Phuong trinh chua can thuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (208.29 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

A. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức
I. Sử dụng các phép biến đổi

Một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng khi giải phương trình, bất phương
trình chứa căn thức

 

f x g x

g x





  





 

f x g x

g x

   

  

  





 

f x g x

g x





  





 

f x g x

g x

   

  

  



 hoặc

 

0
0

f x
g x





 



 

0
0

f x g x

f x g x f x

g x

   



  

 



Khi sử dụng các phép biến đổi phương trình mà có thể xuất hiện nghiệm ngoại lai, ta cần
dùng phép thử trực tiếp để loại nghiệm khơng thích hợp.

Cẩn thận với những biến đổi mà có thể thu hẹp tập xác định của phương trình, bất phương
trình (ví dụ: AB thành A B. ) vì khi ấy có thể làm mất nghiệm.

VD1. Giải phương trình: 2x 1 x 3 3

VD2. Giải phương trình: x x2 1 x x2 1 2



x31



VD3. Giải phương trình:

2
1
1

5
3

x x

x

  



VD4. Giải phương trình: 3 3

3 3

x x

x

x x x x

   

   

VD5. Giải phương trình: x2  x x



 3



x x



2 1



VD6. Giải phương trình: 3 x 1 3 2x 1 33x1
VD7. Giải phương trình: 1 x x22x5
VD8. Giải phương trình: x x  1 7 0
VD9. Giải phương trình: x2  3x 2 2x1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

VD12. Giải phương trình: 
2

3 2 1
3 2

x

x x

x    
VD13. Giải bất phương trình:  x2 6x 7 2x4
VD14. Giải bất phương trình: 33x2 1 32x21
VD15. Giải bất phương trình: x 2



x3

 

x8



VD16. Giải bất phương trình: x2 3 x22x1
VD17. Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x4
VD18. Giải bất phương trình:





2 16 7

3 3

x x

x

x x

 

  

 

VD19. Giải bất phương trình: 3x27x 3 x2   3x 4 x2 2 3x25x1
VD20. Giải bất phương trình: x24x 3 2x2   3x 1 x 1

VD21. Giải bất phương trình: 3x2 x 4 2 2

x

    

VD22. Giải bất phương trình: 12 2 12 2

11 2 9

x x x x

x x

    

 

VD23. Giải bất phương trình: 2 2

1 3

1 1

x

x  x 

 

VD24. Giải bất phương trình: 4



x1

 

2  2x10 1





 3 2 x



VD25. Giải bất phương trình: 2 1 1
2 1
2x 3x5  x
VD26. Giải bất phương trình:



x3



x2 4 x2 9

VD27. Giải bất phương trình: x2  x 1 x2  x 1 2 2x26x2
VD28. Giải bất phương trình: 1 1 4x2 3

x

  

VD29. Giải bất phương trình:



x23x



2x2  3x 2 0
VD30. Giải bất phương trình:





2 4

1 1

x

x  

 

BÀI TẬP
Giải các phương trình, bất phương trình sau:

1. x 2 2x 3 3x5
2. x  9 5 2x4
3. x 5 x 3 2x4
4. 1 x 1 6x

5. 3x 4 2x 1 x3
6. x 1 4 x 1

7. 3x 3 5 x 2x4



x1 2

 

x 7





x1

 

x6







x1 7

 

x1



9. 2 2 2 2

2 2 2 2

x x

   

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

13. x  3 1 3x1

14. 4 1 3 2 3

x

x  x  

15. 3 x x2  2 x x2 1
16.  x2 4x 2 2x

17. 16x17 8 x23
18. x26x 6 2x1
19. 2x26x  1 x 2

20.



x3 10



x2 x2 x 12
21. 6x 1 2x 1 2

22.

2 2

2x 8x 6 x  1 2x2
23.

