Phân tích ổn định tổng quát tấm đàn hồi dẻo chịu nén với các quy luật vật liệu khác nhau

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------

--------

TRẦN VĂN THỦY

ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT
TẤM ĐÀN HỒI – DẺO CHỊU NÉN VỚI
CÁC QUY LUẬT VẬT LIỆU KHÁC NHAU
CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
MÃ SỐ NGÀNH
: 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH
THAÙNG 07 / 2004


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn Thạc só được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN
THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày ....... tháng ....... năm 2004


Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc
-----------------------

---------------------

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên
Ngày, tháng, năm sinh
Chuyên ngành

: TRẦN VĂN THỦY
: 07 / 10 / 1977
: Xây dựng DD&CN

Phái
: Nam
Nơi sinh : Thanh Hóa
Mã số : 23.04.10

I - TÊN ĐỀ TÀI : PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO
CHỊU NÉN VỚI CÁC QUY LUẬT VẬT LIỆU KHÁC NHAU
II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :

Tổng quan.
Nghiên cứu phân tích phương án phi cổ điển của lý thuyết ổn định tổng quát. Nghiên cứu lý
thuyết dẻo và các mô hình vật liệu. Nghiên cứu các phương pháp số toán học ứng dụng trong
bài toán ổn định công trình.
Phân tích ổn định bài toán tấm đàn hồi – dẻo chịu nén theo một phương, hai phương với các
quan hệ ứng xử vật liệu khác nhau.
Khảo sát một số trường hợp với ví dụ số và so sánh.
Kết luận và kiến nghị.

III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ
IV - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ
V - HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

: 09 / 01 / 2004
:
: TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM NGÀNH

TS. Nguyễn Thị Hiền Lương

PGS.TS. Chu Quốc Thắng

BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.

PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

Tp. HCM, ngày
tháng
năm 2004
KHOA QUẢN LÝ NGÀNH


LỜI CẢM ƠN
Chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thị Hiền Lương, người cô đức độ
và uyên bác đã hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cho tôi hoàn thành
Luận Văn tốt nghiệp này.
Chân thành cảm ơn các thầy cô Trường Đại Học Bách Khoa
Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho
tôi trong suốt quá trình học tập tại Trường.
Chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã nhiệt
tình giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
nghiên cứu thực hiện Luận Văn này.
Chân thành cảm ơn.

Trần Văn Thủy


MỤC LỤC
Chương 1: Tổng Quan

Trang

1

1.1 Sự phát triển của lý thuyết ổn định tổng quát ba chiều và
tính cấp thiết của đề tài
1.2 Nhiệm vụ luận văn

2
7

Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

9

2.1 Các mô hình lý thuyết tấm
a) Mô hình tấm Kirchhoff
b) Mô hình Ressner – Mindlin
c) Mô hình chính xác
2.2 Lý thuyết dẻo và một số mô hình lý tưởng
2.2.1 Lịch sử phát triển lý thuyết dẻo
2.2.2 Các quan hệ ứng xử vật liệu đàn dẻo tổng quát
2.2.3 Một số mô hình lý tưởng
2.3 Các phương pháp số ứng dụng để giải quyết các bài toán
kỹ thuật
2.4 Khái niệm cơ bản về ổn định
2.4.1. Khái niệm
2.4.2 Các tiêu chuẩn ổn định
a) Tiêu chuẩn trạng thái cân bằng không tầm thường
b) Tiêu chuẩn động học
c) Tiêu chuẩn năng lượng
2.5 Lý thuyết ổn định tổng quát

2.5.1 Các giả thuyết chính
2.5.2 Phương trình ổn định
2.5.3 Các điều kiện biên
2.5.4 Các phương án biểu diễn điều kiện phân nhánh (ổn định)
2.5.5 Phương án phi cổ điển – Bài toán ổn định giải theo ứng suất
2.6 Bài toán ổn định của dải chịu nén
a) Trường hợp giải theo ứng suất: (phương pháp phi cổ điển)
b) Trường hợp giải theo chuyển vị: (Phương pháp phi cổ điển)
c) Trường hợp giải theo chuyển vị: (Phương pháp cổ điển)
d) Phương pháp xấp xỉ Leibenzone – Ishlinski
2.7 Kết luận chương 2

10
10
10
10
10
10
11
12
17
19
19
19
19
20
21
22
22
22

26
27
28
30
30
33
35
37
39

Chương 3: Phân Tích Ổn Định Tấm Chịu Nén Bằng
Phương Pháp Phi Cổ Điển

40

3.1 Bài toán ổn định tổng quát
3.2 Bài toán ổn định tấm tổng quát

41
44


3.3 Một số trường hợp tấm chịu nén

50

3.1.1. Tấm chịu nén theo hai phương

50

3.1.2 Tấm chịu nén theo một phương

55

3.4 Kết luận chương 3

57

Chương 4: Xây Dựng Chương Trình-Phân Tích Ổn Định
Tấm Đàn Dẻo

58

4.1 Phương pháp tính

59

4.1.1. Trường hợp tấm chịu nén theo hai phương

59

4.1.2 Tấm chịu nén theo một phương

61

4.2 Giải thuật
4.3 Mô tả chương trình STAB – PLATE
4.4 Kết luận chương 4

62

64
69

Chương 5: Khảo Sát Tấm Đàn Hồi – Dẻo Chịu Nén

70

5.1 Tính toán và khảo sát bài toán ổn định tấm chịu nén với
mô hình đàn - hồi dẻo củng cố tuyến tính

71

5.1.1. Tấm chịu nén theo hai phương

71

5.1.2 Tấm chịu nén theo một phương

75

5.2 Tính toán và khảo sát bài toán ổn định tấm chịu nén với
mô hình Ramberg - Ogood

78

5.2.1. Tấm chịu nén theo hai phương

78

5.2.2 Tấm chịu nén theo một phương

81

5.3 Tính toán và khảo sát bài toán ổn định tấm chịu nén với
mô hình Ramberg – Ogood - Rasmussen

84

5.3.1. Tấm chịu nén theo hai phương

84

5.3.2 Tấm chịu nén theo một phương

87

5.4 Kết luận chương 5

90

Chương 6: Kết Luận Và Hướng Phát Triển Của Luận Văn

91

Tài Liệu Tham Khảo

94

Phụ Lục

96


Chương 1: Tổng Quan

Chương 1:

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 1


Chương 1: Tổng Quan

Chương 1: TỔNG QUAN
1.1 Sự phát triển của lý thuyết ổn định tổng quát ba chiều và tính cấp thiết
của đề tài
a) Ý nghóa thời sự, khoa học, thực tiễn của đề tài:
Trong tính toán thiết kế công trình, bên cạnh việc tính toán nội lực của kết cấu thì
việc tính toán kiểm tra ổn định của kết cấu là hết sức cần thiết. Thực tế đã cho thấy
rằng trong nhiều trường hợp, kết cấu công trình bị phá hủy không phải do sự xuất hiện
của những ứng suất cao quá cường độ của vật liệu mà là do đã không đảm bảo được sự
ổn định của kết cấu. Do đó, lý thuyết ổn định chiếm một vị trí rất quan trọng, đang trở
thành một lónh vực rộng lớn thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới với
rất nhiều công trình, hướng nghiên cứu, phương pháp và cách tiếp cận khác nhau. Kết
quả của lý thuyết ổn định được ứng dụng rộng rãi trong các ngành cơ khí, hàng không,
xây dựng, công nghiệp ...
Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về lý thuyết ổn định kết cấu. Tuy nhiên
trước đây theo xu hướng đơn giản hóa, phần lớn các nhà nghiên cứu thường gắn hiện
tượng mất ổn định với các cơ cấu thành mỏng. Do đó, việc sử dụng các lý thuyết một

chiều hoặc hai chiều chiếm ưu thế trong việc giải quyết bài toán ổn định kết cấu.
Hiện nay, cùng với sự phát triển vượt bậc của kỹ thuật công nghệ, cũng như với sự
xuất hiện các vật liệu mới như vật liệu composit, vật liệu nhiều lớp… , việc nghiên cứu
lý thuyết ổn định tổng quát ba chiều ngày càng trở nên cấp thiết hơn, nhằm giải quyết
các vấn đề đặt ra để đáp ứng những yêu cầu kỹ thuật mới, đòi hỏi phải có độ chính xác
cao trong tính toán ổn định kết cấu. Với sự phát triển mạnh mẽ trong lónh vực toán học
và máy tính, ta có thể thực hiện được điều này, và đây cũng chính là vấn đề mà luận
văn này sẽ đề cập đến.
b) Lịch sử phát triển của lý thuyết ổn định ba chiều:
Bài toán ổn định công trình đã được nghiên cứu từ thế kỷ thứ 18. Năm 1744, Euler
đã công bố những kết quả đầu tiên nghiên cứu bằng lý thuyết ổn định đàn hồi của các
thanh chịu nén. Cho đến đầu thế kỷ 19, với sự phát triển của ngành luyện kim, các vật
liệu sắt, thép, hợp kim có cường độ cao xuất hiện và sử dụng rộng rãi, thì vấn đề ổn
định của các kết cấu chịu nén mới có tầm quan trọng thực tế, thu hút được sự quan tâm
nghiên cứu và đã phát triển mạnh mẽ nhờ những cống hiến của các nhà khoa học hàng
đầu như : F.S. Iaxinski, A.N. Điunhich, V.G. Galerkin, X.P. Timoshenko ...
Bài toán nghiên cứu lý thuyết ổn định đã phát triển theo từng thời kỳ nhằm đáp ứng
với thực tế sản suất và ứng dụng trong đời sống chẳng hạn như : bài toán ổn định đàn
hồi theo lý thuyết tuyến tính, ổn định đàn hồi theo lý thuyết phi tuyến, ổn định ngoài
giới hạn đàn hồi, bài toán ổn định của những hệ chịu lực không bảo toàn, chịu các lực
động tác dụng có chu kỳ, chịu các lực ngẫu nhiên ... Nhìn chung, tùy theo phương pháp
tiếp cận có thể chia ra thành hai nhóm như sau :
PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 2


Chương 1: Tổng Quan

-

Các lý thuyết ổn định kết cấu một chiều, hai chiều : lý thuyết tấm, vỏ mỏng
dựa trên giả thuyết Kirchhoff; lý thuyết tấm dày Ressner- Mindlin

-

Lý thuyết ổn định chính xác (tổng quát, ba chiều) : phân tích chính xác ổn
định kết cấu bằng cách sử dụng lý thuyết ổn định ba chiều

