Về một số không gian hàm thường gặp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------

VŨ THỊ TUYỂN
 
 
 
 

VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP
 
 
 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Hà Nội 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------

VŨ THỊ TUYỂN 
 
 
 
 

VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học 
Mã số: 60.46.15 
 
 
 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC 
 

Người hướng dẫn khoa học: 
PGS. TS Phan Viết Thư 
 
 
 

 
 

Hà Nội 2014 


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................ 1
Chương I. Các kiến thức cơ sở ................................................................ 3 
1.1  Khơng gian metric ............................................................................ 3 
1.2  Khơng gian đo và Độ đo .................................................................. 4 
1.3  Độ đo Lebesgue ............................................................................... 5 
1.3.1     Độ đo Lebesgue trên  .............................................................. 5 
1.3.2     Độ đo Lebesgue trên

k

 ............................................................. 6 

1.4  Hàm số đo được ............................................................................... 6 
1.4.1    Cấu trúc của hàm số đo được ...................................................... 6 
1.4.2   Các dạng hội tụ ............................................................................ 7 
1.5       Khơng gian định chuẩn .................................................................. 7 
1.6       Tích phân Lebesgue ....................................................................... 9 
1.7  Khơng gian tơ pơ .............................................................................. 10 
Chương II. Các khơng gian hàm ........................................................... 12 
2.1       Khơng gian ℒ và L  .................................................................... 12 
2.1.1    Khơng gian ℒ  .......................................................................... 12 
2.1.2    Tính chất cơ bản ....................................................................... 12 
2.1.3    Khơng gian L  .......................................................................... 13 
2.1.4    Cấu trúc tuyến tính của L  ........................................................ 13 

2.1.5    Cấu trúc thứ tự của L  ............................................................... 14 
2.1.6    Các tính chất quan trọng của L  ................................................ 15 
2.1.7    Cấu trúc nhân của L  ................................................................ 18 
2.1.8    Hoạt động của các hàm Borel trên L  ........................................ 19 
2.1.9    Không gian L  phức .................................................................. 19 
2.2       Không gian L .............................................................................. 20 


2.2.1    Khơng gian L  .......................................................................... 20 
2.2.2    Cấu trúc thứ tự của L  ............................................................... 21 
2.2.3    Chuẩn của L  ............................................................................ 21 
2.2.4.  L  là một khơng gian Riesz ........................................................ 24 
2.2.5    Nhắc lại về kỳ vọng có điều kiện .............................................. 26 
2.2.6   L như là một sự hồn chỉnh ...................................................... 28 
2.2.7    Khơng gian L  phức .................................................................. 32 
2.3       Khơng gian L∞  ............................................................................. 33 
2.3.1    Cấu trúc thứ tự của L∞  .............................................................. 34 
2.3.2    Chuẩn của L∞  ............................................................................ 35 
2.3.3    Tính đối ngẫu giữa L∞  và L  ...................................................... 37 
2.3.4    Một khơng gian con trù mật của L∞  .......................................... 41 
2.3.5    Kỳ vọng có điều kiện ................................................................ 42 
2.3.6    Khơng gian L∞  phức ................................................................. 43 
2.4      Khơng gian L  .............................................................................. 43 
2.4.1    Cấu trúc thứ tự của L  .............................................................. 44 
2.4.2    Chuẩn của L  ............................................................................ 44 
2.4.3    Một số khơng gian con trù mật của L  ...................................... 48 
2.4.4    Tính đối ngẫu của các khơng gian L  ....................................... 50 
2.4.5    Thứ tự - đầy đủ của L .............................................................. 54 
2.4.6    Kỳ vọng có điều kiện ................................................................ 54 
2.4.7    Khơng gian L  .......................................................................... 55 

2.4.8    Khơng gian L phức ................................................................. 56 
Chương III. Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều .............. 57 
3.1      Hội tụ theo độ đo .......................................................................... 57 
3.1.1    Các định nghĩa .......................................................................... 57 
3.1.2    Các nhận xét ............................................................................. 58 


3.1.3    Hội tụ điểm ............................................................................... 58 
3.1.4    Tính chất của khơng gian tơpơ tuyến tính  ( ) đối với lớp các 
khơng gian đo ....................................................................................... 61 
3.1.5    Một mơ tả tương tự của tơpơ của sự hội tụ theo độ đo .............. 65 
3.1.6    Nhúng L vào L  ....................................................................... 66 
3.1.7    Khơng gian L  phức .................................................................. 70 
3.2   Khả tích đều .................................................................................... 70 
3.2.1    Định nghĩa ................................................................................ 70 
3.2.2    Các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp của các tập khả 
tích đều trong ℒ hay L . ...................................................................... 71 
3.2.3  Một số mơ tả tương tự của tính khả tích đều. .............................. 74 
3.2.4    Mối liên hệ giữa tính khả tích đều và tơpơ của sự hội tụ theo độ 
đo. ........................................................................................................ 78 
3.2.5      Khơng gian ℒ và L  phức ...................................................... 80 
3.3      Hội tụ yếu trong L  ....................................................................... 80 
KẾT LUẬN ............................................................................................... 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................ 88


LỜI CẢM ƠN
 

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lịng biết 

ơn chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo: PGS. TS Phan Viết Thư, người đã 
tận  tình  giúp  đỡ, hướng dẫn  và đóng  góp  nhiều ý  kiến q báu.  Tác  giả  cũng  xin 
chân thành cảm ơn tập thể các thầy cơ giáo, các nhà khoa học của trường Đại học 
Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia 
đình đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện cho tác giả hồn thành luận văn này. 
 

Trong q trình hồn thành luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo 

của  các  thầy  cơ  giáo  và  bản  thân  cũng  hết  sức  cố  gắng,  song  khơng  tránh  khỏi 
những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của 
các thầy  cơ,  các  bạn để  bản luận  văn này  được hồn chỉnh  hơn.  Tác  giả  xin  chân 
thành cảm ơn! 
 
