Ứng dụng thuật toán di truyền thiết kế bộ điều khiển PID tối ưu h2 h

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

VÕ HỒNG DUY

ĐỀ TÀI:
ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN
THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID TỐI ƯU H2/H∞

LUẬN VĂN CAO HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TỰ ĐỘNG HÓA

NĂM 2003


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH

ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH



----------------oOo---------------

NHIỆM VỤ LUẬN ÁN CAO HỌC

Họ và tên : VÕ HOÀNG DUY

Giới tính : Nam

Ngày sinh : 01 – 03 - 1975

Nơi sinh : KIÊN GIANG

Khóa học : K11
I.

TÊN ĐỀ TÀI : ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN THIẾT KẾ BỘ
ĐIỀU KHIỂN PID TỐI ƯU H2/H∞

II.

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG ĐỀ TÀI :
-

Giới thiệu tổng quan

-

Lý thuyết điều khiển bền vững và thuật toán di truyền

-

Phương pháp thiết kế

III.

NGÀY GIAO MHIỆM VỤ :

IV.

NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

V.

HỌ VÀ TÊN GV HƯỚNG DẪN : TS. NGUYỄN PHƯƠNG HÀ

VI.

HỌ VÀ TÊN GV PHẢN BIỆN 1:

VII.

HỌ VÀ TÊN GV PHẢN BIỆN 2:

GV HƯỚNG DẪN

GV PHẢN BIỆN 1

GV PHẢN BIỆN 2

( Ký tên )

( Ký tên )

( Ký tên )

TS. Nguyễn Phương Hà
Ghi chú : Nội dung và đề cương Luận án đã được thông qua Hội đồng Chuyên Ngành
của bộ môn Tự Động trường đại học Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh.
Tp.HCM, ngày
PHÒNG QUẢN LÝ ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

tháng

năm

CHỦ NHIỆM NGAØNH


Mục lục

MỤC LỤC
Chương 1: Giới thiệu
1.1 Sơ lược về lịch sử điều khiển
1.2. Điều khiển bền vững là gì?
1.3. Nội dung của luận văn
1.4. Sơ lược về các phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID
Chương 2: Điều khiển bền vững
2.1. Chuẩn của vector và ma trận
2.1.1. Điều kiện
2.1.2. Một số chuẩn vector thông dụng
2.1.3. Một số chuẩn ma trận thơng dụng
2.1.4. Chuẩn của tín hiệu - chuẩn Lp của tín hiệu
2.1.5. Chuẩn dẫn xuất
2.1.6. Trị suy biến và phân hoạch trị suy biến

2.1.6.1 Trị suy biến của ma trận - độ lợi chính
2.1.6.2. Phân hoạch trị suy biến
2.1.7. Chuẩn của hệ thống
2.2. Ổn định của hệ điều khiển tự động
2.2.1 Khái niệm về ổn định
2.2.2. Ổn định nội
2.3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
2.3.1. Nguyên lý góc quay
2.3.2. Khái niệm về bao vây
2.3.3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
2.4. Định lý độ lợi nhỏ
2.5. Hàm nhạy và hàm nhạy bù
2.6. Sai số mơ hình
2.6.1. Sai số cấu trúc
2.6.2. Sai số khơng có cấu trúc
2.6.2.1. Sai số cộng
2.6.2.2. Sai số nhân ở đầu vào
2.6.2.3. Sai số nhân ở đầu ra
2.7. Ổn định bền vững

1
1
2
5
6
11
11
12
12
13

13
15
16
16
16
20
20
20
21
23
23
25
25
28
28
31
32
32
33
33
33
34
i


Mục lục

2.7.1. Định lý ổn định bền vững
34
2.7.2. Điều kiện ổn định bền vững đối với sai số cộng

35
2.7.3. Điều kiện ổn định bền vững đối với sai số nhân ở đầu ra
36
2.8. Trị suy biến cấu trúc
37
2.9. Chất lượng bền vững
40
Chương 3: Thuật toán di truyền
45
3.1. Giới thiệu
45
3.2. Sự tương quan giữa q trình tiến hóa của sinh vật và GA
47
3.3. Các phép toán của thuật toán di truyền
48
3.3.1. Tái sinh
48
3.3.2. Lai ghép
50
3.3.3. Đột biến
51
3.4. Một số nguyên tắc cơ bản trong việc ứng dụng thuật toán di truyền giải
quyết bài tốn tối ưu
52
3.4.1. Mã hóa và giải mã nhiễm sắc thể
52
3.4.1.1 Mã hóa nhị phân
52
3.4.1.2. Mã hóa thập phân
53

3.4.1.3. Ưu điểm của phương pháp mã hóa thập phân so với phương pháp
mã hóa nhị phân
55
3.4.2. Hàm thích nghi
55
3.5. Cấu trúc của thuật toán di truyền tổng quát
55
3.6. Sự khác nhau giữa thuật toán di truyền và thuật toán tìm kiếm truyền thống
56
Chương 4: Ứng dụng thuật tốn di truyền thiết kế bộ điều khiển PID tối
58
ưu H2/H∞
4.1. Giới thiệu
58
59
4.2. Điều khiển tối ưu H∞
4.2.1. Bài toán cực đại hóa độ dự trữ ổn định
59
4.2.2. Bài tốn cực tiểu hóa hàm nhạy
60
4.3. Mơ tả bài tốn
62
4.4. Cơ sở thiết kế
63
4.5. Phương pháp thiết kế
66
4.5.1. Biểu diễn nhiễm sắc thể
66
4.5.2. Hàm thích nghi và hàm đánh giá
67

