Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học: Khối lượng tới hạn của sao Lùn trắng và sao Neutron

Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM

KHỐI LƯỢNG TỚI HẠN CỦA SAO LÙN TRẮNG
VÀ SAO NEUTRON.
Mã số: CS2002.23.12

Lê Nam - Khoa Vật Lý
5.2002 - 5.2003

I.

Báo cáo tóm tắt .......................................................................................................... 2

II.

Báo cáo tổng kết........................................................................................................ 5

III. Tài liệu tham khảo ................................................................................................... 21

1


I.

BÁO CÁO TÓM TẮT

1. Đặt vấn đề:
Vật lý lỗ đen là một vấn đề rất rộng lớn , trong đó có việc nghiên cứu sự tồn tại của lỗ đen
dưới con mắt của nhà vật lý thiên văn. Để chứng minh rằng trong vũ trụ có tồn tại lỗ đen thì

ta phải nghiên cứu kỹ q trình tiến hóa của các sao có khối lượng lớn. Nếu ta chứng minh
được có một loại sao mà sau khi đốt hết nhiên liệu nhiệt hạch sẽ co lại mãi do lực hấp dẫn
của chính mình thì việc lỗ đen tồn tại là điều có thể.
Trong các giáo trình thiên văn học, ta luôn gặp khái niệm khối lượng tới hạn Chandrasekhar.
Rất tiếc trong các giáo trình đã có tại Việt Nam khơng hề đề cập tới cách chứng minh chi tiết
sự tồn tại của khối lượng Chandrasekhar. Vấn đề chứng minh chi tiết là cần thiết và cấp bách
cho cả giáo viên lẫn sinh viên khi nghiên cứu về vật lý thiên văn.
Trong tương lai có thể Khoa Vật lý sẽ mở chuyên đề cao học vật lý thiên văn. Như vậy phải
chuẩn bị trước các giáo trình nâng cao và việc nghiên cứu sự tiến hóa của các sao là điều bắt
buộc.
Từ ba nhu cầu trên, tác giả đã chọn đề tài: "Khối lượngtới hạn của sao lùn trắng và sao
neutron ".

2. Kết quả đạt được:
A. Để thực hiện tốt nhiệm vụ đặt ra tác giả phải giải quyết những vấn đề sau:
-

Những kiến thức về vật lý thống kê và thuyết tương đối liên quan đến hệ
khí điện tử suy biến.
Q trình cân bằng hấp dẫn của hệ khí.
Tìm ra biểu thức để tính khối lượng tới hạn của sao lùn trắng.
Thuyết tương đối rộng và nghiệm Schwarzschild cho không thời gian
trong ngơi sao - nghiệm này cịn có tên là nghiệm Schwarschild nội.
Xây dựng mơ hình sao sao cho đủ đơn giản để có thể tính được khối
lượng tới hạn của sao neutron mà không quá khác xa so với thực tế.
Tìm những kết quả mới nhất để đối chiếu với kết quả tính tốn của tác
giả.

2

B. Sau đây là những kết quả đạt được theo nội dung đã thuyết minh đăng ký:
Dựa vào lập luận của Chandrasekhar và Fowler tác giả đã tìm ra biểu thức tính áp suất của hệ
khí điện tử siêu tương đối tính.

Sau đó tìm ra phương trình cân bằng hấp dẫn rồi ghép với biểu thức tính áp
suất của hệ khí điện tử siêu tương đối tính.
Kết quả trên dẫn tới phương trình Lane - Emdem

Với các số liệu hiện nay tác giả đã tìm được khối lượng tới hạn cho sao lùn trắng , mà nhờ
cơng trình này, Chandrasekhar và Fowler đã nhận được giải Noel Vật lý năm 1983.

Tiếp theo tác giả tìm nghiệm Schwarschild nội cho khơng thời gian trong ngơi sao. Từ đây
tìm tiếp phương trình cân bằng thủy tĩnh do Oppenheimer - Volkoff tìm ra lần đầu tiên vào
năm 1939.

Sau đó, xây dựng mơ hình sao đủ đơn giản để cho ta biết giới hạn cực đại của các sao và kết
quả ta được biểu thức:

3


Vấn đề đặt ra ở đây là tìm cho được giá trị 𝜌 đúng với thực tế. Sự phát của lý thuyết cũng như
thực nghiệm của vật lý hạt nhân tại mật độ cực cao sẽ cho câu trả lời đúng. Rất tiếc là sự hiểu
biết về hệ khí neutron suy biến tạm dừng lại ở giá trị 10.1014g.cm-3.
Từ đây ta tính được

