Khảo sát dầm phẳng timoshenko có xét ảnh hưởng của phi tuyến hình dọc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA Tp.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------------------

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HỌC VIÊN CAO HỌC :

NGUYỄN VĂN PHÁT
ĐỀ TÀI :

PHÂN TÍCH DẦM PHẲNG TIMOSHENKO
CÓ XÉT PHI TUYẾN HÌNH HỌC

Chuyên Ngành : Xây Dựng Dân Dụng & Công Nghiệp
Mã số ngành :

7-2005


Mục Lục

MỤC LỤC
CHƯƠNG I : TỔNG QUAN
I.1 Lịch sử phát triển.................................................................................... 1
I.2 Nhiệm vụ của luận văn ......................................................................... 2
I.2.1 Sự cần thiết của luận văn ............................................................. 3
I.2.2 Mục tiêu của luận văn .................................................................. 4
CHƯƠNG II : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
II.1 Cơ học môi trường liên tục ................................................................... 5
II.1.1 Mô tả chuyển động của vật thể ................................................ 6

II.1.2 Mô tả chuyển động của vật thể theo Lagrange Tổng ............... 7
II.1.2.1 Hệ trục tọa độ ................................................................ 8
II.1.2.2 Chuyển vị & Tensơ biến dạng và ứng suất ................... 9
II.1.2.3 Năng lượng biến dạng ................................................... 10
II.2 Phương pháp phần tử hữu hạn .............................................................. 11
II.2.1 Hệ tọa độ tự nhiên .................................................................... 12
II.2.2 Mô hình phần tử đẳng tham số ................................................. 13
II.2.3 Tích phân số : Guass .................................................................. 14
II.3 Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến ........................................ 15
II.3.1 Tổng quan ................................................................................. 16
II.3.2 Phương pháp trực tiếp ................................................................ 17
CHƯƠNG III : PHÂN TÍCH PHI TUYẾN DẦM TIMOSHENKO THEO
LAGRANGE TỔNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
III.1 Mô hình dầm Timoshenko trong phần tử hữu hạn ...................... 18
III.1.1 Dầm Timoshenko và giả thiết ......................................... 19
III.1.2 Mô hình phần tử hữu hạn ................................................ 20
Phân tích dầm phẳng Timoshenko


Mục Lục

III.2 Xác định ma trận độ cứng của dầm Timoshenko
III.2.1 Trục phần tử trùng với trục X........................................... 21
+ Mô tả phần tử ......................................................................... 22
+ Hàm nội suy chuyển vị ........................................................... 23
+ Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị .................................... 24
III.2.2 Trục phần tử ở vị trí bất kỳ so với trục X ......................... 25
+ Mô tả phần tử ......................................................................... 26
+ Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị ....................... 27
+ Tensơ ứng suất ........................................................................ 28

+ Năng lượng biến dạng ............................................................ 29
III.2.3 Ma trận độ cứng .............................................................. 30
+ Ma trận độ cứng vật liệu ........................................................ 31
+ Ma trận độ cứng hình học ....................................................... 32
+ Dùng tích phân số ................................................................... 33
CHƯƠNG IV : CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG
IV.1 Tổng quan về chương trình ứng dụng ......................................... 34
IV.2 Lưu đồ chương trình .................................................................... 35
CHƯƠNG V: THÍ DỤ MINH HỌA
V.1 Bài toán 1 : .................................................................................. 36
( Dầm console chịu uốn với tải trọng tập trung )
V.2 Bài toán 2 : .................................................................................. 37
( Dầm console chịu uốn với tải trọng phân bố đều )
V.3 Bài toán 3: .................................................................................... 38
( Dầm console chịu nén uốn với tải trọng nén lệch tâm )
+ Khi e = 0.1 (cm)
+ Khi e = 0.2 (cm)
Phân tích dầm phẳng Timoshenko


Muïc Luïc

+ Khi e = 0.4 (cm)
+ Khi e = 1 (cm)
+ Biểu đồ quan hệ P-e
V.4 Bài toán 4: .................................................................................... 39
( Dầm đơn giản chịu nén uốn 2 đầu với tải trọng nén lệch tâm )
V.5 Bài toán 5: .................................................................................... 40
( Dầm đơn giản chịu uốn với tải phân bố đều )
V.6. Bài toán 6 : ................................................................................. 41

( Khung Portal )
V.7 Bài toán 7 : .................................................................................. 42
( Khung phẳng )
CHƯƠNG VI : KẾT LUẬN
VI.1 Nhận xét ..................................................................................... 43
VI.2 Hướng phát triển ........................................................................ 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 45
Phụ lục : MÃ NGUỒN CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG

Phân tích dầm phẳng Timoshenko


Chương I : Tổng Quan

CHƯƠNG I :

TỔNG QUAN
I.1. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN :
Trở lại những năm 1920. Stephen Prokofyevich Timoshenko (1878-1972)
là một trong những cha đẻ của cơ học kỹ thuật hiện đại. Sinh ra ở Ukraina, ng
tốt nghiệp ở Viện kỹ thuật công trình St Peterburg năm 1901. Và ông đã trở thành
giáo sư ở Kyev từ năm 1907-1920, khi ông rời Yogoslavia.Năm 1922 ông đã di
cư đến Mỹ, và công việc đầu tiên là tại một phòng nghiên cứu Westinghouse, sau
đó tham gia vào trường đại học Michigan năm 1927. Năm 1936 ông di chuyển
đến Stanford , nghỉ hưu vào năm 1960. Ngoài những đóng góp chính yếu của ông
về lý thuyết và thực tiễn của cơ học ứng dụng ,ông còn cải tiến phương pháp
giảng dạy trong kỹ thuật kết cấu. 12 cuốn sách của ông được in ra thành 35 thứ
tiếng và có giá trị trong mọi thời đại. Điển hình như :Lý thuyết Tấm và vỏ, Lý
thuyết về kết cấu và những tiền đề về động lực, hay Lý thuyết về Sức Bền Vật
Liệu mà ông đã rút ra từ lịch sử của Leonardo da Vinci and Galileo.

