Bài giảng Bài tập sáng ngày 14 tháng 01 năm 2011

Bài tập ngày 14 tháng 01 năm 2011
Bài 1
1.1Giải phơng trình :

+ = +
x 4 x 3 x 2 x 1
2006 2007 2008 2009
.
1.2 Cho P = n
4
+ 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.
1.3 Chứng minh A = n
3
- 3n
2
- n + 3 chia hết cho 48 với n là số nguyên lẻ.
Bài 2
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài tại A (R>R). Vẽ dây
AM của đờng tròn (O) và dây AN của đờng tròn (O) sao cho AM và AN vuông
góc với nhau.
a) Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Xác định vị trí của M và N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
Bài 3
Cho a, b, c là ba số thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3

+ b
3
+ c
3
= 1. Hãy tính giá trị
của biểu thức:
N = a
2006
+ b
2007
+ c
2008
.
Đáp án
Bài
ý
Nội dung
a
(1đ)


+ = +
x 4 x 3 x 2 x 1
2006 2007 2008 2009




+ = +
x 4 x 3 x 2 x 1

1 1 1 1
2006 2007 2008 2009



+ = +
x 2010 x 2010 x 2010 x 2010
2006 2007 2008 2009


+ =
ữ

1 1 1 1
(x 2010) 0
2006 2007 2008 2009

x - 2010 = 0 ( vì
+
1 1 1 1
0)
2006 2007 2008 2009

x = 2010 . Vậy phơng trình có nghiệm x = 2010.
b
P = n
4
+ 4 = n
4
+ 4n

2
+ 4 - 4n
2
= (n
2
+ 2)
2

- (2n)
2

= (n
2
- 2n + 2)(n
2
+ 2n + 2) = [(n - 1)
2
+ 1][(n+1)
2
+ 1].
Vì n là số tự nhiên nên (n+1)
2
+ 1

2; Nh
vậy muốn P là số nguyên tố thì phải có (n - 1)
2
+ 1 = 1 hay (n -
1)
2

= 0, suy ra n = 1.
Khi đó P = 5 là số nguyên tố.
c A = n
3
- 3n
2
- n + 3 =n
2
(n - 3) - (n - 3) = (n - 3)(n - 1)(n +1)
0,25
Thay n = 2k + 1 ( k là số nguyên) ta đợc :
A = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k +1)
0,25
Ta thấy (k - 1)k(k + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên
chia hết cho 6
Vậy A chia hết cho 48
Bài 2 a Chứng minh OM//ON
Suy ra đợc
' ' 'O I O N R
IO OM R
= =

Lí luận để chỉ ra I cố định
b Kẻ OK vuông góc với AM
OH vuông góc với AN.
Suy ra góc OAK bằng góc AOH (kí hiệu là

)
S
AMN

=
1
2
AM.AN=2AK.AH=RR.2sin

.cos

(0,5 đ)
áp dụng BĐT 2ab

a
2
+b
2
ta đợc:
2sin

.cos


sin
2

+cos
2

=1. Vậy S
AMN

RR
(0,5 đ)
Đẳng thức xảy ra <=> sin

=cos

<=>

=45
0
<=> OM và
ON vuông góc với OO. Vậy Max S
AMN
=RR <=> OM và
ON vuông góc với OO.
(0,5 đ)
H
K
A
I
N
M
O'O
Bµi 3 a
2
+ b
2
+ c
2
= a

3
+ b
3
+ c
3
= 1
Tõ a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 =>
1, 1, 1a b c≤ ≤ ≤
.
Ta cã: a
2
+ b
2
+ c
2
- (a
3
+ b
3
+ c
3
)

= 0

⇔
a
2
(1 - a) + b
2
(1 - b) + c
2
(1 - c) = 0 (1).
V× a
≤
1 => 1 - a
≥
0, do ®ã a
2
(1 - a)
≥
0. T¬ng tù ta cã:
b
2
(1 - b)
≥
0, c
2
(1 - c)
≥
0.
Nªn (1)
2
2
2

(1 ) 0
(1 ) 0
(1 ) 0
a a
b b
c c

− =

⇔ − =


− =

KÕt hîp víi ®Çu bµi a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 ta ®îc a, b, c
{ }
0;1∈
trong
®ã cã hai sè b»ng 0 vµ mét sè b»ng 1. VËy N = a
2006
+ b
2007
+
c

2008
= 1.