MMax≃ 3,5MSUN - 5,3 MSUN

3. Kết luận.

A. Theo Oppenheimer - Volkoff thì khối lượng tới hạn của sao neutron vào khoảng 0,7 MSUN.
Harrison - Wheeter cho ra kết quả từ 1,6-2 MSUN.
Pandharipande - Smith sau khi sử dụng hai phương pháp khác nhau để
tính cho ra kết quả từ 2-2,7 MSUN .
Gần đây Rhoades - Ruffini theo một phương pháp khác đã cho ra kết quả là khối lượng tới
hạn của sao neutron không thể vượt quá 3,2 MSUN . Theo Inverno khối lượng tới hạn của sao
neutron không thể vượt quá 5 lần khối lượng mặt trời. Trong cuốn sách Vật Lý Các Sao in
năm 1999 tác giả Phillips cũng đưa ra kết quả tương tự.
Như vậy ta có thể suy ra giá trị chính xác của khối lượng tới hạn cho sao neutron sẽ nằm
trong khoảng 3 tới 5 lần khối lượng mặt trời. Tóm lại, sau khi đốt hết nhiên liệu nhiệt hạch ,
nếu lõi sao có khối lượng lớn hơn 5 lần khối lượng mặt trời thì nó sẽ co lại mãi và sẽ trở
thành lỗ đen, một vật thể kỳ lạ của tự nhiên đang được rất nhiều nhà vật lý lý thuyết và thiên
văn nghiên cứu.

B. Từ đề tài trên, ta nhận thấy vẫn còn rất nhiều vấn đề chưa được giải quyết tận gốc như: Sự có
mặt của hạt quark tại mật độ cực cao. Do ta chưa phát hiện ra hạt quark tại trạng thái tự do
nên rất có thể sự tương tác của hệ quark sẽ gần giống như hệ khí Fermi lý tưởng tương đối
tính (Collins -Perry) và điều này sẽ ảnh hưởng tới phương trình trạng thái như thế nào ta vẫn
chưa biết được rõ.

Sự tương tác của các nucleons tại mật độ cao hơn 10.1014 g.cm-3 cho đến nay vẫn còn nhiều điều
chưa rõ ràng. Tuy nhiên Hagedon đã mạnh dạn tính tốn cho khối lượng cực đại của sao neutron
và kết quả thật bất ngờ. Nó vào khoảng 0,7 MSUN - Một kết quả thấp hơn nhiều so với kết quả
quan sát. Một vấn đề khác chưa được giải quyết tận gốc, đó là vấn đề ngưng tụ pion. Từ phản
ứng
n→p + π-

4

ta thấy sẽ có nhiều hạt pions xuất hiện tại một độ cực cao. Do hạt pions có spin=0 nên rất có
thể có hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein (Bose-Einstein condensation) và ảnh hưởng của nó
lên khối lượng tới hạn vẫn chưa có lời giải đáp.

II.

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI.

Để tiện việc theo dõi và sử dụng sau này, đề tài chia làm hai phần - Phần đầu sẽ là cơ sở lý
thuyết và những tính tốn cụ thể để tìm ra khối lượng cho sao lùn trắng về phương hướng giải
quyết, tác giả tuân theo phương hướng do Chandrasekhar vạch ra. Tuy nhiên, việc tính tốn
áp suất của khí điện tử suy biến sẽ dựa trên cách tính trong các tài liệu về vật lý thống kê hiện
nay. Lý do là để sinh viên và giáo viên tiện theo dõi.
Phần hai là tính khối lượng tới hạn cho sao neutron theo phương pháp Oppenheimer-Volkoff
nhưng số liệu cho mật độ khối lượng được lấy theo Shapiro-Teukolsky. Kết quả của tác giả
sẽ khác xa so với Oppenheimer-Volkoff nhưng lại phù hợp với những số liệu gần đây nhất do
Phillips đưa ra vào năm 1999.

5


A. KHỐI LƯỢNG TỚI HẠN CỦA SAO LÙN TRẮNG

Số phận cuối cùng của một ngôi sao phụ thuộc chủ yếu vào khối lượng chứa trong lõi khi
phản ứng nhiệt hạch khơng cịn duy trì áp suất cần thiết để cân bằng với lực hấp dẫn. Tại
trạng thái này ngôi sao phải dựa vào áp suất không bắt nguồn từ phản ứng nhiệt hạch để
chống đỡ với lực hấp dẫn của chính mình. Áp suất này gọi là áp suất khí điện tử suy biến.
Tuy nhiên sự cân bằng thủy tĩnh sẽ trở nên không ổn định nếu lực hấp dẫn được chống đỡ
bởi áp suất của hạt siêu tương đối tính. Ngun lý chung đó đã áp đặt giới hạn cực đại
cho khối lượng của hệ khí điện tử suy biến.