2 7 4

4
2
x x
x
x
  


24. x x



 1



x x



2



2 x2
25. x  1 1 x x8

26. 3 x343 x 3 1
27. 3 2x 1 x3163 2x1
28. 3 x 1 3 x 2 3 2x3
29. 3 x 1 3 7 x 2
30. 3 x3 2x 3 312



x1



31. 1 x 1 x x

32. 2

3 2 2 5

x   x x

33. 2x 1 2x3

34. 7x 13 3x 9 5x27
35. 3x 4 x 3 4x9
36. x 4 x 1 x3
37. x 1 x 1 4

38. 2x 7 5 x 3x2

39. 3 1 1

x x

   
40. x  1 3 x4

41. x 2x 3 2
42. x  2 1 x

43. 2 x 1 x  2 x 2
44. x12 x 3 2x1
45. 5 4 x  5 4 x 4
46. 5x 1 4x 1 3 x

47. 7x 13 7x 11 14x1
48. 3x 2 x 7 5

49. x 3 2x 8 7x

50. x x24x 1
51. x42x2  1 1 x
52.  x2 6x  5 8 2x
53. x2   3x 2 x 3
54. x2  1 x 1
55. 4 1 x 2x

56. x2 x x

57. 1 1

4  x x 2
58.

1 1 2

x

x x

    
59. 1 x x2 1 0
60. 1 x x2 1 x

61. x2  3x 2 x24x 3 2 x25x4
62.

2 8 15 2 2 15 2 2 18 18

x   x x  x  x  x
63. 5 3 1

x

x  
64. 8 2 2 1

6 3

x x
x

  



65.





2
2
2

21
3 9 2

x

x  

 

66. 12 3 1 1

4 2

x   x

67. 1 21 4 2 0
1

x x
x

   



68. x 12 x 12 2

x x x

   

69. 2 2 1 1

2 9

x

x   

70. 2 4 2 2 122 8
9 16
x
x x
x


   

71. 4 1 x 2 x 0
72. 1 1 8 2 1

x
x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

73.





2
2
4

2 9
1 1 2

x

x  

 

74. 2 1 2





x
x

x


 



75. x 1 1 1 x 1

x x x


   

76. 3 2x 1 36x 1 32x1

II. Phương pháp đặt ẩn số phụ

VD1. Giải phương trình: 2 2

5 3 2 4 5 2

x   x  x  x

VD2. Giải phương trình: 3 2 2

3 2 2 6 5

x   x x  x

VD3. Giải phương trình: 2

2 2 4 15 4 4

x  x  x  x 

VD3. Giải phương trình: 2 2

2x 5x 2 2 2x 5x 6 1
VD4. Giải phương trình:



 

4 3



1 3

x

x x x

x



     


VD5. Giải phương trình: 1 2 2 1

3 x x x x

    

VD6. Giải phương trình: 4 2 2

1 1 2

x x   x x  

VD7. Giải phương trình:



1 4 x



4x2 1 8x22x1
VD8. Giải phương trình: 2

2x   3x 2 x 3x2
VD9. Giải phương trình: 3 x 1 3 7 x 2

VD10. Giải phương trình: 6 x x 2 2 1



4



6x x

 

2



VD11. Giải phương trình: x3 1 2 23 x1

VD12. Giải phương trình: 3 x 2 x 1 3

VD13. Giải phương trình: 2 33 x 2 3 6 5 x 8 0
VD14. Giải phương trình: 2

1 1

x  x 

VD15. Giải phương trình: 1 1x2 x



1 2 1 x2



VD16. Giải phương trình: 2 1 2 1 3
2

x

x x  x x  

VD17. Giải bất phương trình: 2 2

2x  x 5x 6 10x15
VD18. Giải bất phương trình: 5 5 2 1 4

2
2

x x

x
x

   

VD19. Giải bất phương trình: 2 1 3
1

x x



 



VD20. Giải bất phương trình: 2 1235
1

x
x

x

 



VD21. Giải bất phương trình: x 1 x 3 2



x1

 

x  3



4 2x

VD22. Giải bất phương trình: 415 x 42 x 1
VD23. Giải bất phương trình:





5 5

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1. x2 x x2 x 13 7
2.



x1 2

 

x



 1 2x2x2

3. 3x215x2 1 5 x x 2 2

4. x24x 8 x24x 4 2x28x12
5. 2x25x 2 2x25x 9 1

6. 497 x 4 x15 4
7. 3 2 x x 1 1

8. x 4x2  2 3x 4x2
9. x23x  1



x 3



x2 1

10. 3x 2 x 1 4x 9 2 3x25x2
11. x2 7 x 2 x   1 x2 8x7
12. x 4 x 4 2x 12 2 x216
13. x 2 4 x x26x11

14. x 2 x 2 4x 15 4 x24
15. x 1 4 x



x1 4

 

x



5
16. 418 x 4 x 1 3

17. x 3 3 x 1

18. 3



2x



2 3



7x



2 3



2x

 

7x



3
19. 7 2 7 4 9

x

x  x 

20. x2 x2 11 31
21. 3 x 7 x 1
22. x33 2 33  x2

23. 3 2 3 1 1 2

1 2 2

x

x   x 

24.

3 3

7 5

x x

x

x x

    
  

25. x3 35x x3



335x3



30

26. 2 2 1 2 2 1 5

x

x  x  x  x  

27. 2 x24x   3 x2 4x5
28. x23x 5 x2   3x 7

29. 5     x x 3 1



5x

 

 x 3



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

32. 7x 7 7x 6 2 49x27x42 181 14  x
33. 2x24x3 3 2 x x 2 1

34. 3 3 2 1 7

2
2

x x

x
x

   

35. 4 5 1

x x


  


III. Phương pháp hàm số, đánh giá hai vế

VD1. Giải bất phương trình: 2 x x  1 4 3
VD2. Giải bất phương trình: x 9 2x 4 5

VD3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 4x và áp dụng để giải phương trình:
2

2 4 6 11

x   x x  x

VD4. Giải các bất phương trình: x   1 x 3 2



x3



22x2
B. Một số phương trình, bất phương trình chứa tham số

VD1. Giải và biện luận phương trình: 2

2 1 2

x  mx  m

VD2. Giải và biện luận phương trình: 1 1

2 4

x x  x m

VD3. Giải và biện luận phương trình: 2 2
1

x  x m   x m

VD4. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm: 2

2 2 1

x mx  x

VD5. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2

8 2

m x   x

VD6. Tìm k để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2

3 1

2 1
2 1

x

x kx

x   

VD7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 4   x x2 4x m
VD8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 6 9 6 9

x m

x x  x x  

VD9. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm: x 1 3 x



x1 3

 

x



m

VD10. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 24 x21
VD11. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 2x 2x2 64  x 2 6 x m
VD12. Tìm m để m



1x2  1x2  2



2 1x4  1x2  1x2 có nghiệm.
VD13. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x x12m



5 x 4x



VD14. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m x2  3x 2 x
VD15. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x2:





2 2 2 0

x m x m  m

VD16. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x  3 m 1

VD17. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 3 2





3 1 1

x  x  m x x

VD18. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x 



3;6



2 2

3 6 18 3 1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VD19. Tìm các giá trị âm của tham số a để hệ BPT sau có nghiệm:

2 3

ax a x

a
x

x x

  





 





VD20. Với giá trị nào của a thì mỗi nghiệm của BPT: x24x   3 x 1
Đều là nghiệm của phương trình: x a   x 1 2

BÀI TẬP

1. Giải và biện luận phương trình: x x



  1



a x
2. Giải và biện luận phương trình: 5  x x m
3. Giải và biện luận phương trình: x2  x a x

4. Giải và biện luận phương trình: a x a2 2a x
a x

   



5. Giải và biện luận phương trình: a x a   a x

6. Giải và biện luận phương trình: x22a2 x2 1 x

7. Giải và biện luận phương trình: a2x a2x2  a x

8. Giải và biện luận phương trình: x2ax16ax1

9. Giải và biện luận phương trình: x 1 1 x a
10.Giải và biện luận phương trình: 1 1

x a x

x

   



11.Giải và biện luận phương trình: x 2ax a 2  x 2ax a 2  2a

12.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 4 3
2

x
x  x  m
13.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 2x2 1 m

14.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 1x2 m

15.Cho phương trình: x 1 m x 1



m1



x21

a) Giải phương trình khi m2

b) Giải và biện luận phương trình.