Lý thuyết ổn định tổng quát được nghiên cứu từ rất sớm và có thể tìm thấy ở rất
nhiều công trình, bài báo của các tác giả trên thế giới. Nhiều nhà khoa học đã tìm cách
xây dựng lý thuyết ổn định tuyến tính hóa. Trước đây, Cauchy cũng đã từng thử thiết
lập lý thuyết ổn định cho các vật thể có ứng suất ban đầu. Điều này mang một ý nghóa
nhất định, theo thuật ngữ hiện đại, ứng với lý thuyết ổn định tuyến tính hóa. Từ đó cho
đến nay đã có nhiều cách tiếp cận khác nhau, phụ thuộc vào cách lựa chọn hệ tọa độ
và cách biểu diễn tensor biến dạng cũng như ứng suất. Việc so sánh, phân tích các cách
tiếp cận trên, cùng mối liên hệ và sự tương đồng của những phương án trên được trình
bày cụ thể trong [18]. Công thức tổng quát chung biểu diễn tất cả các cách tiếp cận
cũng được đề xuất trong [18].
Trong [18] đã đưa ra biểu thức cơ sở để biểu diễn chung hệ thức ổn định tuyến tính
hóa cho một số phương án, cách tiếp cận:
ij

o
kl

ij

ijkl

(1.1)

trong đó :
o
kl

: ứng suất ban đầu

ij

: gia số ứng suất
: tensor ứng với từng phương án

ij kl

Trên cơ sở công thức được đề xuất (1.1) ở [18] ta so sánh, phân tích một số phương
pháp tính toán ổn định ba chiều thường gặp nhất.
Sử dụng hệ tọa độ đề các, với xi tọa độ phần tử ở trạng thái ứng suất ban đầu, còn
sau biến dạng là i = xi + ui . Để đơn giản trong việc biểu diễn các phương án, ta chỉ xét
tải ở dạng “tải chết” (dead load) - là tải tác dụng lên bề mặt vật thể, bảo toàn hướng
và giá trị trong quá trình biến dạng. Khi đó, phương trình ổn định ba chiều và điều kiện
biên có thể biểu diễn chung như sau:

ij

(1.2)

0

ij, j

j

ST

=0

(1.3)

Rất nhiều phương án tiếp cận khác nhau đã được nghiên cứu bởi các nhà khoa học
trên thế giới. Trước tiên phải kể tới Southwell R.V.(1913), ông đã sử dụng hệ tọa độ
có trục trùng với trục ứng suất chính. Trong trường hợp này tensor ij kl có dạng:
(1)
ijkl

lk
ij
(l i)

(1.4)

trong đó:

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 3


Chương 1: Tổng Quan

ij

1
u i, j
2

và

u j,i

e ij

1
u i, j
2

u j,i

Sau đó là không tìm cách tuyến tính hóa các hệ thức ổn định phi tuyến mà xuất phát từ
biểu diễn có tính chất vật lý, Biezeno C.B. và Hencky H. (1929) nhận được phương
trình:
( 2)
ijkl

lj

u i ,k

li

(1.5)

e jk

Tiếp theo, năm 1933, Trefftz E. thu được hệ thức tuyến tính hóa từ nguyên lý công ảo:

(V)

1
E ijkl
2

ik

o
lj

u k ,l u i , j dV

ijkl

ở (1.1) có dạng:

Trong trường hợp này, tensor
( 3)
ijkl

lj

0

(1.6)

(1.7)

u i ,k

Cách biểu diễn (1.7) là thuận tiện hơn cả bởi lẽ nó gắn liền với tensor biến dạng
Green-Lagrange:

ij

1
u k ,i u k , j
2

e ij

(1.8)

Trong công trình của Biot M.A. (1939) đưa ra hai cách biểu diễn “ứng suất thêm” ứng
trên đơn vị diện tích ban đầu và “ ứng suất alternative Biot” trên đơn vị diện tích sau
biến dạng. Như vậy, ứng với hai cách biểu diễn ứng suất trên sẽ có hai cách viết
phương trình ổn định (1.2) và điều kiện biên (1.3) tensor có dạng:
( 4)
ijkl

lj

ik

1
2

lj

e ik

( 5)
ijkl

lj

ik

1
2

li

e jk

1
2

li

ki

e jk

lj

e mm

(1.9)
(1.10)

Khác với các cách tiếp cận trên, Green A.E., Rivlin R.S., Shield R.T. (1952) nghiên cứu
dạng chung của phương trình ổn định, viết theo tọa độ ở trạng thái biến dạng cho trường
hợp biến dạng hữu hạn. Khi trạng thái biến dạng ban đầu là thuần nhất và hệ tọa độ vật
thể biến dạng trùng với hệ tọa độ đề các, phương trình ổn định có dạng (1.2) với tensor
biểu diễn như sau:
(7)
ijkl

lj

u i ,k

li

u j,k

(1.11)

với ij trong (1.2) là thành phần tensor ứng suất trên đơn vị diện tích của vật thể biến
dạng và như vậy là giá trị ứng suất thực sự. Tất cả các phương trình ổn định và điều

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NEÙN

Trang 4


Chương 1: Tổng Quan

kiện biên và các liên hệ hình học tương ứng được dẫn trong hệ tọa độ cơ sở của vật thể
biến dạng.
Các cách biểu diễn khác nhau của tensor ij đều chính xác và tương đương. Trong
các tài liệu tham khảo, các hệ thức ổn định dựa trên cơ sở tensor biến dạng GreenLagrange là thông dụng hơn cả và được trình bày ở [4, 17, 18, 20]. Các hệ thức ổn định
này lần đầu tiên được Trefftz đưa ra và sau đó được hoàn thiện và phát triển trong các
công trình của Novozhilov V.V. [17], Guz A.N. [4] …
Ngoài ra, bên cạnh phương pháp truyền thống nói trên, còn có phương pháp gần
đúng do Leibenzon và Ishlinski đề nghị. Theo phương pháp này, phương trình ổn định
ba chiều được thay bằng phương trình Lamé của lý thuyết đàn hồi cổ điển, như vậy
thông số tải chỉ có ở điều kiện biên, xuất phát từ những quan hệ mang tính chất vật lý.
Điều kiện “tải chết”, trong trường hợp này, có dạng
,
ijkl

