Gián án TÀI LIỆU ÔN TẬP SỐ PHỨC ĐẦY ĐỦ

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
§1. SỐ PHỨC
Số tiết : 3LT + 1BT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Khái niệm số phức :
• Tập hợp số phức :
£
• Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b
∈
R, i đơn vị ảo, i
2
= −1) ; a là phần thực, b là phần
ảo của z.
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0.
• z là số ảo
⇔
phần thực của z bằng 0.
• Hai số phức bằng nhau :
a + bi = c + di
⇔

a c
b d

=

=

(a, b, c, d

∈
R)
2. Biểu diễn hình học số phức :
Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi
vecto
u
r
= (a ; b) trong mp tọa độ Oxy (mặt phẳng phức).
3. Phép cộng và phép trừ số phức :
• (a + bi)
±
(c + di) = (a
±
c) + (b
±
d)i.
• Số đối của z = a + bi là −z = −a – bi .
• Tính chất :
o Kết hợp : (z + z’) + z” = z + (z’ + z”) với mọi z, z’, z”
∈
£
.
o Giao hoán : z + z’ = z’ + z với mọi z, z’
∈
£
.
o Cộng với 0 : z + 0 = 0 + z = z với mọi z
∈
£
.

• z biểu diễn bởi
u
r
, z’ biểu diễn bởi vecto
'u
ur
thì : z
±
z’ biểu diễn bởi
u
r

±

'u
ur
.
4. Phép nhân số phức :
• (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.
k là số thực, z biểu diễn bởi vecto
u
r
thì kz biểu diễn bởi k
u
r
.
• Tính chất :
o Giao hoán : zz’ = z’z với mọi z, z’
∈
£

.
o Kết hợp : (zz’)z” = z(z’z”) với mọi z, z’, z”
∈
£
.
o Nhân với 1 : 1.z = z.1 = z với mọi z
∈
£
.
o Phân phối : z(z’ + z”) = zz’ + zz” với mọi z, z’, z”
∈
£
.
5. Số phức liên hợp và môđun của số phức :
• Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z
= a – bi. Như vậy :
z a bi a bi= + = −
o
; ' ' ; ' . '= + = + =z z z z z z zz z z
o z là số thực
⇔
z =
z
; z là số ảo
⇔
z = −
z
.
• Môđun của số phức z = a + bi là số thực không âm

2 2
.z a b z z OM= + = =
uuuur
o
0, ; 0 0z z z z≥ ∀ ∈ = ⇔ =£
o
' . ' , ' 'zz z z z z z z= + ≤ +
với mọi z, z’
∈
£
.
6. Phép chia cho số phức khác 0 :
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp
85
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
• Số phức nghịch đảo của z (z ≠ 0) là
1
2
1
z z
z
−
=
• Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) :
1
2
' '. '.
'.
.
z z z z z

z z
z
z z
z
−
= = =
• Với z ≠ 0,
'
w ' w
z
z z
z
= ⇔ =
;
'
' ' '
,
z
z z z
z z z
z
 
= =
 ÷
 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1 : a) Số phức z = 2 + 3i có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 3.
b) Số phức z = −I có phần thực bằng 0, phần ảo bằng −1, đó là số ảo.
Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy:
a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức.

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức.
Giải:
a) Vecto
OM
uuuur
biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto
'OM
uuuur
biểu diễn số
phức z’ = 2 + i
b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi
vecto
OP
uuur
.
z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi
vecto
OQ
uuur
.
Ví dụ 3: Tính : (2 – i)(1 + 2i) = (2 + 2) + (4 – 1)i = 4 + 3i.
(2 + i)(2 – i) = (4 + 1) + (−2 + 2)i = 5.
(2 + i)(1 + 2i) = (2 – 2) + (4 + 1)i = 5i.
(bi)
2
= b
2
.i
2
= −b

2
(b ∈R).
i
3
= i
2
.i = −i, i
4
= 1, i
5
= i.
(1 + i)
3
= 1 + 3i + 3i
2
+ i
3
= −2 + 2i.
Ví dụ 4: Phân tích z
2
+ 4 thành nhân tử.
Giải:
z
2
+ 4 = z
2
− 4i
2
= (z – 2i)(z + 2i). Tông quát nếu a là số thực thì : z
2