 
Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014 
Học viên 

Vũ Thị Tuyển 


LỜI NĨI ĐẦU
    Bản  luận  văn  giới  thiệu  về  các  khơng  gian  hàm  Lp .  Các  khơng  gian  Lp là  các 
khơng gian hàm được định nghĩa thơng qua việc sử dụng một chuẩn tổng qt hóa 
một cách tự nhiên từ chuẩn p của khơng gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng 
được gọi là các khơng gian Lebesgue). Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên 
bởi Riesz Frigyes (nhà tốn học gốc Hungary). Các khơng gian  Lp lập nên một lớp 
quan trọng của các khơng gian Banach trong giải tích hàm, khơng gian véc tơ tơ pơ, 
chúng  có  ứng  dụng  quan  trọng  trong  vật  lí,  xác  suất  thống  kê,  tốn  tài  chính,  kỹ 

thuật và nhiều lĩnh vực khác. 
     Mặc dù là lớp khơng gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các 
giáo  trình  giải  tích  hàm  cũng  như  lí  thuyết  độ  đo  và  tích  phân  cơ  bản,  các  không 
gian  này  chưa  được  mô  tả  chi  tiết.  Với  mong  muốn  trình  bày  các  ý  tưởng  chung 
cũng như đi sâu nghiên cứu về các khơng gian 

, nhằm giúp cho việc sử dụng các 

khơng gian này một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn 
của mình là:  
“Về một số khơng gian hàm thường gặp”.
     Luận văn được chia thành 3 chương: 
Chương I: Các kiến thức cơ sở. 
Chương II: Các khơng gian hàm.  
Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều.    
     Trong  chương  I,  tác  giả  nêu  các  khái  niệm  và  các  định  lí  cơ  bản  của  giải  tích 
hàm. Đó là khái niệm về khơng gian metric, khơng gian đo với khái niệm về độ đo, 
hàm  đo  được  cùng  với  các  tính  chất  hội  tụ  và  khả  tích,  khái  niệm  về  không  gian 
định chuẩn, các khái niệm trong không gian tô pô. Đây là những kiến thức cơ sở sẽ 
được sử dụng trong chương II và chương III của luận văn này. 

1


         Mục  đích  chính  của  chương  II  là  thảo  luận  về  các  không  gian  hàm 
Lp ,1  p     và  các  tính  chất.  Điều  đặc  biệt  là  ta  coi  các  khơng  gian  đó  là  khơng 

gian  con  của  một  khơng  gian  lớn  hơn 

  gồm  các  lớp  tương  đương  của  các  hàm 

(hầu  như)  đo  được.  Chính  vì  vậy,  các  khơng  gian  hàm  lần  lượt  được  trình  bày  là 
khơng  gian 

,  khơng  gian 

(khơng  gian  các  hàm  đo  được  khả  tích), khơng  gian 

(khơng gian các hàm bị chặn cốt yếu), khơng gian 

(khơng gian các hàm số có 

lũy thừa bậc p của mơ đun khả tích trên X). Các khơng gian này được trình bày một 
cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ ra cấu trúc thứ tự, xét 
chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài khơng gian con trù mật quan trọng, 
áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng ln là mở 
rộng cho khơng gian 

phức.  

        Trong chương III, tác giả mơ tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các khơng 
gian L . Đó là sự hội tụ theo độ đo trong L  và hội tụ yếu trong L . Ngồi ra trong 
chương này, tác giả cũng chỉ ra các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp 
các tập khả tích đều trong ℒ hay L . 
     Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức cịn hạn chế nên trong khóa 
luận khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các 
thầy cơ và sự góp ý chân thành của các bạn đọc. 

Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014 
                                                                                                   Học viên 

 
 
                                                                                              Vũ Thị Tuyển  

2


Chương I. Các kiến thức cơ sở
1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ 
d : X  X    các số thực, thỏa mãn các điều kiện: 
i)
ii)
iii)

d (x, y)  0  x  y   
d (x, y)  d (y, x) x, y  X  
d (x, y)  d (x,z)  d(z, y) x, y,z  X  

Tập hợp X cùng với khoảng cách d đã cho trong X, được gọi là khơng gian metric, 
kí hiệu là (X,d). 
Hàm  d (x, y)  x  y  x, y  X  là một metric trong tập  (khoảng cách thông 
thường). Không gian metric tương ứng gọi là đường thẳng thực. 
Định nghĩa 1.2.
a) Dãy   xn n trong không gian metric X gọi là dãy cơ bản nếu: 

  0, N ( ),  m, n  N  suy ra  d (x m , x n )    

b) Khơng gian metric X gọi là khơng gian metic đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của 
khơng gian X đều hội tụ đến một phần tử nào đó của khơng gian này. 
  Chẳng hạn, khơng gian Euclide 

n

 là khơng gian đầy đủ. Khơng gian  C a ,b  là 

khơng gian đầy đủ. 
Định nghĩa 1.3.  Giả sử E là một tập con của X. Tập hợp tất cả các điểm dính của 
E, được gọi là bao đóng của tập hợp E, kí hiệu  E   
Định nghĩa 1.4  Giả sử E là một tập con của X. Tập E gọi là: 
i)
ii)

Tập đóng nếu tập E chứa tất cả các điểm tụ của nó 
Tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. 

Tập hợp tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, kí hiệu  int E   
iii)

Tập hợp E được gọi là trù mật trên tập hợp A nếu như bao đóng của E 
chứa A. 

Đặc biệt, nếu tập E trù mật trong khơng gian X thì E gọi là trù mật khắp nơi trong 
X. 

3

1.2 Không gian đo và Độ đo
Định nghĩa 1.5.
1) Cho tập  X  rỗng, một họ    các tập con của X được gọi là một σ - đại số nếu nó 
thỏa mãn các điều kiện sau: 
i.  X   và nếu  A   thì  A c    trong đó  AC  X \ A  
ii. Hợp của đếm được các tập thuộc Σ cũng thuộc Σ. 
2) Nếu    là σ - đại số các tập con của X thì cặp  ( X , )  gọi là một khơng gian đo 
được (đo được với    hoặc   - đo được) 
Định nghĩa 1.6. Cho một không gian đo được  ( X , )  
1) Một ánh xạ   :    0,    được gọi là một độ đo nếu: 
i)
ii)

 ()  0   
  có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa: 

  
(A n ) n  ,( An  Am  , n  m)     An     (A n )   
 n 1  n 1
2) Nếu   là một độ đo xác định trên    thì bộ ba  ( X , ,  )  gọi là một không 
gian đo.
Định nghĩa 1.7. Cho  ( X ,  ,  )  là một khơng gian đo. Khi đó
a)   là độ đo đủ, hay  ( X ,  ,  ) là không gian đo đủ (Carathéodory) nếu với mọi 
A  E   và   ( E )  0  thì  A   nghĩa là mọi tập con bỏ qua được của X là 
đo được.                       
b) ( X ,  ,  ) là không gian xác suất nếu   ( X )  1.                                                        
           Trong trường hợp này,    gọi là một xác suất hay độ đo xác suất. 
c)   là độ đo hoàn toàn hữu hạn, hay  ( X ,  ,  )  gọi là khơng gian đo hồn tồn 
hữu hạn nếu   ( X )  .                                                 
d)   là độ đo   -  hữu hạn, hay  ( X ,  ,  ) gọi là không gian đo   - hữu hạn nếu 

tồn tại dãy   An n    sao cho: 


X   An ,   (A n )  ,  n 

*

                                                

n 1

e)     là độ đo nửa hữu hạn, hay  ( X ,  ,  )  là một không gian đo nửa hữu hạn 
nếu với mọi  E   và   ( E )    thì tồn tại F  E thỏa mãn  F    và 
0  (F )   .
f)   là độ đo khả địa phương hóa, hay  ( X ,  ,  )  là một khơng gian đo khả địa 
phương hóa nếu nó là nửa hữu hạn và với mọi  E   , tồn tại một  H    thỏa 
mãn:
E \ H là bỏ qua được với mọi  E E  
(i)

4


(ii)

Nếu  G  và  E \ G là bỏ qua được với mọi  E E thì  H \ G  là bỏ qua 
được.

