1.2. Ứng dụng của phương pháp FDTD
Ngày nay với hàng loạt lý thuyết mới bổ sung đã đưa FDTD đến một bước
phát triển mới. Các lý thuyết mới này giúp FDTD có thể áp dụng để giải các
bài toán không những trong lónh vực trường điện từ mà còn trong cả nhiệt động
học, thủy động học, sinh học...
Phương pháp FDTD ban đầu được ứng dụng trong công nghệ quốc phòng, đặc

biệt trong tính toán, thiết kế, chế tạo các loại hỏa tiễn được hướng dẫn bằng
radar.
Tuy mới bắt đầu có những ứng dụng vào các cấu trúc bức xạ đầu những năm
90, FDTD đã rất mạnh trong việc mô phỏng anten. Các kỹ thuật hỗ trợ cho
FDTD đã phát triển đầy đủ để có thể cấu trúc cho một mô hình anten phức
tạp. FDTD đặc biệt có thể mô phỏng những hiện tượng điện từ tác động ngẫu
nhiên hay các tham số môi trường tác động lên anten.
Phương pháp FDTD được sử dụng để mô phỏng các cấu trúc phức tạp sử dụng
trong thiết kế các mạch số tốc độ cao. Ứng dụng này liên quan tới bài toán có
thể gây ra hoạt động không tin cậy của mạch như ghép ký sinh giữa các đường
tín hiệu... Hầu hết các công cụ thiết kế mạch trên máy tính như Spice không
thích hợp khi tốc độ xung clock lớn hơn 500MHz. Các công cụ này không thể
giải quyết được những bài toán liên quan đến năng lượng sóng điện từ siêu cao
tần vận chuyển dọc theo bề mặt kim loại như các mặt phẳng đất. Cho đến nay,
người ta đã sử dụng phương pháp FDTD để mô phỏng sự lan truyền các xung
số và hiện tượng xuyên âm trong modul mạch máy tính gồm một ngăn xếp của
4 board mạch 22 lớp được kết nối bởi 3 connector 50 chân. Toàn bộ modul này
được lấy mẫu với độ phân giải .004 inch, 60 triệu thành phần vector trường đã
được giải trong bài toán này.
Trong thập niên 90, với sự phát triển của các thiết bị thông tin cá nhân không
dây, một vấn đề quan trọng được đặt ra là các thiết bị phải đảm bảo các yêu
các tiêu chuẩn an toàn về sóng siêu cao tần có ảnh hưởng đến người sử dụng.
Mô phỏng FDTD trở thành một công cụ rất mạnh đáp ứng nhu cầu trong việc
thiết kế các anten hiệu quả, an toàn cho người sử dụng. FDTD là một sự lựa
chọn cho các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây, để nghiên cứu tác
động của trường điện từ lên não người. Vì não người là một môi trường phức
tạp về mặt vật lý, nên khó có thể có một lý thuyết hoàn chỉnh để tái tạo lại
một mô hình để khảo sát các tác động khác nhau của trường điện từ các thiết
bị cầm tay lên não người. Trong khi đó FDTD lại rất thành công trong lónh vực
này.

Giới thiệu

11

Ngoài ra, FDTD còn dùng kết hợp với các phương pháp khác như Moment để
mở rộng kết quả của FDTD hay để xử lý các kết quả của các phương pháp
khác bằng FDTD.
Thống kê cho thấy trong những năm gần đây, phương pháp số FDTD giải
quyết bài toán trường điện từ chiếm một tỉ lệ đáng kể so với các phương pháp
khác. FDTD đã đóng vai trò khá lớn trong sự phát triển của các phương pháp
số giải bài toán.
1.2. Nội dung của luận văn
Luận văn gồm 2 phần: Phần lý thuyết FDTD và phần ứng dụng phương pháp
FDTD để mô phỏng các bài toán trường điện từ.
Phần I. Lý thuyết bao gồm 4 chương, bao gồm các lý thuyết về FDTD để hỗ
trợ cho các chương trình mô phỏng, phần lý thuyết chủ yếu dựa trên Taflove
và một số tài liệu lấy được trên Internet.
Chương 1. Giới thiệu. Giới thiệu tổng quan về phương pháp cũng như các ứng
dụng của phương pháp FDTD.
Chương 2. Phương pháp FDTD. Trình bày các cơ sở toán học của việc rời rạc
hóa phương trình Maxwell. Phân tích thuật toán Kane Yee, trình bày các cơ sở
lựa chọn các lưới thời gian và không gian để thuật toán hội tụ.
Chương 3. Điều kiện biên hấp thụ. Phân tích các điều kiện biên để mô hình
bài toán trường điện từ trong một không gian “mở”.
Chương 4. Mô hình anten. Trình bày các nguyên lý xây dựng các mô hình
anten để có thể mô phỏng được bằng phương pháp FDTD.
Phần II. Ứng dụng phương pháp FDTD để mô phỏng các bài toán trường điện
từ. Phần này bao gồm 3 bài toán như sau