4.5.3. Các bước thực hiện
68
ii


Mục lục

4.5.4. Giải thuật chương trình
4.6. Ví dụ minh họa
4.6.1. Trường hợp đối tượng có sai số mơ hình
4.6.2. Trường hợp hệ thống chịu ảnh hưởng của nhiễu ngoài
Chương 5: Kết luận và hướng phát triển đề tài
5.1. Kết luận
5.2. Hướng phát triển đề tài
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phụ lục A: Chất lượng của hệ điều khiển tự động
Phụ lục B: Điều khiển PID
Phụ lục C: Chương trình

69
73
73
77
83
83
85
88
90
95
104

iii


Chương 1: Giới thiệu

1
GIỚI THIỆU
1.1 Sơ lược về lịch sử điều khiển [7]
Điều khiển tự động có lịch sử phát triển từ trước công nguyên, bắt đầu
bằng đồng hồ nước được miêu tả bởi Vitruvius và được Ktesibios thực hiện ở
Hy Lạp (vào khoảng năm 270 trước công nguyên). Lịch sử của điều khiển tự
động có thể được chia thành bốn giai đoạn chính sau:
- Giai đoạn khởi đầu: Trước năm 1900
- Giai đoạn tiền kinh điển: Từ 1900-1935
- Giai đoạn kinh điển: Từ 1935-1955
- Giai đoạn hiện đại: Sau 1955
Trong giai đoạn khởi đầu, những phát minh mới cũng như nhiều ứng
dụng được đưa vào thực tế xuất phát từ các nguyên lý cũ bắt đầu xuất hiện
trong thế kỷ 18, ví dụ như hệ điều chỉnh nhiệt độ đầu tiên do Cornelis Drebbel
(1572-1633) người Hà Lan sáng chế và đã được Rene-Antoine Ferchault de
Réamur (1683-1757) ứng dụng để điều khiển nhiệt độ cho lò ấp trứng. Hệ điều
chỉnh mức đầu tiên là của Polzunov (1765) người Nga. Hệ điều chỉnh tốc độ
(governor) được ứng dụng trong công nghiệp đầu tiên là của Jame Watt (1789).
Thời kỳ này là thời kỳ chế tạo những hệ tự động theo trực giác.

1


Chương 1: Giới thiệu

Đến năm 1868 các cơng trình nghiên cứu lý thuyết bắt đầu từ James
Clerk Maxwell (1831-1879), ông đã đưa ra được phương trình sai phân tuyến
tính để biểu diễn cho động cơ, đề cập đến ảnh hưởng của các thơng số đối với
tính ổ định của hệ (ổn định của hệ thống được xác định bởi vị trí của các
nghiệm của phương trình đặc tính, hệ thống không ổn định khi phần thực của
nghiệm phức dương). Xuất phát từ cách đặt vấn đề của Maxwell mà các tiêu
chuẩn ổn định đại số của Edward J.Routh (1831-1907) và Adolf Hurwitz (18591919) đã ra đời.
Trong giai đoạn kinh điển - giai đoạn bùng nổ của thế chiến thứ hai, đòi
hỏi sự phát triển về lý thuyết và ứng dụng để có những máy bay lái tự động,
những hệ điều khiển vị trí của các loại pháo, điều khiển tự động các
rađa…Trong những năm này, các phương pháp toán học và phân tích đã phát
triển và đưa vào ứng dụng nhanh chóng. Ở Mỹ thịnh hành hướng nghiên cứu
trong miền tần số với các cơng trình ứng dụng của Bode, Nyquist ở các trung
tâm điện tín. Trong khi ấy, ở Liên Xô ngự trị lĩnh vực lý thuyết điều khiển và
ứng dụng trong miền thời gian.
Trong giai đoạn điều khiển hiện đại, bắt đầu từ những năm 1980, máy
tính số bắt đầu được sử dụng rộng rãi, cho phép điều khiển với độ chính xác cao
các đối tượng khác nhau.
Với sự ra đời của vệ tinh, thời đại vũ trụ bắt đầu, các hệ điều khiển ngày
càng phức tạp hơn và đòi hỏi chất lượng cao hơn. Các phương pháp của
Liapunov, Minorsky cũng như lý thuyết điều khiển tối ưu hiện đại của
L.S.Pontryagin, của R.Belman có ý nghĩa rất lớn. Các nguyên tắc điều khiển
thích nghi, điều khiển bền vững, điều khiển mờ, các “hệ thông minh”… ra đời
và được áp dụng có hiệu quả vào thực tiễn.
1.2. Điều khiển bền vững là gì?
Để có khái niệm về điều khiển bền vững, chúng ta hãy xét hệ thống điều
khiển cần cẩu như trong hình 1.1.
Cẩu treo có khối lượng mc dưới tác động của lực F có phương song song
với thanh ray r chuyển động trên thanh ray r để chuyển hàng.

Hàng có khối lượng mh được buộc với cẩu bằng một sợi dây có độ dài l.
Khi cẩu treo chuyển động để vận chuyển hàng thì do tác động của những lực
vật lý khác nhau, hàng sẽ dao động dưới cẩu treo như một con lắc. Dao động
2


Chương 1: Giới thiệu

này được mô tả bằng sh là quãng đường thực sự mà hàng đã được vận chuyển
tại thời điểm t. Nếu ký hiệu quãng đường cẫu treo đi được là sc thì sự dao động
của hàng sẽ là sai lệch | sh-sc |.
Sc

F

mc
Sh

S
α

Zh

-S

mh
mh.g
Hình 1.1: Mơ hình cẩu treo
Xem toàn bộ cẩu treo như một đối tượng điều khiển thì tín hiệu vào của
đối tượng là F và tín hiệu ra là sh. Mục đích của bài tốn điều khiển ở đây là

phải xác định tín hiệu điều khiển F sao cho dao động của hàng được triệt tiêu
trong thời gian ngắn nhất.
Mơ hình tốn cho đối tượng cẩu treo và hàng được biểu diễn như sau:
0

