áp dụng bất đẳng thức cauchy và bunhiacopski để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

THÁNG : 5 / 2020
CHUYÊN ĐỀ :
ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHIACOPSKI
ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Giáo viên báo cáo: Nguyễn Thị Đường
A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN :
I/ Bất đẳng thức Cô -si ( cauchy):
Với 2 số không âm a;b
2
2
2
2
2
a 2  b 2 �2ab ( vì (a  b) �0 � a  2ab  b �0 � a  b �2ab )

a+b 2 ab ( tương tự )
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b
Từ đẳng thức (1) ta suy ra:
+ Nếu a.b =k ( khơng đổi) thì min (a +b) = 2 k  a = b
k2
+ Nếu a +b = k (không đổi ) thì max( a.b) =
4

 a=b

+ Với a1, a2, a3, …., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 .a 2 .a3 ...a n ( 2)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = …..= an
Từ đẳng thức (2) ta suy ra:
+ Nếu a1.a2.a3 …. an = k (không đổi ) thì Min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n n k
 a1 = a2 = a3 = …..= an

+ Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (khơng đổi ) thì m
+ Mở rộng của BĐT Cô- si
1.

Với 3 số a, b, c không âm
a+b+c 33 abc
Dấu “=” xảy ra  a b c

2.

Với 4 số a, b, c ,d không âm
a+b+c+d 44 abcd


THÁNG : 5 / 2020
Dấu “=” xảy ra  a b c d
3. Đối với n số không âm: a 1 , a 2 , a3 ,....., a n 0
Ta có: a1  a 2  a3  ....  a n n n a1 a 2 a3 ...a n
Dấu “=” xảy ra  a1 a 2 a3 ... a n
+ Biến dạng :
(a  b) 2 �4ab
1 1
4
 �
a b a b
m2 n2 p 2 (m  n  p)2
 
�
với x;y;z >0

x
y
z
x yz

II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski .
+Với 4 số a;b;c;d ta có : (ac  bd )2 �(a 2  b 2 )(c 2  d 2 )
Dấu ‘ =’ xảy ra khi

a b

c d

+Tổng quát : Cho hai bộ  x1 , x2 ,..., xn  � y1 , y2 ,..., yn 
2
2
2
2
2
2
Ta có:  x1. y1  x2 . y2  ...  xn . yn  � x1  x2  ...  xn   y1  y2  ...  yn 
2

Dấu bằng xảy ra �

x1 x2
x

 ...  n .
y1 y2

yn

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
3
1
1
1
Bài 1 : Cho a;b;c >0 và a  b  c � . Tìm GTNN của S  a 2  2  b2  2  c 2  2
2

Bài giải : ( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky)
(a 2 

1 2
4
1
1
4
)(1  42 ) �(a  ) 2 � a 2  2 �
(a  )
2
b
b
b
b
17

Tương tự:
S  a2 

1
1
1 � 1 (a  b  c  4  4  4 )
2
2

b


c

a b c
17
b2
c2
a2

b

c

a


THÁNG : 5 / 2020
abc

4 4 4
1
1

1
3 51
   (16a  )  (16 b  )  (16c  )  15(a  b  c ) �16  16  16  15. 
a b c
a
b
c
2 2

(Áp dụng BĐT Cô si )
Suy ra : S �

=> S Min

1 51
51
. 
17 2 2 17

4
�
16a 
�
a
�
4
�
16b 
�
b

�
51
4
1
�

16c 
� a= b= c =
khi �
c
2 17
2
�
3
�
�a  b  c �2
�
�a; b; c  0
�
�

Bài 2: Cho a;b;c là các số dương thỏa mãn a+b+c �12
Tìm GTNN của P 

a
b
c


b

c
a

Bài giải
a
b
c 2 a2 b2 c 2
a b b c c a


)
Ta có : P  (   )     2(
b
c a
b
c
a
c
a
b
2

Áp dụng BDT Cô si cho 4 số dương :
Ta có :

a2 a b a b


 c �4a
b

c
c
b2 b c b c


 a �4b
c
a
a
c2 c a c a


 b �4c
a
b
b

=> P 2  (

a2 a b a b
b2 b c b c
c2 c a c a


 c)  ( 

 a)  ( 

 b)  (a  b c) �
b

c
a
c
c
a
a
b
b

3(a+b+c) �3.12 =36
Vì P>0 => P �6


THÁNG : 5 / 2020
PMin  6 Khi a =b =c = 4
Bài 3 : Tìm GTNN của : A  x  2  y  3 biết x+y = 6
Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A �0)
A2  ( x  2  y  3) 2 �(12  12 )( x  2  y  3)  2(6  5)  2