Chương 1.Chương này sẽ mô phỏng lại bài toán tán xạ của một vật dẫn lý
tưởng đặt trong trường sóng tới TM phẳng. Các đường biên bao quanh là các
đường biên PEC. Bài toán áp dụng phương pháp rời rạc hóa phương trình
Maxwell bằng các phương trình sai phân bậc 2 theo thời gian và cách rời rạc
hóa không gian để tìm các thành phần trường. Mặc dù bài toán này quá đơn
giản so với các bài toán ứng dụng thực tế. Nhưng chúng ta mô phỏng lại bài
toán Yee với tinh thần tìm hiểu phương pháp FDTD và qua đó xem lại những
giới hạn mà Yee đã gặp.


Giới thiệu

12

Chương 2. Chương này mô hình hóa một anten monopole đặt trên một mặt
phẳng đất vô hạn. Không gian tính toán được ngăn cách bởi điều kiện biên
hấp thụ Merewether. Nguồn kích thích được mô phỏng bằng trường kích thích
từ cáp đồng trục. Sau đó dùng mô hình để tính toán các đặc tính của anten.
Chương 3. Chương này mô hình hóa một anten vi dải (microstrip antenna).
Đây là một mô hình anten thật có thể đo đạc thực nghiệm để so sánh. Bài toán
nghiên cứu trường vùng gần của anten và tính toán các đặc tính của anten.
Chương 4. Chương trình minh họa. Xây dựng một chương trình minh họa các
mô phỏng để giúp người sử dụng có thể xem các kết quả mô phỏng ở các
chương 1, 2, 3.
Chương 5. Kết luận và phương hướng phát triển. Phần kết luận đưa ra các
tổng kết về kết quả, đánh giá về phương pháp FDTD. Trong phần này cũng đề
cập đến những phương hướng phát triển công việc nghiên cứu FDTD.
Phần III. Phụ lục và tham khảo.

Phương pháp FDTD

13

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
TRONG MIỀN THỜI GIAN (FDTD)
2.1 Giới thiệu
Ngày nay, các máy tính có tốc độ xử lý và dung lượng nhớ ngày càng tăng.
Điều này làm tăng khả năng mô phỏng các bài toán trường điện từ trong miền
thời gian bên cạnh các mô phỏng trong miền tần số. Các mô phỏng sử dụng
các phương trình rời rạc bởi vì dạng rời rạc có thể thực hiện dễ dàng trên máy
tính.
Phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian (FDTD), thực hiện rời rạc
hệ phương trình Maxwell dạng vi phân thành dạng sai phân và giải trực tiếp
trên hệ phương trình sai phân này. Trong chương này sẽ trình bày phương pháp
rời rạc hóa hệ phương trình Maxwell dạng vi phân thành dạng sai phân. Đồng
thời cũng chỉ ra cách lựa chọn các lưới thời gian và không gian để thuật toán
có thể hội tụ.
2.2 Hệ phương trình Maxwell
2.2.1 Hệ phương trình Maxwell trong không gian 3D
Hệ phương trình Maxwell phụ thuộc thời gian ở dạng vi phân và tích phân có
dạng như sau:
Định luật Faraday:
∂B
= −∇ × E − M
∂t
∂
B ⋅ d A = − ∫ E ⋅ d l − ∫∫ M ⋅ d A

∂t ∫∫
A
l
A

(I.2.1a)
(I.2.1b)

Định luật Ampere:
∂D
= ∇× H − J
∂t

(I.2.2a)


Phương pháp FDTD

14

∂
D ⋅ d A = ∫ H ⋅ d l − ∫∫ J ⋅ d A
∂t ∫∫
A
l
A

(I.2.2b)

Định luật Gauss cho trường điện:

(I.2.3a)
(I.2.3b)

∇ ⋅D = 0

∫∫

D ⋅d A = 0

A

Định luật Gauss cho trường từ:
(I.2.4a)
(I.2.4b)