0
.
x=
0
0


1

0
mh g
0
mc l
0
0
( mc + mh ) g
0 −
mc l

0
 0 

 1 
0
ml

.x +  h .u
1
 0 
− 1 
0

 mc 

y = [1 0 1 0].x

(1.1a)

(1.1b)

Đây là mơ hình đã được tuyến tính hóa bằng cách giả sử rằng góc α tạo
bởi dây treo hàng và trục thẳng đứng của cẩu treo đủ nhỏ và biến đổi chậm sao
cho:
sin α ≈ α , cos α ≈ 1, α 2 sin α ≈ 0
3


Chương 1: Giới thiệu

Như vậy, có thể thấy rằng so với đối tượng thực là chiếc cần cẩu treo,
trong mô hình (1.1) tồn tại hai sự sai lệch sau:
- Sai lệch từ giả thiết rằng l và mh là các hằng số.
- Sai lệch xuất phát từ giả thiết góc α nhỏ cho phép tuyến tính hóa mơ
hình.
Tuy rằng mơ hình đã được tuyến tính hóa nhờ giả thiết góc α nhỏ và biến
đổi chậm, song các tham số của nó lại thay đổi từ lần cẩu hàng này sang lần cẩu

hàng khác. Mặc dù độ dài l của dây buộc hàng đã được giả thiết là cố định trong
một lần cẩu hàng, song trong thực tế l và cả khối lượng hàng mh có thể thay đổi
ở những lần cẩu hàng khác nhau.
Vì vậy vấn đề ở đây được đặt ra thêm cho bài toán điều khiển là phải
thiết kế bộ điều khiển sao cho với mọi giá trị có thể có của l, mh thuộc một miền
cho phép, dao động của hàng vẫn tắt dần trong khoảng thời gian cẩu hàng.
Qua ví dụ trên ta thấy rằng, mặc dù đã có mơ hình hệ thống, song cũng
phải thừa nhận là khơng thể nói rằng trong mọi trường hợp mơ hình đó mơ tả hệ
thống chính xác 100%. Tất cả các bài toán điều khiển đều phải làm việc với
những mơ hình hệ thống có chứa một sai lệch nhất định hoặc ít ra là có những
tham số thay đổi nhiều. Bởi vậy ở các bài toán điều khiển hiện nay người ta
thường phải thực hiện thêm những nhiệm vụ theo dõi chỉnh định định lại mơ
hình cho phù hợp với hệ thống thực hoặc phải thiết kế bộ điều khiển đảm bảo
được chất lượng đề ra cho dù mơ hình có sai lệch.
Bài tốn điều khiển mà ở đó có thêm khả năng nhận biết được sự thay
đổi của hệ thống để tự chỉnh định lại mơ hình cũng như luật điều khiển được
gọi là điều khiển thích nghi. Ngược lại những bài tốn điều khiển ln đảm bảo
chất lượng đề ra cho dù có sai lệch mơ hình hay có sự thay đổi nào đó khơng
biết trước trong hệ thống mà không cần phải giám sát, theo dõi hệ thống được
gọi là điều khiển bền vững.
Nguồn gốc của các yếu tố khơng chắc chắn đó có thể là:
- Đối tượng đã được mô tả một cách không đầy đủ, mơ hình mơ tả đối
tượng khơng chính xác.
- Mơ hình đối tượng mà ta sử dụng là một mơ hình đơn giản, được xấp
xỉ từ mơ hình phức tạp mơ tả chính xác đối tượng. Chẳng hạn như đối
4


Chương 1: Giới thiệu

tượng có mơ hình chính xác là phi tuyến, song để đơn giản hóa cho
cơng việc phân tích và thiết kế bộ điều khiển ta đã xấp xỉ mơ hình phi
tuyến đó bằng một mơ hình tuyến tính.
Như vậy hệ thống có bộ điều khiển giữ cho chất lượng của hệ thống
khơng (hoặc ít) bị thay đổi bởi sự không chắc chắn của đối tượng được gọi là hệ
thống bền vững. Khi đó bộ điều khiển được gọi là bộ điều khiển bền vững. Hệ
sẽ càng bền vững nếu chất lượng hệ thống được bảo tồn với miền dao động của
các yếu tố không chắc chắn lớn.
1.3. Nội dung của luận văn
Lịch sử phát triển của điều khiển tự động cho thấy rằng những thành tựu
của các giai đoạn trước được kế thừa và phát triển mạnh mẽ trong các giai đoạn
sau, chẳng hạn như việc thiết kế hệ thống trong miền tần số mà điển hình là tiêu
chuẩn ổn định Nyquist ra đời trong giai đoạn điều khiển kinh điển chính là nền
tảng của lý thuyết điều khiển bền vững ngày nay. Ngồi ra cịn có sự kết hợp
giữa các phương pháp với nhau, thực tế cho thấy rằng mỗi phương pháp điều
khiển đều có những ưu và khuyết điểm khác nhau, vì vậy sự kết hợp giữa các
phương pháp điều khiển sẽ làm cho chất lượng của hệ thống ngày càng hoàn
thiện hơn. Vấn đề là chúng ta phải biết được những ưu và khuyết điểm của từng
phương pháp để có thể thực hiện được sự kết hợp này, đồng thời làm cho hệ
thống được hoàn thiện hơn.
Như chúng ta đã biết, bộ điều khiển PID là bộ điều khiển được sử dụng
rộng rãi và phổ biến nhất hiện nay. Bộ điều khiển PID ra đời cách đây đã khá
lâu nhưng khơng vì thế mà khơng cịn được nghiên cứu và phát triển. Sự phát
triển của khoa học kỹ thuật cùng với những nhu cầu thực tế của xã hội địi hỏi
cần phải có được những bộ điều khiển PID tối ưu hơn và bền vững hơn.
Trong những năm gần đây, sự kết hợp giữa điều khiển tối ưu H2 và điều
khiển bền vững H∞ đã nhận được nhiều quan điểm thiết kế khác nhau [16-18].
Việc điều chỉnh ba thông số của bộ điều khiển PID để đạt được điều khiển tối
ưu H2/H∞ là mục tiêu mong muốn trong kỹ thuật điều khiển. Luận văn này sẽ
giới thiệu một phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID kết hợp với điều khiển