ij

il

j

(1.12)

u j,k
0

ST

Phương pháp Leibenzon - Ishlinski cho phép đơn giản hóa bài toán ổn định một cách
đáng kể, tuy nhiên phương pháp này hoàn toàn xấp xỉ và không được dẫn từ phương
trình tuyến tính hóa chặt chẽ của lý thuyết ổn định ba chiều.
Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết ổn định ba chiều ở trên thế giới đã thu hút được sự
chú ý của các nhà khoa học trong nước. Năm 1985, Nguyễn Thị Hiền Lương [18] đã
nghiên cứu thiết lập nền tảng cơ bản về vấn đề ổn định của bài toán tấm chịu kéo nén
bằng lý thuyết ổn định tổng quát. Năm 2001, Phạm Thị Oanh [25] tính toán ổn định
cho tấm, vỏ nhiều lớp, áp dụng lý thuyết ổn định gọi là” lý thuyết ổn định kết cấu
không dựa trên giả thuyết pháp tuyến thẳng” hay chính là lý thuyết ổn định chính xác
(tổng quát, ba chiều). Năm 2002, Nguyễn Thị Hiền Lương và Nguyễn Trọng Phước
[19] đã áp dụng lý thuyết ổn định tổng quát để khảo sát bài toán tấm mỏng đàn dẻo
chịu nén theo hai phương và bài toán tấm mỏng đàn hồi chịu nén theo một phương.
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, ta thường gặp các kết cấu vật liệu cứng (kim loại, bê
tông…) với biến dạng nhỏ. Vì vậy, tính phi tuyến của bài toán được đưa về mối quan hệ
hoàn toàn hình học. Mặt khác, như trong công trình của Novozhilov V. V. [17] đã đưa
ra nhận xét, việc mất ổn định thường đi kèm hiện tượng chuyển đổi dạng cân bằng với
góc xoay nhỏ sang dạng cân bằng có góc xoay lớn hơn nhiều so với thành phần biến
dạng eij. Nói cách khác, khi vật thể chuyển từ trạng thái đã cho sang trạng thái lân cận,
chỉ cần tính đến góc xoay của các phân tố chứ không phải là sự thay đổi chiều dài của
chúng.
Với giả thiết khi vật thể mất ổn định, góc quay lớn hơn nhiều so với biến dạng, hệ
thức ổn định trên được tuyến tính hóa theo hai cách. Cách tiếp cận cổ điển được sử
dụng khá nhiều trong các công trình nghiên cứu [4], [17]… và cách tiếp cận phi cổ điển
mới được đề xuất và nghiên cứu ở [18] và [20].
Với giả thiết:

e ij

ij

,i

j và

k

k

1,

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

(1.13)

Trang 5


Chương 1: Tổng Quan

Cliusnhicov V.D. đề xuất phương trình tuyến tính hóa và điều kiện biên (1.2), (1.3),
với:
ijkl

jl

(1.14)

ik

Do biến dạng bé, từ hai phương trình trên cho phép ta thu được hai cách viết hệ thức ổn
định dựa trên biểu thức sau:
u i ,k

u k ,i

ik

(1.15)

Phương án thứ nhất, với số hạng ui,k mang dấu +, ứng với cách tính truyền thống, mang
tên “ phương án cổ điển”. Phương án thứ hai, mới được đề cập đến trong [18], [20]
được gọi là không cổ điển và biểu diễn như sau:
(8)
ijkl

lj

u k ,i

(1.16)

Trong một số bài toán, việc sử dụng phương án thứ hai tỏ ra hữu hiệu hơn và thậm chí
cho lời giải có ý nghóa vật lý trong khi bài toán không có nghiệm nếu giải theo phương
án cổ điển, chẳng hạn như bài toán” hình thành cổ thắt” trong mẫu chịu kéo, được phân
tích trong [18].
Do phương trình ổn định và điều kiện biên (1.2) và (1.3) mang tính hình học chứ
không phụ thuộc vào tính chất của vật liệu, cho nên chúng cũng là các hệ thức chung,

áp dụng được cho mọi mô hình vật liệu ( phương trình trạng thái của vật thể). Hệ
phương trình cơ vật rắn biến dạng tuyến tính hóa đầy đủ thu được bằng cách kết hợp
các phương trình (1.2) và (1.3) nói trên với phương trình ứng xử của mô hình vật liệu cụ
thể.
Bài toán kéo – nén tấm có vị trí đặc biệt trong lý thuyết ổn định vật thể ba chiều
(không gian). Mặc dù lý thuyết kết cấu thành mỏng khá phát triển, song nó vẫn không
đủ sức giải quyết bài toán ổn định khi lực kéo, nén chiếm ưu thế, kết cấu có chiều dày
hữu hạn ... Ở các bài toán cụ thể này, các giả thuyết về hình học của kết cấu mỏng trở
nên không thích hợp và cần phải sử dụng phương trình đầy đủ của lý thuyết ổn định ba
chiều.
Vấn đề này đã được một số tác giả nước ngoài nghiên cứu như Guz A.N (1976),
Ershov L.V (1961), Iliushin A.A (1940, 1963), Ishlinski A.I (1964), Dubey R.N vaø
Ariaratnam S.T. (1969, 1972), Hutchinson J.W (1974), Miles J.P.(1975) ... Iliushin A.A.
là người đầu tiên xét bài toán kéo mẫu từ vật liệu dẻo nhớt. Các phương trình và điều
kiện biên được viết theo tọa độ Lagrange. Những phương trình tương tự viết cho gia số
ứng suất và chuyển vị theo tọa độ Euler, được sử dụng trong công trình của Ishlinski
A.I. cho vật thể dẻo nhớt và đàn nhớt ... Một số tác giả như Dubey R.N. , Miles J.P. ...
xét bài toán ổn định tấm chịu lực dọc trục cho vật liệu dẻo tuyệt đối, sử dụng các hệ
thức ổn định viết cho vận tốc ứng suất và biến dạng do Hill P. (1958) đề xuất ...
Việc nghiên cứu ổn định của bài toán tấm chịu kéo nén ứng với các loại vật liệu
khác nhau cũng thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới.
Rasmussen [10], [11], [12], Benthem [9], Nazmy [30] đã thực hiện hàng loạt các thí
nghiệm, nghiên cứu về vấn đề này. Hình 1.1 và 1.2 mô tả thí nghiệm khảo sát bài toán
tấm chịu nén ở đại học Sydney, Úc vào năm 2002 [11]. Trong luận văn này ta sẽ phân