∇⋅B = 0
∫∫ B ⋅ d A = 0
A

Trong đó:
E
D
H
B

A
l
J
M

: điện trường (V/m)
: mật độ điện trường (C/m2)
: từ trường (A/m)
: mật độ từ trường (W/m2)
: mặt không gian 3 chiều bất kỳ
: đường bao khép kín giới hạn bề mặt A.
: mật độ dòng điện (A/m2)
: mật độ dòng từ tương đương (V/m2)

Với những vật liệu tuyến tính, đẳng hướng, không tán xạ, quan hệ giữa D
và E , giữa B và H như sau:
D = ε E = ε rε 0 E

B = µ H = µr µ0 H

(I.2.5)

Trong đó:

ε : hằng số điện môi (F/m)
εr : hằng số điện môi tương đối (phần tử vô hướng)
ε0 : hằng số điện môi trong khoõng gian tửù do (8.854ì10-12 F/m)
à : ủoọ tửứ thaồm từ trường (H/m)
µr : độ từ thẩm tương đối (phần tử vô hướng)
µ0 : độ từ thẩm trong chân không (4π×10-7 H/m)
Chú ý rằng J và M có thể hoạt động như các nguồn độc lập của vùng năng
lượng E vaø H, J source , M source.


Phương pháp FDTD

J = J source + σ E

15
M = M source + σ * H

(I.2.6)

trong đó:

σ : độ điện dẫn (siemen/m)
σ* : độ từ dẫn (Ω/m)
Cuối cùng, ta được hệ phương trình Maxwell trong không gian tuyến tính, đẳng
hướng, không tán xạ, có tổn hao là:
∂H
1
1
= − ∇ × E − ( M source + σ * H )
∂t
µ
µ

(I.2.7)

∂E
1
1
= − ∇ × H − ( J source + σ E )
∂t
ε
ε

(I.2.8)

Bây giờ chúng ta viết thành phần vector các toán tử của công thức (I.2.7) và
(I.2.8) trong tọa độ Cartesian bao gồm 6 phương trình như sau

∂H x 1  ∂E y ∂E z
= 
−
− ( M sourcex + σ * H x )
∂t
∂y
µ  ∂z

∂H y 1  ∂Ez ∂Ex

= 
−
− ( M source y + σ * H y )
∂t
∂z
µ  ∂x


∂H z 1  ∂E x ∂E y
= 
−
− ( M sourcez + σ * H z )
∂t
∂x

µ  ∂y


∂E x 1  ∂H z ∂H y
= 
−
− ( J sourcex + σE x )
∂t
∂z
ε  ∂y

∂E y

1  ∂H x ∂H z

−
− ( J sourcey + σE y )

ε  ∂z
∂t
∂x


∂E z 1  ∂H y ∂H x
= 
−
− ( J sourcez + σE z )
∂t
∂y
ε  ∂x


=

(I.2.9a)
(I.2.9b)
(I.2.9c)
(I.2.10a)
(I.2.10b)
(I.2.10c)

Hệ 6 phương trình vi phân từng phần của (I.2.9) và (I.2.10) là dạng cơ bản của
thuật toán số học FDTD trongkhông gian 3D tổng quát.
Trước khi tiếp tục với thuật toán 3D, cần khảo sát các trường hợp 2D. Những
trường hợp này minh họa các hiện tượng sóng điện từ quan trọng và có thể
thấy rõ quá trình phân tích và thuật toán của trường hợp 3D tổng quát.


Phương pháp FDTD

16

2.2.2 Hệ phương trình Maxwell trường hợp 2D
Giả sử rằng cấu trúc được mô phỏng mở rộng đến vô cùng theo chiều z mà
không có sự thay đổi nào về hình dạng hoặc vị trí theo chiều ngang. Nếu sóng
tới cũng đồng bộ theo trục này thì tất cả các đạo hàm của E và H theo trục này
đều bằng 0,

∂
= 0. Hệ phương trình trong không gian 3D được rút gọn như
∂z

sau:
∂H x 1  ∂E z

= −
− ( M sourcex + σ * H x )
µ  ∂y
∂t

∂H y 1  ∂E z

= 
− ( M sourcey + σ * H y )
µ  ∂x
∂t


∂H z 1  ∂E x ∂E y
= 
−
− ( M sourcez + σ * H z )
∂t
∂x
µ  ∂y

∂E x 1  ∂H z

= 
− ( J sourcex + σE x )
ε  ∂y

∂t

∂E y 1  ∂H z

= −
− ( J sourcey + σE y )
ε  ∂x
∂t


∂E z 1  ∂H y ∂H x
= 
−
− ( J sourcez + σE z )
∂t
∂y
ε  ∂x


(I.2.11a)
(I.2.11b)
(I.2.11c)
(I.2.12a)
(I.2.12b)
(I.2.12c)

