Bài giảng HSG TOÁN-HUYỆN PHONG ĐIỀN 2008-2009

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHONG ĐIỀN
HỌ VÀ TÊN:.........................................
SBD:………………
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian:120 phút(không kể thời gian phát đề)
------------
Câu 1: (2,0điểm)
Rút gọn biểu thức:
1.
5 3 29 12 5A = − − −
(1,0 điểm)
2.
( )
2
3
2
3 3
, 0, 0,
x
x y y y
xy y
x
B x y x y
x y
x x y y
− + +
−
= + > > ≠

−
+
(1,0 điểm)
Câu 2: (2,0điểm)
3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh (1,0 điểm)

3 3 3 3 3 3
2 2 2
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + +
+ + ≥ + +
4.
( 1)( 3)( 4)( 6) 10 0;a a a a a− − − − + > ∀
(1,0 điểm)
Câu 3 : (2,0điểm)
5. Cho biểu thức
2 1 2 1P x x x x= + − + − −
xác định x để P đạt giá trị nhỏ nhất. (1,0 điểm)
6. Giải phương trình:
2
7 6 5 30x x x− = + − (0,5 điểm)
7. Giải hệ phương trình:
2 1
1 2
x y y
y x
 − = −


+ =

(0,5 điểm)
Câu 4: ( 2,0điểm)
8. Cho đường thẳng (d
m
) : 2mx + (3m – 1)y – 6 = 0
a. Tìm đường thẳng ( d ) đi qua điểm A( - 1 ; - 3 ) và xác định hệ số góc của đường thẳng
đó (1,0 điểm)
b. Tìm điểm cố định B của (d
m
) với mọi m (1,0 điểm)
Câu 5: (2,0điểm)
9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn ( c ) đường kính AB, O là tâm đường
tròn ( c ). Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E
là giao điểm của AD và OT
a. Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a (1,0 điểm)
b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó.
(1,0 điểm)
--HẾT--
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHONG ĐIỀN
------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN
HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Câu 1: (2,0điểm)
Rút gọn biểu thức:
1. (1,0điểm)
( )

2
2
2 2
5 3 29 12 5 5 3 2 5 2.2 5.3 3
5 3 (2 5 3) 5 3 (2 5 3) 5 6 2 5 5 ( 5 1)
5 ( 5 1) 1
A = − − − = − − − +
= − − − = − − − = − − = − −
= − − =
(1,0 điểm)
Đáp số: A = 1
2. (1,0 điểm)
Xét:
( )
2
3
3 3 3 3
3 3
2 2
3
3 3
2 2
2
( ) 3 3 ( ) 2( ) ( )
( ) ( )
3 ( ) ( )
3( ) 3 3
3
( ) ( )
( ) ( ) ( )

x
x y y y
x x y xy y x y
x
x x y y x y
x x x y y
x x y x y
x
x y x y
x y x x y y
− + +
− + − + +
=
+ +
 
− +
− +
 
= = =
 
+ +
+ − +
 
(0,5điểm)
Xét:
3 3 3 ( ) 3
( )( )
xy y y x y y
x y
x y x y x y

− −
= =
−
+ − +
3 3( )
3
3
y x y
x
B
x y x y x y
+
= + = =
+ + +
(0,5điểm)
Đáp số : B = 3
Câu 2: (2,0điểm)
3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh (1,0 điểm)

3 3 3 3 3 3
2 2 2
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + +
+ + ≥ + +
Ta có:
2 2 2
2 2 3 3
3 3

3 3
0; 0 : ( )( ) 0 ( ) ( ) 0
( )( ) ( ) 0 ( ) 0
( )
( )
2 2
a b a b a b a b a ab b ab
a b a ab b ab a b a b ab a b
a b a b
a b ab a b
ab
 
> > + − ≥ ⇔ + − + − ≥
 
⇔ + − + − + ≥ ⇔ + − + ≥
+ +
⇔ + ≥ + ⇔ ≥
(0,5điểm)
Tương tự ta có:
3 3 3 3
( ) ( )
;
2 2 2 2
b c b c c a c a
bc ca
+ + + +
≥ ≥
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b b c c a a b b c c a
ab bc ca
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + + + + +
+ + ≥ + +
+ + +
⇔ + + ≥ + +
(0,5điểm)
Đáp số: Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh
4.
( 1)( 3)( 4)( 6) 10 0;a a a a a− − − − + > ∀
(1,0 điểm)
Ta có:
[ ] [ ]
( 1)( 3)( 4)( 6) 10 ( 1)( 6) ( 3)( 4) 10a a a a a a a a− − − − + = − − − − +
2 2
( 7 6)( 7 12) 10a a a a= − + − + +
; Đặt t = a
2
– 7a + 9 (0,5 điểm)
2 2
( 3)( 3) 10 9) 10 1 0;t t t t t= − + + = − + = + > ∀
(0,5 điểm)
Đáp số: Bất đẳng thức đã được chứng minh
Câu 3 : (2,0điểm)
5. Cho biểu thức