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 6

Chương 1: Tổng Quan

tích ổn định bài toán tấm đàn hồi dẻo chịu nén với các mô hình vật liệu khác nhau bằng
phương án phi cổ điển của lý thuyết ổn định tổng quát.

Hình 1.1 : Tấm có bề rộng 250 mm trong quá trình thí nghiệm

Hình 1.2 : Kích thí nghiệm

1.2 Nhiệm vụ luận văn
Nhiệm vụ :
- Nghiên cứu phân tích phương án phi cổ điển của lý thuyết ổn định tổng quát. So
sánh ba phương pháp: cổ điển, phi cổ điển, gần đúng thông qua bài toán nén dải
ở trạng thái biến dạng phẳng.
PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 7


Chương 1: Tổng Quan

Nghiên cứu lý thuyết dẻo và các mô hình vật liệu lý tưởng. Nghiên cứu các
phương pháp số ứng dụng trong bài toán ổn định công trình.
- Phân tích ổn định bài toán tấm đàn hồi - dẻo chịu nén theo một phương, hai
phương với các quan hệ ứng xử vật liệu khác nhau
- Tính đúng đắn của các kết quả thể hiện ở việc sử dụng mô hình giải tích chính
xác và được kiểm chứng, so sánh dựa trên các số liệu thực nghiệm với kết quả
tính theo lý thuyết tấm mỏng, lý thuyết quá trình đàn dẻo.
Để nghiên cứu các vấn đề trên, trong luận văn đã thực hiện các nội dung sau :
- Chương 1 : tổng quan sự phát triển của lý thuyết ổn định tổng quát qua các thời

kỳ, đồng thời nêu lên tính cấp thiết cần phải nghiên cứu của đề tài.
- Chương 2 : nghiên cứu các mô hình lý thuyết tấm, lý thuyết dẻo và một số mô
hình vật liệu lý tưởng, nghiên cứu các phương pháp số ứng dụng để giải quyết
các bài toán kỹ thuật. Đưa ra một số khái niệm về ổn định và các tiêu chuẩn ổn
định. Nghiên cứu lý thuyết ổn định tổng quát và thực hiện so sánh ba phương
pháp cổ điển, phi cổ điển, gần đúng thông qua bài toán nén dải ở trạng thái biến
dạng phẳng.
- Chương 3 : nghiên cứu bài toán ổn định tổng quát, bài toán ổn định tấm tổng
quát. Từ đó phân tích ổn định tấm đàn hồi dẻo bằng phương pháp phi cổ điển
của lý thuyết ổn định tổng quát trong trường hợp tấm chịu nén theo hai phương
và một phương.
- Chương 4 : xây dựng chương trình STAB – PLATE phân tích tính toán ổn định
tổng quát tấm đàn hồi dẻo chịu nén. Sử dụng phương pháp phi cổ điển của lý
thuyết ổn định tổng quát kết hợp với phương pháp số Secant Method để giải
quyết bài toán phi tuyến vật liệu của tấm đàn hồi dẻo chịu nén theo hai phương
và một phương.
- Chương 5 : khảo sát sự ổn định của tấm đàn hồi dẻo theo phương pháp phi cổ
điển của lý thuyết ổn định tổng quát với các mô hình vật liệu đàn hồi dẻo khác
nhau trong trường hợp tấm chịu nén theo một phương và hai phương. Từ đó đưa
ra các bảng số liệu, đồ thị so sánh với kết quả của lý thuyết tấm mỏng và lý
thuyết quá trình đàn dẻo.
- Chương 6 : Kết luận và nêu ra hướng phát triển của luận văn.
-

Phương pháp :
- Sử dụng lý thuyết ổn định tổng quát để khảo sát bài toán tấm chữ nhật chịu lực
nén dọc trục theo một phương và hai phương. Hàm độ võng và ứng suất được chọn
dưới dạng các chuỗi lượng giác để thỏa mãn các điều kiện biên của bài toán. Việc
tính toán được tự động hóa thông qua chương trình máy tính được viết bằng ngôn
ngữ lập trình MATLAB ver 6.5.

- Sử dụng phương pháp số “Secant method” để giải quyết bài toán phi tuyến vật
liệu.
- Trong luận văn, các công thức được trình bày ở dưới dạng tensor nhằm mục đích
mô tả ngắn gọn phần lý thuyết tổng quát.

