cac pp giai pt vo ti

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (147.65 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ

A- Đặt vấn đề :

Trong việc học tốn ở chương trình THCS và THPT việc hệ thống và nắm được
các kiến thức một cách có hệ thống và tự phân thành các dạng kiến thức cho bản thân học
sinh là rất khó. Chính vì vậy cần hệ thống hố lại tồn bộ các dạng và phương pháp giải
phương trình vơ tỉ, giúp các em hiểu sâu hơn và có cách nhìn sâu hơn về phương trình vơ
tỉ và từ đó cũng biết cách làm tương tự đối với các dạng toán khác

B - Nội dung :

I) Phương pháp biến đổi tương đương
A) Lí thuyết



√

a=

√

b⇔a=b ≥0



√

a=b⇔ b  0
a = b2



√a

√b=

√c

⇔ a 0 , b  0

a + b + 2

√

ab = c
*) Thí dụ áp dụng

+) Giải các phương trình sau

a) x - 2x3= 0

Ta có : x = 2x3 ⇔ x2x ≥0

=2x+3 ⇔

x ≥0

x2−2x −3=0 ⇔
x ≥0

x=−1, x=3 ⇔ x = 3

b) x 4 1 x  1 2 x 

√

x −4=

√

1− x+

√

1−2x

⇔





1 0

1 2 0

4 1 1 2

x
x

x x x

 

    

⇔

x ≤1
2

2x+1=

√

2x2−3x+1

⇔

x ≤1
2
2x+1≥0
(2x+1)2=2x2−3x+1

⇔ −
1
2≤ x ≤

1
2
2x2+7x=0

⇔
−1

2≤ x ≤
1
2
x=0, x=−7

⇔

x = 0

√

x −1=

√

x2−3x −1 ⇔ x −1≥0

x −1=x2−3x −1 ⇔

x ≥1

x2−4x=0 ⇔
x ≥1

x=0, x=4

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

√

4x+1−

√

3x −2=x+3

5 ⇔

4x+1≥0
3x −2≥0
x+3

√

4x+1+

√

3x −2=
x+3

⇔ x ≥

2
3

√

4x+1+

√

3x −2=5

⇔ x ≥

2
3

(

√

4x+1+

√

3x −2

)

2=25

⇔

x ≥2
3

√

12x2−5x −2=26−7x

⇔

x ≥2
3
26−7x ≥0

(

12x2−5x −2

)

=(26−7x)2

⇔

x ≥2
3
x ≤26
7

x2−344x+684=0
⇔

2
3≤ x ≤

26
7
x=2, x=342

⇔ x = 2

II) Phương pháp đổi biến

*) Phương trình dạng : af(x) + b

√

f(x) + c = 0

*) Phương pháp

Đặt

√

f(x) = t ( t 0 )
phương trình tương đương với

at2 + bt + c = 0 Tìm t bằng cách giải phương trình bậc II
*)Thí dụ áp dụng

+) Giải các phương trình sau

a) x(x + 1) -

√

x2

+x+4+2=0

⇔x2

+x+4−

√

x2+x+4−2=0
Đặt

√

x2+x+4 = t ( t 0 )

Phương trình ⇔ t2 - t - 2 = 0 ⇔ t = -1 (Loại) , t = 2 (Nhận)
Với t = 2 ⇔

√

x2

+x+4 = 2 ⇔ x2 + x = 0 ⇔ x = 0 , x = -1
b)

√

5x2+10x+1=7− x2−2x

Đặt

√

5x2+10x+1=t (t  0 )

⇔ 5x2 + 10x + 1 = t2

⇔ x2 + 2x = t2−1
5
pt ⇔ t = 7 - t2−1

5 ⇔ t

2 + 5t - 36 = 0 ⇔ t = 4 (nhận), t = -9(loại)
Với t = 4 ⇔ x2 + 2x - 3 = 0 ⇔ x = 1 , x = -3

*) Dạng

√

a+cx+

√

b −cx+d

√

(a+cx) (b−cx)=n (1) trong đó a, b, c, d, n là các hằng
số, c > 0, d  0

*) Phương pháp

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đặt

√

a+cx+

√

b −cx = t ( t  0 )

⇔ 2

√

(a+cx)(b −cx)=t2− a− b
phương trình đã cho có dạng

2t + d( t2- a - b) = 2n "Tìm t bằng cách giải phương trình bậc hai"
+)Thí dụ áp dụng

+) Giải các phương trình sau

√

x+1+

√

3− x −

√

(x+1) (3− x)=2
Điều kiện : x+1≥0

3− x ≥0 ⇔ -1  x 3
Đặt t=

√

x+1+

√

3− x , ( t  0 )

⇔ 2

√

(x+1)(3− x)=t2−4
pt ⇔ t2 - 2t = 0 ⇔ t = 0, t = 2

+) Với t = 0 không tồn tại x
+) Với t = 2 ⇔ x=-1, x = 3

√

2x+3+

√

x+1=3x+2

√

2x2+5x+3−16 ( 1 )
Điều kiện : 2x+1x+3≥≥00 ⇔ x ≥ −

3
2
x ≥ −1

⇔ x  -1
Đặt :