tối ưu H2/H∞, thông qua thuật tốn tìm kiếm di truyền.

5


Chương 1: Giới thiệu

1.4. Sơ lược về các phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID
Hiện nay có khá nhiều các phương pháp xác định các tham số kp, TI, TD
cho bộ điều khiển PID. Có một điểm đặc biệt là trong các phương pháp này
phương pháp ra đời sớm nhất (Ziegler – Nichols, 1942) cũng chính là phương
pháp được sử dụng phổ biến nhất hiện nay, bởi tính đơn giản của nó cũng như
thích hợp với nhiều đối tượng trong thực tế.
Phương pháp thứ nhất của Ziegler – Nichols cho phép xác định các tham
số của bộ điều khiển PID trên cơ sở đối tượng có thể được xấp xỉ bằng một mơ
hình bậc nhất có trễ của đối tượng. Trong phương pháp này, các tham số của
mơ hình xấp xỉ được xác định gần đúng từ đồ thị hàm quá độ h(t) của đối
tượng. Phương pháp này thích hợp cho các đối tượng có thể được xấp xỉ bằng
mơ hình có trễ của khâu qn tính bậc nhất và bậc hai, khi đó độ quá điều chỉnh
nhỏ hơn 40% so với giá trị xác lập. Để có thể áp dụng được phương pháp này
thì đối tượng phải ổn định, khơng có dao động và hàm q độ của nó phải có
dạng hình chử S.
Với những hạn chế trên, Ziegler – Nichols đã đưa ra phương pháp đáp
ứng tần số, so với phương pháp thứ nhất thì phương pháp này khơng cần có mơ
hình tốn của đối tượng, ngay cả mơ hình xấp xỉ gần đúng. Phuơng pháp này
cho ra được một chất lượng hệ kín tốt hơn về mặt độ quá điều chỉnh (độ quá
điều chỉnh nhỏ hơn 25% so với giá trị xác lập). Nhược điểm của phương pháp
thứ hai này là chỉ áp dụng được cho những đối tượng có được chế độ biên giới
ổn định khi hiệu chỉnh hằng số khuyếch đại trong hệ kín.
Năm 1952, phương pháp Chien – Hrones – Reswick (CHR) được giới

thiệu bởi Chien và các tác giả. Phương pháp này là một biến thể của phương
pháp thứ nhất của Ziegler – Nichols, có đáp ứng quá độ của hệ thống vịng kín
ít dao động hơn. Đây cũng là phương pháp chỉnh định đầu tiên đề cập đến việc
giảm ảnh hưởng của nhiễu. Phương pháp này thích hợp với những đối tượng
bậc rất cao như quán tính bậc n.
Một phương pháp thực nghiệm khác cũng thường được sử dụng là
phương pháp tổng T của Kuhn. So với các phương pháp trên, đối tượng ứng
dụng của phương pháp này rộng hơn, miễn là nó ổn định, khơng có dao động,
hàm q độ của nó đi từ 0 và có dạng hình chử S. Tuy nhiên, việc tính tốn lại
phức tạp hơn.
6


Chương 1: Giới thiệu

Chúng ta thấy rằng, việc xác định các thông số của bộ điều khiển PID
bằng các phương pháp thực nghiệm trên có ưu điểm là đơn giản và trực quan,
u cầu chỉ cần biết một ít thơng tin về hàm truyền đạt của quá trình và kết quả
đạt được có thể chấp nhận. Đó chính là lý do mà nó được sử dụng rộng rãi. Tuy
nhiên, đối với những ứng dụng đòi hỏi chất lượng của hệ cao hơn thì các thơng
số của bộ điều khiển PID sau khi được xác định phải được thay đổi để đạt được
chất lượng mong muốn. Trong nhiều trường hợp thì các phương pháp thực
nghiệm không đáp ứng được yêu cầu đặt ra. Khi đó bắt buộc phải sử dụng các
phương pháp giải tích.
Tuy nhiên, vẫn chưa có phương pháp giải tích nào giúp cho việc xác định
các thơng số của bộ điều khiển PID một cách tổng quát. Tùy thuộc vào từng
đối tượng cụ thể cùng với một số tiêu chuẩn thiết kế như:
- Giữ cho tín hiệu ra giống như tín hiệu đặt, bằng cách thiết kế bộ điều
khiển sao cho hàm truyền đạt của hệ kín thỏa: |G(jω)| ≈ 1, trong dãy
tần số càng lớn càng tốt.