Sẽ thuận tiện hơn nếu ta gọi tập H như trên là essential suppremum của  E  
trên  . 

g) Một tập  E    gọi là một nguyên tử đối với    hay   - nguyên tử nếu 
 ( E)  0  và với mỗi tập F thỏa mãn   F   ,  F  E thì  E \ F là bỏ qua 
được.    
Định nghĩa 1.8.   Một ánh xạ   * :    0,    xác định trên  P(X)   A : A  X   
được gọi là một độ đo ngoài nếu thỏa mãn các điều kiện 
ii)

 * (A)  0,  A  
 * ()  0

iii)

Nếu  A   An  thì    * (A)    * (A n ).  

i)





n 1

n 1

Định lí 1.1 (Carathéodory). Giả sử *  là một độ đo ngoài trên X và     là lớp tất 
cả các tập con A của X sao cho: 

 * (E)   * (E A)   * (E\ A) E  X (*) 
      Khi đó   là một σ - đại số và hàm tập     * (thu hẹp của  * trên   ) là một 


độ đo  
trên .  Độ đo    gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài  * . Tập A thỏa mãn điều 
kiện (*) gọi là tập  * - đo được.  
Định lí 1.2 (thác triển độ đo). Giả sử m là một độ đo trên đại số  ⊂
{∑
mỗi  A  X , ta đặt  ∗ ( ) =
( ) : { } ∈ℕ ⊂ , ⊂ ⋃
thì  * là một độ trên X và   ∗ ( ) =

( ), ∀ ⊂

( ). Với 
}.

đồng thời mọi tập thuộc σ - đại 

*

số ℱ( ) đều   đo được. 

1.3
1.3.1

Độ đo Lebesgue
Độ đo Lebesgue trên

       Tồn tại một σ - đại số    các tập con của   mà mỗi  A   gọi là một tập đo 
được theo Lebesgue (hay (L) – đo được) và một độ đo   xác định trên   (gọi là 
độ đo Lebesgue trên  ) thỏa mãn các tính chất sau: 

i)
ii)

Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng … là (L) – đo được. 
Nếu I là khoảng với đầu mút a, b (   a  b  t ) thì   (I)  b a   
Tập hữu hạn hoặc đếm được là  (L) – đo được và có độ đo Lebesgue bằng 
0 

5


iii)
iv)

v)

1.3.2

Tập  A là (L) – đo được khi và chỉ khi với mọi    0  tồn tại tập đóng 
F, tập mở G sao cho  F  A  G ,   (G\ F)    
Nếu A là tập (L) – đo được thì các tập  x  A, xA  cũng là tập (L) – đo 
được và  
 (x  A)   (A) ,   (xA)  x  (A)  
Độ đo Lebesgue là đủ và σ – hữu hạn. 

Độ đo Lebesgue trên

k

       Trong khơng gian Euclid k chiều 

k

độ đo m có thể khuếch thành độ đo   k

trên một σ - đại số   k  F (Ck )  Ck .  Độ đo   k  này gọi là độ đo Lebesgue trên 
k
và các tập hợp thuộc lớp   k  gọi là tập đo được (L) trong  k .   F (C k )  chính là σ 
- đại số  Borel trong  k .  

1.4

Hàm số đo được

Định nghĩa 1.9. Cho một không gian X, một σ - đại số    những tập con của X, và 
một tập  A  . Một hàm số  f (x) : X   gọi là đo được trên tập A đối với σ - đại số 
 nếu 
  (a  ),  x  A : f (x)  a    
Khi trên σ - đại số    có một độ đo μ ta nói  f(x) đo được đối với độ đo μ hay  μ 
– đo được. 
      Trong trường hợp  X  k ,   B k (σ - đại số Borel trong 
được theo nghĩa Borel, hay  f(x) là một hàm số Borel. 

1.4.1

k

) thì ta nói  f(x) là đo 

Cấu trúc của hàm số đo được

Định nghĩa 1.10.  Cho một tập bất kì A trong khơng gian X, ta gọi hàm chỉ tiêu 
của A là hàm số   A (x)  xác định  như sau: 
0 khi x  A
                                            A (x)  
 
1 khi x  A

Định nghĩa 1.11.  Một hàm số  f(x) gọi là hàm đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được 
và chỉ lấy một số hữu hạn giá trị. Gọi   i (i  1, 2,...n) là các giá trị khác nhau của nó 
n

và nếu Ai   x : f (x)   i   thì các tập  Ai  đo được, rời nhau và ta có  f (x)   i  A (x)   
i 1

i

       Ngược lại, nếu  f(x) có dạng đó và các tập  Ai  đo được, rời nhau thì  f(x) là một 
hàm đơn giản 
Định lí 1.3. Mỗi hàm số  f(x) đo được trên tập đo được A là giới hạn của một dãy 
hàm đơn giản  f n (x) ,  

f (x)  lim f n (x)
n 

6


       Nếu f (x)  0x  A  thì có thể chọn các  f n  sao cho  f n (x)  0  và 
f n1 (x)  f n (x)  với mọi n và  x  A  

1.4.2 Các dạng hội tụ
Định nghĩa 1.12.  Trong khơng gian X bất kì, cho một σ - đại số    và  một độ đo μ
trên  . Ta nói hai hàm số  f(x) và g(x) bằng nhau hầu khắp nơi (h.k.n), viết 
f (x)  g (x) h.k .n  nếu: 

(B  A)  (B)  0  và   x  A \ B  f (x)  g(x)  
      Hai hàm số  f(x), g(x) bằng nhau thì gọi là tương đương với nhau. Dĩ 
nhiên, hai hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì chúng cũng 
tương đương với nhau. 
Định lí 1.4. Nếu μ là một độ đo đủ thì mọi hàm số g(x) tương đương với một hàm 
số đo được  f(x) cũng đều đo được. 
Định nghĩa 1.13.  Dãy hàm  f n  gọi là hôi tụ hầu khắp nơi về hàm số  f(x) trên 
A   nếu tồn tại  B  A, B ,  (B)  0  sao cho  lim f n (x)  f (x) với mọi
n 

x  A \ B  

Định nghĩa 1.14.  Cho những hàm số  f n (x)(n  1, 2,...)  và f(x) đo được trên một tập 