Năm 1921, Timoshenko đã cho ra một mô hình dầm mà cho đến bây giờ
nó lại mang tên của ông. Nó được xem như là một sự cải tiến của mô hình dầm
cổ điển Euler-Bernoulli. Nó đã mở đầu cho ảnh hưởng cắt bậc nhất bằng cách
tháo bỏ quan niệm “ tiết diện phẳng giữ nguyên phẳng” của mô hình Euler
Bernoulli, cũng như là quán tính xoay trong năng lượng động học. Mô hình này
cũng liên quan đến những vấn đề chuyển động và động học.
Theo lý thuyết Timoshenko (hay lý thuyết dầm dày) có kể đến ảnh hưởng
của quán tính quay và biến dạng cắt mà những vấn đề này bị bỏ qua trong lý
thuyết dầm Euler-Bernoulli (hay lý thuyết dầm mỏng). Cho nên, về mặt phương
diện toán học lý thuyết dầm Timoshenko khác với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli
( hay dầm ccå điển ) ở một vài điểm như sau :

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

1


Chương I : Tổng Quan

Lý thuyết Euler-Bernoulli

Lý thuyết Timoshenko

- Sơ đồ tính dầm chịu uốn thuần túy :

- uz=w(x) :chuyển vị theo phương

- Chuyển vị theo phương x :

vuông góc với trục trung hòa nên :

u x = − zψ(x )

u x = − zψ(x )

- Mặt phẳng AB sau biến dạng vẫn

- Mặt phẳng AB sau biến dạng không

vuông góc với trục CD :

vuông góc với trục CD nên :

ψ=

dw
dx

⇒ ux = −z

- Biến dạng : ε xx =

dw
dx

∂u x
d2 w
= −z 2
dx
∂x

- Ứng suất :

ψ≠

dw
dx

-Biến dạng : ε xx =

∂u x
∂x

- Ứng suất :

giả sử (σyy = σzz = σxy = σyz = 0)
⇒ σ xx = − E.z

d2 w
dx 2

∂u 
 ∂u
⇒ σ xz = G x + z 
∂x 
 ∂z

 dw dw 
= G
−
 =0

 dx dx 

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

⇒ σ xx = − E.z

dψ
dx

∂u 
 ∂u
⇒ σ xz = G x + z 
∂x 
 ∂z
dw 

= G − ψ(x ) +
 ≠0
dx 


2


Chương I : Tổng Quan

- Thành phần nội lực :

 d2 w 
M = EI 2 

 dx 
với ψ =

dw
dx

 d2 w 
M = EI 2 
 dx 
với

dw
V (x )
− ψ(x ) = −
dx
GA

I , A : dieän tích & Momen quán tính

E : Mô dun dàn hồi Young
Chính sự khác nhau giữa hai mô hình dầm trên, nên đến bây giờ trên thế
giới đã có hàng loạt những nghiên cứu về mô hình dầm Timoshenko như sau :
- Theo Gen-Qi Xu, De-Xing Feng [7] : đã nghiên cứu về những lý thuyết cơ bản
của Riesz về mô hình dầm Timoshenko với điều kiện biên động và ứng dụng .
Trong nghiên cứu này, tác giả đã giới thiệu hệ thống vectơ riêng của dầm
Timoshenko ở trạng thái không gian tương ứng với điều kiện biên động
- Theo Ivan Hlavá ek [8] : sự phá hoại độ của dầm Timoshenko ở trạng thái đàn
hồi với dữ liệu đầu vào không chắc chắn. Tác giả đã chứng minh sự phụ thuộc
của tải trọng phá hoại của dầm Timoshenko – Mindlin theo hệ số điều chỉnh lực
cắt và theo độ cứng. Và sử dụng phương pháp phản chứng để tìm ra dữ liệu đầu

vào nguy hiểm nhất .
- Theo T Kaneko [20]: Nghiên cứú thực nghiệm về hệ số lực cắt của Timoshenko
cho dầm bị rung động. Ở đây tác giả đã đề nghị 2 hệ số lực cắt thực nghiệm K1,
K2 đối với dầm hình chữ nhật và hình trụ, hai hệ số này phụ thuộc vào mỗi hệ số
Poisson mô tả đúng ảnh hưởng của lực cắt đối với dầm Timoshenko bị rung động
- …vv..vv…….( được trình bày trong phần tham khảo)
Nhận thấy rằng, trong hầu hết các nghiên cứu liên quan đến mô hình dầm
Timoshenko được thể hiện theo lý thuyết và dùng những phương pháp giải tích
để chứng minh những vấn đề cần nghiên cứu.
I.2. NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN :
I.2.1 Sự cần thiết của luận văn :
Phân tích dầm phẳng Timoshenko