TMz Mode:
Các thành phần trường bao gồm Hx, Hy, và Ez. Hệ phương trình cho mode từ
trường ngang với trục z (TMz) trong không gian 2D:
∂H x 1

=
µ
∂t


 ∂E z
*
− ∂y − ( M sourcex + σ H x )


∂H y 1  ∂E z

= 
− ( M sourcey + σ * H y )
µ  ∂x
∂t



∂E z 1  ∂H y ∂H x
= 
−
− ( J sourcez + σE z )
∂t
∂y
ε  ∂x


(I.2.13a)
(I.2.13b)

(I.2.13c)

TEz Mode
Các thành phần trường bao gồm các thành phần Ex, Ey, và Hz. Hệ phương trình
cho mode điện trường ngang với trục z (TEz) trong khoâng gian 2D:


Phương pháp FDTD

17

∂E x 1  ∂H z

= 
− ( J sourcex + σE x )
ε  ∂y
∂t

∂E y 1  ∂H z

= −
− ( J sourcey + σE y )
ε  ∂x
∂t


(I.2.14a)
(I.2.14b)



∂H z 1  ∂E x ∂E y
= 
−
− ( M sourcez + σ * H z )
∂t
∂x
µ  ∂y


(I.2.14c)

2.3 Thuật giải FDTD tổng quát trong không gian 3D
2.3.1. Hệ phương trình sai phân
Hình 2.1 là vị trí của các thành phần trường trong không gian tính toán. Chú ý
các thành phần trường được sắp xếp xen kẽ nhau trên một trục không gian. Sự
xen kẽ cũng được làm tương tự cho các bước thời gian: nếu ∆t là một bước thời
gian thì H được xác định tại các thời điểm n∆t và E được xác định tại các thời
điểm (n+1/2)∆t.

z

Hz
Ex
Ez

Ey

Ey
Ex

Ez

Ez

Hx

Hy

(i,j,k)

Ey

Ex
y

x
Hình 2.1 Vị trí các thành phần trường trên 1 tế bào nguyên thuỷ theo ý
tưởng của Yee năm 1966

Để rời rạc hệ phương trình Maxwell trong không gian và thời gian, Yee dựa
vào phương pháp xấp xỉ sai phân trung tâm cho các đạo hàm trong không gian
và thời gian với độ chính xác bậc 2. Phương pháp này được định nghóa như sau:
Các điểm trong không gian được ký hiệu

(i , j , k ) = (i∆x , j∆y , k∆z)

(I.2.15)


Phương pháp FDTD

18

Do đó, các thành phần trường trong không gian được viết như sau
u(i∆x , j∆y , k∆z , n∆t ) = u n (i , j , k )

(I.2.16)

Trong đó ∆x, ∆y và ∆z là các gia số khoảng cách trong hệ trục tọa độ x, y và z,
đại lượng i, j, k là các thứ nguyên.
Yee dùng biểu thức sai phân hữu hạn trung tâm theo không gian và thời gian
mà cả hai đều có độ chính xác bậc hai. Đạo hàm riêng của hàm u theo x, tính
tại thời điểm cố định t n = n∆t :

[

u n (i + 12 , j , k ) − u n (i − 12 , j , k )
∂u
2
(i∆x, j∆y, k∆z, n∆t ) =
+ 0 (∆x )
∂x
∆x

]

(I.2.17)

Lưu ý rằng lượng gia tăng ± ½ với đại lượng i (tọa độ x) của u, ký hiệu một
khoảng cách sai phân hữu hạn là ± ½∆x.