A. Ta nói dãy  f n (x) hội tụ theo độ đo μ tới  f(x) và viết   f n (x)  f (x),  nếu  

  0,lim   x  A : f n (x)  f(x)     0  
n 

        Giả thiết μ là một độ đo đủ, ta có định lí sau nói về sự liên hệ giữa hội tụ theo 
độ đo và hội tụ hầu khắp nơi 
Định lí 1.5. Nếu một dãy f n (x) đo được trên một tập A hội tụ hầu khắp nơi tới một 


hàm số  f(x) thì  f(x) đo được và nếu   (A)    thì  f n (x)  f (x)  

1.5

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.15. Giả sử E là không gian vec tơ trên trường vô hướng K, các số 
thực   hay các số phức  . Hàm    xác định trên E gọi là một chuẩn trên E nếu nó 
thỏa mãn các điều kiện sau: 
i)
ii)
iii)

 (x)  0 x  E  và   (x)  0  x  0  
 ( x)    (x)  với mọi    K ,  x  E   
 (x  y)   (x)   (y),  x, y  E  

Định nghĩa 1.16. Khơng gian véc tơ E cùng với một chuẩn    trên nó là một khơng 
gian định chuẩn. 
       Có thể chứng minh khơng gian định chuẩn E là một khơng gian metric với 
khoảng cách sinh bởi chuẩn  

7


d (x, y)   (x  y),(x, y  E)  
Chú ý: Ta kí hiệu  x  thay cho   (x),(x  E)  và gọi là chuẩn của véc tơ x. 
Nếu khơng gian metric này là đầy đủ thì E gọi là khơng gian Banach. 
       Ví dụ: Khơng gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn   a , b  , kí hiệu  C a ,b   là 

một khơng gian Banach vì nó là đầy đủ đối với chuẩn: 
f  sup  f (x) : x   a, b , f  Ca ,b   
Định lí 1.6 (Hausdorff). Tập con X trong  khơng gian Banach E là compact nếu và 
chỉ nếu X là đóng và hồn tồn bị chặn. 
Định nghĩa 1.17.  Khơng gian định chuẩn E gọi là khả ly nếu E có một tập con đếm 
được trù mật trong E, nghĩa là tồn tại một dãy   xn   E sao cho với mọi  x  E tồn 
tại một dãy con  xnk  x
 
Định nghĩa 1.18 Cho X là tập con của khơng gian định chuẩn E, ta nói X là: 
i)

Tập bị chặn nếu  sup  x , x  X      

ii)

Hoàn toàn bị chặn nếu với mọi    0  tồn tại tập hữu hạn  A  E  sao cho:
x  X , y  A : x  y    

iii)

Com pắc nếu mọi dãy   xn n  X  có một dãy con  xnk  hội tụ tới một 

 

phần tử  x  X   
Nhận xét: a) Tập con hữu hạn  A  E  thỏa mãn (ii) gọi là một   - lưới hữu hạn 
của X 
      b) Dễ chứng minh mọi tập hồn tồn bị chặn X là bị chặn. 
Định nghĩa 1.19.  Cho X là một khơng gian vectơ. Một hàm số  f(x) xác định trên X 
và lấy giá trị là số (thực hoặc phức, tùy theo X là khơng gian thực hoặc phức) gọi là 

một phiếm hàm trên X. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu: 
i)
ii)

f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 ) với mọi x1 , x2  X .
f ( x)   f ( x) với mọi x  X và mọi số 

Giả sử X là một khơng gian định chuẩn, khi ấy, một phiếm hàm tuyến tính  f gọi 
là bị chặn nếu có một hằng số  K  0  để cho  

f ( x)  K x x  X  
Số K  0  nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là chuẩn của phiếm hàm và kí 
hiệu là  f . Dễ dàng chứng minh  

f  sup
x0

f ( x)
 sup f ( x)
x 1
x

8


Trong nhiều vấn đề quan trọng , người ta thường xét khơng gian định chuẩn lập 
thành bởi tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là khơng gian 
đối ngẫu (hay cịn gọi là khơng gian liên hợp) của X, và được kí ký hiệu X*. 
      Dễ thấy X* là một khơng gian vectơ với các phép tốn thơng thường. Ngồi ra, 
với mỗi phần tử f thuộc X*, đặt   f  sup f (x)  thì X* trở thành một khơng gian 

x X , x 1

định chuẩn. Hơn nữa X* cịn là khơng gian Banach. 
Định nghĩa 1.20. Cho  ( X ,  ,  )  là một khơng gian đo và  :  
hàm cộng tính hữu hạn  

 là một phiếm 

a)  được gọi là liên tục tuyệt đối đối với    (thường viết   ) nếu    0 , tồn 
tại    0  thỏa mãn   E    với mọi  F    và   ( E  F )   .     
b)  được gọi là thực sự liên tục đối với    nếu    0 , tồn tại  E   ,    0  thỏa 
mãn   E  là hữu hạn và   F    với  E   .   

1.6

Tích phân Lebesgue

Định nghĩa 1.21. Cho  A  là  tập  đo  được,  f : A   ,     là  hàm  đơn  giản,  đo 
được trên A. Gọi  f1 , f 2 , f3 ,..., f n  là các giá trị khác nhau đôi một của f(x). Đặt  
Ak   x  A : f (x)  f k  , k  1, 2,..., n  
n

n

A   và f (x)   f k  Ai x  A

i 1
   
 
Khi đó tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo    là số 

k 1

n



A

f (x) d    f k  (A k )   
k 1

Định lí 1.7. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm  f : A   0,    là hàm đo được. 
Khi đó, tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được  f n (x)  0  hội tụ h.k.n 
về  f(x) trên A. 
Định nghĩa 1.22. Tích phân của hàm f(x) khơng âm trên A đối với độ đo    là: 



A



f (x)d   lim   f n (x) d    
n 
A


Định nghĩa 1.23. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm  f : A 
trên A. Khi đó ta có: 

 là hàm đo được 

f (x)  f  (x)  f  (x)  với  f  (x),f  (x)  0  
Các hàm số  f  (x),f  (x)  có tích phân tương ứng trên A là   f  (x)d  ,   f  (x)d   
A

9

A


Nếu hiệu   f  (x) d    f  (x) d   có nghĩa thì tích phân của f(x) trên A là : 
A

A

 f (x) d    f
A



A

(x) d    f  (x) d 
A

Các định lí sau cho ta các điều kiện qua giới hạn dưới dấu tích phân (đối với 
tích phân Lebesgue) 
Định lí 1.8 (định lí hội tụ đơn điệu Beppo Levi).
điệu tăng đến f(x) trên A thì 