+ a
2
= (z + ai)(z – ai).
Ví dụ 5: Tính :
2 2
3 (3 )(1 ) 2 4
1 2
1 (1 )(1 )
1 1
i i i i
i
i i i
− − − −
= = = −
+ + −
+
( )
2
2
2
2 2 ( 2 2 )( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 4 2 1 2 2
6 3
2 2 ( 2 2 )( 2 2 )
2 2
i i i i i i
i i i
+ + + + − + − +
= = = =
− − +
+

Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn : (1 + 2i)z = 3z – i.
Giải: Ta có : (1 + 2i)z = 3z – i ⇔ (−2 + 2i)z = −i
⇔ z =
(2 2 ) 2 2 1 1
2 2 2 2 (2 2 )(2 2 ) 8 4 4
i i i i i
i
i i i i
− + − + −
= = = = +
− + − − +
C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
1. Tự làm.
2. Tự làm.
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp
86
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
3. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều
có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh
biểu diễn số i.
Giải:
Gọi D là điểm biểu diễn số i⇒ A biểu diễn số −i.
Dễ thấy điểm E có tọa độ
3 1
os ;sin ;
6 6 2 2
c
 
π π
 

=
 ÷
 ÷
 
 
nên E biểu diễn
số phức
3 1
2 2
i+
; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức
3 1
2 2
i− +
; F biểu diễn số phức
3 1
2 2
i−
; B biểu diễn số phức
3 1
2 2
i− −
.
4. Thực hiện phép tính :
2 2
1 2 3 2 3
2 3 13
2 3
i i
i

+ +
= =
−
+
;
1 3
1 1 3
2 2
1 3
2 2
1 3
4 4
2 2
i
i
i
+
= = +
+
−
3 2
(3 2 )( ) 2 3
i
i i i
i
−
= − − = − −
;
3 4 (3 4 )(4 ) 16 13
4 16 1 17

i i i i
i
− − + −
= =
− +
5. Cho z =
1 3
2 2
i− +
. Hãy tính :
2 3 2
1
; ; ; ( ) ; 1z z z z z
z
+ +
.
Giải:
2
1 3
1 1 3
2 2
1 3
2 2
.
4 4
i
z z
i
z
z z

z
− −
= = = = − −
+
; z
2
=
1 3 1
2 2
i z
z
− − = =
3 2
( ) .( ) 1z z z= =
; 1 + z + z
2
= 0.
6. Chứng minh rằng :
a) Phần thực của số phức z bằng
1
( )
2
z z+
, phần ảo của số phức z bằng
1
( )
2
z z
i
−

.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z = −
z
.
c) Với mọi số phức z, z’, ta có
' 'z z z z+ = +
,
' . 'zz z z=
và nếu z ≠ 0 thì
' 'z z
z
z
 
=
 ÷
 
.
Giải:
a) Gọi số phức z = a + bi (a là phần thực, b là phần ảo) ⇒
z
= a – bi.
⇒ z +
z
= 2a ⇒ a =
1
( )
2
z z+
z -
z

= 2bi ⇒ b =
1
( )
2
z z
i
−
b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0
⇔
z +
z
= 0 ⇔ z = −
z
.
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp
87
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
c) Gọi số phức z = a + bi và z’ = c + di .Khi đó
z
= a – bi và
'z
= c – di.
⇒
z
+
'z
= (a + c) - (b + d)i, mà z + z’ = (a + c) + (b + d)i⇒
'z z+
= (a + c) - (b + d)i =
z