- Sử dụng các chỉ tiêu tối ưu, chẳng hạn như cực tiểu tích phân của
bình phương sai lệch giữa tín hiệu ra và tín hiệu đặt.
- Sử dụng phương pháp phân bố cực.
mà ta có thể xác định được các thơng số của bộ điều khiển PID.
So với các phương pháp thực nghiệm, việc xác định các thông số cho bộ
điều khiển PID mất nhiều thời gian hơn, các phương pháp giải tích đều có
những đặc điểm riêng, phương pháp nào nên áp dụng vào trường hợp nào là tùy
thuộc vào yêu cầu và điều kiện cụ thể. Kết quả đạt được tốt hơn nhưng đối với
những đối tượng có tham số thay đổi bởi tác động của môi trường làm việc và
có mơ hình khơng chắc chắn thì trong nhiều trường hợp cũng khơng đạt được
u cầu đề ra.
Khi đó cần phải có được những bộ điều khiển PID thích nghi cho các q
trình. Có ba kỹ thuật thích nghi chính sau:
- Điều khiển thích nghi: Có nghĩa là một bộ điều khiển mà các thơng số
của nó sẽ được điều chỉnh liên tục để đáp ứng với các thay đổi trong
quá trình động và ảnh hưởng của nhiễu.

7


Chương 1: Giới thiệu

- Tự chỉnh (Self Tuning): Tự chỉnh là một phương pháp trong đó bộ
điều khiển được điều chỉnh tự động theo yêu cầu từ người sử dụng.
Cụ thể là người sử dụng chỉ cần nhấn nút hoặc gửi một lệnh đến bộ
điều khiển. Bằng các phương pháp tính tốn các thơng số của bộ điều
khiển PID thường dùng, chúng ta có thể xây dựng phương pháp tự
chỉnh của bộ điều khiển PID. Thủ tục tự chỉnh gồm có ba bước: Tạo
nhiễu q trình; Đánh giá đáp ứng nhiễu; Tính tốn các thơng số của
bộ điều khiển.

- Gain Scheduling: Đây là kỹ thuật phù hợp và rất hiệu quả trong hệ
thống điều khiển mà đặc tính động học của hệ thống thay đổi theo các
điều kiện vận hành. Phương pháp này được thực hiện bằng cách xây
dựng một bảng danh mục các điều kiện vận hành, dựa vào bảng này
mà nó có thể cho phép thay đổi nhanh chóng các thơng số của bộ điều
khiển trong các điều kiện vận hành khác nhau.
Nhược điểm chính của các phương pháp thích nghi là cần phải thiết kế
thêm các khối phụ hỗ trợ cho việc chỉnh định các thông số, đây là vấn đề không
phải được thực hiện dễ dàng, để có một bộ điều khiển thích nghi tốt với q
trình thì cần phải có sự kết hợp chặt chẽ và đồng bộ giữa bộ điều khiển chính và
các mạch phụ. Nếu khơng thì có thể gây ra sự cố cũng như làm giảm chất lượng
của hệ. Ngồi ra cịn có một số khó khăn khác, chẳng hạn như trong phương
pháp Gain Sheduling, thì việc lập ra được bảng danh mục cho tất cả các điều
kiện vận hành mất rất nhiều công sức và thời gian. Các phương pháp này cũng
khơng được tổng qt hóa cho tất cả các đối tượng.
Với sự ra đời của lý thuyết về điều khiển bền vững, thì việc thiết kế được
bộ điều khiển PID bền vững là điều mong đợi trong nhiều ứng dụng thực tế.
Hiện nay có khá nhiều đề tài nghiên cứu về vấn đề này [19-22]. Đối với các bài
toán về điều khiển bền vững, thì vấn đề được đặt ra đầu tiên là phải biết được
mơ hình tốn của đối tượng và sai lệch của mơ hình hoặc những thơng tin về
nhiễu. Tuy nhiên trong nhiều ứng dụng thực tế thì điều này có thể thực hiện
được, vấn đề quan trọng hơn cần được quan tâm là với những thông tin như vậy
ta có thể thiết kế được bộ điều khiển thỏa mãn chỉ tiêu chất lượng đề ra hay
không?.
Luận văn này sẽ giới thiệu một phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID
thỏa mãn điều kiện ổn định bền vững H∞, đồng thời cực tiểu được phiếm hàm
8


Chương 1: Giới thiệu

H2. Khi đặt vấn trong việc thiết kế bài tốn này, ta có thể chia nó thành hai bước
chính sau:
- Xây dựng mơ hình tốn của đối tượng và xác định sai lệch của mơ
hình hoặc những thơng tin về nhiễu.
- Thiết kế bộ điều khiển PID
Có thể nói rằng hai bước trên hồn tồn tách biệt với nhau, nếu đã thực
hiện xong bước một, thì với phương pháp được trình bày ở đây ta có thể dễ
dàng xác định được các thông số của bộ điều khiển PID thỏa mãn tiêu chuẩn
H2/H∞. Có thể nói rằng việc xác định các thông số của bộ điều khiển PID được
thực hiện ở đây là một phương pháp tổng quát cho các đối tượng ổn định và có
cấu trúc bất kỳ.
Cũng cần nói thêm rằng, ta có thể thiết kế bộ quan sát trạng thái, khi đó
cần phải giải bốn phương trình Riccati [17]. Do đó thủ tục thiết kế khá phức
tạp, ngồi ra thì bậc của bộ điều khiển khơng nhỏ hơn bậc của đối tượng. Vì vậy
khơng được khuyến khích sử dụng.
Luận văn được trình bày bao gồm các chương sau:
Chương 1: Giới thiệu
Chương 1 giới thiệu sơ lược về lịch sử điều khiển, trình bày những khái
niệm cơ bản về điều khiển bền vững. Giới thiệu nội dung chính của luận văn và
giới thiệu sơ lược về các phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID.
Chương 2: Điều khiển bền vững
Chương 2 trình bày những khái niệm và cơ sở toán học của lý thuyết điều
khiển bền vững, mục tiêu điều khiển của điều khiển tối ưu H∞.
Chương 3: Thuật tốn di truyền
Chương 3 trình bày khá chi tiết về thuật toán di truyền và cơ chế thực
hiện của thuật toán di truyền.
Chương 4: Ứng dụng thuật toán di truyền thiết kế bộ điều khiển PID
tối ưu H2/H∞
Chương 4 trình bày nội dung chính của luận văn, phương pháp thiết kế

và các ví dụ minh họa kết quả thực hiện.
Chương 5: Kết luận và hướng phát triển của đề tài
9