Nếu  f n (x)  0  và  f n (x) đơn 



lim   f n (x) d     f (x) d 
n 
A
 A
Định lí 1.9 (định lí Dini). Nếu  f n (x)  là dãy hàm liên tục, đơn điệu, hội tụ điểm 
đến một hàm  f(x) liên tục trên   thì  f n (x)  hội tụ đều đến  f(x).
Định lí 1.10 (Bổ đề Fatou). Nếu  f n (x)  0  thì 



  lim f n (x) d    lim  f n (x)d   
 A n
 n A
Định lí 1.11 (định lí hội tụ bị chặn Lebesgue). Nếu  fn (x)  g (x) , g(x) khả tích 
và  f n (x)  f(x) ( hội tụ h.k.n) hay hội tụ theo độ đo trên A thì  
lim  f n (x) d    f (x) d 
n

A

A

1.7 Không gian tơ pơ
Định nghĩa 1.24. Cho một tập X bất kì. Ta nói một họ  G những tập con của X là 
một tơ pơ (hay xác định một cấu trúc tô pô) trên X nếu: 

i)
ii)
iii)

Hai tập  , X đều thuộc  G  
G kín đối với phép giao hữu hạn, nghĩa là giao của một số hữu hạn tập 
thuộc họ  G thì cũng thuộc họ đó. 
G  kín đối với phép hợp bất kì, nghĩa là hợp của một số bất kì (hữu hạn 
hoặc vơ hạn) tập thuộc họ  G thì cũng thuộc họ đó. 

Tập X cùng với một tơ pơ  G trên X gọi là khơng gian tơ pơ   X , G (hay không gian 
tô pô X). Các tập thuộc họ  G  gọi là tập mở. 
Định nghĩa 1.25. Cho X, Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ  f đi từ X vào Y gọi 
là liên tục tại  x0  nếu với mọi lân cận  U y của điểm  y0  f ( x0 ) đều có một lân cận 
0

V x của điểm  x0 sao cho  f (Vx ) U y , nghĩa là  x Vx  f ( x) U y .  Ánh xạ  f  gọi 
0

0

0

0

là liên tục nếu nó liên tục tại mọi  x  X .   

10

0

    Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một khơng 
gian metric vào một khơng gian metric khác.
Định lí 1.12. Một ánh xạ  f đi từ khơng gian tơ pơ X vào khơng gian tơ pơ Y là 
liên tục khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: 
(i)
(ii)

Nghịch ảnh của một tập mở (trong Y) là một tập mở (trong X) 
Nghịch ảnh của một tập đóng (trong Y) là một tập đóng (trong X) 

Cho  f  là một ánh xạ đi từ tập X vào Y. Nếu trên Y cho một tơ pơ   thì do tốn tử 
f  bảo tồn các phép tốn tập nên  f 1 (Gy ) sẽ là một tơ pơ trên X. Nếu X vốn đã có 
sẵn một tơ pơ  Gx thì định lí 1.12 cho biết rằng  f  là ánh xạ liên tục khi và chỉ khi 
1

f 1 (Gy )  Gx nghĩa là khi nghịch ảnh của tơ pơ trên Y (tức  f 1 (Gy ) ) yếu hơn tơ pơ 
trên  X  Gx  . Cũng từ đó ta thấy, nếu trên Y có một tơ pơ mà trên X chưa có tơ pơ 
thì có thể biến X thành khơng gian tơ pơ bằng cách gán cho nó tơ pơ  f 1 (Gy ), đó là 
tơ pơ yếu nhất đảm bảo cho sự lien tục của ánh xạ  f. 
     Sự hội tụ của dãy điểm trong tơ pơ được định nghĩa tương tự như trong khơng 
gian metric. Tuy nhiên, ở đây cần đưa vào một khái niệm rộng hơn khái niệm dãy 
hội tụ. 
       Một họ S những tập con khơng rỗng của một tập X gọi là một lọc trên X nếu: 
(i)
(ii)

A, B  S  A  B  S   
A S, A  B  B  S  

Bây giờ cho một tơ pơ X. Ta nói một lọc S trên X hội tụ tới x nếu mỗi lân cận 
của x đều bao hàm một tập thuộc S. Một ánh xạ  f  đi từ một khơng gian tơ pơ X 
vào khơng gian tơ pơ Y liên tục tại x khi và chỉ khi với mọi lọc  S  x ta đều có 
f (S )  f ( x).  
Chú ý rằng trong khơng gian metric, giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất, 
cịn với tơ pơ thì khơng nhất thiết. Muốn đảm bảo tính duy nhất của giới hạn ta 
xét các khơng gian tơ pơ đặc biệt, thỏa mãn tiên đề tách sau đây: Với mọi cặp 
điểm  x1 , x2  X đều có hai lân cận  V1 ,V2  của  x1 , x2 sao cho  V1  V2  . Một 
khơng gian tơpơ thỏa mãn điều kiện đó gọi là khơng gian Housdorff  (khơng 
gian tách), tơ pơ của nó gọi là tơ pơ Housdoff  (tơ pơ tách). 
Định lí 1.13. Trong khơng gian tơ pơ Housdorff , một lọc chỉ có thể hội tụ tới 
nhiều nhất một điểm.
Định nghĩa 1.26.    Một khơng gian tơpơ X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều 
có một lọc mạnh hơn hội tụ.  
 

11


Chương II. Các khơng gian hàm
      Mục đích chính của chương này là thảo luận về các khơng gian  L1 ,  L và  Lp  
trong ba mục tương ứng dưới đây. Một điểm thuận lợi là ta coi các khơng gian đó là 
các khơng gian con của một khơng gian lớn hơn  L0  gồm các lớp tương đương của 
các hàm (hầu như) đo được. 

2.1

Khơng gian

và

       Ngun  tắc  gần  như  đầu  tiên  của  lý  thuyết  độ  đo  chính  là  các  tập  có  độ  đo 
không  thường  được  bỏ  qua.  Tương  tự,  hai  hàm  trùng  nhau  hầu  khắp  nơi  có  thể 
thường (khơng ln ln!) được xem như là đồng nhất với nhau. Ý tưởng của phần 
này là thành lập khơng gian gồm các lớp tương đương của các hàm số, và nói rằng 
hai hàm số là tương đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngồi một tập bỏ qua 
được.  

2.1.1

Khơng gian

Định nghĩa 2.1. Giả sử  ( X ,  ,  ) là một không gian đo bất kỳ. Ta viết  L 0 , hay 
L0 () , là không gian của các hàm nhận giá trị thực xác định trên phần bù của các 
tập con bỏ qua được của  X , Nghĩa là: 
     Nếu  E  X ,  E C là tập   - khơng thì hạn chế của f trên E, kí hiệu  f E  là   - đo 
được ( đo được đối với   - đại số bổ sung theo   ) 
2.1.2 Tính chất cơ bản
      Nếu  ( X ,  ,  )  là một khơng gian đo bất kỳ, khi đó chúng ta có những điều sau 
đây, tương ứng với những tính chất cơ bản của hàm đo đươc.  
(a) Một hàm hằng nhận giá trị thực xác định hầu khắp nơi trong  X  thuộc vào  L 0   
(b) f  g L0  với mọi f , g L0  (nếu  f

F

và  g F , thì  ( f  g ) ( F G )  ( f F )  ( g G ) là đo 

được).  
(c)  cf L0  với mọi  f  L0 , c  . 