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 8


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

Chương 2:

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 9


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Các mô hình lý thuyết tấm
Có rất nhiều mô hình lý thuyết được xây dựng để nghiên cứu về sự làm việc của
tấm. Tuỳ theo hình dáng hình học, mức độ chính xác và trạng thái ứng suất tấm khảo
sát, có thể chia thành các mô hình sau:
a) Mô hình tấm Kirchhoff: sử dụng để khảo sát những kết cấu tấm mỏng với biến dạng
nhỏ, các thành phần lực cắt được bỏ qua trong khảo sát. Tấm được gọi là tấm mỏng nếu
1
80

h
b

1
và wmax
5

1
h
4

b: kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình
h: chiều dày của tấm
b) Mô hình Ressner – Mindlin: lý thuyết tấm dày với biến dạng nhỏ, các thành phần lực
cắt được tính toán khảo sát. Sử dụng lý thuyết này khảo sát những kết cấu trong động
lực học hay kết cấu dạng tổ ong, kết cấu tường trong xây dựng. Tấm được gọi là tấm
dày nếu
h
b

1
h
hoặc
5
b

1
3

c) Mô hình chính xác: phân tích chính xác các tác động lên tấm bằng cách sử dụng lý
thuyết ổn định tổng quát (ba chiều).
* Các mô hình này có thể kết hợp các tính chất về vật liệu, hình dáng hình học cũng
như các hình thức tổ hợp điều kiện biên. Sau đây ta sẽ tập trung vào mô hình chính xác
bởi vì nó là nền tảng để khảo sát các vấn đề luận văn nghiên cứu.

2.2 Lý thuyết dẻo và một số mô hình lý tưởng
2.2.1 Lịch sử phát triển lý thuyết dẻo
Một cách tổng quát, lý thuyết dẻo được xem là một ngành của Cơ học môi trường
liên tục và được đặt nền tảng đầu tiên từ hàng loạt những bài viết của Tresca từ 1864
đến 1872 về sự dùn ép (extrusion) của kim loại, trong đó ông đề nghị tiêu chuẩn chảy
dẻo đầu tiên. Theo tiêu chuẩn này thì kim loại sẽ chảy dẻo khi ứng suất cắt cực đại đạt
tới trị số tới hạn. Lý thuyết dẻo hiện nay được xây dựng bởi St. Venant vào năm 1870,
trong đó tác giả đã đưa vào quan hệ ứng xử cơ bản mà hiện nay ta gọi là vật liệu cứng
– tuyệt đối dẻo ở trạng thái ứng suất phẳng. Đặc điểm chính của lý thuyết này là gợi ra
quy luật chảy dẻo (flow rule ) , phát biểu rằng các trục chính của vận tốc biến dạng
trùng với các trục chính ứng suất. Sau đó đến năm 1870 Levy đưa ra quan hệ tổng quát

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 10


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

trong bài toán ba chiều. Vào năm 1913, Von Mises độc lập đưa ra quan hệ tương tự như
kết quả của Levy nhưng với tiêu chuẩn chảy dẻo của ông (lý thuyết J2, hay tiêu chuẩn
dẻo ứng suất cắt bát diện).
Năm 1924, Prandtl phát triển các phương trình của St. Venant – Levy – Von Mises cho
bài toán phẳng của môi trường liên tục bao hàm cả thành phần biến dạng đàn hồi và

Reuss năm 1930 nới rộng cho bài toán ba chiều. Năm 1928, Von Mises tổng quát hóa
công trình của ông ta cho vật thể cứng tuyệt đối dẻo bao hàm việc sử dụng tiêu chuẩn
dẻo tổng quát và biện luận mối quan hệ giữa phương của gia số biến dạng dẻo và mặt
tiêu chuẩn dẻo điều hòa (regular or smooth yield surface), đồng thời đưa vào khái niệm
hàm thế dẻo trong quan hệ gia số ứng suất - biến dạng của lý thuyết chảy dẻo. Hiện
nay hàm tiêu chuẩn dẻo của Von Mises (the Von Mises yield function) có thể được xem
như là hàm thế dẻo (plastic potential) cho các quan hệ ứng suất – biến dạng St. Venant
– Levy - Von Mises – Prandl – Reuss. Còn quy luật chảy dẻo tương ứng với tiêu chuẩn
chảy dẻo Tresca chứa các điểm góc không liên tục về đạo hàm, thì được nghiên cứu
bởi Reuss vào năm 1932 và 1933.
Hầu như trước năm 1940, các bài toán về tuyệt đối dẻo được chú trọng và chỉ có một ít
công trình phát triển luật ứng xử đối với vật liệu củng cố được. Thí dụ như vào năm
1928, Prandl đã thiết lập quan hệ tổng quát cho luật ứng xử củng cố. Vào năm 1938
Melan đã nghiên cứu bài toán dẻo cho các vật liệu cứng dẻo tuyệt đối và củng cố được.
Khoảng 20 năm sau 1940, đó là thời kỳ phát triển mạnh mẽ lý thuyết cổ điển toán
học về dẻo của kim loại với nhiều khái niệm cơ bản.
Những người tiên phong đặt nền tảng cho lý thuyết này có thể được kể đến như Melan
(1938), Prager (1949) với quy luật ứng xử cho vật liệu củng cố được với các mặt tiêu
chuẩn điều hòa. Kể từ 1951, Drucker đã đưa ra một định đề về vật liệu ổn định, từ đó
làm nền tảng cho những phát triển về sau.
Giải tích giới hạn (Limit Analysis) được xây dựng dựa vào hai định lý cận trên và cận
dưới, được Drucker, Greeberg và Prager đưa ra vào những năm 1951, 1952 cho vật liệu
đàn hồi tuyệt đối dẻo, và Hill với quan điểm vật liệu cứng tuyệt đối dẻo. Tuy nhiên
dường như những tham chiếu về Giải tích giới hạn đã được Gvozdev đưa ra vào năm
1936. Từ đó việc áp dụng các định lý này vào nhiều bài toán [dầm, khung, tấm và vỏ,
quá trình gia công kim loại] đã gia tăng rất nhanh (không phải chỉ cho kim loại mà còn
cho bê tông và đất).
Ngoài ra việc tổng quát hóa quan hệ ứng suất – biến dạng dẻo cho trường hợp áp dụng
tiêu chuẩn dẻo có điểm góc do Koiter công bố vào năm 1953. Nhiều thảo luận về vấn
đề này có thể được tìm thấy ở những công trình của Koiter vào năm 1960 cùng một số