16.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x m  2x2mx3

17.Tìm m để phương trình sau có nghiệm có nghiệm duy nhất: 1x2 2 13 x2 m

18.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x22mx  1 2 x

19.Cho phương trình: x 1 x 2m x



1 x



24 x



1x



m3

a) Giải phương trình khi m 1

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm.

20.Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 4x2 2x 1 4x22x 1 2a

21.Xét phương trình: 5 x x 1 6x 5 x2 m

a) Giải phương trình khi m2 1



 2



b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

23.Biện luận số nghiệm của phương trình theo m: x44x m 4 x44x m 2

24.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 x 2 x



2x

 

2x



m

25.Tìm m để phương trình:



2x

 

m 2x



m 2 2 là hệ quả của phương trình:









3
2

2
log 9

3
log 3

x
x





26.Cho phương trình: x 9   x x2 9x m

a) Giải phương trình khi m = 9.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

27.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 7 x 2 x



7x

 

2x



m

28.Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 31 x 31 x a

29.Cho phương trình: x22x m 2   x 1 m

a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Giải và biện luận phương trình.

30.Cho phương trình:





2
2

1
1

a a

x x x

x
x

   




a) Giải phương trình khi a =1
b) Giải và biện luận phương trình.

31.Cho phương trình: x4 x  4 x 4 x 4 m

a) Giải phương trình khi m = 6.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

32.Biện luận số nghiệm phương trình: 2 2
2

1 3

4 3

1 2

x x

a a

x     

33.Giải và biện luận phương trình:2 a x  a x  a x  x a x







34.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2
1

x m m x  

35.Tìm m để phương trình có nghiệm: 2 2

1 1

x   x x   x m
36.Giải bất phương trình sau với mỗi giá trị a0: a x  a x a 

37.Biện luận số nghiệm của phương trình: 2 2

2x sinx 2x cosx   a 1 a 1

38.Cho bất phương trình: a 2x2  7 x a

a) Giải bất phương trình khi 1
2

a

b) Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x.

39.Giải và biện luận theo a: 1 1

1 1

a

x  x  x

40.Tìm m để bất phương trình đúng 1;3
2

x  

   

  :



 







1 2 x 3x  m 2x 5x3

41.Tìm m để bất phương trình có nghiệm: mx x  3 m 1

42.Giải bất phương trình: 2x a2x2 0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

44.Giải và biện luận theo a > 0: n xn x a  n 2an a

45.Giải và biện luận: x2 4 m x



2



46.Cho bất phương trình:



x21



2 m x x2 1 4

a) Giải bất phương trình khi m = 3.

b) Tìm m để bất phương trình thỏa mãn với  x

 

0;1 .

47.Giải và biện luận: x m  x2m  x3m
48.Giải và biện luận bất phương trình:



m1



2 x 1

49.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x m x   1 m 1

50.Giải và biện luận: a x a2 x 2a
x a

   



51.Giải và biện luận: a2x2  b2x2  a b

52.Giải và biện luận: 2x a x

53.Giải và biện luận: a x  a x 2

54.Cho bất phương trình: 4 4



x

 

2x



x22x a 8

a) Giải bất phương trình với a = 6.

</div>

Phuong trinh chua can thuc

<b>PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN</b>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 















 









 















<sub></sub>

<sub></sub>



 





 





 



















<sub></sub>

<sub></sub>











 

 