+
'z
.
Tương tự cho các đẳng thức còn lại.
7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có :
i
4m
= 1 ; i
4m+1
= i ; i
4m+2
= −1 ; i
4m+3
= −i.
Giải:
i
4m
= (i
4
)
m
= (−1)
2m
= 1
m
= 1 ; i
4m+1
= i
4m
.i = i

i
4m+2
= i
4m+1
.i = i.i = −1
;
i
4m+3
= i
4m+2
.i = −i.
8. Chứng minh rằng :
a) Nếu vecto
u
r
của mp phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vecto
u
r
là
u z=
r
, và từ đó nếu các
điểm A
1
, A
2
theo thứ tự biểu diễn các số phức z
1
, z
2

thì
1 2 2 1
A A z z= −
uuuur
.
b) Với mọi số phức z, z’, ta có
. ' . 'z z z z=
và khi z ≠ 0 thì
'
'
z
z
z z
=
.
c) Với mọi số phức z, z’, ta có
' 'z z z z+ ≤ +
.
Giải:
a) Ta có : z = a + bi ⇒
2 2
z a b= +
, và
u
r
biểu diễn số phức z thì
u
r
nên độ dài vecto
u

r
là
2 2
a b+
, do đó
u z=
r
.
Nếu A
1
, A
2
theo thứ tự biểu diễn z
1
, z
2
thì vecto
1 2 2 1
A A OA OA= −
uuuur uuuur uuur
biểu diễn z
2
– z
1
nên
1 2 2 1
A A z z= −
uuuur
(đpcm).
b) Ta cần chứng minh :

2 2 2
. ' . 'z z z z=
và với z ≠ 0 thì :
2 2 2
'
' '. 1 1
'. ' .
z
z z z
z z z z
z z
z z z
= = = =
c) Gọi z = a + bi, z’ = c + di ⇒ z + z’ = (a + c) + (b + d)I
⇒
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' 2( ) 2 ( )( )z z a b c d ac bd a b c d a b c d+ = + + + + + ≤ + + + + + +
=
(
)
( )
2
2
2 2 2 2
'a b c d z z+ + + = +
⇒
' 'z z z z+ ≤ +
9. Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:
a)


z – i

= 1 b)
1
z i
z i
−
=
+
c)
3 4z z i= − +
Giải: Gọi z = a + bi
a) ⇒ z - i = a + bi - i = 1 ⇔ a + (b – 1)i = 1 ⇔ a
2
+ (b – 1)
2
= 1, Vậy tập hợp các điểm biểu
diễn số phức z là đường tròn có tâm I(0 ; 1) và bán kính bằng 1.
b)
2 2 2 2
( 1)
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0
( 1)
z i a b i
a b i a b i a b a b b
z i a b i
− + −
= = ⇔ + − = + + ⇔ + − = + + ⇔ =
+ + +

Vậy z là số thực.
c) Ta có :
3 4z z i
= − +
⇔ a + bi = a – bi – 3 + 4i ⇔a + bi = (a – 3) + (4 – b)i
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp
88
Ti liu Ging dy Toỏn 12 nõng cao Giỏo viờn: Phan Cụng Tr
a
2
+ b
2
= (a 3)
2
+ (4 b)
2
6a + 8b 25 = 0. Vy tp hp cỏc im biu din s phc z l mt
ng thng.
LUYN TP
10. Chng minh rng vi mi s phc z 1, ta cú :
1 + z + z
2
+ . . . + z
9
=
10
1
1
z
z

Gii:
Do (1 + z + z
2
+ . . . + z
9
)(z 1) = z + z
2
+ z
3
+. . . .+z
10
(1 + z + z
2
+ . . . + z
9
) = z
10
1 nờn khi z 1
ta chia hai v cho z 1 thỡ c ng thc cn chng minh.
11. Hi mi s sau õy l s thc hay s o (z l s phc tựy ý cho trc sao cho biu thc xỏc nh)
?
2 2
2 2
3 3
( )
( ) ; ;
( ) 1 .
z z z z

z z
z z z z

+
+ +
Gii: Gi z = a + bi
z
= a bi.

2 2 2
( ) ( ) 2 .z z z z z z+ = +
l s thc. Vỡ z +
z
l s thc v z.
z
l s thc.
z -
z
l s o v z
3
+ (
z
)
3
= (z +
z
)[(z +
z
)
2

3z.
z
) l s thc nờn
3 3
( )
z z
z z

+
l s o.
z
2
(
z
)
2
= (z +
z
)(z -
z
) l s o v 1 + z.
z
l s thc nờn
2 2
( )
1 .
z z
z z

