sở giáo dục đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 sở giáo dục đào tạo quảng nam kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs năm học 2008 – 2009 môn thi toán thời gian 150 phút không kể thời gian giao

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO</b>

<b>QUẢNG NAM</b>

<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS</b>

<b>NĂM HỌC 2008 – 2009</b>

Môn thi

<b>: </b>

<b> </b>

<b>TOÁN</b>

<b> Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)</b>

<i><b> Ngày thi : 03/4/2009</b></i>

<i><b>Bài 1 (5,0 điểm).</b></i>

a) Rút gọn biểu thức:

3 2 3 2 3 3 3 3

3 2 3 2 3 2 3 2 3

2

2

4

2

2

:

4

4

16

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

<i>ab</i>

<i>a a b</i>

<i>b b a a</i>

<i>b</i>

<i>A</i>

<i>a b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>ab</i>



_

_



_

_

_











_

_

_



_





b) Giải phương trình:









3 2

_{1 2}

₄

₂

₄

₀

<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>



<i>x</i>

<i>x</i>







<i><b>Bài 2 (5,0 điểm).</b></i>

a) Cho phương trình bậc hai: x

2

_{– (k+1)x + k = 0 (kR) có hai nghiệm là}

x

1

, x

2

. Đặt M = (x

12

x

2

+ x

22

x

1

– 2x

1

x

2

)(x

12

+ x

22

– x

1

x

2

– 2).

Tìm k để biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Chứng minh rằng:

n

2

_{+ 11n + 32 không chia hết cho 49, với n là số tự nhiên.}

<i><b>Bài 3 (4,0 điểm).</b></i>

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

1

1

1

1

2

3

<i>x</i>



<i>y</i>



<i>z</i>



b) Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b =

2 2

Chứng minh rằng:

2 2

1

2

1

<i>ab</i>



<i>a</i>



<i>b</i>



<i><b>Bài 4 (6,0 điểm).</b></i>

a. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =3a, AC= 4a, đường cao AH.

Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho

IB 1

IA 2

_{. Đường thẳng CI cắt AH tại E. Tính}

độ dài đoạn thẳng CE.

b. Cho tam giác ABC với điểm I là tâm đường tròn nội tiếp, điểm O là

tâm đường tròn ngoại tiếp sao cho góc AIO bằng 90

o

_{. Gọi G là trọng tâm của}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i> =====Hết=====</i>

<b>SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO</b>

<b>QUẢNG NAM</b>

<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS</b>

<b>NĂM HỌC 2008 – 2009</b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 9 THCS</b>

<b>Bài 1.</b> <b>5.0</b>

<b>a)</b> <b>2.0</b>



 























3 3

3 3 3 3 3

1 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

2 2 2

2 2 . 2 2

<i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>A</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i>

 

 

  

3 2 3 3 2 3

3 3 3 3

2 4 2

2 2

<i>a</i> <i>ab</i> <i>b</i> <i>ab</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

 

 

 



3 3



2

3 3
3 3
2
2
2
<i>a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>b</i>

  










3 3
3 3
2
2
2

<i>a a b</i> <i>b a b</i>

<i>A</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a b</i>

  

  



A = A1 : A2<b> = 1</b>

0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
<b>b)</b> <b>3.0</b>

+Phương trình đã cho tương đương với









2 ₄ ₂ 2 ₄ 2 _{4 0}

<i>x x</i>   <i>x x</i>  <i>x</i>  



















2

2 ₄ ₂ ₁ ₀ 2 ₄ ₁ ₀

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>   <i>x</i>  <i>x</i> 

(*)
+ ĐK: x  0

+





2
2
4
(*)
1 0
<i>x</i>
<i>x</i>
 


 _ _


 x =  2 hoặc x = 1

+ So sánh ĐK trên, phương trình đã cho có nghiệm là: x = 2, x = 1

0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5

<b>Bài 2.</b> <b>5.0</b>

<b>a)</b> <b>3.0</b>

+  = (k -1)2 _{ 0, kR. Suy ra pt đã cho có 2 nghiệm x}

1, x2 với kR.

+









2

1 2 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2

<i>M</i> __<i>x x x</i> _<i>x</i> _ <i>x x</i> _ <i>x</i> _<i>x</i> _ <i>x x</i> _ 

 _{ } _









2

1 2 1 3 2

<i>k k</i> <i>k</i>  <i>k</i> <i>k</i> 

_   _{ }   





 

 

 







2
2

2 2 ₁ 2 2 2 1 1

2 4

<i>k</i> <i>k k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>  <i>k</i> <i>k</i> 

        _   _ 
 
+
1
,
4

<i>M</i>    <i>k</i>
.
+Đẳng thức xảy ra 

1 3
2

<i>k</i>  

.
Vậy biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất khi

1 3
2

<i>k</i> 

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
<b>b)</b> <b>2.0</b>

+ A = n2_{+ 11n + 32 = n}2_{+ 11n + 18 + 14 = (n+2)(n+9) + 14}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>+ Nếu (n+2) và (n+9) cùng chia hết cho 7 thì (n+2)(n+9)</i>_{49 mà 14 không chia hết cho 49. Suy}
ra A không chia hết cho 49 (1)