=>A � 2

AMin

� 5
x
�x  2  y  3 �
� 2
�
 2 khi �
�

�x  y  6
�y  7
� 2

Tìm GTNN của M 

Bài 4:

2
x12  x22  ....  x2017
x1 ( x2  x3  ....  x2017 )

Bài giải:
2016M 

2
( x12  2016 x22 )  ( x12  2016 x22 )  ....  ( x12  2016 x2017
)
x1 ( x2  x3  ....  x2017 )

2 2016.x1 ( x2  x3  ....  x2017 )
2016 M �
 2 2016
x1 ( x2  x3  ....  x2017 )

Áp dụng BĐT cô si
M�

2
2016

M Min 

2
Khi
2016

x1
 x2  x3  ....  x2017
2016

Bài 5 : Cho a3  b3  2 ;a >0; b >0 . Tìm GTLN của N= a + b
Bài giải
+ Chứng minh BĐT : a3  b3 �ab(a  b) ;
a3  b3  (a  b)(a2  b2  ab) �(a  b)(2ab  ab)  ab(a  b)

+ a3  b3 �ab(a  b) => 3(a3  b3 ) �3ab(a  b) � 4(a 3  b3 ) �a 3  b3  3ab(a  b)  (a  b)3
Nên 23 �(a  b)3 � N  a  b �2
N Max  2 khi a = b = 1

Bài 6 : Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn abc=1 . Tìm GTLN của :


THÁNG : 5 / 2020
P

ab
bc
ca
 5 5

 5
5
a  b  ab b  c  bc c  a 5  ca
5

Bài giải
+ Ta chứng minh BĐT : a 5  b5 �a3b 2  a 2b3  a 2b 2 (a  b)
+Ta có
a 5  b5  ab �a 3b 2  a 2b 3  ab  a 2b 2 (a  b )  ab  ab[ab(a  b)  1]  ab[ab(a  b)  abc]  a 2 b 2 (a  b  c )
 ab.

abc(a  b  c)
abc
 ab.
c
c

Vậy a 5  b5  ab �ab.

abc
ab
c
�
hay 5 5
(1)
c
a  b  ab a  b  c
bc
a
�

(2)
5
b  c  bc a  b  c

Tương tự :

5

ac
b
�
(3)
5
a  c  ac a  b  c
5

Từ (1)(2)(3) Suy ra :
P

ab
bc
ca
abc
 5 5
 5
�
1
5
5
a  b  ab b  c  bc c  a  ca a  b  c

5

PMax  1 khi a= b= c=1

Bài 7: Cho a;b >0 ; a+b �1 . Tìm GTNN của : A  a  b 
Bài giải
��
a 
b 2 ab
+Ta có : 1 �

+ A  ab

ab

1
4

1 1
a a
1
b b
1
15 1 1
 2 (  
)(  
) ( 2  2)
2
2
2

a b
2 2 16a
2 2 16b
16 a b

3 3 15 2
15 2 �   .  9
a
a
1
b
b
1
�3( 3 . .
3 . .
)+ .
4 4 16 1
16 ab
2 2 16a 2
2 2 16b 2
4
AMin  9 Khi a =b=

1
2

1 1

a2 b2

THÁNG : 5 / 2020
A

Bài 8: Cho xy =1 và x;y >0 . Tìm GTLN của :

1
1
 4
4
x y
x  y2
2

Bài giải
2

A

�x �
�y �
��

2

�x �
�y �
��

1

1
x2 y 2
x2 y 2





3
3
x 2  y 4 x 4  y 2 x 2 .xy  y 4 x 4  xy. y 2 �x �
x �x �
�y � 1 y [ �y � 1]
��
��

�t 2  t �
t2
t2
(t  1)2 (t  1)
 3

 1  �3
 1� 1 
�1 t  0
t  1 t (t 3  1)
t3 1
�t  1 �
AMax  1 khi t = 1 => x =y = 1

Bài 9: Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 . Tìm GTLN của :
A

1
1
1
 3 3
 3
3
x  y  1 y  z  1 z  x3  1
3

Bài giải
+ Ta có : x3  y 3 �xy ( x  y ) => x3  y 3  1 �xy ( x  y )  xyz  xy(x  y z)
1

1

1

+ A  x3  y3  1  y3  z 3  1  z 3  x3  1
1
1
1
z
x
y
�






=
xy ( x  y  z ) yz ( x  y  z ) xz ( x  y  z ) xyz ( x  y  z ) yzx( x  y  z ) xzy ( x  y  z )
x yz
1
x yz
AMax  1 khi x =y = z= 1.

Bài 10: Cho a;b;c >0 và a+b+c =2016. Tìm GTNN của :
M  a 2  ab  b 2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2

Bài giải
+ Ta có 2 a 2  ab  b 2  3(a  b)2  (a  b) 2 �a  b
Tương tự 2 b2  bc  c 2 �b+c
2 c 2  ca  a 2 �c+a


THÁNG : 5 / 2020
Nên suy ra
2M �2 (a+b+c) =2. 2016
=>M �2016
=> AMin  2016 khi a =b =c = 2016:3 =672
Bài 11 : Cho x;y;z>0 . Tìm GTNN của : A 

x y

z

yz
zx

x
y

Bài giải
+Ta chứng minh 2(a  b) � a  b
+Ta có 2 A 
�

x y
z



2( x  y )
2( y  z )
2( z  x)


z
x
y

y z
x



+ Suy ra A �3 2

z x �x
z �� y
�


�
�z
� �
�z
y
x
�
��
AMin  3 2

z
y

�� x


�
��
�y
��

y�
��2  2  2  6

x�
�

khi x =y =z

Bài 12 : Cho a;b;c >0 và a+b+c =3 . Tìm GTNN của : A 

a2
b2
c2


a  2b 2 b  2c 2 c  2a 2

m2 n2 p 2 (m  n  p)2
 
�
Bài giải: + Chứng minh BĐT :
với x;y;z >0
x
y
z
x yz

+Ta có : A 

(a  b  c)2
9
a2
b2

c2
�



2
2
2
2
2
2
2
a  b  c  2(a  b  c ) 3  2(a  b 2  c 2 )
a  2b b  2c c  2a

9
9
�

1
2
(a  b  c )
32
3  2.
3  2.
3
3
AMin  1 Khi a=b=c = 1.

Bài 13: Cho x;y >0 và x+y+xy =8 . Tìm GTNN của : A  x 2  y 2

Bài giải
+Ta có x +y �2 xy
=>xy + 2 xy �8 hay





2

xy  1 �9


THÁNG : 5 / 2020
=> xy  1 �3
=>xy �4
+ Ta có  9  xy   ( x  y  1)2  x 2  y 2  1  2( x  y  xy )  x 2  y 2  17
2

Vì xy �4 => 9 –xy �5 =>  9  xy  �25 � x 2  y 2  17 �25
2

Suy ra A �8
Vậy AMin  8 khi x = y =2
1

1

1

Bài 14 : Cho x;y;z >0 và xyz =1 . Tìm GTNN của : A  ( x  1)2  ( y  1) 2  ( z  1) 2
Bài giải
+ Áp dụng BĐT cô si với 3 số khơng âm ta có :
1
x 1 x 1
1 3