Đạo hàm riêng của u theo t, tính tại một điểm với khoảng cách cố định (i,j,k)
như sau:
u
∂u
(i∆x , j∆y , k∆z, n∆t ) =
∂t

n+ 1

2

(i , j , k ) − u

n− 1

2

(i , j , k )

∆t

[

+ 0 (∆t )

2

]

(I.2.18)

Xét thành phần Ex

∂E x 1  ∂H z ∂H y
= 
−
− J sourcex + σE x 
∂t
∂z
ε  ∂y


(

)

(I.2.10a)

Xem hình 2.1, ta thay thế các sai phân trung tâm cho các đạo hàm theo thời
gian và khoảng cách trong (I.2.10a), ví dụ tại E x (i, j + 1 2 , k + 1 2 , n) . Ta coù:
n+ 1

Ex

2

n− 1

(i , j + 1 2 , k + 1 2 ) − E x
∆t

2

(i , j + 1 2 , k + 1 2 )

=

 H zn (i , j + 1, k + 1 2 ) − H zn (i , j , k + 1 2 ) H yn (i , j + 1 2 , k + 1) − H yn (i , j + 1 2 , k ) 
−

1 
∆y
∆z
⋅

ε  n
n

1
1
1
1
 − J source x (i , j + 2 , k + 2 ) − σE x (i , j + 2 , k + 2 )


(I.2.19)
Chú ý rằng, nếu môi trường không đồng nhất, thì các giá trị ε, µ, σ và σ* phụ
thuộc vào vị trí không gian, tức là phụ thuộc các chỉ số (i,j,k)

Phương pháp FDTD

19

ε ≡ ε(i,j,k)
µ ≡ µ (i,j,k)
σ ≡ σ (i,j,k)
σ* ≡ σ* (i,j,k)

(I.2.20)

Ta thấy tất cả đại lượng trường bên tay phải có giá trị tại bước thời gian thứ n,
bao gồm cả sự xuất hiện của trường điện Ex do có độ dẫn điện σ . Ta dùng
phép xấp xỉ sau:
n+ 1

n
x

E (i , j +

1

2

,k + 2 ) =
1

Ex

2

n− 1

(i , j + 12 , k + 12 ) + E x
2

2

(i , j + 12 , k + 12 )

(I.2.21)

Ở đây, giá trị của Ex tại bước thời gian thứ n được tính theo thuật toán trung
bình cộng của trị Ex cũ tại bước n-1/2 và giá trị Ex mới tính được tại bước thời
gian n+1/2. Thay (I.2.21) vào (I.2.19) sau khi đã nhân hai vế với ∆t, ta được:
n+ 1

Ex

2

(i , j +

1

2

,k +

1

n− 1

2

) − Ex

2

(i , j +

1

2

,k +

1

2

)=

 H zn (i , j + 1, k + 1 2 ) − H zn (i , j , k + 1 2 ) H yn (i , j + 1 2 , k + 1) − H yn (i , j + 1 2 , k ) 
−


∆y
∆z


∆t 
⋅
1
1
+
−
n
n
 E 2 (i , j + 1 , k + 1 ) + E 2 (i , j + 1 , k + 1 )  
ε  n
2
2
2
2 
 x
x
1
1
 − J source x (i , j + 2 , k + 2 ) − σ

2

 


(I.2.22)
n+ 1

Chú ý rằng các số hạng E x

2

n− 1

(i , j + 12 , k + 12 ) vaø E x

2

(i , j + 1 2 , k + 1 2 ) xuất hiện cả

hai vế của (I.2.22). Tập hợp tất cả số hạng của hai loại này và chuyển đại
n+ 1

lượng E x

2

(i , j + 12 , k + 12 ) sang phaûi ta được:

 σ∆t  n + 12
 σ∆t  n − 12
1 +
 E x (i , j + 1 2 , k + 1 2 ) = 1 −
 E x (i , j + 1 2 , k + 1 2 ) +
2ε 
2ε 


 H zn (i , j + 1, k + 12 ) − H zn (i , j , k + 12 ) H yn (i , j + 12 , k + 1) − H yn (i , j + 12 , k ) 

−

∆t 
∆z
∆y
+ ⋅

ε  n

1 ,k + 1 )
−
+
J
(
i
,
j
2
2
 source x


(I.2.23)



Chia hai vế cho một lượng 1 +
n+ 1

với đại lượng E x

2

σ∆t 
 để tìm được mối quan hệ theo thời gian
2ε 

(i , j + 1 2 , k + 1 2 )


Phương pháp FDTD

20

 σ∆t 
1 −

n+ 1
ε
2

 E n − 12 (i , j + 1 , k + 1 ) +
2
E x (i , j + 1 2 , k + 1 2 ) =
2
2
x
 σ∆t 
1 +


2ε 

∆t
 H zn (i , j + 1, k + 12 ) − H zn (i , j , k + 12 ) H yn (i , j + 12 , k + 1) − H yn (i , j + 12 , k ) 
−