<i>+ Nếu (n+2) và (n+9) không cùng chia hết cho 7 thì (n+2)(n+9) khơng chia hết cho 7 mà 14 chia</i>
hết cho 7. Suy ra A không chia hết cho 49 (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra A không chia hết cho 49 (đpcm)

0.5
0.5

<b>Bài 3.</b> <b>4.0</b>

<b>a)</b> <b>2.0</b>

+ Đặt u = 2y, v = 3z (u là bội số của 2 và v là bội số của 3) (*)
+Pt đã cho trở thành:

1 1 1
1

<i>x u v</i>   ₍₁₎

+Do vai trị của x, u, v trong pt (1) là bình đẳng, nên ta xét : 0 < x  u  v

Ta có:





1 1 1 3

1 0 <i>x</i> 3 <i>x</i> 1, 2, 3

<i>x u v</i> <i>x</i>

        

+Với x = 1:

1 1
0

<i>u v</i>  _{(vô lý)}

+Với x = 2 :





1 1 1 2

4 2,3, 4

2 <i>u</i> <i>u</i>

<i>u v</i>   <i>u</i>   
- Với u = 2:

1
0

<i>v</i>  _{(vơ lí)}

- Với u =3:

1 1 1

6
3<i>v</i> 2 <i>v</i> _.

- Với u = 4:

1 1 1

4
4<i>v</i>  2 <i>v</i> _.

+Với x = 3:

1 1 2 2

3 3 3

3 <i>u</i> <i>u</i> <i>v</i>

<i>u v</i>   <i>u</i>      _.

+Nghiệm (x, u, v) của pt (1) là hoán vị của mỗi nghiệm sau (2; 3; 6), (2; 4; 4) và (3; 3; 3) .
Suy ra các nghiệm (x, u, v) thỏa mãn (*) là (2; 6; 3), (3; 2; 6), (6; 2; 3)

Vậy các nghiệm nguyên dương (x; y; z) cần tìm là (2; 3; 1), (3; 1; 2), (6; 1; 1)

0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

<b>b)</b> <b>2.0</b>

+ Ta có: (x + y)2 _{ 4xy , x,yR }

1 1 4

<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i> _{, x,yR}+_(*)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.

+ Áp dụng BĐT (*), ta có:

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 4

2 2

2 2

<i>ab a</i> <i>b</i> <i>ab a</i> <i>b</i> <i>ab a</i> <i>b</i>

 

  _  _

     





2

_

_

2

2 2

1 2 8 8

1
2 2

<i>ab a</i> <i>b</i> <i>_{a b}</i>

    

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2ab = a2_{+ b}2_{ a = b =} 2

0.5

0.75
0.5
0.25

<b>Bài 4.</b> <b>6.0</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>K</b>
<b>E</b>

<b>I</b>
<b>H</b>

<b>B</b>
<b>C</b>

<b>A</b>

+ BC= AB2AC2 <i>5a</i>

2

CA 16
CH=

BC 5

<i>a</i>



2

AB 9
BH=

BC 5

<i>a</i>



+ Vẽ IK // AH , K thuộc cạnh CB

Trong BHA có IK//AH, áp dụng định lý Talet, ta có:

BK BI 1

BH BA3_{ BK =}

3
5

<i>a</i>

và HK =

6
5

<i>a</i>

+ Trong CIK có EH//IK, áp dụng định lý Talet, ta có:

CE CH

CI CK _{, CI =2a} 5

Vậy

16 5
CE=

11

<i>a</i>

0.25
0.5
0.5

0.75
0.5
0.5

<b>b)</b> <b>3.0</b>

+Đường thẳng AI cắt BC và đường tròn (O) lần lượt
tại D, E. Đường thẳng AG cắt cạnh BC của tam giác
ABC tại trung điểm M.

+C/m được

AI AB

ID BD_{(vì AI là đường phân giác của}

BAD) (1)
+ C/m được BAE DBE



AB AE

BDBE₍₂₎

+C/m EBI cân tại E:

Ta có : BIE=IAB+ABI
IAB=CAE=CBE

ABI =IBD (vì I là tâm đtrịn nt)
 BIE = IBD + DBE = IBE

 EBI cân tại E.

 BE = IE (3)
+ Từ (2) và (3) suy ra:

AB AE AE
2

BDBE IE  _{( vì AIO = 90}o_{ IA = IE) (4)}
+ Từ (1) và (4) suy ra:

AI
2

ID  ₍₅₎

+ Mặt khác: G là trọng tâm ABC nên

AG
2

GM ₍₆₎

+Từ (5) và (6), theo định lý Talet ta có IG //DM. Vậy IG // BC (đpcm)

0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

<b>D</b>

<b>E</b>
<b>G</b>

<b>M</b>
<b>I</b>

<b>O</b>
<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5></div>

<!--links-->