Chương 1: Giới thiệu

Chương 5 trình bày một số kết luận của luận văn, qua đó đưa ra hướng
phát triển của đề tài.
Tài liệu tham khảo
Phụ lục A: Chất lượng của hệ điều khiển tự động
Phụ lục B: Điều khiển PID
Phụ lục C: Chương trình

10


Chương 2: Điều khiển bền vững

2
ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG
Điều khiển bền vững là lĩnh vực khơng cịn mới mẻ trong chuyên ngành
Lý thuyết hệ thống điều khiển (Theory of Control Systems), nhưng những ứng
dụng của nó trong thiết kế các hệ thống điều khiển thì lúc nào cũng mới và đầy
tìm năng. Hệ thống điều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm ổn
định, không phụ thuộc vào sự thay đổi của đối tượng cũng như của nhiễu tác
động lên hệ thống. Chương này sẽ trình bày các khái niệm cơ bản của lý thuyết
điều khiển bền vững.
2.1. Chuẩn (Norm) của vector và ma trận
Một trong những phương pháp để mô tả chất lượng của một hệ thống

điều khiển là việc xác định độ lớn của những tín hiệu cần quan tâm. Ví dụ, chất
lượng của một hệ thống tự chỉnh phải được đánh giá bởi độ lớn của tín hiệu sai
số. Độ lớn của các tín hiệu có thể được biểu diễn dưới dạng chuẩn của tín hiệu.
Ngồi ra, đối với một hệ SISO có hàm truyền G, thì độ lợi từ ngõ vào đến ngõ
ra của hệ chính là G ( jω ) . Tuy nhiên, đối với hệ MIMO thì việc tính giá trị
tuyệt đối của ma trận hàm truyền đạt G không thể thực hiện được. Để làm được
điều đó, người ta sử dụng chuẩn của ma trận G, ký hiệu là G ( jω ) . Có nhiều
chuẩn khác nhau, phần này sẽ giới thiệu tóm tắt một số chuẩn được sử dụng phổ
biến nhất.

11


Chương 2: Điều khiển bền vững

2.1.1. Điều kiện
Cho một không gian vector X trên trường số thực hoặc số phức và một
ánh xạ
. := X → R

(2.1)

được gọi là một chuẩn nếu thỏa mãn bốn tính chất sau:
-

x ≥ 0 với mọi x ∈ X

(2.2)

-

x = 0 khi x = 0

(2.3)

-

λx = λ . x với λ vô hướng và với mọi x ∈ X

(2.4)

-

x + y ≤ x + y với mọi x ∈ X và y ∈ X

(2.5)

2.1.2. Một số chuẩn vector thông dụng
x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) là một vector phức n chiều thuộc không gian C n ,
1 ≤ p ≤ ∞ . chuẩn p của vector x được xác định như sau:

x

p

(∑n xi p )1 / p , 1 ≤ p < ∞
=  i =1
max i =1, 2,...,n xi , p = ∞

(2.6)

- Chuẩn 1 của vector x
n

x 1 = ∑ xi

(2.7)

i =1

- Chuẩn 2 của vector x
x

2

=

n

∑x
i =1

2
i

(2.8)

- Chuẩn vô cùng của vector x
x

∞

= max xi

(2.9)

i =1, 2 ,..., n

Ví dụ 2.1:
1 
Cho x = − 2
 3 
12


Chương 2: Điều khiển bền vững

x 1 = 1+ −2 + 3 =6

x
x

2

∞

= 12 + 2 2 + 3 2 = 14
=3

2.1.3. Một số chuẩn ma trận thông dụng

- Chuẩn 1 của ma trận A
A 1 = max ∑ aij
j

(2.10)

i

- Chuẩn 2 của ma trận A (chuẩn Spectral)
A 2 = max λi ( A H A)
i

(2.11)

- Chuẩn vô cùng của ma trận A
A ∞ = max ∑ aij
i

(2.12)

j

- Chuẩn Euclide của ma trận A (chuẩn Frobenius)
A

F

=

∑∑ a

i

2
ij

(2.13)

j

với A H là ma trận chuyển vị và lấy liên hiệp. λi ( A H A) là trị riêng của ma trận
A H A là một số thực khơng âm.

Ví dụ 2.2:
1 2 3
Cho A = 3 2 1
0 4 2
A1 = 2 + 2 + 4 =8
A

F

= 12 + 2 2 + 3 2 + 32 + 2 2 + 12 + 4 2 + 2 2 = 48

A∞ =1+ 2 +3 =6

2.1.4. Chuẩn của tín hiệu - chuẩn Lp của tín hiệu
Từ chuẩn p của vector hằng số, ta có thể dễ dàng tổng qt hóa cho
chuẩn của tín hiệu.
13

Chương 2: Điều khiển bền vững

Cho 1 ≤ p ≤ ∞ , chuẩn Lp của tín hiệu z (vơ hướng, liên tục theo thời gian)
được định nghĩa như sau:
z

Lp

 ∞
p
1/ p
( ∫ z (t ) dt ) , 1 ≤ p < ∞
=  −∞
sup z (t ) , p = ∞
 t∈R

(2.14)