(d)  f  g L0   với mọi  f , g L0 .  
(e) Nếu  f L0  và  h :   là Borel đo được, thì  hf L0 . 
(f) Nếu  ( fn )n   là một dãy trong  L 0  và  f  lim fn  được xác định (như là một hàm 
n

nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong  X , thì  f L0 . 

12


(g) Nếu  ( fn )n    là một dãy trong  L 0   và  f  sup f n  được xác định (như là một hàm 
n

nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong  X , thì  f L0 . 
(h) Nếu  ( f n )n  là một dãy trong  L 0   và  f  inf f n  được xác định (như là một hàm 
n

nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong  X , thì  f L0 .  
(i) Nếu  ( fn )n  là một dãy trong  L 0  và  f  limsup f n  được xác định (như là một hàm 
n

nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong  X , thì  f L0 . 
(j) Nếu  ( f n )n   là một dãy trong  L 0   và  f  liminf f n  được xác định (như là một 
n

hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong  X , thì  f L0 . 
(k)  L 0  thực chất là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của  X ,
bằng nhau hầu khắp nơi đối với một hàm   - đo được từ  X  vào   nào đó.  
2.1.3 Khơng gian
Định nghĩa 2.2.    Giả sử  ( X ,  ,  )  là một khơng gian đo bất kỳ. Khi đó  “  h.k .n  “  là 

một quan hệ tương đương trên  L 0 .  Viết  L0 , hoặc là  L0 ( ) , là tập các lớp tương 
đương trong  L 0   dưới quan hệ “  h.k .n  “. Với  f L0 ,  viết  f   là lớp tương đương 
trong  L0 .  
2.1.4 Cấu trúc tuyến tính của
       Giả sử  ( X ,  ,  )  là không gian đo bất kỳ, và đặt  L0  L0 (  ) ,  L0  L0 ( ) .  
(a) Nếu  f1 , f 2 , g1 , g2 L0  và  f1 h.k .n f 2 ,   g1 h.k .n g2  thì  f1  g1 h.k .n f 2  g2 . Tương tự 
chúng ta có thể định nghĩa phép cộng trong  L0   bởi cách đặt  f   g   ( f  g )  với 
tất cả  f , g L0   
(b) Nếu  f1 , f2 L0   và  f1 h.k .n f2   thì  cf1 h.k .n cf 2   với mọi  c . Tương tự chúng ta 
có thể định nghĩa phép nhân vơ hướng trên  L0  bởi cách đặt  cf   (cf )  với tất cả 
f L0 , c .  
(c)  L0   là một khơng gian tuyến tính trên  , với phần tử khơng  0 ,  ở đây  0  là hàm 
có tập xác định là  X  và nhận giá trị  0 , và phần tử đối   f   ( f ) .  
  Thật vậy 
(i)   f  ( g  h )  ( f  g )  h  với tất cả   f , g , h L0 , 
vì vậy  u  (v  w )  (u  v )  w   với tất cả   u, v, w  L0  . 
(ii)  f  0  0  f   với mọi  f L0 ,  
vì vậy  u  0  0   u  u  với mọi  u  L0 .   

13


(iii)  f  ( f ) h.k .n 0  với mọi  f L0 ,  
vì vậy  f   ( f )  0  với mọi  f L0 .   
(iv)  f  g  g  f  với mọi  f , g L0 ,    
vì vậy  u  v  v  u  với mọi  u, v  L0 .    
(v)  c ( f  g )  cf  cg  với tất cả  f , g L0   và  c  ,    
vì vậy  c (u  v )  cu  cv  với mọi  u, v  L0 và  c . 
(vi)  ( a  b ) f  af  bf  với tất cả    f  L0 , a, b  ,   
vì vậy  ( a  b )u  au  bu  với tất cả  u  L0 , a, b  .   

(vii)  ( ab ) f  a (bf )  với tất cả  f  L0 , a, b  , vì vậy  ( ab )u  a (bu )  với tất cả 
u  L0 , a, b  .  
(viii)  1 f  f với tất cả  f L0 , vì vậy  1u  u  với tất cả  u  L0 .   
2.1.5 Cấu trúc thứ tự của
         Giả sử  ( X ,  ,  )  là không gian đo bất kỳ và đặt  L0  L0 ( ), L0  L0 ( ).   
(a) Nếu  f1 , f 2 , g1 , g2 L0 , f1 h.k .n f 2 , g1 h.k .n g2  và  f1 h.k .n g1 , thì  f2 h.k .n g2 . Vì vậy 
chúng ta có thể xác định một quan hệ    trên  L0  bằng cách nói rằng  f   g   nếu và 
chỉ nếu  f h.k .n g.   
(b)    là một thứ tự một phần trên  L0 .  Thật vậy, nếu  f , g , h L0  và  f h.k .n g  và 
g h.k .n h , thì  f h.k .n h.  Tương tự  u  w  với  u, v, w  L0  và  u  v, v  w.  Mặt khác, nếu 
f L0   thì  f h.k.n f ; do  u  u   với mọi  u  L0 .  Cuối cùng, nếu  f , g L0   và 
f h.k .n g  và  g h.k .n f , thì  f h.k .n g ,  vì vậy nếu  u  v  và  v  u  thì  u  v.  

(c)  L0 ,  với  ,  là một khơng gian tuyến tính thứ tự một phần, nghĩa là, một khơng 
gian tuyến tính với một thứ tự     thỏa mãn: 
(i) nếu  u  v  thì  u  w  v  w với mọi  w,   
(ii) nếu  0  u thì  0  cu  với mọi  c  0.   
     Thật vậy, nếu  f , g , h L0  và  f h.k .n g,  thì  f  h h.k .n g  h.  Nếu  f L0  và 
f h.k .n 0,  thì  cf h.k .n 0  với mọi  c  0.   
(d)  L0  là một khơng gian Riesz hay dàn véctơ, nghĩa là, một khơng gian tuyến tính 
thứ tự một phần thỏa mãn  u  v  sup{u , v}, u  v  inf{u , v}  được xác định với tất cả 
u, v  L0 .   
Chứng minh:  

14


         Lấy  f , g L0   sao cho  f •  u, g •  v.  Khi đó  f  g ,  f  g ,  ta viết  
( f  g )( x )  min( f ( x ), g ( x ))  với  x   dom f   dom g  

( f  g )( x )  max( f ( x ), g ( x )),

(domf  là miền xác định của hàm số f).  
       Với  h  L0  bất kỳ,  ta có  
f  g h.k .n h  f h.k .n h  và g h.k .n h,    
h a.e f  g  h a.e f  và h a.e g ,  

Suy ra với  w  L0  bất kỳ, ta có  
( f  g )  w  u  w và v  w,    

w  ( f  g )  w  u  và w  v.  

