hoäi nghò chaát löôïng laàn iv “naêng suaát chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 211101 boä moân toaùn öùng duïng ñhbk toaùn 4 chuoãi vaø phöông trình vi phaân baøi 6 heä phöông t

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (525.55 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

---TỐN 4

CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

• BÀI 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

NỘI DUNG

---1 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

2 – PHƯƠNG PHÁP KHỬ

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

KHÁI NIỆM (SGK, TRANG 165)

---Hệ m phtrình vi phân (cấp n) với m hàm ẩn: Minh 
hoạ m = 2

: dạng chuẩn hố

















0
'

,'
,
,
,

0
'

,'
,
,
,

y
x
y
x
t
G

y

x
y
x
t

F

















y
x
t
g
y

y
x
t
f
x

,
'

,
,
'

VD: Hệ cấp 1
















t

e
y
x

t
y

x
t

x

3
10

)
(
'

sin
3

)
(
'

VD: Hệ cấp 2








t
x

t
y

t
x

sin
10

)
(
'
'

cos
)

(
'
'

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

PHƯƠNG PHÁP KHỬ (SGK, TRANG 166)

---Đưa hệ n phương trình vi phân cấp 1 về 1 phương trình vi 
phân cấp n: Đạo hàm lên, lần lượt khử (n – 1) ẩn khác

VD: Giaûi

 













2
3

10
)

(
'

1
2

3
)

(
'

t

e
y
x

t
y

y
x

t
x

 

( ) ( )

0
,

,
3
10

2
3

t
b
t

AX
dt

dX
e

t
b
t

y
t

x
t

X

A t    



























Chú ý: Hệ phương trình tuyến tính  Cách viết dạng ma trận
Hệ 2 phương trình cấp 1 : Xem như tương đương 1 phương 
trình cấp 2  Nghiệm chứa đúng 2 hằng số C1, C2

 

t x

 

t x

 

t et

x ''  6 '  11 2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (SGK, TRANG 170)

---Hệ n hàm ẩn, n phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính:

 

E
t
b
x
t
a
x
t
a
x
t
a
t
x

t
b
x
t
a
x
t
a
x
t
a
t
x
t
b
x
t
a
x
t
a
x
t
a
t
x
n
n
nn
n

n
n
n
n
n
n






















)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
'
...
...
...
...
...
...
...
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
'
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
2
1
1
2
12
1
11
1




Ma trận: A(t)X b(t)

dt
dX



 : hệ pt ttính không thuần nhất

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

HỆ PTVP TTÍNH THUẦN NHẤT (SGK, TRANG 170)

---Hệ n hàm ẩn x1(t), x2(t) … xn(t) & n phương trình vi phân cấp 1 
tuyến tính thuần nhất (không có vế phải)





A

   

t X t
dt

dX
E

x
t
a
x

t
a

x
t
a
t

x

x
t
a

x
t
a
x

t
a
t

x

x
t
a
x

t
a

x

t
a
t

x

n
nn

n
n

n

n
n































0
2

2
1

22
1

21
2

1
2

12
1

11
1

)
(
)

(
)

(
'

...
...
...

...
...

)
(
)

(
)

(
'

)
(
)

(
)

(
'





</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

TTÍNH THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (SGK, TRANG 173)

---Hệ p/trình vi phân cấp 1 tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

  

0



2
2
1

2
2

22
1

21
2

1
2

12
1

11
1

)
(
'

...
...

...
)
(
'

)
(
'

E
t

AX
dt

dX
x

a
x

a
t

x

x
a
x

a
x

a
t

x

x
a
x

a
x

a
t

x

n
nn
n

n
n


































 







































2
1
2

1
2

3
2

c
c
c

c

e

c
e
c
t

y
t
x

t
t






 Vectơ v = [c1, c2]T: vectơ riêng ma trận A ứng trị riêng !

Ma trận A (cấp 2): 2 giá trị riêng thực 1, 2 & 2 vectơ 
riêng độc lập tuyến tính: v1, v2  Xtq.tn c1e1tv1 c2e2tv2

VD: Giải








y
x

t
y

y
x

t
x

2
)

(
'

3
2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

NHẮC LẠI: TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG

---Trị riêng: det(A – I) = 0. Vectơ riêng v: (A – I)v = 0
VD:










1
2

3
2

A























4
1
0

1
2

3
2

det

2
1






I

A

VTR v1 = [, ]T ứng 

1 = –1: Av1 = 1v1  (A – 1I)v1 = 0











































1
1
0

0
2

2
3
3

0 1

1 v

v
I

A  




2 trị riêng thực, phân biệt  2 VTR ĐLTT  Chéo hoá

2
1

3
1
4

0
1
2

1
3
1
1

2 
















 




















A

Vectơ riêng v2 = [, ]T ứng với 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

KẾT QUẢ TỔNG QUÁT

---Định Lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A – n giá trị riêng thực 1, 2
… n (không bắt buộc phân biệt), tương ứng n vectơ riêng v1, v2

… vn độc lập tuyến tính  Nghiệm tổng quát thuần nhất:

 