Ta sẽ chứng minh rằng khi khối lượng của lõi ngôi sao vượt qua một giá trị tới hạn nào đó
thì khí điện tử suy biến sẽ khơng có khả năng giữ cho ngôi sao nằm tại trạng thái cân
bằng thủy tĩnh. Giá trị khối lượng tới hạn đó gọi là khối lượng Chandrasekhar và bằng 1,4
khối lượng mặt trời.
Vậy số phận tiến hóa của ngơi sao phụ thuộc chủ yếu vào việc khối lượng lõi của nó
lớn hơn hoặc nhỏ hơn khối lượng Chandrasekhar. Những ngơi sao có khối lượng lõi nhỏ hơn
1,4 khối lượng mặt trời sẽ giữ được trạng thái ổn định nhờ áp suất của khí điện tử suy biến.
Sau khi bị mất lớp khí lỗng bên ngồi nó sẽ biến thành sao lùn trắng - White Dwarf - một
vật thể nén đặc - Compact Object - có bán kính cỡ 106 - l07 m với mật độ trung bình cỡ 106
g.cm-3. Nó sẽ lạnh dần và trở thành sao lùn đen, vừa tối tăm, vừa lạnh lẽo. Với những ngơi
sao có khối lượng lớn hơn 1,4 khối lượng mặt trời sẽ tiến hóa theo con đường khác mà ta sẽ
đề cập trong bài báo kỳ sau.

1. Áp suất của hệ khí điện tử suy biến:
Từ phương trình cơ bản của nhiệt động lực ta thấy nếu q trình thay đổi thể tích của
hệ khí mà vẫn giữ nguyên số hạt và giữ nguyên entropy thì:

Do đó ta có cơng thức liên hệ:

nên cơng thức (1) có dạng:

6


Ta áp dụng (2) cho hệ khí điện tử suy biến. Khi đó ta có:
v=

𝑝𝑐 2
𝐸𝑃

Hàm phân bố Fermi_Dirac

f(EP ) =

1
0

𝐸𝑃 ≤ 𝐸𝐹
𝐸𝑃 > 𝐸𝐹

EP: năng lượng của điện tử có động lượng p
𝐸𝑃2 =(pc)2 +(mc2)2
EF: mức fermi của hệ khí điện tử suy biến
v: tốc độ của điện tử có động lượng p
𝑉

g(p)dp = 2ℎ 3 4𝜋𝑝2 𝑑𝑝
Sau khi thay cac biểu thức trên vao (2) ta được:

Đặt biến số mới:
𝑝

𝑥= 𝑚𝑐
rồi lại thay vào (3) ta được:

Do hệ của ta là hệ khí điện tử suy biến nên các điện tử sẽ lấp đầy từ mức thấp nhất đến mức
cao nhất nên số điện tử trong hệ sẽ là:

Ta cóhai trường hợp cho khí điện tử suy biến:
a. Khi pF<< mc ⇒ x <<1 Các điện tử không tương đối tính

b. Khi pF>> mc ⇒ x >>1 Các điện tử làsiêu tương đối tính
Nếu hệ khí của ta có khối lượng tăng dần thì ta có q trình sau:
7


Hệ khí cổ điển → bị co lại do hấp dẫn của chính mình nên mật độ tăng lên hệ khí khơng
tương đối tính → tiếp tục co lại làm mật độ tăng lên nữa → chuyển sang hệ khí lượng tử siêu
tương đối tính → sẽ tiếp tục co lại nếu áp suất của khí điện tử khơng cịn đủ sức chống đỡ với
lực hấp dẫn. Lúc này sẽ xuất hiện q trình vật lý mới và ta có hệ khí của các proton, neutron
và điện tử.
Ta chú ý trường hợp khí điện tử là siêu tương đối tính bởi đây là giới hạn trên của hệ khí
và nó quyết định giới hạn trên của áp suất suy biến.

Công thức (6) rất quan trọng. Nó cho ta biết áp suất khí điện tử siêu tương đối tính tăng
khơng nhanh trong khi mật độ tăng. Đây là điều quan trọng trong việc ổn định của sao lùn
trắng và cũng quyết định giới hạn trên của khối lượng sao. Mặc dù áp suất là do các điện tử
siêu tương đối tính đóng góp nhưng người ta thường biểu diễn nó thơng qua mật độ khối
lượng nghỉ của các ion trong lõi ngơi sao.

𝜌: mật độ khối lượng của hệ khí
ni: mật độ của ion thứ i
mi: khối lượng nghỉ của ion thứ i
Mật độ khối lượng của lõi sao được tính theo công thức:

n: mật độ Nucleons trong hệ
ne: mật độ điện tử trong hệ
μe: số trung bình các Nucleons trên một điện tử
Từ (9) ta tính ne thơng qua mật độ khối lượng của hệ

Thay (10) vào (6) ta được:

8


2. Phương trình cân bằng hấp dẫn (gravitational equilibrium)
Lực hấp dẫn là động lực chính cho sự tiến hóa của các ngơi sao. Nó nén vật chất lại và đưa
đến sự hình thành các sao. Ta chỉ chú ý tới sự phân bố có tính đối xứng cầu của vật chất và
tạm thời không chú ý tới chuyển động quay. Xét phần tử khối lượng có mặt cắt như hình vẽ.
Phần tử có diện tích mặt cắt vng góc với bằng một đơn vị. Ta có áp suất tại r là P. Áp suất
tại mặt ứng với r + dr là P + dP.

