Gián án Chùm mặt phẳng

TRƯỜNG
TRƯỜNG
PTTH
PTTH
VÕ THỊ SÁU
VÕ THỊ SÁU


MÔN : TOÁN
MÔN : TOÁN
GIÁO VIÊN THỰC HIỆN :
GIÁO VIÊN THỰC HIỆN :
TR N M NH QU NHẦ Ạ Ỳ
TR N M NH QU NHẦ Ạ Ỳ


1/ Đònh nghóa :
Cho 2 mặt phẳng (α
1
) ; (α
2
) cắt nhau theo
giao tuyến d. Tập hợp các mặt phẳng (α )
qua giao tuyến d của (α
1
) va ø(α
2

)
gọi là một chùm mặt phẳng xác đònh bởi 2
mp (α
1
) và (α
2
)
α
1
α
d
2
α

2 / Đònh lý và các chú ý quan trọng :
a/ Đònh lý :Trong kg oxyz Cho 2 mp
(α
1
) : A
1
x + B
1
y +C
1
z +D
1
= 0
(α
2
): A

2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 cắt nhau theogiaotuyếnd.
Mọi mp (α) qua giao tuyến d đều có phương trình :
μ (A
1
x+B
1
y+C
1
z +D
1
) + λ (A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
)= 0 (1)
Với μ
2
+ λ
2

≠ 0
1
n
uur
α
1
α
2
n
uur
n
r
I
d
M
2
α

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 2 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1
2 0 2 0 2 0 2
1 1 0 1 0 1 0
2 2 0 2 0 2 0
0
0
= α ∩ α


+ + + =


+ + + =



= − + +

⇔ ∗

= − + +


gTrên d lấy I x ;y ;z
A x B y C z D
Tacó :
A x B y C z D
D A x B y C z
D A x B y C z
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )

( )
0 0 0
0 1 2 0 1 2
0 1 2
1 1 1 1 0 1 0 1 0
2 2 2 2 0 2 0 2 0
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
0
0
∈ α
⇔ = = − − −
⇔ − µ + λ + − µ + λ
+ − µ + λ =
 
⇔µ + + − + + +
 
 
λ + + − + + =
 
⇔ µ + + + +
λ + + + = ∗
g
uuur r uuur
GọiM x;y;z ; M
IM.n IM x x ;y y ;z z
x x A A y y B B
z z C C

A x B y C z A x B y C z
A x B y C z A x B y C z
A x B y C z D
A x B y C z D do
Vậytacóđiều phải chứngmin h
1
n
uur
α
1
α
2
n
uur
n
r
I
d
M
2
α
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 2
2 2

1 2
1 2 1 2 1 2
1
0
α =
α =
α
⊥
⇔ =µ +λ µ + λ ≠
⇔ = µ +λ µ +λ µ +λ
uur
g
uur
v
r uur uur
r uur uur
ur
CM
có pvt n A ;B ;C
có pvt n A ;B ;C
Gọin là pvt củamp bất kỳquad
tacó n;n ;n đồngphẳng (vìcùng d)
n n n
n A A ; B B ; C C

b/Chú ý:
μ (A
1
x+B
1

y+C
1
z +D
1
) + λ (A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
)= 0 (1) Với μ
2
+ λ
2
≠ 0
* (1) được gọi là pt chùm mp xác đònh bởi 2 mp (α
1
) ; (α
2
)
* (1) biểu thò cho mọi mp (α) qua d kể cả (α
1
) và (α
2
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
2
1
1
2
0 0
0 0
0 0
Nếu thì ,tacó
Nếu thì , tacó
khôngtrùng
Nếu và , tacó
không trùng
µ = λ ≠ α ≡ α
λ = µ ≠ α ≡ α

α α

µ ≠ λ ≠

α α


g
g
g
( )
( )
( ) ( ) ( )
1

0
1
2
0 2
1 1 1 1 2 2 2 2
*Khi : đặt: m , Viết dưới dạng:
là pt mọi mp qua d và khác
m A x B y C z D A x B y C z D
với m


λ ≠
µ

=

µ ∈
λ


α

 ÷
 
α
+ + + + + + + =
∈
¡
¡

3 / Các ví dụ
Ví dụ 1 :
Cho 3 mp
(α
1
) : x + 3y – z + 2 = 0
(α
2
) : 2x – y + z + 1 = 0
(α
3
) : -2x + 2y + 3z + 3 = 0
a/ CMR (α
1
) cắt (α
2
) theo một giao tuyến d
b/ Viết pt mp ( α) qua giao tuyến d và (α) qua
M
0
(1,2,1)
c/ Viết pt mp ( β) qua d và vuông góc (α
3
)

( ) ( )
1 2
1 3
1 3 1 2 1 1
2 1

a)Tacoù : : : : :
caét theogiaotuyeánd
≠ ⇒ − ≠ −
−
⇒ α α
( )
( )
1
2
1 3 2 0
2 1 0
GIAÛI :
a/ CMR: :x y z
: x y z caét nhau theo giao tuyeán d
α + − + =
α − + + =