phương pháp số best wish for my students

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.33 MB, 24 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PH

ƯƠ

NG PHÁP S

Ố

(Computer Method)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(Finite Element Method)

TS. Lê Hữu Thanh 1

3.1 Các khái niệm cơ bản

• Theo tốn học, phương pháp PTHH là phương gần
đúng (PP số) để tìm nghiệm của một hàm số trong
miền xác định (V).

• PP PTHH được áp dụng để giải các bài toán kết cấu
trong đó: hệ kết cấu được chia ra thành nhiều phần tử
con (rời rạc hóa kết cấu) chịu tác dụng của các tải
trọng và có điều kiện biên khác nhau.

• Trong hệ kết cấu, các phần tử con kết nối với nhau tại
các điểm liên kết (gọi là nút)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ưu điểm của PP PTHH

1) Có thể giải được bài tốn kết cấu có hình dáng, chịu
tác dụng của tải trọng và điều kiện biên bất kỳ
2) Có kết quả hội tụ cao so với phương pháp chính xác

bằng cách sử dụng lưới chia phần tử hợp lý

3) Giữ nguyên được bản chất vật lý của bài toán (Khác
so với các PP khác, làm thay đổi bản chất vật lý của
hệ kết cấu)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Nhược điểm của PP PTHH

1) Đòi hỏi kinh nghiệm và kỹ năng tốt của người
thực hiện khi thực hiện các phép chia lưới phần
tử

2) Kết quả bài toán xuất ra từ chương trình PTHH
cần được biên dịch và trình bày bởi các chương
trình khác

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Lịch sử phát triển PP PTHH

• 1941, Hrennikoff là người đầu tiên được
xem là đặt nền móng cho PP PTHH khi
nghiên cứu ứng suất trong tấm bằng cách
mô phỏng sự làm việc của tấm bằng hệ
thanh dàn chịu kéo nén.

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

• 1956, M. J. Turner, R. W. Clough, H. C.
Martin và J. L. Topp làm việc tại công ty
Boeing, đã mô phỏng máy bay bằng phần
tử ba cạnh (Giới thiệu lần đầu tiên phương
pháp độ cứng trực tiếp)

Lịch sử phát triển PP PTHH (tiếp)

• 1960, R. W. Clough, người đầu tiên gọi tên của phương
pháp là PP Phần tử hữu hạn khi giới thiệu nghiên cứu phân
tích ứng suất của tấm phẳng.

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

• 1965, O. C. Zienkiewicz (1921-2009) và
Y. K. Cheyng áp dụng PP PTHH cho tất
cả các bài toán trong kỹ thuật.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Cấu trúc PP PTHH trong kết cấu Xây dựng

- 2D, 3D;
- Động học:
- Truyền

nhiệt
- Ổn định
mái dốc
- Thủy lực;
- Phi tuyến

- PP độ
cứng trực
tiếp
- PP
Galerkin
- PP trị
riêng

- Hình dáng
của phần tử
- Số nút của
phần tử
- Số bậc tự
do của nút
- Hàm nội
suy

- Trị
Gausian
- Newton

- Kết nối
các phần tử
- Các ràng

buộc liên
kết
- Giải
nghiệm
- Lập trình
và chương
trình tính
(1) Dạng
bài tốn
(2) PP
xây dựng
bài tốn
(3) Lựa
chọn
phần tử

(4) PP lấy
tích phân

số

(5) Kỹ
năng thực

hiện

3.2 Phần tử: Phần tử sử dụng trong phương pháp
PTHH bao gồm 4 bộ phận cấu thành sau:

3.2.1 Hình dạng của phần tử

• Phần tử đường (thanh): đường thẳng hoặc cong

• Phần tử tấm (mặt)

• Phần tử khối (solid)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

3.2.2 Số nút của phần tử: Nút là điểm thuộc phần tử có
các đặc điểm sau:

• Là vị trí xác định tọa độ của phần tử, và kết nối các
phần tử với nhau

• Biểu diễn hình dáng của phần tử

• Xác định biên của phần tử

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Biên của phần tử

Nút góc (biên ngồi)
Miền xác định của phần tử
Nút giữa (biên ngồi)

Nút bên trong phần tử

Hình 3.2Nút của phần tử

3.2.3 Tọa độ và bậc tự do của phần tử: Bậc tự do của

phần tử là tổng số ẩn (độc lập) cần thiết phải xác định
để tính các thơng số khác của bài toán.