3


Chương I : Tổng Quan

Hiện nay, có rất nhiều các nghiên cứu về dầm cổ điển (Euler-Bernoulli )
trên thế giới bàn về các khía cạnh đối với mô hình dầm này. Nhưng đối với mô
hình dầm Timoshenko thì còn có nhiều bỏ ngõ, chẳng hạn như nghiên cứu về tính
phi tuyến của loại dầm này .vv.. và việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn
để phân tích những vấn đề còn chưa khảo sát trên.
+ Sự cần thiết của việc nghiên cứu dầm Timoshenko:
Chính vì có nhiều bỏ ngõ đối với loại dầm Timoshenko nên tác giả của luận án
đã chọn mô hình dầm này để nghiên cứu sự khác biệt của nó với những mô hình
dầm khác. Từ đó có sự nhận định đúng đắn về mô hình dầm này
+ Phi tuyến hình học :
Mục đích của phân tích kết cấu là tìm ra ứng suất, biến dạng, lực tác dụng và
chuyển vị với kết cấu cho trước dưới những điều kiện tải trọng. Dựa trên những

kết quả phân tích, kỹ sư kết cấu có thể kiểm tra những thiết kế, đề ra những yêu
cầu về điều kiện biên đủ đến sự kết hợp của tải trọng và nếu cần thiết xem lại
thiết kế cho đến khi những yêu cầu này được thoả mãn. Ngay lúc này, phân tích
đàn hồi tuyến tính giữ được những cơ bản của thiết kế chuyên nghiệp, kết quả
lấy được từ sự phân tích được sử dụng cho sự tính toán lực và ứng suất và những
thành phần của phần tử kết cấu.
Một điều trở ngại trong phân tích đàn hồi tuyến tính nó không có khả năng
phản ánh ứng xử thực tế của kết cấu đưới những điều kiện tải trọng bất thường
hay cực hạn, vì hầu hết các kết cấu đều ứng xử phi tuyến trước khi đạt đến khả
năng giới hạn của chúng .Chính vì vậy những tiêu chuẩn hiện tại dựa trên nội
dung thiết kế cường độ cực hạn không đủ cung cấp cho các kỹ sư kết cấu để xem
xét những ảnh hưởng phi tuyến hay ảnh hưởng bậc 2 sử dụng kỹ thuật phân tích
chính xác hay xấp xỉ
Một yếu tố khác để nói lên sự cần thiết của việc phân tích phi tuyến có
thể được đóng góp cho sự phát triển của vật liệu cường độ cao trong những lónh
Phân tích dầm phẳng Timoshenko

4


Chương I : Tổng Quan

vực như kỹ thuật hàng không, kỹ thuật cơ khí, hay là những công trình cao tầng
trong đó trọng lượng của vật liệu là một mối quan tâm chính. Ứng dụng của
những vật liệu này trong những ngành trên, thông qua những kỹ sư có năng lực để
có được những thiết kế kết cấu nhẹ hơn, những ứng dụng của phi tuyến trong
thiết kế kết cấu. Rõ ràng chức năng của phân tích phi tuyến trở nên rất quan
trọng do sự gia tăng việc sử dụng những vật liệu nhẹ và cường độ cao trong công
nghiệp. Mặt khác, ngoài những yêu cầu thiết kế nghiêm ngặt, sự tiến bộ trong
phương pháp giải, sự mở rộng trong bộ nhớ máy tính, sự giảm nhiều trong chi phí

tính toán và những yếu tố khác nhường chỗ cho phân tích phi tuyến
+ Phương pháp phần tử hữu hạn :được mô phỏng bởi sự phát triển mạnh
mẽ của máy tính điện tử và mạnh hơn vị trí của nó trong cơ học có sử dụng máy
tính, từ những cơ bản về phân tích tuyến tính cho đến những bài toán đơn giản
trong một thời đại của việc tạo ra những thách thức mới như phi tuyến, không đàn
hồi, phân tích động học v.v. hay những bài toán tồn tại hàng mười, trăm hoặc
nghìn năm . Hiện nay nhiều người có khuynh hường xem phần tử hữu hạn như là
một công cụ tốt mà nó có thể được ứng dụng trong việc giải quyết của những bài
toán phi tuyến khác nhau. Mặt khác, với thuật toán của phương pháp này cho
phép tránh được mọi khó khăn nảy sinh do cách qui luật biến dạng phức tạp của
vật liệu, do lịch sử phát triển của tải trọng, do hình dạng hình học phức tạp của
đối tượng nghiên cứu .
I.2.2 Nhiệm vụ :
Trong nội dung của luận án này, tác giả luận án xin đề cập một vài vấn đề sau :
1. Dựa vào cơ sở lý thuyết của dầm Timoshenko và cơ học môi trường liên tục,
thiết lập ma trận độ cứng của phần tử dầm Timoshenko có đến ảnh hưởng của phi
tuyến hình học theo sơ đồ sau :