Do vậy  ( f  g )  sup{u, v}  u  v,   ( f  g )  inf{u, v}  u  v  trong  L0 .   
(e) Với bất kỳ  u  L0  ta có  | u | u  ( u ) ; và nếu  f L0   thì  | f  || f | .  Nếu 
f , g L0 ,   c  thì  
| cf || c || f |,

f g 

vì vậy        | cu || c || u |,
uv 

f g

1
( f  g  | f  g |),
2
uv 

1

( f  g  | f  g |),    
2

| f  g | h.k .n | f |  | g |,  

1
(u  v  | u  v |),                         
2

1
(u  v  | u  v |),   | u  v || u |  | v | với tất cả  u, v  L0 .  
2

(f) Nếu  f  là một hàm nhận giá trị thực, đặt 
f  ( x)  max( f ( x),0), f  ( x)  max( f ( x),0)  với  x   domf ,  suy ra 
f  f   f  , | f | f   f   f   f  ,  

 tất cả các hàm này đều xác định trên  dom f .  Tương tự trong  L0 ,  đặt các toán tử 
u   u  0, u   u  0,  và ta có  
u  u   u  , | u | u   u   u   u  , u   u   0.  

(g) Hiển nhiên, nếu  u  0  trong  L0 ,  tồn tại một  f  0  trong  L 0  sao cho  f   u.  Thật 
vậy lấy  g  L0  bất kỳ sao cho  u  g • ,  và đặt  f  g  0  thì  f  0.  
2.1.6 Các tính chất quan trọng của
Định nghĩa 2.3.

15


(a) Một không gian Riesz  U  là Ác-si-mét nếu với bất kỳ  u  U , u  0 (nghĩa là,  u  0  

và  u  0 ),  v  U , có một  n  sao cho  nu ’ v.   
(b) Một khơng gian Riesz  U  là Dedekind   -đủ (hay   -thứ tự-đủ, hay    đủ) nếu 
với mọi tập khác rỗng đếm được  A  U  bị chặn trên đều có ít nhất một cận trên nhỏ 
nhất ở trong  U.   
(c) Một khơng gian Riesz là Dedekind đủ (hay thứ tự đủ, hay đủ) nếu với mọi tập 
khác rỗng  A  U  bị chặn trên trong  U  đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong 
U.   
Định lý 2.1.    Giả sử  ( X ,  ,  )  là một không gian đo. Đặt  L0  L0 (  ).   
(a)  L0  là Ác-si-mét  và Dedekind   -đủ.  
(b) Nếu  ( X ,  ,  )  là nửa-hữu hạn, thì  L0  là Dedekind đủ nếu và chỉ nếu  ( X ,  ,  ) là 
khả địa phương hóa.  
Chứng minh:
Đặt  L0  L0 ( ).   
0


0
(a) (i) Nếu  u, v  L và  u  0 , viết  u  như là  f  và  v  như là  g trong đó  f , g L .  
Khi đó  E  { x : x   domf , f ( x )  0}  là khơng bỏ qua được. Khi đó tồn tại  n  
sao cho  

En  {x : x   domf   domg , nf ( x)  g ( x)}  là khơng bỏ qua được, vì 
E   domg   En . Mặt khác  nu ’ v.  Vì  u  và  v  là tùy ý nên  L0  là Ác-si-mét . 
n

         (ii) Giả sử  A  L0  là một tập khác rỗng đếm được có một cận trên  w  trong   L0 .  
Viết  A  như là  { f n : n  }   trong đó  ( fn )n  là một dãy trong  L0 ,   và  w  như là  h   
trong đó  h  L0 .  Đặt  f  sup fn . Khi đó ta có  f ( x )  xác định trên   tại điểm bất kỳ 
n

x   domh   domf n   sao cho  fn ( x)  h( x)  với mọi  n  ,  nghĩa là, với hầu hết  x  X ; 
n

vì vậy  f L0 .  Đặt  u  f   L0 .  Nếu  v  L0 , lấy  v  g  trong đó  g L0 ,  khi đó  
un  v  với mọi  n     với mỗi  n  ,   fn h.k .n g  

                                      với hầu hết  x  X , fn ( x)  g ( x)  với mỗi  n   
                                     f h.k .n g  u  v.   
Do vậy  u  sup un  trong  L0 .  Vì A là bất kỳ,  L0  là Dedekind   -đủ.  
n

(b) (i) Giả sử rằng  ( X ,  ,  )  là địa phương hóa.  

A  L0  là một tập khác rỗng bất kỳ có cận trên  w0  L0 .  Đặt  

16


             A  { f : f  là một hàm đo được từ X vào 

,  f •  A ,  

 khi đó mọi phần tử của  A  có dạng  f •  với  f  A  nào đó. Với mỗi  q  , Eq  là họ 
các tập con của X có thể biểu diễn dưới dạng  { x : f ( x )  q}  với  f  A  nào đó; khi đó 
Eq  .   
Do ( X ,  ,  )  là địa phương hóa nên có một tập  Fq   là một cận trên đúng chủ yếu 
cho  Eq .  Với  x  X ,  đặt  
g • ( x)  sup{q : q  , x  Fq },  

chấp nhận    là cận trên đúng của một tập bị chặn trên, và    là  sup   . Khi đó  

{x : g * ( x)  a}   Fq    với mỗi  a .  
q , q  a

      Nếu  f  A , thì  f h.k .n g * . Thật vậy với mỗi  q  , đặt  
Eq  {x : f ( x)  q}Eq ;  

thì  Eq ‚ Fq   là bỏ qua được. Đặt  H   ( Eq ‚ Fq ). Nếu  x  X ‚ H , thì 
q

*

f ( x)  q  g ( x)  q,  

suy ra f ( x)  g * ( x)  và do vậy  f h.k .n g *.   
       Nếu  h : X   là đo được và  u  h •  với mỗi  u  A,   thì  g* h.k .n h.  Đặt 
Gq  {x : h( x)  q}  với mỗi  q  .   Nếu  E Eq , có một  f  A  sao cho 
E  { x : f ( x )  q};  bây giờ  f h.k .n h , vì vậy  E ‚ Gq  {x : f ( x)  h( x)}  là bỏ qua được. 