2 1 2 1P x x x x= + − + − −
xác định x để P đạt giá trị nhỏ nhất. (1,0 điểm)
1 2 1 1 ( 1) 2 1 1; 1(*)P x x x x x= − + − + + − − − + ≥
1 1 1 1x x= − + + − −
Nếu 1 1 0 1 1 1 1 2x x x x− − ≤ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ (0,5 điểm)
1 1 1 1 2 1P x x x= − + + − − = − đối chiếu điều kiện (*);
2x ≥
; ta có: 2 1P x= −
Nếu 1 1 0 1 1 1 1 2x x x x− − ≥ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤
Ta có:
1 1 1 1 2P x x= − + + − − =
; đối chiếu (*) ta có
1 2 2x P≤ ≤ ⇒ =
Vậy ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 2 min 2 1 2P x x x x P x= − + + − − ≥ + − + − − = ⇒ = ⇔ ≤ ≤
(0,5 điểm)
Đáp số:
[ ]
1;2x∈
thì giá trị nhỏ nhất của P bằng 2
6. Giải phương trình:
2
7 6 5 30x x x− = + − (0,5 điểm)
2 2 2
2
2 2
2
7 6 5 30 7 6 5 30 0 ( 8 16) ( 5 6 5 9) 0
4 0 4
( 4) 0

( 4) ( 5 3) 0 4
5 3 0 5 3
( 5 3) 0
x x x x x x x x x x
x x
x
x x x
x x
x
− = + − ⇔ − − + + = ⇔ − + + + − + + =


− = =
− =

  
⇔ − + + − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
  
+ − = + =
+ − =






Đáp số: Vậy tập nghiệm của phương trình
{ }
4S =
7. Giải hệ phương trình:

2 1
1 2
x y y
y x
 − = −

+ =

(0,5 điểm)
4
5
3 1
3
2 1
2 1
5
1 2
1 2
1 2
3
2 1
1
3
x
x y
x y y
y
x y
x y y
x y

x
y x
x y
y


=





 − = −



 − = −
 
=


− =

  


⇔ ⇔ ⇔
− = −





+ =
 


=

+ =





− =







=




Đáp số: Tập nghiệm của hệ phương trình:
4 3 2 1
; , ;

5 5 3 3
S
 
   
=
 
 ÷  ÷
   
 
Câu 4: ( 2,0điểm)
8. Cho đường thẳng (d
m
) : 2mx + (3m – 1)y – 6 = 0
a. Tìm đường thẳng ( d ) đi qua điểm A( - 1 ; - 3 ) và xác định hệ số góc của đường thẳng
đó (1,0 điểm)
( ) 2 ( 1) (3 1)( 3) 6 0
11 3 0
3
11
m
A d m m
m
m
∈ ⇔ − + − − − =
⇔ − − =
⇔ = −
(0,5 điểm)
Khi
3
11

m = −
đường thẳng
3 33
( ) : 3 10 33 0
10 10
d x y y x+ + = ⇔ = − −
(0,25 điểm)
Hệ số góc của đường thẳng (d) là
3
10
k = −
(0,25 điểm)
Đáp số: Đường thẳng (d) cần tìm là:
3 33
10 10
y x= − −
và hệ số góc
3
10
k = −
b. Tìm điểm cố định B của (d
m
) với mọi m (1,0 điểm)
Giả sử B(x;y) là điểm cố định của họ (d
m
) với mọi m
2 (3 1) 6 0,
(2 3 ) 6 0,
2 3 0 9
6 0 6

mx m y m
x y m y m
x y x
y y
⇔ + − − = ∀
⇔ + − − = ∀
 + = =

⇔ ⇔
 
− − = = −


Đáp số: M(9; -6)
Câu 5: (2,0điểm)
9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn ( c ) đường kính AB, O là tâm đường
tròn ( c ), Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E
là giao điểm của AD và OT
T
D
O
B
C
A
H
E
a. Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a (1,0 điểm)
Ta có:
( , )DCE TCE EC chung CT CD BC∆ = ∆ = =
ET ED x

⇒ = =
Mà
2
2
a
OA
AE a x
a
OE OT TE x
⇒ =
= −
= + = +
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AOE: OE
2
= OA
2
+ AE
2

( )
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2
4 4
3
( 0)

3
a a
x a x
a a
x ax a x ax
ax a
a
x a
   
⇔ + = + −
 ÷  ÷
   
⇔ + + = + + −
⇔ =
⇔ = ≠
Đáp số:
3
a
x =
b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó.
(1,0 điểm)
2
2
. ( 2 ) 5
2 3
( )
2 2 4 4 12 3
OCE
a a
a x a a

CT OE a a x a a
S khi x
∆
   
+ +
 ÷  ÷
+
   
= = = = = =
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông BOC: OC
2
= OB
2
+ BC
2
=
2 2
2
5 5
4 4 2
a a a
a OC+ = ⇔ =
2
2
. 5 5 5
2. :
2 12 2 3
OCE
OCE
S

EH OC a a a
S EH
OC
∆
∆
= ⇔ = = =
Đáp số:
2
5 5
;
12 3
OCE
a a
S EH
∆
= =