Phân tích dầm phaúng Timoshenko

5


Chương I : Tổng Quan
Chuyển vị nút u
Trường chuyển vị phần tử
w =[ ux , uy , θ ]T
Gradient chuyển vị
w’ = [ ux’ , uy’ , θ ’]T
Biến dạng tổng quát

h = [ e , γ , κ ]T
Hàm Năng Lượng Biến Dạng U
Kết quả ứng suất
z = [ N,V,M ]T

biến phân U: δU = ∫ zT BT dX δu = pT δu
Thành phần nội lực p

L

biến phân p : δp = ∫ ( BT δz + δBT z) dX δu
L

= (KM + KG) δu
Ma trận độ cứng
K = (KM + KG)
Hình 1.1 : Sơ đồ thiết lập ma trận độ cứng của dầm Timoshenko
2. Sử dụng phương pháp trực tiếp ( Direct Method, Chajes và Churchill)[16] để
giải hệ phương trình phi tuyến
3. Xây dựng một chương trình trên máy tính bằng ngôn ngữ Matlab theo mô hình
phi tuyến và tuyến tính đã đề cập trên. Từ đó đánh giá và so sánh các kết quả
tìm được từ mô hình dầm Timoshenko có xét đến ảnh hưởng của phi tuyến hình
học và so sánh các kết quả tìm được với kết quả từ chương trình Sap2000 và
STAAD III các kết quả của mô hình dầm Euler-Bernoulli có xét đến ảnh hưởng
phi tuyến hình học (Mallett,Marcal) [11] mà tác giả Tô Chiêu Cường [21] đã
nghiên cứu. Trên cơ sở đó nhận định chính xác hơn về mô hình dầm Timoshenko
khi kể phi tuyến hình học

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

6


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

CHƯƠNG II:

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
II.1. CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC :
II.1.1. Mô tả chuyển động của vật thể :
Cả công thức Euler và Lagrange được đề nghị để mô tảsự di chuyển của
vật thể cứng. Trong công thức Euler, hệ tọa độ không gian…, là những hệ tọa độ
liên quan đến vật thể đã bị biến dạng, được xem là hệ tọa độ gốc. Trong khi đó,
công thức Lagrange, hệ tọa độ vật chất, là hệ tọa độ liên quan đến vật thể trước
khi nó biến dạng. Công thức Lagrange thì phù hợp cho việc phân tích phi tuyến
từng bước cho vật thể, mà theo công thức đó chúng ta biết nguồn góc biến dạng
của mỗi điểm thuộc vật thể trong suốt quá trình chịu tải. Ngược lại, theo công
thức Euler thích hợp với việc phân tích những bài toán cơ lư u chất ở đó chỉ tập
trung vào sự chuyển động của vật thể thông qua một thể tích cụ thể. Trong luận
án , tác giả chỉ đề cập đến công thức Lagrange

Hình 2.1 Mô tả tổng quát chuyển động của vật thể cứng
Phân tích dầm phẳng Timoshenko

7


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

Với công thức Lagrange cho bài toán phân tích phi tuyến được bắt đầu

bằng cách chia đường tải trọng của vật thể cứng thành một số trạng thái cân
bằng. Được thể hiện ở hình 2.1 . Ba trạng thái của vật thể có thể hình thành dưới
dạng hệ thống tọa độ đề các tónh :
Trạng thái chưa biến dạng ban đầu

: Co

Trạng thái biến dạng gần nhất

: C1

Trạng thái biến dạng hiện tại

: C2

Giả thiết rằng: những sự thay đổi về ứng suất, biến dạng chuyển vị theo tải
tác dụng được biết ở trạng thái C1. Nhiệm vụ là thiết lập lý thuyết gia tăng cho
việc quyết định những thông số thay đổi ở trạng thái biến dạng C2, và giả thiết
tải ngoài tác động lên vật thể ở C1 tăng dần theo một lượng nhỏ . Từng bước mô
tả quá trình biến dạng của vật thể từ trạng thái C1 đến C2 sẽ được xem như là một
bước gia tăng. Trong khi đó biến dạng, trong phạm vi từ C1 đến C2 được giả sử là
nhỏ, những biến dạng của vật thể tích lũy từ trạng thái Co đến C1 và C2 có thể là
lớn bất kỳ
Tùy trạng thái trước đó được chọn là trạng thái tham khảo cho việc thành
lập phương trình chủ đạo của vật thể ở trạng thái hiện tại C2, hai loại công thức
Lagrange được định nghóa như sau:
+ Công thức Lagrange cải tiến: trạng thái tính tóan gần nhất C1 được chọn
là trạng thái tham khảo.
+ Công thức Lagrange tổng: trạng thái tham khảo được chọn là trạng thái
chưa biến dạng ban đầu Co

Cả hai công thức Lagrange tổng và cải tiến được xem như là những trường
hợp đặc biệt của Lagrange tổng quát mà nó thích hợp với những trạng thái bất kỳ
từ Co đến C1 là trạng thái tham khảo (Cescotto 1979)[4]. Tuy nhiên, trong luận
văn chỉ đề cập công thức Lagrange tổng
Phân tích dầm phẳng Timoshenko

8


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

Dựa vào hình 1.1, tọa độ của điểm P tại trạng thái C1 và C2 được suy ra như sau :
1

xi = oxi + 1ui

với ( i=1 ,2 ,3)

(2.1)

2

với ( i=1 ,2 ,3)

(2.2)

xi = oxi + 2ui

Trong đó :

- (ox1, ox2, ox3) : Tọa độ của điểm P ở trạng thái Co
- (1x1, 1x2, 1x3) : Tọa độ của điểm P ở trạng thái C1
- (2x1, 2x2, 2x3) : Tọa độ của điểm P ở trạng thái C2

