Gián án HSG TOÁN-HUYỆN NAM ĐÔNG 2008-2009

UBND HUYỆN NAM ĐÔNG
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
………………………………………………………………………………..
Câu1: (3 điểm) Cho
( )
( )
xx
x
xx
y 82
123
2
2
2
2
2
−++
+−
=
a) Rút gọn y.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để y có giá trị nguyên.
Câu2: (1,5điểm). Với giá trị nào của m và n thì hàm số:

( ) ( )
3665
2222
+−+++−=

xnmnmxmmy
là hàm bậc nhất?
Câu3: (1,5điểm) Giải phương trình sau:
11
−=+
xx
Câu 4: (2điểm) Tìm các giá trị của a để hệ vô nghiệm:
{
1
323
=+
+=−
ayx
aayax
Câu 5: (4 điểm) Một chiếc thuyền xuôi, ngược trên khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30
phút. Cho biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng
4km. Hãy tính vận tốc của dòng nước.
Câu 6 (5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của cạnh BC và D
là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực
của AB và AC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng năm điểm A, E, I, D, F cùng thuộc một đường tròn.
Câu 7: (3 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ
tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.
----Hết---
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN - LỚP 9, NĂM HỌC 2008- 2009
Câu Nội dung – yêu cầu Điểm
1
3đ
2

1,5đ
a) Ta có:
2
3
)2(
)3(
2
2
2
22
−+
+
=−+
+
= x
x
x
x
x
x
y
- Nếu x < 0 thì
x
xx
x
xxx
y
32223
222
−+−

=
+−−−
=
- Nếu 0 < x ≤ 2 thì
xx
xxx
y
3223
22
+
=
+−+
=
- Nếu x > 2 thì
x
xx
y
322
2
+−
=
b) Nếu x∈Z thì
Zx
∈−
2
, do đó để y∈z thì:
( )
xx 3
2
+

hay
3;13
±±=⇒
xx
Hàm số đã cho là hàm bậc nhất khi:
{
065
06
2
22
=+−
≠−+
mm
nnm
⇔
{
0)3)(2(
0)3)(2(
=−−
≠+−
mm
nmnm
{
3;2
0)3)(2(
==
≠+−
⇔
mm
nmnm

- Với m = 2 thì (m – 2n)(m+3n) ≠ 0 ⇔
⇔ (2 – 2n)(2+3n)≠0 ⇔
1
≠
n
và
3
2
−≠
n
Với m =3 thì (m-2n)(m+3n) ≠ 0 ⇔ (3 – 2n)(3+3n)≠0
⇔
2
3
≠
n
và
1
−≠
n
Vậy hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi:
a) m =2; n ≠ 1 và
3
2
−≠
n
b) m=3; n ≠ -1 và n ≠
2
3
0,5

0,5
0,5
0,5
1,0
0,25
0,25
0,5
0,5
3
1,5đ
11
−=+
xx
⇒
( )
0
3
2
11
=
=
⇒−=+
x
x
xx

Thử lại x = 0 không là nghiệm của phương trình: x = 3 là nghiệm của
0,5
1,0
.

N
E
F
K
M
D
I
C
B
A
4
2đ
5
4đ
6
(5đ)
phương trình.
{{
ayx
aayaya
ayx
aayax
−=
+=−−
=+
+=−
⇔
1
323)1(
1

323
{
ayx
ayaa
−=
+=+−
⇔
1
3)3(
Hệ phương trình vô nghiệm
{
0
0)3(
03
=⇔⇔
=+
≠+
a
aa
a
(4 giờ 30 phút = 4,5 giờ).
Gọi vận tốc của thuyền khi nước yên lặng là x (km/giờ), vận tốc dòng
nước là y (km/giờ) (đk: x > y >0).
Vận tốc của thuyền khi xuôi dòng là: x+ y (km/giờ)
Vận tốc của thuyền khi ngược dòng là: x – y (km/giờ)
Thời gian thuyền ngược dòng 5km là:
yx
+
5
(giờ)

Thời gian thuyền ngược dòng 4km là:
yx
−
4
(giờ)
Theo đề bài ta có phương trình:
yxyx
−
=
+
45
(1)
Thời gian xuôi dòng 40km là:
yx
+
40
(giờ)
Thời gian ngược dòng 40km là:
yx
−
40
(giờ)
Theo bài ta có phương trình:
yx
+
40
+
yx
−
40

=
2
9
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình.
Giải hệ ta được x = 18; y = 2. Vậy vận tốc của dòng nước là 2km/giờ.
-Vẽ hình đúng chính xác
-Gọi M, N, K là trung điểm của AC ; AB ; AI.
Δ ABC vuông tại A nên đường trung trực của AB ; AC phải đi qua
trung điểm I của BC. Δ ABC vuông tại A có IA là trung tuyến nên
IA=IC =>
·
·
IAC ICA=
; NI // AM (cùng vuông góc với AC)
Suy ra
·
·
EIA IAC=
.
Ta lại có KM là đường trung bình
của Δ AIC => KM // IC =>
=>
·
·
IAC KMA=
.
Tứ giác AKMF nội tiếp được nên
·
·

KMA KFA=
.
Từ những điều kiện trên, suy ra:
·
·
AFK EIA=
mà chúng cùng nhìn nhìn
đoạn AE.
0,5
0,75
0,75
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,75
0,5
0,5
1
Vậy tứ giác AEIF nội tiếp vì
·
1AIF v
=
(AMIN là hình chữ nhật) nên EF là đường kính của đường tròn ngoại
tiếp mà EF là trung trực của AD nên D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ

giác AEIF.
Hay năm điểm A, D, E, I, F nằm trên đường tròn.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
7
(3đ)
Vẽ hình đúng, chính xác
* Thuận: Vì M là trung điểm của AB, nên: OM ⊥ AB ⇒ ∠AMO = 90
0
Điểm M nhìn đoạn AO dưới một góc vuông, nên M chạy trên đường tròn
đường kính AO.
Giới hạn: Vì B chạy khắp đường tròn (O) nên M chạy khắp đường tròn
đường kính AO.
* Đảo: Lấy N

thuộc đường tròn đường kính AO suy ra AN

cắt đường tròn
(O) tại K.
Ta có: góc ANO = 90
0
suy ra OM
’
⊥A
’
B

’
suy ra N là trung điểm AK.
Kết luận:
Tập hợp trung điểm M của đoạn AB là đường tròn đường kính AO
O
N
K
B
M
A
0,5
1,0
1,0