Các ẩn này được biểu diễn thông qua các biến số của
nút phần tử. Kiểu và số biến của nút phụ thuộc vào các
đặc điểm sau của bài tốn

• Dạng bài tốn

• Khơng gian của bài tốn (1D, 2D hoặc 3D)
• Phương pháp xây dựng bài tốn

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ 1: Xét nút liên kết giữa cột thép và các dầm
ngang dọc như hình vẽ sau:

Hình 3.2 Khung được mơ hình bởi các nút
Vùng có độ cứng lớn (nút cứng)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Nút cứng

𝜃1 𝜃

𝑗

𝜃2
A

Nút A

Hình 3.3 Hệ kết cấu khung

Biến dạng tại
nút A

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nút khớp

13
B

Hình 3.4 Hệ khung được mơ hình bởi các nút

Biến dạng tại nút B

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Nút liên kết

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(1) Liên kết ngàm

U= 3

(2) Liên kết gối cố định

U= 2

(3) Liên kết gối di động

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Phương pháp xây dựng bài toán PTHH: gồm 4
phương pháp cơ bản sau:

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Phương pháp Nguyên lý
áp dụng

Đại lượng
xác định

Biến số nút Ghi chú

PP Chuyển vị Thế năng
tồn phần

Chuyển vị Chuyển vị,

góc xoay,
vận tốc

> nghiệm của
PP chính xác

PP Lực Nguyên lý
thế năng bù

Ứng suất Moment, lực < nghiệm của
PP chính xác
PP Hỗn hợp Nguyên lý

Lagrange

Chuyển vị
và Ứng
suất

Chuyển vị,
góc xoay và
moment, lực
PP Liên hợp

3.3 Hàm dạng: (thường được xem xét dưới dạng ma
trận của các hàm dạng) chứa các tọa tộ của các nút phần
tử và tọa độ của điểm bất kỳ đang xét. Hàm dạng được
sử dụng với các chức năng sau:

• Biểu diễn hình dáng, miền xác định của phần tử

• Sự biến thiên (bậc, mũ) của trường biến số trên
miền xác định của phần tử

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Ví dụ: các biến (𝑥, 𝑦)của các ẩn chuyển vị(𝑢, 𝑣, 𝑤)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Gọi 𝑚 là mũ (bậc) của hàm dạng biểu diễn hình

dạng của phần tử, 𝑛 là số mũ (bậc) của hàm dạng

thể hiện trường biến số của phần tử, khi đó ta có:

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(1) Nếu 𝑚 = 𝑛: phần tử được gọi là phần tử đẳng

tham số.

(2) Nếu 𝑚 < 𝑛: phần tử được gọi là phần tửbán

đẳng tham số.

(3) Nếu 𝑚 > 𝑛: phần tử được gọi là phần tửsiêu

đẳng tham số.

1) Nếu một phần tử có hình dạng và trường biến số
(ẩn) cùng được sử dụng chung một hàm dạng thì
được gọi là: “Phần tử đẳng tham số”.

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

2) Nếu bậc của hàm dạng miêu tả hình dáng của phần
tử mà nhỏ hơn bậc của trường biến số thì phần tử
được gọi là: “Bán đẳng tham số”.

3) Nếu bậc của hàm dạng miêu tả hình dáng của phần
tử mà lớn hơn bậc của trường biến số thì phần tử
được gọi là: “Siêu đẳng tham số”.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 2: Cho phần tử tấm có các tham số: 𝜃𝑥, 𝜃𝑦, 𝑤: là
các tham số độc lập. Khi đó, tọa độ các nút phần tử được
xác định qua các hàm dạng như sau:

𝑥 𝑟, 𝑠 =
𝑎=1
𝑚

𝑁𝑥𝑎 𝑟, 𝑠 𝑥𝑎

Trường biến số (ẩn) của phần tử được biểu diễn bởi hàm
dạng như sau:

𝑤(𝑟, 𝑠)

𝜃𝑥(𝑟, 𝑠)
𝜃𝑦(𝑟, 𝑠)