tác giả khác.
2.2.2 Các quan hệ ứng xử vật liệu đàn dẻo tổng quát
Quan hệ ứng xử vật liệu đàn dẻo tổng quát được viết dưới dạng:
e ij

C ij m n S m n

(2.1)

với:

Cijmn

Co δim δ jn C1SijoSomn

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

(2.2)
Trang 11


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

[Cijmn ]được gọi là ma trận “đàn hồi tương đương” . Quan hệ (2.1) là dạng tổng quát
biểu diễn nhiều lý thuyết đàn dẻo. Ví dụ, theo lý thuyết củng cố đẳng hướng:
C0

1
, C1
2G

1
1
2
4T0 G '

1
G

(2.3)

Theo lý thuyết biến dạng đàn dẻo:

C0

1
, C1
2Gs

1
1
2
4T0 G '

1
Gs

(2.4)

Hoàn toàn tương tự, có thể biểu diễn ứng suất qua biến dạng ở dạng lệch tensor :

Sij

với :

(2.5)

G ij m n e m n

Gijmn Ao δim δ jn A1 Sijo Somn

(2.6)

Theo lý thuyết biến dạng và củng cố đẳng hướng :
Ao

G * , A1

G* G '
2To2

(2.7)

Trong trường hợp lý thuyết biến dạng G* = Gs, trường hợp lý thuyết củng cố đẳng
hướng G* = G . Trong các công thức (2.1) đến (2.7) G, G’, Gs lần lượt là mun đàn hồi
trượt, môđun tiếp tuyến và môđun cát tuyến.
2.2.3 Một số mô hình lý tưởng
Trong lý thuyết dẻo, để tiện lợi cho việc tính toán, quy luật ứng xử của vật liệu dẻo
của kim loại thường được thay thế bởi các mô hình lý tưởng như sau
a) Mô hình đàn hồi – tuyệt đối dẻo :

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 12


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

Hình 2.1
Bỏ qua ảnh hưởng của củng cố, hiện tượng chảy dẻo xảy ra khi ứng suất đạt đến
trị số ứng suất tỉ lệ hay ứng suất chảy dẻo p . Như thế quan hệ ứng suất – biến dạng có
thể biểu diễn bởi :

E
E

khi

P

khi

(2.8)
P

trong đó E là môđun đàn hồi khi kéo (nén),

là số vô hướng lớn hơn 0.

b) Mô hình đàn hồi – dẻo với củng cố tuyến tính :

Hình 2.2

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 13


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

Trong mô hình này, đường cong được xấp xỉ bằng hai đường thẳng giao nhau tại
điểm mà tại đó ứng suất bằng ứng suất tỉ lệ hay ứng suất chảy dẻo p . Nhánh thứ nhất
có hệ số góc là môđun đàn hồi E, trong khi nhánh thứ hai biểu diễn sự lý tưởng hóa về
sự củng cố, có hệ số góc Et < E. Về mặt toán học, quan hệ ứng suất - biến dạng có thể
biểu diễn bởi :

khi

E
P

E

1
Et

P

P

(2.9)

khi

P

c) Mô hình cứng – dẻo tuyệt đối :

Hình 2.3
Mô hình này giả thiết biến dạng đàn hồi không đáng kể so với biến dạng dẻo nên
có thể bỏ qua. Và ta có thể thấy mô hình này được suy ra từ mô hình đàn hồi tuyệt đối
dẻo khi cho E tiến về vô cực.
d) Mô hình cứng – dẻo với củng cố tuyến tính :

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 14


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

Hình 2.4
Mô hình này được suy ra từ mô hình đàn – dẻo với củng cố tuyến tính khi E tiến về
vô cực.
e) Mô hình Ramberg – Osgood
Đường cong ứng suất - biến dạng được mô tả bởi Ramberg – Osgood vào năm 1943
thông qua bộ ba tham số (Eo , n , 0.2 ) [11].