Nếu tín hiệu z(t) là một vector thuộc khơng gian Rn hoặc Cn, thì định
nghĩa này có thể được viết lại như sau:
z

Lp

 ∞
p
1/ p
( ∫ z (t ) dt ) , 1 ≤ p < ∞
=  −∞

sup z (t ) , p = ∞
 t∈R

(2.15)

Chuẩn tín hiệu thường được sử dụng để xét đặc tính của một tín hiệu là
chuẩn L2 và chuẩn L∞ .
- Chuẩn L2
∞

z

= ( ∫ z (t ) 2 )1 / 2

L2

2

(2.16)

−∞

- Chuẩn L∞
z

L∞

= sup z (t )
t∈R

(2.17)

∞

Bình phương của chuẩn L2 là năng lượng của tín hiệu z, chuẩn L∞ là biên
độ hay giá trị đỉnh của tín hiệu.
Ví dụ 2.3:
e − t 1(t ) 
Tín hiệu z (t ) =  −3t  , với 1(t) là hàm nấc, z(t) bằng 0 khi t < 0. Ta
2e 1(t )

có:
z

z

2
L2

∞

= ∫ (e
0

− 2t

+e

−6 t

L∞

1 
=  
 2

=2
∞

e −2t
e −6t
)dt =
+4
6
−2

t =∞

=
t =0

1 4 7
+ =
2 6 6

14


Chương 2: Điều khiển bền vững

2.1.5. Chuẩn dẫn xuất (Induced norm)
Dựa trên nền tảng của việc chuẩn hóa khơng gian tín hiệu, chúng ta có
thể xác định chuẩn của một tốn hạng tác động trực tiếp lên các tín hiệu.
A i = sup
x ≠0

Ax
x

(2.18)

với A là ma trận, x là vector. Chuẩn dẫn xuất thỏa mãn các tính chất sau:
-

Ax ≤ A i . x

(2.19)

-

αA i = α . A i

(2.20)

-

A+ B i ≤ A i + B

-

A.B i ≤ A i . B

(2.21)

i

(2.22)

i

Chuẩn ma trận N(A) thỏa mãn tính chất (2.22), được gọi là chuẩn tương
thích (compatible), chuẩn dẫn xuất là một mẫu của chuẩn tương thích. Nó cho
thấy rằng đối với mỗi chuẩn tương thích thì tồn tại một chuẩn vector sao cho
Ax ≤ N ( A). x

(2.23)

chúng ta nói rằng N(A) là chuẩn tương thích với chuẩn vector x.
Cho A là một ma trận tương thích, nếu λ ( A) là trị riêng của A và x là
vector riêng tương ứng thì:
Ax = λ ( A) . x ≤ A i . x

(2.24)

λ ( A) ≤ A i

(2.25)

hay

Người ta định nghĩa ρ (A) như sau:
ρ ( A) = max λi ( A)
i

(2.26)

ρ (A) được gọi là bán kính phổ của ma trận A.

Từ (2.25), ta có
ρ ( A) ≤ A i

(2.27)

15


Chương 2: Điều khiển bền vững

Như vậy bán kính phổ của ma trận chính là chặn dưới của chuẩn tương
thích.
2.1.6. Trị suy biến và phân hoạch trị suy biến (Singular Value
Decomposition-SVD)
2.1.6.1 Trị suy biến của ma trận - độ lợi chính (Principal gain)
Trị suy biến của ma trận G (m x l) được ký hiệu là σ i (G ) được định
nghĩa như sau:
σ i (G ) = λi (G H G )

i = 1,2,...k

(2.28)

với r = min{m, l} .
Nếu chúng ta biểu diễn ma trận G dưới dạng G(s) và đặt s = jω
(0 ≤ ω < ∞) , thì trị suy biến của G ( jω ) là một hàm của ω và được gọi là độ lợi

chính của G(s). Ở đây chúng ta giả sử rằng σ i được sắp xếp theo thứ tự sao cho
σ i ≥ σ i +1 . Như vậy, σ 1 là trị suy biến lớn nhất và σ k là trị suy biến nhỏ nhất.

Người ta ký hiệu σ là trị suy biến lớn nhất và σ là trị suy biến nhỏ nhất.
Ta có:
σ (G ) = max σ i (G ) = max λi (G H G )
= G

với G 2 = sup

Gx
x

2

(2.29)

2

.

2

Như vậy trị suy biến lớn nhất của ma trận G chính là chuẩn spectral của
nó.

2.1.6.2. Phân hoạch trị suy biến
Để thấy được cấu trúc bên trong của một ma trận, sử dụng phân hoạch trị
suy biến biểu diễn ma trận.
G = YΣUH

(2.30)

với Y và U là ma trận unitary. Ma trận U là ma trận unitary nếu UHU = UUH =
I. Σ là ma trận chéo (m x l), với các phần tử trên đường chéo là trị suy biến của
ma trận G.
16


Chương 2: Điều khiển bền vững

Σ = diag{ σ 1 , σ 2 ,..., σ r }
Nếu m ≥ l:

m ≤ l:

Y ∈ Cm x l

Y ∈ Cm x m

Σ ∈ Rl x l

Σ ∈ Rm x m

UH ∈ Cl x l

UH ∈ Cm x l

YHY = Il

YHY = YYH = Im

UHU = UUH = Il

UHU = Im

(2.31)

với Cm x l là tập các ma trận phức, Rm x l là tập các ma trận thực có kích thước m
hàng và l cột.
Ví dụ 2.4:
Phân hoạch trị suy biến của ma trận G
0.8712 − 1.3195 
G=