 










n

k

k
t
k
T

n t c e v

x
t

X k

1
2

1 , , ,





VD: Giải hệ








y
x

y

y
x

x

2
'

3
2











1
2

3
2

A : 2 GTP thực, VTR ĐLTT

 















































t
t

e
c
e

c
t

y

e
c
e

c
t

x
e

c
e

c
y

x
t

X 4

2
1

4
2
1

2
3
2

3
1

1
)

(





T v





T

v 1 1 ; 4, 3 2

1 1 2 2

1      



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

TỔNG QUÁT: PHƯƠNG PHÁP CHÉO HOÁ MA TRẬN

---Ma trận A của hệ được chéo hoá bởi ma trận P: A = PDP-1

X’(t) = AX(t) = (PDP-1)X(t)  P-1X’(t) = D.P-1X(t). Đổi biến

 


P X t

Y 1


 ( )
)

(

' t DY t
Y

 



















































t
y

n
n

n

...
0

.
...
...

0
0

'
...

'
'

2
1
2

1
2























)
(
)

(
'

....
...
...

)
(
)

(
'

)
(
)

(
'

2
2
2

1
1
1

t
y
t

y

t
y

t

y

t
y
t

y

n
n

n 




({v1, … vn}: vectô rieâng)

 















t
n
n

t
t

n

e
c
t

y

e
c
t

y

e

c
t

y





...
...

2
1

2
2

1
1










n

k

k
t
ke v

c
PY

X k



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC (THAM KHẢO)

---Cặp giá trị riêng phức, liên hợp  =   i tương ứng cặp

vectơ riêng v = a  ib (a, b: vectơ)  2 vectơ nghiệm cơ sở



a t b t



e



a t b t



et cos   sin  , t sin   cos

VD: Giải hệ











y
x

y

y
x

x

2
5

'
6
'









 


2
5

1
6

A
i




 1,2 4 

























i
v

2
1
,

2
1

1 




















1
0
,

2
1

b
a

 
































































t
t

e
C
t

t
e

C
t

y
t

x t t

cos
1

0
sin

1
sin

1
0
cos

1 4

2
4

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (THAM KHẢO)

---Ma trận A của X’ = AX + b(t) chéo hoá bởi ma trận P: A = 
PDP-1. Hệ ban đầu X’(t) = (PDP-1)X + b  P-1X’(t) = D.P-1X(t) +

P-1b. Đổi biến:

 















t
b
t

y
t

y

t
b
t

y
t

y

t
b
t

y
t

y

n
n

~
)

(
)

(
'

....

...
...

...

~
)

(
)

(
'

~
)

(
)

(
'

2
2

1
1





Phải tính ma trận P 
= [v1, … vn] vaø P–1:

để tính vectơ P–1b

 

t PY

 

t :

X 




P X

Y 1 Y'

 

t DY  b~ 




































































n
n

n

n b

b
b

y
y
y

~
...

~
~

....
0

.
...
...

0
0

'
...
'
'

2
1
2

1
2










</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

VÍ DỤ GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (THAM KHẢO)

---Giải hệ không thuần nhất















t
y

x

y

e
y

x

x t

sin
5
2

5
3

2
'










1
2

3
2

A chéo hố (2 VTR độc lập tuyến tính) với

Ma trận hệ:





T v





T

v 1 1 ; 4, 3 2

1 1 2 2

1      



Trị riêng, vectơ riêng:

1
1

4
0

0
1
1

3
2

5
1
5

5
3
5

2
2

1
3

1  








 





































 P P P

P

D

 


: Chéo hoá 
ma trận

Y = P–1X 

Hệ mới:

~
1

'
sin

sin
3
2

sin
5

b
DY

Y
t

e

t
e

b
P
b

t
e

b

t
t
t




























</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

VÍ DỤ GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT (TIẾP THEO)

---Giải hệ không thuần nhất










t
y
x
y
e
y
x
x t
sin
5
2
'

5
3
2
'
Hệ mới:




















 


















t
e
t
e
v
u
v
u
b
DY
Y
v
u
Y
t
t
sin

sin
3
2
4
0
0
1
'
'
'

. ~ Hệ












t
e
v
v
t
e

u
u
t
t
sin
4
'
sin
3
2
'

 





 




















t
t
e

e
C
t
v
t
t
e
e
C
t
u
t
t
t
t
sin
4
cos
17
1
3
1
sin
cos
2
3
4
2
1

Quay về biến X: Y = P–1X 

 






































17
sin
4
cos
3
2
sin
cos
3
2
1
3
1
4
2
1
t
t
e
e
C
t
t
e
e
C
PY

t
y
t
x

X t t

</div>

hoäi nghò chaát löôïng laàn iv “naêng suaát chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 211101 boä moân toaùn öùng duïng ñhbk toaùn 4 chuoãi vaø phöông trình vi phaân baøi 6 heä phöông t

<b>BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK</b>

<b>---TỐN 4</b>

<b>CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN</b>

<b>• BÀI 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1</b>

















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





   

  



 

 









 



 

 

 



<sub></sub>

 

 









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 











 

 

 

 

 

 

 

<sub> </sub>









 





 