Như vậy, độ gia tăng chuyển vị của điểm P từ trạng thái C1 đến C2
ui = 2ui - 1ui

với ( i=1 ,2 ,3)

(2.3)

II.1.2. Mô tả chuyển động của vật thể theo lagrange tổng (TL)
II.1.2.1 Hệ trục tọa độ :

Hình 2.2. Mô tả Lagrange tổng về chuyển động của vật thể
( Lagrange tổng có trạng thái ban đầu trùng với trạng thái tham khảo)
Hình dạng của vật thể được đề cập trong hệ thống tọa độ cơ bản Đề cát.
Tọa độ của phần tử Po ở trạng thái tham khảo Co được gọi là (X,Y,Z) hay
(xo,yo,zo). Những tọa độ này thường được viết gọn lại ở dạng vectơ 3 chiều xo

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

9


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

Khi vật thể chuyển động sang trạng thái hiện tại C. Phần tử P di chuyển sang vị
trí mới có tọa độ (x,y,z) và tọa độ này cũng được viết gom lại ở dạng vectơ 3
chiều x :

⇒ x = xo + u

(2.4)

Vectơ chuyển vị của phần tử được định nghóa như sau :

uX  x − X  x − x o 
u = u Y  = y − Y  = y − y o  = x - xo


u Z  z − Z  z − zo 

(2.5)

Trong đó: (X ≡ xo , Y ≡ yo , Z ≡ zo)
II.1.2.2 Chuyển vị & tensơ biến dạng và ứng suất :
+ Chuyển vị :
Khi đạo hàm (x,y,z) theo (X,Y,Z) và được sắp xếp theo dạng của Jacobian
Ta có gradient biến dạng như sau:

 ∂x
 ∂X
∂ (x, y, z)  ∂y
F=
=
∂( X , Y , Z)  ∂X
 ∂z
 ∂X

∂x
∂Y
∂y
∂Y
∂z
∂Y

∂x 
∂Z 
∂y 

∂Y 
∂z 
∂Z 

(2.6)

Nghịch đảo mối quan hệ đạo hàm (X,Y,Z) theo (x,y,z) ta có :

 ∂X
 ∂x

-1 ∂( X , Y , Z)  ∂Y
=
F =
∂ (x, y, z)  ∂x
 ∂Z

 ∂x

∂X
∂y
∂Y
∂y
∂Z
∂y

∂X 
∂z 
∂Y 
∂y 
∂Z 

∂z 

(2.7)

Những ma trận này có thể được sử dụng để suy ra quan hệ vi phân như sau :

dx
dX 


dx= dy = F dY  = F dxo , dxo = F-1dx
 
 
dz
dZ 
Phân tích dầm phẳng Timoshenko

(2.8)

10


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

Tượng tự, gradien chuyển vị đối với trạng thái tham khảo thể hiện ở ma traän sau :

 ∂u x
 ∂X
 ∂u
G=F-I =  y
 ∂X
 ∂u z
 ∂X


∂u x
∂Y
∂u y
∂Y
∂u z
∂Y

∂u x 
∂Z 
∂u y 

∂Y 

∂u z 
∂Z 

(2.9)

Gradient chuyển vị đối với trạng thái hiện tại :

 ∂X
∂X
∂X   ∂u x

1 − ∂x
∂y
∂z   ∂x

∂Y
∂Y
∂Y   ∂u y
=
1−
J= I- F-1 = 
 ∂x
∂y
∂y   ∂x
 ∂Z
∂Z
∂Z   ∂u

1−   z
∂y

∂z   ∂x
 ∂x

∂u x
∂y
∂u y
∂y
∂u z
∂y

∂u x 
∂z 

∂u y 
∂z 
∂u z 

∂z 

(2.10)

Với các xử lý của mô tả Lagrange tổng tạo điều kiện thuận lợi cho việc sắp xếp
gradient chuyển vị (2.10) thành 1 vectơ gồm 9 thành phần :

g=


∂u x

∂X 

g1  ∂u y 
   ∂X 
g2  ∂u z 
g3   ∂X 
  ∂u x 
g4   ∂Y 
g  = ∂u y 
 5   ∂Y 
g6  ∂u z 
   ∂Y 
g7  ∂u x ∂Z 
g8  

  ∂u y ∂Z 

g9  

∂u z


∂
Z



(2.11)

Với vật thể cứng bất kỳ chuyển động ( chuyển động không có biến dạng ) thì :
FT.F = F.FT=I ( F là một ma trận trực giao)

(2.12)

Ma trận gradient chuyển vị và biến dạng liên kết với nhau qua mối quan hệ :
G = (I-J)-1 – I , J = I –(I+G)-1
Phaân tích dầm phẳng Timoshenko

(2.13)
11


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

Trong cơ học liên tục phi tuyến , gradient đóng một vai trò hết sức quan trọng mà
nó lại thiếu trong lý thuyết vi phân. Và cũng càng quan trọng hơn trong công thức
nòng cốt Lagrange tổng để phân tích dầm Timoshenko
Mối quan hệ giữa phần tử thể tích vi phân dV=dx.dy.dz và dVo = dX.dY.dZ ở
trạng thái tham khảo và trạng hiện tại xuất hiện trong một vài công thức cơ học
liên tục như sau :

dV ρ o
= = det F
dVo ρ

(2.14)

trong đó ρ vàρo là khối lượng ở trạng thái hiện tại và tham khảo
+ Tensơ biến dạng :
Tensơ biến dạng Green – Lagrange được thể hiện dưới dạng 3 chiều trong
hệ tọa độ Dềcát

exx
1 T
1
1 T

T
e = ( F F − I ) = (G+G )+ G G = eyx
2
2
2
 ezx


exy
eyy
ezy

exz 

eyz 
ezz 

(2.15)

