Tài liệu Đề thi HSG huyện Thới Bình năm 2009-2010

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS HUYỆN THỚI BÌNH
NĂM HỌC : 2009 – 2010
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể phát đề)
Ngày thi : 16/01/2010
Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức : A =
3
1
:
1
1
11
2
−








−
−
++
+
−
+
x
xxx
x

xx
x
với x
≠
1 và x>0
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm x để biểu thức A =
7
3
Câu 2: (4 điểm)
a. Tính A =
7282
73
7282
73
−−
+
+
++
−

b. Chứng minh rằng: n
3
+5n luôn chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n>0
Câu 3: (4 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(2;1) và B(1;4).
a. Hãy xác định tọa độ điểm M nằm trên trục tung sao cho tổng khoảng cách AM+MB là nhỏ nhất.
b. Hãy xác định tọa độ điểm N để tứ giác AMBN là hình bình hành.
Câu 4: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD, vẽ đường chéo BD. Trên BD lấy điểm M, từ M kẻ ME vuông góc với AB (E

∈
AB), MF vuông góc với AD (F
∈
AD)
a. Chứng minh rằng : DE = CF và DE
⊥
CF
b. Chứng minh DE,BF và CM cùng đi qua 1 điểm.
c. Xác định vị trí của M trên BD để diện tích tứ giác AEMF là lớn nhất.
Câu 5: (4 điểm).
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến d của đường tròn (O) tại tiếp điểm A lấy điểm I (I
≠
A). Đường tròn (I;IA) cắt (O) tại điểm thứ hai C và cắt d tại điểm thứ hai D. Gọi M là điểm chính giữa của
cung CD; K là trung điểm của BD và AM cắt đường tròn (O) tại điểm N.
a. Chứng minh đường thẳng IM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AKI.
b. Chứng minh 3 điểm O,N,I thẳng hàng.
c. Gọi P là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh góc OPI = 90
0