Vì  Fq   là một cận trên đúng cốt yếu của  Eq ,  nên  Fq ‚ Gq  là bỏ qua được với mỗi 
q  . Dẫn đến  
{x : h( x)  g * ( x)}   Fq ‚ Gq  
q

là bỏ qua được, và  g * h.k .n h.  
        Chú ý rằng chúng ta đang giả sử A khác rỗng và A có một cận trên  w0  L0 .  
Lấy  f0 A  bất kỳ và một hàm đo được  h0 : X    sao cho  h0•  w0 ; khi đó 
f h.k .n h0  với mỗi  f  A , vì vậy  f0 h.k .n g * h.k .n h0 , và  g *  phải hữu hạn hầu khắp 

nơi. Đặt  g ( x)  g * ( x)  khi  g * ( x)  ,  ta có  g  L0  và  g h.k .n g * ,  vì vậy  
f  h. k . n g  h. k . n h  

Trong đó  f , h  là các hàm đo được từ  X  , f •  A  và  h •  là một cận trên của  A ; 
nghĩa là,  
u  g •  w  với  u  A   và  w  là một cận trên của  A .  

17


Điều này có nghĩa là  g •  là cận trên nhỏ nhất của  A  trong  L0 .  Do  A  là bất kỳ, nên 
L0  là Dedekind đủ.  
(ii) Giả sử rằng  L0  là Dedekind đủ,  ( X ,  ,  )  là nửa-hữu hạn, E là một tập con tùy ý 
của  .  Đặt  
A  {0} {(  E )• : E  E}  L0 .  

        Khi đó  A  bị chặn trên bởi  (  X )•   vì vậy có một cận trên bé nhất  w  L0 .  Biểu 
diễn  w  như là  h •  trong đó  h : X   là đo được, và đặt  F   x :  h  x     0 .  Khi đó 
F  là một cận trên đúng cốt yếu của  E  trong  .  Thật vậy,  
•
( )  Nếu  E  E ,  thì  (  E)  w   vì vậy   E h.k .n h , nghĩa là,  h ( x )  1  với hầu hết 

x  E , và  E ‚ F  { x : x  E , h ( x )  1}  là bỏ qua được.  
(  )  Nếu  G  và  E ‚ G  là bỏ qua được với mỗi  E ‚ E,  thì   E h.k .n  G  với mỗi 
•
•
•
E  E ,  nghĩa là,  (  E )  (  G)  với mỗi  E  E ;  vì vậy  w  (  G) , nghĩa là,  h h.k .n  G  

. Tương tự  F ‚ G  { x : h ( x )  (  G )( x )}  là bỏ qua được.  
      Do  E  tùy ý nên  ( X ,  ,  )  là địa phương hóa.  
2.1.7 Cấu trúc nhân của

      Giả sử  ( X ,  ,  )   là một không gian đo bất kỳ,  L0  L0 ( ), L0  L0 ( ).   
(a)  Nếu  f1 , f 2 , g1 , g2 L0  và  f1 h.k .n f 2 , g1 h.k .n g2   thì  f1  g1 h.k .n f 2  g2 . Tương tự, ta 
định nghĩa phép nhân trong  L0  bằng cách đặt  f •  g •  ( f  g )•  với tất cả  f , g L0 .   
(b) Với mọi  u, v, w  L0  và  c  ,  dễ dàng kiểm tra  
u  ( v  w)  (u  v )  w,  

u  1•  1•  u  u,  trong đó  1  là hàm hằng nhận giá trị 1, 
c (u  v )  cu  v  u  cv ,  
u  ( v  w)  (u  v )  (u  w ),  

(u  v )  w  (u  w)  (v  w),  

u  v  v  u,  
| u  v || u |  | v |,  

u  v  0  nếu và chỉ nếu  | u |  | v | 0,  
•

| u || v |  nếu và chỉ nếu có một  w  sao cho  | w | 1 và  u  v  w.  

18


2.1.8 Hoạt động của các hàm Borel trên
        Giả sử  ( X ,  ,  )  là một khơng gian đo và  h :   là một hàm Borel đo được. 
Khi đó  hf  L0  L0 ( )  với mọi  f L0  và  hf h.k .n hg  nếu  f h.k .n g . Vì vậy, ta có 
một hàm  h : L0  L0  được xác định bằng cách đặt  h ( f • )  (hf )•  với mỗi  f L0 .   
        Ví dụ, nếu  u  L0  và  p  1 , ta xét  | u | p  h (u)  trong đó  h( x) | x | p   với  x .    
2.1.9 Không gian

phức

        Giả sử  ( X ,  ,  )  là một không gian đo.  
(a) Viết  L0  L0 ( )  cho khơng gian của các hàm nhận giá trị phức  f  thỏa mãn
 dom f  là một tập con có phần bù bỏ qua được của X và có một tập con có phần bù 
bỏ qua được  E  X  thỏa mãn  f

E

  là đo được; nghĩa là, Im f và Re f  cùng thuộc 

L0 () . Tiếp theo,  L0  L0 (  )  sẽ là không gian gồm các lớp tương đương trong  L0  
dưới quan hệ tương đương “  h.k .n  “. 

(b) Tương tự 2.1.4, dễ dàng mơ tả phép cộng và phép nhân vơ hướng trong  L0 . 
Cùng với hai phép tốn đó,  L0  là một khơng gian tuyến tính trên  .  Chúng khơng 
có cấu trúc thứ tự, nhưng chúng ta có thể xác định một `phần thực', là  
{ f • : f  L0  là thực hầu khắp nơi}, 

hiển nhiên xác định được  khơng gian tuyến tính thực  L0 , và các ánh xạ tương ứng 
0
0
u  Re(u ) ,  u  Im(u) : L  L   sao cho  u  Re(u )  iIm (u )  với mỗi u, Re(u)là phần 
thực của u, Im(u) là phần ảo của u. 
     Hơn nữa, chúng ta có một ký hiệu của `trị tuyệt đối', viết là  
| f • || f |•  với mỗi  f  L0 ,  

thỏa mãn  | cu || c || u |,| u  v || u |  | v |  với  u, v  L0  và  c  . 
        Hiển nhiên, ta vẫn cịn một phép nhân trong  L0 thỏa mãn tất cả các cơng thức 
trong 2.1.7.  

(c) Với bất kỳ  u  L0 ,  u là cận trên đúng trong  L0  của  { Re ( u ) :   ,|  | 1}.  
Thật vậy, nếu  |  |  1 , thì  Re ( u )  |  u | | u |  vì  | u |  là một cận trên của 
{ Re ( u ) :|  | 1} . Hơn nữa, nếu  v  L0  và  Re ( u )  v  với  |  | 1 , ta biểu diễn u,
v là  f • , g •  trong đó  f : X   và  g : X   là đo được. Với mỗi  q  , x  X  
đặt  fq ( x)  Re(eiqx f ( x)).   Khi đó  fq a.e g.  Tương tự  H  {x : f q ( x)  g ( x)  với mỗi 
q  }  là  có phần bù bỏ qua được. Dĩ nhiên  H  { x :| f ( x ) |  g ( x )},  do đó 
| f |
g  và  | u |  v.   Vì v bất kỳ,  | u | là cận trên nhỏ nhất của  { Re( u ) :|  | 1} .  
h. k . n

19