�3 3

2
( x  1)
8
8
64 4
1

3

x 1

=> ( x  1) 2 �4  4

Dấu “ =” xảy ra khi x =1

Tương tự đối với y ; z
1
1
1
3 x  y  z  3 9 3 3 xyz  3 3

� 

+ A  ( x  1)2  ( y  1) 2  ( z  1) 2 �3. 
4
4
4
4
4
1
a

1
b

Bài 15: Cho a �10; b �100 ; c �1000. Tìm GTNN của : A  a  b  c   

1
c

Bài giải
1
a

1
b

Ta có : A  a  b  c   

1
c

1
1
1
1
1
1
99
9999
999999
(
a )(
b )(
c )
a
b
c
100
a
10000
b
1000000
c 100
10000
1000000
1
1
1
99
9999

999999
�2( 

)
.10 
.100 
.1000 =1110.111
10 100 1000 100
10000
1000000

Vậy AMin  1110.111 khi a =10 ; b = 100; c =1000.
Bài 16 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z �

1 1 1
20
. Tìm GTNN của A  x  y  z  x  y  z
11


THÁNG : 5 / 2020
Bài giải
1

1

1

1089

1

1089

1

1089

1

689

689

689

Ta có A  x  y  z  x  y  z = ( 400 x  x )  ( 400 y  y )  ( 400 z  z )  ( 400 x  400 y  400 z)
�2

1089
1089
1089 689 20 1489
2
2

. 
400
400
400 400 11 220

Vậy AMin 

1489
20
khi x = y =z =
220
33

Bài 17: Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2. Tìm GTLN của:
A

ab
bc
ca


2c  ab
2a  bc
2b  ac

Bài giải
+ Ta có

ab
ab
ab
ab � 1
1 �



� .�

�
2c  ab
(a  b  c)c  ab
(b  c )(c  a ) 2 �b  c c  a �

+ tương tự đối với 2 hạng tử còn lại
Ta suy ra A 

ab
bc
ca
1 �ab
ab
bc
bc
ca
ca �


� �





�
2c  ab
2a  bc

2b  ac 2 �b  c c  a b  a a  c c  b b  a �

1 �ab  ca ab  bc bc  ca � 1
 �


� .( a  b  c)  1
2 �b  c
ca
ab � 2
A �1 => AMax  1 Khi a =b=c =

2
3

Bài 18 : Cho a;b>0 và a+b �1 . Tìm GTNN của : A  a 2  b2  ab 
Bài giải
Ta có A  (a 2 
�2

1
1
1
1
29 1 1
)  (b 2 
)  ab  (

) ( 2  2)
2

2
2
2
16a
16b
32a 32b
32 a b

1
1
1
1
29
2
2
 ab  .2 2 2  .
16
16
32
ab
32 a 2b 2
�
�

=1  �ab 

1 � 29
1
29
�1  2 ab.


�
16ab � 16ab
16ab 4(a  b) 2

1 1

a 2 b2


THÁNG : 5 / 2020
1
2

29 35

4
4

=1+ 
A�

35
35
1
=> AMin 
Khi a =b =
4
4
2

Bài 19: Cho x;y;z >0 và x+y+z =2 . Tìm GTNN của : A 

x2
y2
z2


yz zx x y

Bài giải
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số dương:
2
x2
x2
2
 k ( y  z ) �2
.k 2 ( y  z )  2kx ;(k>0) với Điểm rơi x  y  z 
3
yz
yz

=> k 2 

1
4

x2
y2
z2

x2
1
y2
1
z2
1



 ( y  z) 
 (x  z ) 
 ( y  x) +Ta có A 
yz zx x y
yz 4
zx 4
x y 4
1
1
x2 1
y2 1
z2 1
( x  y  z ) �2
. ( y  z)  2
. (x  z )  2
. ( y  x)  ( x  y  z )
2
2
yz 4
x z 4
yx 4

=(x+y+z)-

1
1
( x  y  z ) = ( x  y  z ) =1
2
2
2
3

Suy ra Min A= 1 khi x  y  z  .
Bài 20: Cho các số x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0; thỏa mãn
1
1
1


�1
x 1 y  2 z  3
1

Tìm GTNN của : A  x  y  z  x  y  z
1

1

1

9

+ Ta có : 1 �x  1  y  2  z  3 �x  y  z  6 � x  y  z �3
m 2 n 2 p 2 (m  n  p ) 2
 
�
(Áp dụng BĐT :
với x;y;z >0)
x
y
z
x yz

+ Áp dụng BĐT cô si :


THÁNG : 5 / 2020
A(

x yz
1
8( x  y  z )
x yz
1
8.3 10

)
�2
.