Sự thay đổi áp lực lúc này là do lực -dP tác dụng lên phần tử khối lượng ta đang xét theo
hướng tăng của r. (dấu trừ là do lực 𝑫𝑷 ngược vớichiều tăng của𝒓 ). Áp lực này sẽ được cân
bằng bởi lực hút hấp dẫn xuất phát từ khối lượng M(r) của khối cầu lên phần tử khối lượng
đang xét là 𝝆𝒅𝒓. Theo định luật Newton lực đó sẽ bằng:

Do hệ đang xét nằm tại trạng thái cân bằng nên

(12)

9


Ta có thể biến đổi (12) thành dạng rất gọn như sau:

Phương trình này có tên phương trình cơ bản của cân bằng hấp dẫn. Phương trình này liên
quan đến hai ẩn số là P và ρ. Ta có thể chuyển thành phương trình của một hàm chưa biết
bằng cách giả định rằng tồn tại mối liên quan không phức tạp giữa P và ρ và mối liên hệ này
đúng cho tồn bộ ngơi sao. Áp suất P do khí điện tử suy biến trong sao đóng góp và được tính
theo cơng thức (11)

P = K𝜌𝛾 = 𝐾𝑃 (𝑛+1)/𝑛
(14)
P: áp suất của khí điện tử suy biến trong sao
Ρ: mật độ khối lượng của sao
K: hằng số
𝛾: (n+1)/n
Nhiệm vụ của ta là ghép phương trình (13) và (14) lại với nhau. Ý nghĩa của việc ghép
hai phương trình này chính là điều mà Fowler và Chandrasekhar đã đề ra: Áp suất giữ cho
sao lùn trắng cân bằng với lực hấp dẫn của chính nó là do khí điện tử suy biến trong sao đóng
góp.

3. Tìm khối lượng tới hạn cho sao lùn trắng:
Ta đưa vào hàm số mới θ thỏa mãn biểu thức sau:

Phương trình (19) có tên phương trình Lane_Emdem chỉ số n với các điều kiện biên như
sau:Khi r = 0 ⟹ ξ = 0 ta có:

10


Năm 1907 Emdem đã giải (19) cho n = 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5
Năm 1908 G. Green đã giải phương trình trên cho n = 1,5; 2,5; 3.
Năm 1931 Sadler và Miller đã tính kỹ cho n = 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5
Sau đây là kết quả của các tác giả trên

Trong đó ξ1 là nghiệm của đa thức θ(ξ1) = 0
Để tìm khối lượng sao ta áp dụng cơng thức:

Khi ξ = ξ1 ta có θ(ξ1) = 0 nhưng mặt khác tại bề mặt sao ta có áp suất và mật độ đều bằng
zero. Vậy giá trị ξ1 ứng với bề mặt sao hay khi r = R . Do đó cận tích phân chỉ cần lấy từ 0

đến ξ1 mà thôi.
Khi phản ứng nhiệt hạch chấm dứt, nhiệt độ trong lõi ngôi sao giảm dần và nó sẽ co lại do lực
hấp dẫn của chính mình vì áp suất nhiệt động khơng đủ sức chống lại lực hấp dẫn. Lúc này áp
suất của khí điện tử suy biến sẽ phát huy vai trò của mình trong việc duy trì sự cân bằng với
lực hấp dẫn. Tuy vậy, nếu khối lượng của sao tăng sẽ làm lực hấp dẫn mạnh lên làm thể tích
sao nhỏ lại dẫn tới việc tăng mật độ khối lượng. Khí điện tử suy biến sẽ từ khơng tương đối
tính trở nên tương đối tính và trạng thái giới hạn sẽ là siêu tương đối tính. Trạng thái này xảy
ra khi x>>l hay
𝑃𝐹
≫ 1 ⟹ 𝑃𝐹 ≫ 𝑚𝑐
𝑚𝑐
m: khối lượng của điện tử
Trường hợp này ứng với γ = 4/3 hay ứng với n = 3. Với n = 3 phương trình Lane_Emdem cho
ta kết quả :