+

l s o.
12. Xỏc nh tp hp cỏc im trong mp phc biu din cỏc s phc z tha món tng iu kin sau:
a) z
2
l s thc õm b) z
2
l s o
c) z
2
= (
z
)
2
d)
1
z i
l s o.
Gii:
a) z
2
l s thc õm z l s o. Vy tp hp cỏc im biu din s phc z nm trờn trc o (Oy), tr
im O
b) Gi z = a + bi z
2
= a
2
b
2
+ 2abi l s o a
2

b
2
= 0 b = a. Vy tp hp cỏc im biu
din s phc z nm trờn hai ng phõn giỏc ca cỏc gc ta .
c) z
2
= (
z
)
2
(z +
z
)(z
z
) = 0





z + z = 0 ( )
z - z = 0 ( )
truùc thửùc
truùc aỷo
. Vy tp hp cỏc im l cỏc trc ta .
d)
1
z i
l s o z i l s o x + (y 1)i l s o x = 0 v y 1. Vy tp hp cỏc im biu
din nm trờn trc Oy (tr im cú tung bng 1).

13. Tỡm nghim phc ca cỏc phng trỡnh sau :
a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i)
z
- 4 = 0
d) (iz 1)(z + 3i)(
z
- 2 + 3i) = 0 e) z
2
+ 4 = 0.
Gii:
a) z =
2
1 2
i
i
i

= +
b) z =
1 1 3
1 3 10 10
i
i

= +
+
Trng THPT Thanh Bỡnh 2 Thanh Bỡnh ng Thỏp
89
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
c)

z
=
z =
4 8 4 8 4
2 5 5 5 5
i i
i
= + ⇒ −
−
d) z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i
e) z = ±2i.
14. a) Cho số phức z = x + yi (x, y
∈
R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
z i
z i
+
−
.
b) Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z i
z i
+
−
là số
thực dương.
Giải:
a)
2 2
2 2 2 2 2 2

( 1) [ ( 1) ].[ ( 1) ] 1 2
( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
+ + + + + − − + −
= = = +
− + −
+ − + − + −
z i x y i x y i x y i x y x
i
z i x y i
x y x y x y
Vậy phần thực là
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
+ −
+ −
và phần ảo là
2 2
2
( 1)
x
x y+ −
b)
z i
z i
+

−
là số thực dương ⇔
2 2
2
( 1)
x
x y+ −
= 0 và
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
+ −
+ −
> 0 ⇔
2 2
0
0
1 1
1 0
x
x
y hoaëc y
x y

= 
=


⇔
 
< − >
+ − >



Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z nằm trên trục Oy bỏ ra đoạn thẳng IJ (I biểu diễn số i, J biểu diễn
số −i).
15. a) Trong mp phức, cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z
1
, z
2
,
z
3
. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào ?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mp phức theo thư tự biểu diễn 3 số phức phân biệt z
1
, z
2
, z
3
thỏa mãn :
z
1
 = z
2
 = z
3

. Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của tam giác đều khi và chỉ khi z
1
+ z
2
+ z
3
=
0.
Giải:
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có :
1
( )
3
OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
Suy ra , G biểu diễn số phức
1 2 3
(z + z + z )
1
3
.
b) Ba điểm A, B , C (hay 3 vecto
, ,OA OB OC
uuur uuur uuur
) biểu diễn 3 số phức z
1
, z
2
, z
3

thỏa mãn z
1
 = z
2
 =
z
3
 ⇔ OA = OB = OC (theo 8.a)) tức là điểm O cách đều 3 điểm A, B, C hay 3 điểm đó nằm trên
đường tròn tâm O (gốc tọa độ).
A, B, C là 3 đỉnh của tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC hay G ≡ O ⇔ z
1
+ z
2
+ z
3
= 0 (theo a)).
16. Đố vui. Trong mp phức cho các điểm : O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z
không thực, A’ biểu diễn số phức z’ ≠ 0 và B’ biểu diễn số phức z.z’. Hai tam giác OAB, OA’B’ có
phải là hai tam giác đồng dạng không ?.
Giải:
Theo gt ta có: OA = 1; OA’ = z’ ; OB = z ; OB’ = z.z’ ; AB = z − 1 ; A’B’ = z.z’ −z’.
Và :
z' z.z' z.z'- z'
OA' OB' A'B'
= = z' , = = z' , = = z'
OA 1 OB AB
z z -1
Do đó hai tam giác OAB, OA’B’ đồng dạng với tỉ số đồng dạng là z’.
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp

90
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
§2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Số tiết : 2LT + 1BT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Căn bậc hai của số phức :
• z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z
2
= w.
• z = x + yi (x, y∈R) là căn bậc hai của w = a + bi (a, b∈R)
⇔
2 2
2
x y a
xy b

− =


=


.
• Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
• Số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là 2 số đối nhau.
• Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là
a±
.
• Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là
.a i± −

.
2. Phương trình bậc hai :
Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước A ≠ 0)
• Tính ∆ = B
2
– 4AC
• ∆ ≠ 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
(
2
B
A
δ
δ
− ±
là một căn bậc hai của ∆)
• ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép z
1
= z
2
=
2
B
A
−
.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của :
a) −1 b) −a

2
(a là số thực khác 0) c) −5 + 12i d) i
Giải:
a) −1 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là
i
±
.
b) −a
2
là số thực âm nên có hai căn bậc hai là
ai±
.
c) Đặt w = −5 + 12i. Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w
⇔
2 2
2
5
2
2 12
6
x
x y
x
xy
y
x


=




− = −
 
= −

⇔
 
=



=


Vậy có hai căn bậc hai của −5 + 12i là : 2 + 3i và −2 – 3i.
d) Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w = i
⇔
2 2
2
0
2
2 1
1
2
x
x y
xy
y
x


= ±


− =
 
⇔
 
=



=


Vậy có hai căn bậc hai của i là :
2
(1 )
2
i± +
.
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp
91
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) z
2
– z + 1 = 0 b) z
2
+ (−2 + i)z – 2i = 0

Giải:
a) Ta có : ∆ = 1 – 4 = −3 là số thực âm nên một căn bậc hai của ∆ là :
3i
.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt z
1
=
1 3
2
i+
và z
2
=
1 3
2
i−
b) Ta có : ∆ = (i – 2)
2
– 4(−2i) = 3 – 4i + 8i = 3 + 4i = (2 + i)
2
( hay ta đi tìm một căn bậc 2 của ∆).
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt : z
1
=
2
2 -i - 2 -i
z = = i
2
2 2
2,

2
i i− + +
= -
.
C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
17. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau :
−i ; 4i ; −4 ; 1 +
4 3
i
Giải:
Hai căn bậc hai của −i là :
1 1 1 1
,
2 2 2 2
i i− + −
.
Hai căn bậc hai của 4i là :
2 2 , 2 2i i+ − −
.
Hai căn bậc hai của 1 +
4 3
i là :
2 3 , 2 3i i+ − −
.
18. Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì z =
w
Giải:
z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z
2
= w ⇒ z

2
 = z
2
= w ⇒ z =
2
z = w
.
19. Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau :
a) z
2
= z + 1 b) z
2
+ 2z + 5 = 0 c) z
2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
Giải:
a) z =
1 5
2 2
±
b) z = −1 ± 2i c) z = 2i và z = −1 + i/
20. a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc
hai với hệ số phức không ? Vì sao ?
b) Tìm hai số phức , biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai z
2
+ Bz + C = 0 (B, C là 2 số phức ) nhận hai nghiệm là hai số
phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực ? Vì sao ?Điều ngược lại có đúng
không ?
Giải:

a) Từ công thức nghiệm của phương trình bậc hai
(
2
B
A
δ
δ
− ±
2
= B
2
– 4AC) chứng tỏ z
1
+ z
2
= −B/A
và z
1
.z
2
= C/A ⇒ công thức vẫn còn đúng.
b) Hai số phức cần tìm là nghiệm phương trình : z
2
– (4 – i)z + 5(1 – i) = 0. Giải ra ta được hai
nghiệm là : 3 + i và 1 – 2i.
c) Nếu phương trình z
2
+ Bz + C = 0 có 2 nghiệm z
1
, z

2
là 2 số phức liên hợp thì z
2
=
1
z
.
Theo công thức Vi-ét, B = −(z
1
+ z
2
) = −(z
1
+
1
z
) là số thực và C = z
1
.z
2
= z
1
.
1
z
là số thực.
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – Đồng Tháp
92