Các thành phần biến dạng được khai triển nhö sau :





(2.16)





(2.17)

2
2
2
∂u z 1  ∂u x   ∂u y   ∂u z  
 +
ezz =
+ 
 +
 
∂Z 2  ∂Z   ∂Z   ∂Z  



(2.18)

2
∂u x 1  ∂u x   ∂u y
exx =
+ 
 +
∂X 2  ∂X   ∂X


  ∂u z 
 + 

  ∂X 

2
1  ∂u   ∂u y
eyy =
+  x  + 
∂Y 2  ∂Y   ∂Y


  ∂u z 
 + 

  ∂Y 

∂u y

2

2

2

2

eyz =

1  ∂u y ∂u z  1  ∂u x ∂u x ∂u y ∂u y ∂u z ∂u z 

+ 
+
+
+
 = ezy
2  ∂Z ∂Y  2  ∂Y ∂Z ∂Y ∂Z ∂Y ∂Z 

(2.19)

ezx =

1  ∂u z ∂u x  1  ∂u x ∂u x ∂u y ∂u y ∂u z ∂u z 
+
+
+

+ 
 = exz
2  ∂X ∂Z  2  ∂Z ∂X
∂Z ∂X ∂Z ∂X 

(2.20)

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

12

Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

∂u y
1  ∂u
exy =  x +
2  ∂Y ∂X

 1  ∂u x ∂u x ∂u y ∂u y ∂u z ∂u z 
 + 
+
+
 = eyx
2
X
Y
X
Y
X
Y
∂
∂
∂
∂
∂
∂




(2.21)

Nếu phần biểu thức trong ngoặc vuông bỏ qua thì chúng ta lại thu được biến dạng

1
1
hữu hạn exx , eyy , ezz , ezx = γzx , exy = γxy tương tự biến dạng tuyến tính
2
2
Dựa vào các thành phần biến dạng trên , chúng ta sắp xếp thành một vectơ biến
dạng 6 thành phần như sau:

 exx 
e1  exx
 


  e
eyy 
e
yy
2



 
 e 
e3  ezz
 =  zz 

e=   =

e4  eyz + ezy  2eyz 
 e   e + e   2e 
xz  
zx 
 5   zx



e
 6  exy + eyx  2exy 

(2.22)

Kết hợp công thức (2.11) và (2.22) ta có được mối quan hệ giữa biến dạng và
chuyển vị như sau :
e1 = g1 +

1
( g12+ g22 +g32)
2

(2.23)

e2 = g2 +

1
( g42+ g52 +g62)
2

(2.24)

e3 = g3 +

1
( g72+ g82 +g92)
2

(2.25)

e4 = g6 + g8 + ( g4g7 + g5g8+ g6g 9)

(2.26)

e5 = g3 + g7 + ( g1g7 + g2g8+ g3g 9)

(2.27)

e6 = g2 + g4 + ( g1g4 + g2g5+ g3g6)

(2.28)

Viết dưới dạng toàn phương có dạng :
ei=hiTg+1/2(gT Hi g )

(2.29)

trong đó hi là vectơ (9x1) :

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

13


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

1 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
 
 
 
 
 
 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
 

 
 
 
 
 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
h1 = 0  , h2 = 1  , h3 = 0  , h4 = 0  , h5 = 0  , h6 = 0 
 
 
 
 
 
 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
0 

 
 
 
 
 
 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
1 

1
0 
0 
 
 
 
 
 
 

(2.30)

và Hi là ma trận đối xứng (9x9) :

1
0

0

0
H i = 0

0
0

0
0


0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0

(2.31)

+ Tensơ ứng suất :

Hình 2.3:
Sự thay đổi
Tensơ ứng suất
trong quá trình
chuyển động

Phân tích dầm phaúng Timoshenko

14


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

Theo nguyên tắc, có nhiều loại tensơ ứng suất và biến dạng được chọn
trong việc nghiên cứu những bài tóan phi tuyến hình học của một vất thể rắn. Tuy
nhiên, nếu mục tiêu là thiết lập một dạng toán hữu hiệu cho việc phân tích phần
tử hữu hạn tổng quát, thì tác giả luận án chỉ đề cập đến tensơ biến dạng Green Lagrange và tensơ ứng suất piola-Kirchhoff 2 ( PK2) là những đại lượng biến
dạng và ứng suất rất hữu ích trong các công thức thuộc dạng Lagrange
2
oSij

= 1oSij + oSij

( với oSij tensơ ứng suất PK2 gia tăng ) (2.32)

Các thành phần của tensơ ứng suất PK2 thể hiện dưới dạng 3 chiều trong hệ trục
tọa độ đề các như sai :
sxx


s = syx
szx


sxy
syy
szy

sxz 

syz 
szz 

(2.33)

Trong đó sxy = syx .. . . Tương tự chúng ta cũng sẽ có một vectơ ứng suất có 6
thành phần như sau :

s1  sxx 
  s 
s2   yy 
s  szz 
s=  3  =  
s4  syz 
s  s 
 5   zx 
s6  sxy 

(2.34)