Thay vào (21) ta được

11


Nếu lõi sao chứa tồn Helium thì μe = 2. Ta có khối lượng tới hạn của sao
là:
Mtới hạn=Mchan = 1,43 MSUN
Nếu lõi sao chứa tồn là sắt thì μe= 2,17. Khối lượng tới hạn lúc này sẽ là:
Mtới hạn= Mchan = 1,4 MSUN
Khi khối lượng lõi sao đạt giá trị Chandrasekhar thì điện tử trở nên siêu tương đối tính,
mật độ sẽ đạt giá trị vơ cùng lớn cịn bán kính sẽ tiến về zero. Vậy những ngơi sao mà áp suất
của khí điện tử suy biến đóng vai trị chính trong việc duy trì sự cân bằng với lực hấp dẫn của
chính nó thì khối lượng của nó không thể vượt quá Mtới hạn
Chandrasekhar là người đầu tiên tìm ra khối lượng cực đại cho sao lùn trắng (ơng nhận

giải Nobel vật lý năm 1985 chính nhờ cơng trình này). Ơng nhấn mạnh tầm quan trọng của
phát hiện trên như sau:
Lịch sử cuộc sống của các ngôi sao có khối lượng nhỏ dứt khốt phải khác với lịch sử
cuộc sống của các ngơi sao có khối lượng lớn. Với các ngơi sao có khối lượng nhỏ thì trạng
thái cuối cùng trong suốt quá trình tồn tại của mình sẽ là sao lùn trắng. Với các ngơi sao có
khối lượng lớn (M>Mchan)sẽ không thể trải qua trạng thái lùn trắng mà sẽ trải qua trạng thái
khác mà ta cần nghiên cứu thêm.
Sau này sự tính tốn lý thuyết cho thấy những trạng thái cuối cùng khác trong quá trình
tiến hóa của các ngơi sao có khối lượng lớn đó là sao Neutron và lỗ đen.

12


B. KHỐI LƯỢNG TỚI HẠN CỦA SAO NEUTRON
Những sao có khối lượng lớn hơn khối lượng Chandrasekhar vài lần sẽ tiến hóa theo
con đường khác với các sao có khối lượng nhỏ hơn khối lượng Chandrasekhar. Sau khi đốt
hết nhiên liệu nhiệt hạch sao sẽ co lại do lực hấp dẫn của chính mình. Do áp suất khí điện tử
suy biến siêu tương đối tính khơng chống đỡ được đối với lực hấp dẫn nên sao co lại cho tới
khi mật độ vật chất trong sao đạt giá trị có thể so sánh được với mật độ hạt nhân trong
nguyên tử. Tại trạng thái này áp suất của khí neutron suy biến và lực đẩy hạt nhân của các
neutron sẽ trở nên rất lớn và nó có xu hướng chặn đứng quá trình co lại của sao. Khi quá trình
trên xảy ra sẽ tạo nên sóng chấn động "shock wave" và sóng sẽ lan truyền từ lõi ra lớp vỏ
ngồi, tạo nên một vụ nổ khủng khiếp làm bắn tung lớp vỏ ngoài ra xa. Hiện tượng này gọi là
siêu tân tinh - Supernova. Do mất lớp vỏ ngoài nên sao chỉ còn lại phần lõi và nếu lõi sao có
khối lượng lớn hơn 1,4 khối lượng mặt trời thì nó sẽ tiến hoa thành sao neutron.
Một cách gần đúng, ta coi các neutron trong sao neutron đóng vai trị giống như điện
tử trong sao lùn trắng. Do các điện tử suy biến khơng có khả năng giữ cho sao lùn trắng ở
trạng thái cân bằng khi khối lượng sao lớn hơn khối lượng Chandrasekhar nên ta hy vọng một
hiện tượng tương tự sẽ xảy ra đối với các hạt neutron trong sao neutron. Các neutron suy biến
cũng sẽ không có khả năng giữ cho sao ở trạng thái cân bằng khi khối lượng sao lớn hơn một

giá trị tới hạn nào đó. Tuy vậy ta cần chú ý tới một số khác biệt sau :
- Tại mật độ rất cao ta phải tính đến sự tương tác giữa các hạt neutron.
- Trường hấp dẫn trong sao rất mạnh nên phải thay thế thuyết hấp dẫn Neutron bằng
thuyết hấp dẫn Einstein để mô tả sự cân bằng của hộ các neutron trong trường hấp dẫn.
- Mặc dù có sự khác nhau quan trọng trên nhưng nó khơng hề ảnh hưởng tới việc tồn
tại khối lượng tới hạn của sao neutron. Ảnh hưởng chính của sự khác biệt trên là ở chỗ nó
làm cho sự tính tốn khối lượng tới hạn trở nên vơ cùng khó khăn và vì vậy cho tới ngày nay
vẫn chưa tìm ra một giá trị chính xác cho khối lượng tới hạn.
Giá trị chính xác khối lượng cực đại của sao neutron đóng vai trị chủ đạo trong việc
tìm kiếm lỗ đen của các nhà thiên văn. Khối lượng của các thành viên trong hệ sao đơi có thể
được xác định nhờ vào sự quan sát chuyển động tương đối giữa chúng. Nếu một trong số hai
thành viên của hệ sao đôi là vật thể nén khơng nhìn thấy có khối lượng lớn hơn khối lượng
cực đại lý thuyết của sao neutron thì gần như chắc chắn nó là lỗ đen.