1.5783 − 0.0947

ta được
Y=

1 1 − 1

,
2 1 1 

 2 0

1 3
,U= 

2 −1
 1

∑ = 0

1

3

như vậy σ (G ) = 2 , σ (G ) = 1
Ta có:
GGH = (YΣUH)( YΣUH)H
= (YΣUH)(UΣYH)
= YΣ2YH

(2.32)

Nếu m ≤ l thì YH = Y-1, điều này cho thấy rằng Y là ma trận các vector
riêng và {σ i2 } là các trị riêng của GGH.
GHG = (UΣYH)(YΣUH)
= UΣ2UH

(2.33)

Nếu m ≥ l thì UH = U-1, vì vậy trong trường hợp này U là ma trận các
vector riêng và {σ i2 } là các trị riêng của GHG.
17

Chương 2: Điều khiển bền vững

Lưu ý rằng rank(G) = rank(Σ), vì vậy nếu rank(G) = r thì chỉ có r trị suy
biến đầu tiên khác không.
Xét ma trận H được biểu diễn như sau:
H = UΣ-1YH

(2.34)

thì
HGH = (UΣ-1YH)(YΣUH)(UΣ-1YH)
=H

(2.35)

và
GHG = (YΣUH) (UΣ-1YH)(YΣUH)
=G

(2.36)

đặt
Gt = H = UΣ-1YH

(2.37)

Gt được gọi là ma trận giả đảo (pseudo-inverse) của G. r là hạng của G, nếu r <
min(l, m) thì thay cho Σ-1, ta có:

∑ −r 1

 0

0

0

Nếu G là ma trận vng và khơng suy biến thì
G-1 = UΣ-1YH

(2.38)

do đó
G −1 ( jω )

2

=

1
σ (ω )

(2.39)

vì vậy
G −1 ( j ω ) y ( j ω )
y ( jω )

≤

1
σ (ω )

(2.40)

và
G ( jω )u ( jω )
u ( jω )

≤ σ (ω )

(2.41)

18


Chương 2: Điều khiển bền vững

thay y(jω) = G(jω)u(jω) vào ta được
σ (ω ) ≤

G ( jω )u ( jω )
u ( jω )

≤ σ (ω )

(2.42)

Điều này cho thấy rằng độ lợi của hệ đa biến nằm giữa độ lợi chính lớn

nhất và nhỏ nhất.
Tương ứng với mỗi độ lợi chính sẽ có một cặp hướng chính (principal
direction) như sau. Giả sử rằng m ≥ l , từ (2.30) ta có thể viết như sau:
y = Gu
=

l

∑σ
k =1

k

y k u kH u

(2.43)

vì u k = 1 , nên ta có:
u kH u ≤ u k u = u

(2.44)

dấu bằng xãy ra khi u = αuk, với α là một số vô hướng. Giả sử rằng u = αui, với
α = 1 vì vậy u = 1 , thì u kH u = 0 với k ≠ i , kết quả ta được:
y = σ i y iα

(2.45)

y =σi

(2.46)

vì vậy

Điều này cho thấy rằng độ lợi của hệ thống chính là σ i nếu tín hiệu vào
nằm trên phương của ui. Tập {u1 , u 2 ,..., u l } được gọi là tập các phương chính đầu
vào của G. Đặc biệt, độ lợi lớn nhất có thể đạt khi tín hiệu vào nằm trên phương
của u1 ( σ = σ 1 ) và độ lợi nhỏ nhất khi tín hiệu vào nằm trên phương của ul
( σ = σ l ) . Chú ý rằng các phương cơ sở trực giao với nhau từng đôi một.
Công thức (2.45) cho thấy rằng nếu vector đầu vào nằm trên phương của
ui thì vector đầu ra nằm trên phương yi. Tập các vector { y1 , y 2 ,..., y l } được gọi là
các phương chính đầu ra và cũng trực giao từng đôi một.

19


Chương 2: Điều khiển bền vững

2.1.7. Chuẩn của hệ thống
Cho hệ thống như hình 2.1, u là tín hiệu vào, y = Gu là tín hiệu ra. Nếu G
là một tốn tử tuyến tính thì chuẩn của hệ thống được xác định như là chuẩn của
tốn tử này.
u

y

G

Hình 2.1: Hệ thống vào – ra
Giả sử G là một ma trận hữu tỷ, chuẩn của hệ thống được dẫn xuất bởi

chuẩn L2 tồn tại nếu và chỉ nếu G là một ma trận hợp thức và khơng có cực nằm
bên phải của mặt phẳng phức. Khi đó, chuẩn dẫn xuất L2 của ma trận hàm
truyền G được xác định như sau:
G = sup σ (G ( jω ))

(2.47)

ω ∈R

Chuẩn này được gọi là chuẩn H ∞ , thường được ký hiệu bằng G

H∞

hay

G ∞ . Đối với hệ SISO thì
G

∞

= sup G ( jω )

(2.48)

ω ∈R

Ví dụ 2.5:
Cho một hệ SISO bậc nhất với hàm truyền G ( s) =
G

∞

= sup
ω ∈R

1
, với θ > 0, ta có:
1 + sθ

1
1
= sup
=1
1 + jωθ
ω∈R 1 + ω 2θ 2

2.2. Ổn định của hệ điều khiển tự động
2.2.1 Khái niệm về ổn định
Ổn định là chỉ tiêu cơ bản đầu tiên của hệ thống điều khiển tự động. Hệ
thống muốn sử dụng được thì trước tiên phải ổn định.
Thơng thường để biết được hệ thống điều khiển tự động ổn định hay
không ổn định thì phải giải phương trình vi phân mơ tả q trình động học của
nó.
20