=
𝑎=1
𝑛

𝑁𝑎 𝑟, 𝑠
𝑤𝑎

𝜃𝑥𝑎
𝜃𝑦𝑎

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Phần tử đẳng tham số: Trong trường hợp khi xem

phần tử có dạng tổng quát bất kỳ, khi thực hiện bài

tốn PTHH sẽ gặpmột số khó khăn sau:

(1) Biểu thức của hàm dạng và nguyên hàm của nó trên
miền xác định của phần tử là khó và phức tạp

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2) Tích phân trên miền xác định của phần tử có thể
khơng liên tục và khơng có thuật toán chung để
xác định

3) Nếu biên của phần tử là các đường cong thì tích
phân trên miền xác định của phần tử càng trở
nên phức tạp hơn.

4) Các điều kiện biên khó xác định và gán cho phần tử

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Các khó khăn vừa nêu trên có thể giải quyết được khi ta
lựa chọn miền xác định của phần tử với các đặc điểm
sau:

(1) Miền xác định của phần tử có thể được quy chiếu về
một miền gốc đơn giản nào đó bằng các hàm dạng
và lựa chọn số nút trên biên phần tử (phép biến đổi
này được gọi là phép chiếu);

(2) Đối với bài toán hai chiều, miền gốc thường sử dụng
là các miền vng hai trục, đối với bài tốn ba chiều
thường sử dụng là khối lập phương ba trục, các trục
vng góc với nhau

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Hình 3.5 giới thiệu miền gốc và miền thật của phần tử,
trong đó:

• Hệ tọa độ Cartersian trong phần tử 2D là (r,s)

• Hệ tọa độ Cartersian trong phần tử 3D là (r,s,t)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Miền thật của phần tử Miền quy chiếu (phần tử gốc)

Phép biến đổi đẳng hướng của tọa độ và trường biến số
trong PP PTHH: Cho đa thức có dạng sau:

W 𝑟, 𝑠 = 𝛼𝑜 + 𝛼1𝑥 𝑟, 𝑠 + 𝛼2𝑦 𝑟, 𝑠 + ⋯ 𝛼𝑚𝑓 𝑟, 𝑠

Giả sử giá trị tại một nút (chuyển vị …) được cho bởi

W 𝑟𝑎, 𝑠𝑎 = 𝑊𝑎

Từ (1), ta có:

𝑊𝑎 = 𝛼𝑜+ 𝛼1𝑥𝑎 + 𝛼2𝑦𝑎+ ⋯ 𝛼𝑚𝑓𝑎

Bằng cách nội suy, ta có:

W 𝑟, 𝑠 =
𝑛

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠)𝑊𝑎

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(1)

(2)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Thế (2) Vào (3), ta có:

W 𝑟, 𝑠
= 𝛼𝑜

𝑎

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠) + 𝛼1

𝑎

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠)𝑥𝑎

+ 𝛼2
𝑎

𝑁𝑎 𝑟, 𝑠 𝑦𝑎 + ⋯ + 𝛼𝑚
𝑎

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠)𝑓𝑎

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(4)

So sánh (1) và (4), ta có:

𝑎

𝑁𝑎 𝑟, 𝑠 = 1

𝑎

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠)𝑥𝑎 = 𝑥 𝑟, 𝑠

𝑎

𝑁𝑎 𝑟, 𝑠 𝑦𝑎 = 𝑦(𝑟, 𝑠)

𝑎

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠)𝑓𝑎 = 𝑓(𝑟, 𝑠)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(5a)

(5b)

(5c)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ưu điểm của phép biến đổi đẳng hướng:

• Tương thích nhiều dạng bài tốn, có thể quy chiếu

nhiều hình dáng phức tạp

• Chỉ xét tới các giá trị tại nút mà khơng cần xét tới

cả phần tử

• Khơng cần phân biệt dạng biên (cong hay thẳng)

của phần tử

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Ví dụ: Xét phần tử tứ giác như sau:

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tọa độ của phần tử (hình dạng) được xác định như sau:

𝑥 = 𝑁1𝑥1+ 𝑁2𝑥2+ 𝑁3𝑥3 + 𝑁4𝑥4
𝑦 = 𝑁1𝑦1 + 𝑁2𝑦2+ 𝑁3𝑦3+ 𝑁4𝑦4

Hoặc viết dưới dạng ma trận:

𝑥 = 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁4
𝑥1

𝑥2
𝑥3
𝑥4

𝑦 = 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁4
𝑦1
𝑦2
𝑦3
𝑦4

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.31a)
(3.31b)

(3.31c)

(3.31d)

Trong đó: 𝑁𝑖 là các hàm dạng, áp dụng phép nội suy
Lagrange ta có:

𝑁1 =

4 1 − 𝑠 1 − 𝑟
𝑁2 =1

4 1 + 𝑠 1 − 𝑡
𝑁3 =1

4 1 + 𝑠 1 + 𝑡
𝑁4 =1

4 1 − 𝑠 1 + 𝑡

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.32a)

(3.32b)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Để thoả mãn điều kiện phần tử là đẳng tham số, các
chuyển vị cũng có thể khai triển qua cùng các hàm
dạng trên như sau :

𝑢 = 𝑁1𝑢1 + 𝑁2𝑢2 + 𝑁3𝑢3 + 𝑁4𝑢4
𝑣 = 𝑁1𝑣1 + 𝑁2𝑣2 + 𝑁3𝑣3 + 𝑁4𝑣4

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Như vậy phần tử tứ giác bất kỳ sẽ được tính thông
qua phần tử tứ giác vuông thông qua phép biển đổi

đẳng tham số (tọa độ) với các hàm dạng tại các nút.

Đạo hàm trong phép biến đổi đẳng tham số: Khi tính các
giá trị ứng suất, biến dạng, đạo hàm của các hàm dạng (theo
biến 𝑠, 𝑡) được xác định như sau:

𝜕𝑁
𝜕𝑠 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑠+
𝜕𝑁
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑠
𝜕𝑁
𝜕𝑡 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑡 +
𝜕𝑁
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑡
Dưới dạng ma trận

𝜕𝑁
𝜕𝑠

𝜕𝑁 =
𝜕𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑠
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝜕𝑁

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.33a)

(3.33b)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ta có:
𝐉 =
𝜕𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑠
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑡

: được gọi là ma trận Jacobien

Cơng thức (3.34) có thể được triển khai dưới dạng

sau:
𝜕𝑁
𝜕𝑠
𝜕𝑁
𝜕𝑡
= 𝐉
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑦
33

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.35)

Cơng thức (3.35) có thể được triển khai dưới dạng
sau:

𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑦

= 𝐉 −1
𝜕𝑁

𝜕𝑠
𝜕𝑁

𝜕𝑡

Phép đẳng tham số chỉ sử dụng được khi và chỉ khi

định thức Jacobien 𝐉 = 𝜕𝑥

𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑡 −
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑦

𝜕𝑠 ≠ 0tại mọi

điểm trên miền xác định của phân tố.

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1) Định thức Jacobien 𝐉 là hàm số của tọa độ trong
phần mẫu và là đại lượng chỉ ra sự khác nhau
của diện tích phần tử thực và phần mẫu.

2) Đối với bài toán 2D, 𝐉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 khi phần tử có

dạng hình chữ nhật

3) Khi 𝐉 < 0 xảy ra khi thứ tự các nút trong phần

tử được đặt không theo quy tắc đúng

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

3.4 Tính tốn PP PTHH theo mơ hình chuyển vị:

1) Chuyển vị được lấy xấp xỉ bằng một hàm đơn giản
(đa thức) hay hàm xấp xỉ hoặc chuyển vị;

2) Khi đó, hệ kết cấu được chia thành các phần tử
con có hình dáng thích hợp. Các phần tử được liên
kết với nhau tại nút. Số nút trên phần tử sẽ được
lấy phụ thuộc vào hàm xấp xỉ mô tả chuyển vị của
nút

3) Tập hợp các hàm chuyển vị tạo nên trường chuyển
vị xác định trạng thái chuyển vị của phần tử

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Trình tự phân tích bài tốn theo PP PTHH: gồm các
bước cơ bản sau:

• Rời rạc hóa kết cấu thành các phần tử đơn giản

• Chọn hàm xấp xỉ

• Thiết lập ma trận độ cứng của phần tử

• Kết nối các phần tử xây dựng ma trận độ cứng tổng thể

• Thiết lập Phương trình tổng qt

• Gán điều kiện biên

• Giải phương trình tổng qt đã rút gọn

• Tìm các thơng số của bài toán

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Hàm chuyển vị : thường được chọn là các đa

thức với các yêu cầu sau:

1) Các đa thức phải thỏa mãn điều kiện hội tụ;
2) Các đa thức được chọn sao cho khơng mất

tính đẳng hướng hình học

3) Số tham số của đa thức phải bằng số bậc tự
do của phần tử

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

3.5 Rời rạc hóa kết cấu: Xét hệ kết cấu như sau:

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Kết cấu ở trạng thái
ban đầu

Phần tử điển hình
Rời rạc

Hình 3.1: Rời rạc hóa kết cấu

Source: O.C Zienkiewicz, R.L Taylor & J. Z ZHU: “FEM: its Basic and fundamentals

Xét phần tử 1: gọi lực tác dụng tại nút là 𝑋, 𝑌,

chuyển vị tại nút là 𝑢, 𝑣, ta có::

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(𝑌3)

(𝑋3)

Lực tác dụng tại các nút:

𝑞1 =
𝑞11
𝑞21
𝑞31

; 𝑞11 = 𝑋𝑌1

Chuyển vị tại các nút:

𝑢1 =
𝑢11

𝑢21 ; 𝑢11 = 𝑢𝑣1
Hình 3.1: Phần tử điển hình số 1

(3.1)

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Trong hệ kết cấu đàn hồi tuyến tính, mối liên hệ
giữa lực tác động và chuyển vị của phần tử thỏa
mãn điều kiện sau:

𝑞1 = 𝐾1𝑢1

Trong đó: 𝐾1: được gọi là độ cứng của phần tử

Trong trường hợp tổng quát, (3.3) được viết như
sau:

𝑞𝑒 = 𝐾𝑒𝑢𝑒

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.3)

3.7 Các bước thực hiện bài toán theo PP PTHH:

được tiến hành theo các bước sau

Bước 1:

• Xác định tính chất, hình dáng và tải trọng tác
dụng lên phần tử

• Xác định các nút tương ứng của phần tử

• Xác định ma trận độ cứng của phần tử và điền các
nút tương ứng của phần tử trên ma trận độ cứng

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Ví dụ: Xét hệ kết cấu như hình vẽ, ta có:

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Source: O.C Zienkiewicz, R.L Taylor & J. Z ZHU: “FEM: its Basic and fundamentals

Các nútcủa phần tử

Phần tử số Tên nút

1 1, 3, 4

2 1, 2, 4

3 2, 5

4 3, 4, 6, 7

5 4, 5, 7, 8

Hình 3.10Kết nối các phần tử

Lập ma trận độ cứng của các phần tử và điền các nút
tương ứng của phần tử trên ma trận độ cứng, ta có:

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

1 2

Vector lực tác dụng tại các nút của phần tử

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bước 2: Xác định ma trận độ cứng của cả hệ kết cấu
(kết nối các phần tử), dựa vào các nguyên lý sau:

dựa vào các điều kiện sau:

• Điều kiện tương thích về chuyển vị

• Điều kiện cân bằng về lực

• Cộng các số hạng cùng vị trí trong ma trận độ
cứng và lực tác dụng lại với nhau;

• Các số hạng cần quan tâm là các số hạng 𝐾𝑎𝑏 có a

và b trùng tên với số nút trong phần tử đó;

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Ta có:

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

1 2

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bước 3: Xét hệ kết cấu trong Hình 3.1, ta có:

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

𝑢1 = 𝑢6 = 0
0

Với việc gán điều kiện biên, số ẩn của hệ phương
trình sẽ giảm đi;

Bước 4: Giải hệ phương trình, tìm các nghiệm liên
quan của bài tốn.

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Các lưu ý:

• Ma trận độ cứng cuối cùng của hệ kết cấu vẫn

là ma trận vng

• Tải trọng, ngoại lực và chuyển vị là các giá trị

</div>

phương pháp số best wish for my students

<b>PH</b>

<b>ƯƠ</b>

<b>NG PHÁP S</b>

<b>Ố</b>

<b>(Computer Method) </b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về