Mối quan hệ giữa biến dạng Green – Lagrange và ứng suất PK2 được viết dưới
dạng sau:
si = sio + Eij ej

(2.35)

Trong đó si và ei là vectơ ứng suất và biến dạng được định nghóa theo công
thức (2.34) và (2.22). sio là ứng suất ở trạng thái tham khảo ( hay còn gọi là ứng
suất trước ).Và Eij là môdun đà hồi Eij=Eji . Dạng đầy đủ có dạng :

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

15


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

o
s1  s1   E11
  so  
s2   2  E12
s3  s3o  E13
  =  o + 
s4  s4  E14
s   o  E
 5  s5   15
s6  so  E16
 6

E 21
E 22
E 23

E31
E32
E33

E 41
E 42
E43

E51
E52
E53

E 24
E 25
E 26

E34
E35
E36

E 44
E 45
E 46

E54
E55

E56

E61 
E 62 
E63 

E 64 
E65 

E 66 

e1 
 
e2 
e3 
 
e4 
e 
 5
e6 

Daïng đơn giản : s = so + E e

(2.36)

(2.37)

II.1.2.3 Năng lượng biến dạng :
Năng lượng biến dạng được tính toán ở trạng thái hiện tại trên đơn vị thể tích ở
trạng thái tham khảo :

1
1
U = sioei+ (si – sio)ei = sioei + ei Eij ej
2
2
1
Dưới dạng ma trận : U = eTso + eTE e.
2

(2.38)
(2.39)

Nếu trạng thái hiện tại đồng nhất với trạng thái tham khảo thì e = 0 và U = 0,
điều này có thể thấy rằng cường độ năng lượng biến dạng có dạng toàn phương
trong biến dạng Lagrange. Để có được cường độ năng lượng biến dạng theo
gradient chuyển vị , thay công thức (2.29) vào (2.38) ta có :

1
1
1
1
U= sio (hiTg+ gT Hi g)+ (hiTg+ gT Hi g)Eij(hjTg+ gT Hj g)(2.40)
2
2
2
2
Để có được năng lượng biến dạng toàn phần ở trạng thái hiện tại bằng cách tích
phân trên toàn bộ thể tích ở trạng thái tham khảo:
U = ∫ U.dX.dY.dZ

(2.41)

Vo

Công thức này là nền tảng để chuyển hóa sang phần tử hữu hạn dựa trên mô tả
Lagrange tổng

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

16


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

II.2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN :
II.2.1 Hệ tọa độ tự nhiên :
Xét phần tử một chiều với hệ tọa độ tự nhiên ξ ( là một dạng hệ tọa độ địa
phương) có gốc tại điểm giữa của phần tử và sao cho tọa đo ξ của các điểm trên
phần tử có giá trị trong khoảng từ -1 đến 1.

Hình 2.4 Hệ tọa độ tự nhiên của phần tử 1 chiều
Khi tọa độ tổng thể x và tọa độ tự nhiên ξ của điểm bất kỳ trên phần tử có
quan hệ được xác định như sau :
ξ=

2(x − x1 )
−1
L

(2.42)

Sử dụng hàm nội suy Lagrange, hàm dạng bậc n tương ứng nút thứ I trong hệ tọa
độ tự nhiên có dạng :
n

Ni =fi(ξ) = ∏

k =1
( k ≠1)

(ξ − ξ k )
(ξ i − ξ k )

(2.43)

Ở đây ξi là hệ tọa độ tự nhiên của nút i ( i = 1, 2,……, n+1)
Với công thức như trên , hàm dạng của phần tử một chiều tuyến tính 2 điểm nút
như sau :
N1(ξ) = f1(ξ) =

(ξ − ξ 2 )
(ξ − 1)
1
=
= (1 - ξ)
(ξ1 − ξ 2 ) ( −1 − (−1) 2

N2(ξ) = f2(ξ) =

(ξ − ξ1 )
(ξ − 1) 1
=
= (1 + ξ)
(ξ 2 − ξ1 ) (1 − (−1) 2

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

(2.44)

17


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

II.2.2 Mô hình phần tử đẳng tham số:
Phần tử đẳng tham số là phần tử mà số các tham số dùng để nội suy dạng hình
học của nó đúng bằng số tham số dùng để nội suy các hàm chuyển vị. Và khi đó
các hàm nội suy dùng để xấp xỉ trường chuyển vị cũng là hàm nội suy dùng để
xấp xỉ trường tọa độ
Khái niệm về phần tử đẳng tham số dựa trên cơ sở phép biến đổi một phần
tử được gọi là phần tử chuẩn ( master element) trong hệ tọa độ tự nhiên thành
phần tử thực có dạng tùy ý hơn trong hệ tọa độ vuông góc :

Hình 2.5: Mô hình phần tử đẳng tham số của phần tử phẳng
Với trường hợp bài toán phẳng , hàm chuyển vị theo phương x và theo
phương y là u , v được nội suy theo các chuyển vị nút có dạng chung như sau :