ε
∆y
∆z
+
⋅

 σ∆t   n

1 +
 − J source (i , j + 1 2 , k + 1 2 )
x

2ε  


(I.2.24a)
Tương tự, ta có thể nhận được các biểu thức sai phân hữu hạn dựa trên thuật
toán Yee cho các thành phần Ey và Ez được cho bởi phương trình Maxwell
(I.2.10b) và (I.2.10c).
 σ∆t 
1 −

n+ 1

2ε  n− 12

2
1
1
Ey (i − 2 , j + 1, k + 2 ) =
Ey (i − 12 , j + 1, k + 12 ) +
 σ∆t 

1 +
2ε 


 Hxn (i − 12 , j + 1, k + 1) − Hxn (i − 12 , j + 1, k ) 


∆z
∆t


n
1 ) − H n (i − 1, j + 1, k + 1 ) 

1
H
(
i
,
j
,

k
+
+
2
2
z
ε
⋅ − z
+

∆x
 σ∆t  


1 +
n

2ε  − Jsource
(y i − 12 , j + 1, k + 12 )






(I.2.24b)
 σ∆t 
1 −

n+ 1

2ε  n − 12

2
1
1
Ez (i − 2 , j + 2 , k + 1) =
Ex (i − 12 , j + 12 , k + 1) +
 σ∆t 
1 +

2ε 


 Hyn (i , j + 12 , k + 1) − Hyn (i − 1, j + 12 , k + 1) 


∆x
∆t


n
1 , j + 1, k + 1) − H n (i − 1 , j , k + 1) 

H
(
i
−
2
2
x

x
ε
⋅ −
+

 σ∆t  
∆y

1 +

n

1 , j + 1 , k + 1)
2ε  − Jsource

(
i
−
2
2
z





(I.2.24c)
Bằng cách tương tự, ta được các biểu thức sai phân hữu hạn từ (3.9a) đến
(3.9c) cho Hx, Hy, và Hz.

Phương pháp FDTD

21

 σ* ∆t 
1 −

2µ  n
n +1

1
H x (i − 2 , j + 1, k + 1) =
Hx (i − 1 2 , j + 1, k + 1)
 σ* ∆t 
1 +

2µ 

 E n + 12 (i − 1 , j + 1, k + 3 ) − E n + 12 (i − 1 , j + 1, k + 3 ) 
2
2
2
2
y

 y


∆z

∆t

 n+ 1
n+ 1
 Ez 2 (i − 12 , j + 3 2 , k + 1) − Ez 2 (i − 12 , j + 12 , k + 1)
µ
+
⋅ −

 σ* ∆t  
∆y

1 +
 
2µ  − M n + 12 (i − 1 , j + 1, k + 1)


2
sourcex







(I.2.25a)
 σ ∆t 
1 −


2µ  n

n +1
H y (i , j + 12 , k + 1) +
H y (i , j + 12 , k + 1) =
 σ* ∆t 
1 +

2
µ


*

 E n + 12 (i + 1 , j + 1 , k + 1) − E n + 12 (i − 1 , j + 1 , k + 1)
2
2
2
2
z

 z
x


∆
∆t


n+ 1

n+ 1
µ

 E x 2 (i , j + 12 , k + 3 2 ) − E x 2 (i , j + 12 , k + 12 )
+
⋅ −

*
∆z
 σ ∆t 

1 +
 
1
n+ 2
1 , k + 1)
µ
2
(
M
i
,
j


−
+
2



sourcey





(I.2.25b)
 σ* ∆t 
1 −

2µ  n

n +1
H z (i , j + 1, k + 1 2 ) =
H z (i , j + 1, k + 1 2 ) +
 σ* ∆t 
1 +

2µ 

 E n + 12 (i , j + 3 , k + 1 ) − E n + 12 (i , j + 1 , k + 1 )

2
2
2
2
x
 x

∆y



∆t


n+ 1
n+ 1
 E y 2 (i + 12 , j + 1, k + 12 ) − E x 2 (i − 12 , j + 1, k + 12 )
µ
+
⋅ −

∆y
 σ* ∆t  

1 +

n+ 1


2
µ
2

 − M
(i , j + 1, k + 12 )

sourcez






(I.2.25c)
Sau đó hệ phương trình sai phân được giải như sau: Cho các chỉ số lưới chạy từ
i =1 đến Nx, j =1 đến Ny, k =1 đến Nz. Cho rằng vật tán xạ là những vật lý