9
x yz
9
9
x yz 9
3

Vậy Min A =

10
Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời bằng 0)
3

Bài 21 : Cho xyz =1 ; x +y +z = 3 . Tìm GTNN của : P  x16  y16  z16
Bài giải
m 2 n 2 p 2 (m  n  p ) 2
 
�
+ Áp dụng BĐT:
với x;y;z >0; một cách liên tục
x
y
z
x yz
2

�( x 4  y 4  z 4 )2 �
16
16
16

�
4
4
4 4
Ta có : P  x  y  z ( x8  y8  z 8 )2 �
3
� (x  y  z )
�
��
111
3
33
4

8

8

�( x 2  y 2  z 2 )2 �
�( x  y  z ) 2 � �32 �
�
�
�
� � �
2
2
2 8
3
3
�  ( x  y  z ) ��

�  �3 �  3
��
3
7
7
3
3
3
37

Suy ra Min P = 3 khi x =y =z = 1.

Bài 22: Cho a;b;c > 0 thỏa mãn a+b +c = 3. Tìm GTNN của: A 

2
2
2


2
2
1  a 1  b 1  c2

Bài giải
+ Ta có :

2
a( a  1) 2
�2
�



a

2

2

a

 2  a �2  a
� 2
�
1  a2 �
1 a
1 a2
�

Tương tự ta có :

2
�2  b
1  b2
2
�2  c
1  c2

Nên suy ra : A 

2

2
2


�2-a + 2- b + 2 – c = 6 – (a+b+c) =6 -3 =3
2
2
1  a 1  b 1  c2

Min A = 3 khi a = b= c = 1.
� 1 �
� 1 �
1 2 �
�
2 �
� x �
� y �

1
Bài 23. Cho x>0;y>0 và x + y = 1 .Tìm GTNN của : A  �


THÁNG : 5 / 2020
Bài giải
1 � 1 �

1 � 1�

1 � 1�

1 � 1 �( x  1)( y  1)
xy

�
�
� �
� �
� �
1 2 �
1  2 �= �
1 �
1  ��
1 �
1  �= �
1 �
1 �
Ta có : A  �
.
�
�
�
�
� x �
� y � � x�
� y �� x �
� y� � x�
� y�
� 1 �( y )( x)
� 1�
� 1�

� 1�
1 �
1 �
=
�
�
� �
� x�
�
� xy
� y�

1 �
1 �
=�
.
�
x
y

=1 

1 �1 1 �
1 x y
1
1
2
 �  � 1  
 1 
 1

xy �x y �
xy
xy
xy xy
xy
( x  y)2 1

4
4

Mặt khác Áp dụng BĐT : xy �

=>A

�1 

2
1
9
1
. Vậy Min A = 9 . Khi x = y =
2
4

Bài 24 : Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx �3 . Tìm GTNN của :
A

x4
y4
z4



y  3z z  3x x  3 y

Bài giải
+ Ta chứng minh : ( x  y  z )2 �3(xy yz  zx)  9
Hay x  y  z �3
+ Áp dụng BĐT cơ si cho 4 số dương ta có :
x4
y  3z 1 1
x 4 y  3z 1 1

  �4 4
.
. . x
y  3z
16
4 4
y  3z 16 4 4
x4
y  3z 1
�y  3z 1 1 �
�x  �
  � x 

Nên :
y  3z
4 4�
16
2

� 16

Tương tự :

y4
z  3x 1
�y 

z  3x
16
2
z4
x  3y 1
�z 

x  3y
16
2


THÁNG : 5 / 2020
Suy ra A 
�x 

x4
y4
z4


y  3z z  3 x x  3 y

y  3z 1
z  3x 1
x  3y 1 3
3 3
3 3
  y
 z
  ( x  y  z )  � .3  
16
2
16
2
16
2 4
2 4
2 4

Vậy Min A =

3
. Khi x =y =z = 1 .
4

Bài 25: Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = 1. Tìm GTNN của :
A  x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2

Bài giải
+ Ta có : x 2  xy  y 2  ( x  y )2  xy �( x  y )2 
( Áp dụng BĐT : (a  b)2 �4ab ).