 ∑n N u 
i i


 N1
{u} e = i =n1
= 
∑ N i vi   0

i =1

N2
0

Phaân tích dầm phẳng Timoshenko

... N n
... 0

0
N1

0
N2

u1 
 
u1 
M 
 
... 0  u n 
  (2.45)
... N n  v1 

v 2 
 
M 
v 
 n e

18


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

II.2.3 Tích phân số : Guass
Với phần tử đẳng tham số ,các biểu thức tính tích phân xác định [K]e ( ma
trận độ cứng phần tử ) và {P} e (vectơ tải phần tử ) là các tích phân xáx định với
các cận là 1 và -1, nhưng do chứa các đa thức ở mẫu nên nói chung là không
nhận được kết quả tích phân ở dạng tường minh. Do vậy cần phải sử dụng các
tích phân số
Có một vài phương pháp tích phân số để tính tích phân xác định. Tuy nhiên
phương pháp cầu phương Guass được sử dụng rộng rãi trong phương pháp phần tử
hữu hạn. Do vậy luận án cũng chỉ giới thiệu phương pháp Guass mà thội.
Xét tích phân xác định của bài toán một chiều như sau :
1

I = ∫ f (ξ)dξ
−1

(2.46)

Cách đơn giãn và gần đúng nhất là xem tích phân trên là bằng tích của các giá trị
của f tại điểm giữa khoảng tích phân với chiều dài của khoảng tích phân đó

a) Tại 1 điểm

a) Tại 2 điểm

a) Tại 3 điểm

Hình2.6 : phép cầu phương Guass với các sơ đồ có số điểm Guass khác nhau
Dễ thấy rằng kết quả trên là chính xác nếu đường cong f(ξ) là đường thẳng
hay hàm f(ξ) là bậc nhất.

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

19


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

II.3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN:
II.3.1 Tổng quan:
Sau khi có được ma trận cứng của từng phần tử dựa trên hình (1.1) ta có :
K = (KM + KG)

(2.47)

Theo phương pháp hữu hạn để tìm ẩn số cần tìm của bài toán là chuyển vị nút
tổng thể {q} theo công thức sau : [K]. {q} = {P}

( 2.48)

Nhưng theo các công thức (3.41) đến (3.45), trong [K] lại có chứa các thành phần
của vectơ chuyển vị nút tổng thể {q}, do đó hệ phương trình (2.48) là hệ phương
trình phi tuyến. Để giải hệ phương trình phi tuyến (2.48), ta có hai nhóm phương
pháp chính như sau:
- Phương pháp gia tải (Incremental Method): để vẽ đường cong quan hệ
giữa tải – chuyển vị thì phương pháp này tiến hành phân tích dựa trên một chuỗi
các bước gia tải nghóa là phương trình cân bằng và quan hệ động học của kết cấu
ở cuối một bước gia tải được dùng để thiết lập ma trận độ cứng cho lời giải của
bước gia tải tiếp theo. Vì vậy lời giải của bài toán phi tuyến nhận được từ một
chuỗi các bài toán tuyến tính. Trong nhóm phương pháp gia tải có các phương
pháp chính như: phương pháp lực (Load Control Method), phương pháp chuyển vị
(Displacement Control Method), phương pháp chiều dài dây cung (Arc Length
Control Method), và phương pháp công (Work Control Method). Điểm khác biệt
chính của các phương pháp này là xác định độ lớn của bước gia tải. Độ lớn của
bước gia tải có ảnh hưởng sâu rộng đến thời gian tính toán và độ hội tụ của bài
toán. Nếu độ lớn của bước gia tải quá nhỏ thì số lần gia tải sẽ rất lớn, do đó sẽ
tốn nhiều thời gian tính toán. Ngược lại nếu độ lớn của bước gia tải quá lớn thì số
lần lặp trong một lần gia tải sẽ lớn, ngoài ra trong một số trường hợp sẽ dẫn đến
sự phân kỳ của lời giải.
Phân tích dầm phẳng Timoshenko

20


Chương II : Cơ Sở Lý Thuyết

- Phương pháp trực tiếp (Direct Method): chuyển vị tương ứng với một
giá trị tải trọng nào đó nhận được bằng cách áp dụng toàn bộ giá trị tải đó trong

Lực

Lực

một bước lặp duy nhất.

(A)

Chuyển vị

(B)

Chuyển vị

Đường cong thật
Lời giải của phương pháp phần tử hữu hạn

Hình 2.7- (A) phương pháp gia tải, (B) phương pháp trực tiếp.
II.3.2 Phương pháp trực tiếp:
Trong nội dung của luận án này, tác giả chọn phương pháp trực tiếp để
giải hệ phương trình phi tuyến.
Phương pháp trực tiếp sử dụng các ma trận cứng phần tử cho bởi các công
thức từ (3.41) đến (3.45) để tìm tổng chuyển vị tương ứng với một giá trị lực nào
đó. Ngược lại với phương pháp gia tải trong đó tải được tác dụng như một chuỗi
các bước gia tải liên tiếp thì trong phương pháp trực tiếp toàn bộ tải được tác
dụng trong một bước gia tải duy nhất. Bởi vì các ma trận [K] là chứa các chuyển
vị nút chưa biết nên phương pháp đưa đến bài toán lặp.
Quá trình lặp được minh họa trên hình 2.8. Bắt đầu với kết cấu chưa
chuyển vị, mục tiêu của bài toán là tìm giá trị chuyển vị [q] tương ứng với lực tác
dụng [P]. Trong bước lặp đầu tiên, tính [K]o với các thành phần của {q}=0 chứa
trong [K].

Phân tích dầm phẳng Timoshenko

21