13


1 - Hệ khí neutron suy biến và khối lượng tới hạn của sao neutron
Lõi sao cịn sót lại sau vụ nổ Supernova sẽ tiếp tục co lại nếu khối lượng của nó lớn
hơn khối lượng Chandrasekhar. Lõi sao co lại làm mật độ tăng lên và khi mật độ đạt giá trị cỡ
l010 g.cm-3 thì phản ứng beta ngược sẽ xảy ra. (e- + p→ n + v). Kết quả này làm giảm mật độ
điện tử kéo theo sự giảm áp suất của khí điện tử suy biến làm sao tiếp tục co lại. Sự bức xạ
neutrino trên cũng sẽ làm nhiệt độ của lõi sao giảm từ 1011K xuống 109K. Đây là nhiệt độ rất
cao nhưng so với mật độ vật chất trong sao neutron thì đây lại là tiêu chuẩn "lạnh" cho hệ khí
neutron. Tính tốn cho thấy nhiệt độ Fermi của hệ cỡ 1013K trong khi nhiệt độ trong lõi sao
neutron cỡ l09 - 1010K. Khi mật độ đạt tới giá trị cỡ 4.l011 g.cm-3 thì hầu như các điện tử tự do
đều kết hợp với proton để cho ta neutron và neutrino. Khi mật độ khối lượng vượt qua giá trị
trên thì một hiện tượng mới xuất hiện gọi là giọt neutron - neutron drip - Đây là một hỗn hợp
gồm toàn neutron với một số ít điện tử và proton cùng tồn tại trong trạng thái cân bằng. Lúc
này phản ứng phân rã beta trừ n → p + e- + 𝒗bị cấm do hệ đang ở trạng thái cân bằng nên các

p và e- có trong hệ đã chiếm hết các trạng thái trống rồi, khơng cịn chỗ trống cho các hạt p và
e- mới tạo thành. Áp suất của hệ khí neutron suy biến sẽ phát huy tác dụng của mình và đóng
vai trị chính trong việc cân bằng với lực hấp dẫn. Do mọi q trình xảy ra trong sao neutron
hồn toàn tương tự như đã xảy ra trong sao lùn trắng nên kết quả tính tốn đều giống như đối
với hệ khí điện tử suy biến siêu tương đối tính. Điều khác biệt duy nhất là do ngay từ đầu ta
tính trực tiếp cho mật độ hạt neutron nên thay ne bằng n. Điều này có nghĩa μe = 1. Ta viết lại
kết quả quen thuộc:

Đây là giá trị của khối lượng tới hạn - khối lượng cực đại - của sao neutron khi ta bỏ qua sự
tương tác giữa các hạt nêu tron với nhau.
Tại mật độ cỡ l015g.cm-3 các neutron sẽ tương tác nhau cho ta các hạt pions, hyperons,
muons. Kết quả sẽ làm số hạt neutron giảm xuống kéo theo áp suất suy biến của hệ giảm (sự
đóng góp vào áp suất suy biến của các hạt mới tạo thành là rất nhỏ) Do áp suất suy biến giảm
kéo theo sự giảm khối lượng tới hạn. Tuy nhiên quá trình này hiện vẫn chưa được hiểu biết
tường tận vì sự tương tác giữa các nucleons vừa phức tạp vừa có tính bất định (Complicated
and uncertain).
Theo Bethe - Johnson thì Mmax= 1,9MSUN
Sau khi sử dụng hai phương pháp khác nhau đế tính, Pandharipandc - Smith cho ra hai kết
quả như sau:

14


(De Shalit and Feshbach : Theoretical Nuclear Physics - john Wiley - 1980) Tóm lại nếu ta
tính tới sự tương tác của neutron tại mật độ cỡ l015g.cm-3 thì khối lượng cực đại của sao
neutron sẽ không vượt quá 3 lần khối lượng mặt trời.
2- Nghiệm Schwarzschild nội và khối lượng tới hạn của sao neutron.
Theo truyền thống của vật lý lý thuyết ta sẽ xây dựng các mơ hình sao hay vũ trụ
từ dạng đơn giản nhất mà ta có thể tưởng tượng ra được. Sau đó ta sẽ từng bước
thêm vào từng ít một những địi hỏi của thực tế để liên kết mơ hình lý thuyết với

những hệ vật lý thuyết thật nhưng ít phức tạp nhất.
Ta xây dựng mơ hình sao tương đối tính như sau:
- Sao có tính đối xứng cầu, tĩnh và bỏ qua sự quay.
- Sao được cấu tạo bởi chất lưu lý tưởng - Perfect fluid. Điều này có nghĩakhơng có ứng
suất xoắn - ứng suất cắt - Shear stress.
Mơ hình trên được xét trong không - thời gian được mô tả bởi phương trình Einstein mà
nghiệm đơn giản nhất là nghiệm Schwarzschild. Do sao có tính đối xứng cầu nên ta chọn yếu
tố độ dài dưới dạng sau:

Do ta xét quá trình tĩnh nên Φ và Λ chỉ là hàm của r từ (1) ta tính được tenxơ Einstein

(Cách tính Gab được trình bầy chi tiết trong luận văn tốt nghiệp : nghiệm Schwarzschild gvhd: Lê Nam- SVTH : Nguyễn Nhị Hà)
Do vật chất trong sao được lý tưởng hóa thành chất lỏng lý tưởng nên ta có các thơng số sau:
𝜌 = 𝜌(r)- mật độ khối - năng lượng của chất lỏng tính trong hệ quy chiếu chuyển động cùng
với chất lỏng.
p = p(r) - áp suất đẳng hướng tính trong hệ quy chiếu trên

15


Tab = (ρ + p ) uaub + pgab - tenxơ năng - sức căng của chất lỏng
(Stress - energy tensor of fluid)
Để cho sao là tĩnh thì các phần tử của chất lỏng phải luôn đứng yên trong hệ quy
chiếu tĩnh. Nói cách khác là phần tử của chất lỏng phải chuyển động theo đường world-line
với r, θ, ϕ là const.
nghĩa là ur = uθ = uϕ = 0
Do 𝒖 . 𝒖 = gabuaub = -1 nên ta suy ra 𝒖𝒕 = 𝒆−𝚽
Vậy cấu trúc của sao được mô tả bởi 𝒆𝟐𝚽 , 𝒆𝟐𝚲 , ρ , p và các đại lượng này liên hệ với nhau
bởi hai phương trình sau:
1- Phương trình Einstein có tính đến vật chất sinh ra trường

2- Định luật bảo toàn năng – động lượng

Để tìm dạng tướng minh của những phương trình mơ tả cấu trúc sao tương đối tính ta làm
từng bước như sau:

 Bước 1:
Chiếu phương trình (5) lên phương vn góc với véctơ 𝒖 . Điều này có nghĩa nhân phương
trình trên với tenxơ chiếu – the projection operator
Sauk hi tính tốn từng số hạng của (6) ta được

Ở đây ta đã sử dụng ký hiệu<< ; >> thay cho đạo hàm hiệp biến còn ký hiệu <<,>> thay cho đạo
hàm riêng.
Phương trình (7) có tên là phương trình Euler tương đối tính cho chất lỏng lý tưởng.
Do p = p(r) nên cho c = r và b ≠ r ta được

16


Phương trình (8) cho ta biết gradient áp suất cần thiết để giữ chất lỏng thành tĩnh
trong trường hấp dẫn.



Bước 2:

Ta tính các thành phần cần thiết của tenxơ năng - sức căng
Thay (2) và (9) vào (4) ta được

Do nghiệm cho vùng trong sao sẽ bằng nghiệm cho vùng ngồi sao tại bề mặt sao nên ta có
quyền đặt:

Thay lại vào (10) và tích phân ta được

Thay tiếp (3) và vào (4) ta được
Ta tính 𝚽 / và chú ý tới (11) . Kết quả ta được

Ghép (8) với (14) vào ta được

Phương trình này gọi là phương trình cân bằng thủy tĩnh tương đối tĩnh do oppenheimer Volkoff tìm ra vào năm 1939 (relativistic equation for hydrostatic equilibrium)



Bước 3:

Mơ hình sao tương đối tính sẽ thỏa mãn các phương trình sau:
1 / Vùng khơng - thời gian bên ngồi sao là khơng - thời gian Schwarzschild.

2/ Phương trình tính khối lượng sao.

17


3/Phương trình cân bằng thủy tĩnh Oppenheimer – Volkoff

Với áp suất tại tâm sao p(r = 0) = pc
4/ Phương trình liên hệ giữa 3 đại lượng Φ, m, p

Mơ hình sao ta vừa thiết lập ở trên là lý tưởng và một ngơi sao như vậy có khả năng
tồn tại hoặc cũng có thể khơng tồn tại. Điều cơ bản nhất là ở chỗ nó đủ đơn giản để cho ta
biết giới hạn cực đại của sao.


Bước 4:
Trước khi bắt tay vào giải ta giả thiết vật chất trong sao không chịu nén : 𝜌 = const

Thay kết quả này vào (25) rồi tích phân từ R → r với chú ý áp suất tại bề mặt sao bằng zero.