+ Tương tự :

y 2  yz  z 2 �

( x  y ) 2 3( x  y ) 2

4
4

Nên suy ra : x 2  xy  y 2 �

3(y  z )
2

;

z 2  zx  x 2 �

3( x  y )
2

3(z  x)
2

Vậy A  x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2
�

3( x  y )
3(y z )
3(z  x)



 3( x  y  z )  3
2
2
2

=>Min A = 3 . Khi x =y =z =

1
3
1

1

1

Bài 26: Cho x;y;z>0 thỏa mãn x  y  z  3 . Tìm GTNN của :
2 x2  y 2
2 y2  z2
2z 2  x2
A


xy
yz
xz

Bài giải
+ Áp dụng BĐT Bunhicosky

2

(2 x 2  y 2 )( 2  12 ) �( 2. 2 x  y.1) 2  (2 x  y ) 2
1
3

y 2۳ .(2 x y)
=> 2 x 2 �

2x2  y 2
xy

1 (2 x  y)
.
xy
3

1 �2
�
3 �y

1�
�
x�


THÁNG : 5 / 2020
Tương tự ta có :

2 y2  z2

1 �2 1 �
� � �
yz
3 �z y �
2z 2  x2
1 �2 1 �
� � �
zx
3 �x z �

Do đó : A 
�

2 x2  y 2
2 y2  z2
2z 2  x2


xy
yz
xz

1 �2 1 2 1 2 1 � 1 �1 1 1 � 1
.3 �   �
.3. 3  3
�      �
3 �y x z y x z � 3 �x y z � 3

Vậy Min A = 3 Khi x = y= z = 3 .
Bài 27: Cho a;b;c > 0 thỏa mãn abc =1. Tìm GTNN của :

A

a3
b3
c3


(1  b)(1  c) (1  a)(1  c) (1  b)(1  a)

Bài giải
+Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương :
a3
b 1 c 1
a3
b 1 c 1 3


�3 3
.
.
 a
(1  b)(1  c )
8
8
(1  b)(1  c ) 8
8
4

Tương tự :

b3
a 1 c 1 3


� b
(1  a)(1  c)
8
8
4
c3
a 1 b 1 3


� c
(1  a)(1  b)
8
8
4

Ta có :
a3
b3
c3
b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b 1 3









� (a  b  c)
(1  b)(1  c) (1  a )(1  c) (1  b)(1  a)
8
8
8
8
8
8
4
a3
b3
c3
1
3


 (a  b  c  3) � (a  b  c)
(1  b)(1  c) (1  a )(1  c) (1  b)(1  a ) 4
4
a3
b3
c3
3
1
1
3
A



� ( a  b  c)  (a  b  c  3)  (a  b  c) 
(1  b)(1  c) (1  a)(1  c) (1  b)(1  a) 4
4
2
4
1
3 1
3 3
� .3 3 abc   .3.1  
2
4 2
4 4


THÁNG : 5 / 2020
Vậy Min A =

3
, Khi a = =b = c= 1 .
4

C. BÀI TẬP :
1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1
1
a

1
b

1
c

Tìm GTNN của A = (1+ ) (1+ ) (1+ )
2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1
Tìm GTNN của B =

2
3
 2
ab
a  b2

3. Cho a,b,c > 0
a) Tìm GTNN của C =

a
b
c


bc c a a b

b) Tìm GTNN của D =

a
b
c
bc c a a b






bc c a a b
a
b
c

4. Cho x,y,z  

3
và x + y + z = 1
4

Tìm GTLN E =

4x  3  4 y  3 

4z  3

5. Cho a,b,c  0 và a + b + c = 1
Tìm GTLN của F = a  b  a  c  b  c