Hình 2.5

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 15


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

n

=

+ 0.002

Eo

(2.10)
0.2

với: n =

ln( 20 )
ln( 0.2 / 0.01 )

trong đó :
- Eo : môđun đàn hồi
- Es : môđun cát tuyến
- Et : môđun tiếp tuyến
- 0.2 : ứng suất với biến dạng dẻo là 0.2% như trong hình 2.5
- 0.01 : ứng suất tỉ lệ
f) Mô hình “Ramberg – Osgood chuyển đổi”
Rasmussen (2001) [11] đề nghị tách đường cong ứng suất biến dạng thành hai phần
: phần đầu là phần của đường cong Ramber – Osgood tương ứng với

0.2 ; phần thứ
hai là một dạng đường cong Ramber – Osgood chuyển đổi tương ứng với
0.2 nhằm
đảm bảo tính liên tục (compatibility) về độ dốc tại 0.2.
n

0.002

Eo

=

for

0.2

(2.11)

0.2
m
0.2

0.2
u

E0.2

for

0.2

u

0.2

0.2

trong công thức trên u và u lần lượt là ứng suất và biến dạng cực hạn (ultimate stress
and strain). 0.2 và E0.2 là biến dạng và tiếp tuyến của đường cong ứng suất – biến dạng
tại 0.2, và m là tham số tương tự như n mô tả hình dạng của đường cong ứng suất –
biến dạng trong miền 0.2
u. Các giá trị 0.2 và E0.2 có thể được tính từ phần thứ
nhất của đường cong ứng suất – biến dạng:
0.2

=

E0.2 =

0 .2

Eo

+0.002

Eo
1 0.002n / e

trong đó e là đại lượng vô hướng xác định bởi:

e=

0 .2

Eo

Rasmussen [11] đã chứng tỏ rằng m,

m = 1+3.5

u

và

u

có thể được xấp xỉ bởi các công thức sau:

0 .2
u

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 16


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

u

=

0 .2

u

=1-

1 0.0375(n 5)
0.2 185e
0 .2
u

Như vậy, dựa vào các công thức trên ta có thể thu được toàn bộ đường cong ứng suất và
biến dạng từ các tham số Ramberg – Osgood (Eo , n , 0.2 ).

2.3 Các phương pháp số ứng dụng để giải quyết các bài toán kỹ thuật
Mục đích của phần này là giới thiệu phương pháp số để giải quyết các vấn đề kỹ
thuật trong thực tiễn. Các phương pháp số rất quan trọng trong các ứng dụng thực tế bởi
vì các kỹ sư thường gặp phải các vấn đề khó có thể giải quyết được bằng cách dùng
phương pháp giải tích thông thường. Chẳng hạn như một mô hình toán học đơn giản có
thể được giải quyết bằng phương pháp giải tích nhưng lại không thể áp dụng được khi
gặp các vấn đề thực tế phức tạp – đòi hòi phải sử dụng các mô hình phức tạp hơn và
được giải quyết bằng các phương pháp số chạy trên máy tính có tốc độ cao.
Có lẽ phương pháp phổ biến nhất được áp dụng trong việc xác định nghiệm của
phương trình là phương pháp Newton – Raphson. Nếu nghiệm dự đoán ban đầu là xi ,
tiếp tuyến với đồ thị tại điểm [xi , f(xi) ] kéo dài cắt trục x tại một điểm mới. Điểm mới
này thông thường sẽ là một giá trị nghiệm dự đoán chính xác hơn giá trị xi ban đầu.
Phương pháp Newton Raphson có thể được mô tả bởi đồ thị. Theo hình vẽ, đạo

hàm tại điểm ban đầu xi chính là độ dốc :

Hình 2.6
PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 17


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

f’(xi) =

f (x i ) 0
xi xi 1

(2.12)

Sắp xếp lại ta được:

xi+1 = xi -

f (x i )
f ' (x i )

(2.13)

được gọi là công thức Newton – Raphson.
Phương pháp Secant Method khắc phục được nhược điểm của phương pháp
Newton –Raphson là không phải lấy đạo hàm là một việc khó khăn khi gặp phải các
hàm phức tạp, không tường minh. Thay vào đó, giá trị của đạo hàm được xấp xỉ bởi :

Hình 2.7
f’(xi)

f (x i 1 ) f (x i )
xi 1 xi

Coâng thức xấp xỉ này có thể được thay vào trong công thức (2.12) để trở thành
công thức tính lặp

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NEÙN

Trang 18


Chương 2: Cơ Sở Lý Thuyết

xi+1 = xi -

f ( x i )( x i 1 x i )
f (x i 1 ) f (x i )

(2.14)

Công thức (2.14) là công thức chính của phương pháp Secant Method. Chú ý rằng
cách tiếp cận này yêu cầu hai giá trị ước đoán ban đầu của x. Hình 2.7 là mô tả hình
học của phương pháp này.

2.4 Khái niệm cơ bản về ổn định.
2.4.1 Khái niệm
Ổn định là hiện tượng thông thường khi có một kết cấu mảnh bị tác động phần lớn

bởi lực nén. Một kết cấu chịu tác dụng bởi lực Pth, nếu vượt quá lực này kết cấu có thể
có nhiều hơn một trạng thái cân bằng và kết cấu sẽ mất ổn định thì lực đó được gọi là
lực tới hạn. Chẳng hạn trường hợp thanh chịu nén của Euler ban đầu nó có hình dạng
thẳng sau khi chịu tải hình dạng bị cong đi. Khi P < Pth, kết cấu ổn định và khi P > Pth
kết cấu bị mất ổn định.
2.4.2 Các tiêu chuẩn ổn định
Phân tích ổn định kết cấu là một khía cạnh quan trọng trong thiết kế kỹ thuật. Để
thuận tiện nghiên cứu người ta chia ra ba tiêu chuẩn ổn định:
 Tiêu chuẩn trạng thái cân bằng không tầm thường ( The criterion of non –
trivial equilibrium state):
Khảo sát sự cân bằng hình 2.8:

P

L

L

P

C

C

Hình 2.8 Trạng thái cân bằng và trạng thái cân bằng ổn định.
Điều kiện cân bằng:

M

0

P

C

0.

(2.15)

Hoặc:

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT TẤM ĐÀN HỒI - DẺO CHỊU NÉN

Trang 19