Tại tâm sao ta có r = 0 ⟹ p = pc

18


Từ (22) ta thấy áp suất tạo tâm sao sẽ tiến tới vô cùng khi mẫu số bằng zero. Điều này có
nghĩa khi tăng thêm khối lượng thì áp suất cần thiết giữ cho sao ở trạng thái cân bằng tăng lên
và nó đạt tới giá trị vơ cùng lớn khi M và R đạt giá trị tới hạn. Tại trạng thái tới hạn ta có:

Khối lượng trong biểu thức (23) được tính trong hệ tương đối tính. Ta chuyển sang hệ SI nhờ
biểu thức:

Trong hệ SI ta có M =

4
3

𝜋𝜌𝑅3 nên sau khi thay vào (24) ta được

Theo truyền thống ta dùng hệ CGS:
c = 2,998 . 1010 cm.s-1
G = 6,67.19-8 dynes.cm2.g-2
MSUN = 1,99.1033
g.thay vào (25) ta được :

𝜌 = 4.1014g.cm-3 ⇒ Mmax ≈ 5,7MSUN
𝜌 = 4,6.1014g.cm-3 ⇒ Mmax ≈ 5,3MSUN
𝜌 = 10.1014g.cm-3 ⇒ Mmax ≈ 3,5MSUN
Với hệ khí neutron suy biến có khối lượng bằng 1,5 khối lượng mặt trời thì ta tính
được bán kính của hệ khí neutron suy biến và mật độ vật chất của hệ. Giá trị cụ thể là:
R ≈ 11km
;
𝜌 = 4.1014g.cm-3
Đây cũng là mật độ trung bình của sao neutron ổn định. Từ đây suy ra hai cách chọn
mật độ cực đại của sao neutron
- Một là ta chọn 𝜌𝑚𝑎𝑥 = hai lần mật độ hạt nhân trong nguyên tử
= 4,6.1014g.cm-3
Nếu ta chọn

19


- Hai là ta chọn 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 10.1014g.cm-3 vì đây là giới hạn cho sự hiểu biết của chúng ta
về hệ khí neutron suy biến. Cao hơn giá trị này thì các lý thuyết hiện nay khơng áp dụng
được.
Vậy nếu ta cho rằng sao neutron chỉ ổn định khi mật độ vật chất của sao nhỏ hơn
14
4,6.10 g.cm-3 và nếu mật độ vật chất của sao lớn hơn giá trị trên thì sao khơng nằm tại trạng
thái cân bằng nữa mà nó sẽ tiếp tục co lại do hấp dẫn thì ta có
Mmax = 5,3MSUN
(27)

Kết luận:
Ta đã sử dụng 2 phương pháp khơng được tinh tế lắm để tìm được khối lượng cực đại

của sao neutron. Phương pháp đầu dựa trên sự ổn định của hệ khí neutron suy biến chịu nén
dưới tác dụng của trường hấp dẫn Newton. Từ đây ta tính được khối lượng tới hạn
Chandrsekhar cho sao neutron và nó bằng 5,75 khối lượng mặt trời. Phương pháp thứ hai dựa
trên sự ổn định của vật chất chịu nén có mật độ khối lượng khơng đổi dưới tác dụng của
trường hấp dẫn Kinstein và kết quả là khối lượng cực đại của sao neutron nằm trong khoảng
từ 3,5 - 5,3 khối lượng mặt trời.
Vậy sự tính tốn thực tế sẽ phải kết hợp vật chất chịu nén của sao neutron và trường
hấp dẫn Einstein (thuyết tương đối rộng). Lúc đó ta sẽ nhận được giá trị chính xác của khối
lượng cực đại và cho dù là giá trị nào thì dứt khốt nó phải nhỏ hơn 5 lần khối lượng mặt trời.
Với những lõi sao sau khi đốt hết nhiên liệu nhiệt hạch có khối lượng lớn hơn 5 lần
khối lượng mặt trời sẽ co lại do hấp dẫn và do khơng cịn lực nào đủ sức chống đỡ với lực
hấp dẫn của chính ngơi sao nên nó sẽ co lại mãi và trở thành lỗ đen - một trong những vật thể
kỳ lạ nhất trong tự nhiên.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường ĐHSP TP.HCM và Phòng
KHCN & SĐH đã giúp đỡ tài chính cho cơng trình này. Tác giả xin cảm ơn các đồng nghiệp
đang công tác tại khoa vật lý đã có nhiều góp ý quý báu khi thực hiện cơng trình nhỏ bé này.

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Chandrasekhar (1967), Stellar Structure, Dover pud inc, New York.
2/ Krane (1998), Modern Physics, John Wiley, New York.
3/ Misner, Thorne, Wheeler (1999), Gravitation. Freeman and Company, New York.
4/ Fixtengols (1982), Phép tính vi - tích phân, NXB khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.
5/ Novikov - Zeldovich (1996),Star and Relativity, Dover pub inc. New york.
6/ Phillips (1999), the Physics of Stars, John Wiley, New York.
7/ Reed and Roy (1995), Statistical Physics, Dover pub inc. New York.
8/ chutz (2000), A first Course in General Relativity, Cambridge Uni press,

Cambridge UK
9/ Shapiro and Teukolsky (1983), Black Holes, White Dwarts, neutron Stars, john Wiley New York.

21