√

2x+3+

√

x+1=t , ( t  0 )

⇔ 3x + 2

√

2x2+5x+3 = t2 - 4

pt ( 1 ) ⇔ t2 - t - 20 = 0 ⇔ t = 5 ( nhận ), t = - 4 ( loại )
Với t = 5 ⇔ 2

√

2x2+5x+3 = 21 - 3x

21−3x ≥0

4(2x2+5x+3)=441−216x+9x2 ⇔

x ≤21
3
x2−236x

+429=0

⇔

x=upload.123doc.net−

√1345

*) Phương trình dạng

√

x+a2− b+2a

√

x −b+

√

x+a2− b −2a

√

x −b=cx+m

Trong đó a, b, c, m là hằng số, a  0
*) Phương pháp

Đặt : t =

√

x −b , ( t  0 )

⇔ x = t2 + b

pt ⇔ |t+a|+|t −a|=c

(

t2+b

)

+m
- Xét hai trường hợp :

+) t  a , thì phương trình trở thành 2t = ct2 + bc + m ⇔ ct2 - 2t + bc + m = 0
+) 0  t  a thì phương trình trở thành , ct2 - 2a + bc + m = 0

*) Thí dụ áp dụng 
+) Giải phương trình sau

√

x+6

√

x −9+

√

x −6

√

x −9=x+23
6

Đặt :

√

x −9=t , ( t  0 ) Khi đó x = t2 +9

Phương trình trở thành : 6

(

√

(t+3)2+

√

(t −3)2

)

=t2+32

⇔ 6

(

|t+3|+|t −3|

)

=t2+32

TH1 : Với t  3 pt ⇔ t2 - 12t + 32 = 0 ⇔ t = 8 , t = 4
khi t = 4 ⇔ x = 25

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

TH2 : Với 0  t  3 pt ⇔ t2 = 4 ⇔ t = 2
Khi t = 2 ⇔ x = 13

Vậy phương trình đã cho có 3 n0 : x1 = 25 , x2 = 73 , x3 = 13
III) Phương pháp đưa về hệ

*) Nhận dạng tổng ( hiệu ) các biểu thức dưới dấu căn không phụ thuộc vào biến
*) Phương pháp : đổi biến để đưa về các hệ phương trình cơ bản

+) Thí dụ áp dụng
+) Giải các phương trình sau
a)

√

25− x2−

√

10− x2=3

TXĐ : −

√

10≤ x ≤

√

10
Đặt :

√

25− x

=u

√

10− x2

=v (u, v  0 )

Ta có hệ phương trình u− v=3

u2− v2=15 ⇔ u − v=3u+v=5 ⇔ u=4v=1 ⇒ x =

±3
b) 3

√2

− x+

√x −

1=1
TXĐ : x  1

Đặt 3

√2− x=a

và

√

x −1=b ( b  0 )
Ta có hệ phương trình

a+b=1

a3+b2=1 Giải hệ phương trình ta có
a=0

b=1 ;
a=1
b=0 ;

a=−2
b=3
Từ đó ta có các nghiệm là : x1= 2 ; x2= 1; x3 = 10

*) Phương trình dạng : x2 +

√

x+a=a Với a  0

*) Phương pháp

Đặt y =

√

x+a ( y  0 )

⇔ y2= x + a

+) Kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình
x2

+y=a

y2− x=a ⇔ x

2 - y2 + y + x = 0 ⇔ ( x + y )( x - y + 1 ) = 0

⇔

x y

x y




 


TH1: x = - y Suy ra phương trình có dạng

y2+ y - a = 0 " Tìm y bằng cách giải phương trình bậc hai"
TH2 : x = y - 1 Suy ra phương trình có dạng

y2 - y + 1 - a = 0 "Tìm y bằng cách giải phương trình bậc hai"
IV) Phương pháp đánh giá

+)Phương đánh giá thường sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của hai vế để tìm nghiệm

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

√

x −2+

√

4− x = x2 - 6x + 11
+) Xét (VT)2 = (

√

x −2+

√

4− x )2  ( 12 + 12)( x - 2 + 4 - x ) = 4
 VT  2 , VT = 2 ⇔ x = 3

+) Xét VP = ( x - 3 )2 + 2  2 , VP = 2 ⇔ x = 3
Vậy phương trình có nghiệm x = 3

√

3x2+6x+7+

√

5x2+10x+14=4−2x − x2

Ta có VT =

x+1¿2+4
¿
x+1¿2+9

5¿
3¿

√¿
VT = 5 ⇔ x = -1

Ta có VP = 4 - 2x - x2 = 5 - (x + 1)2  5
VP = 5 ⇔ x = -1

Vậy phương trình có nghiệm x = -1
c) x

√

4x −1+

√

4x −1
x =2
ĐK : x > 14

áp dụng bất đẳng cosi cho VT ta được
x

√

4x −1+

√

4x −1
x ≥2

√

x

√

4x −1⋅

√

4x −1

x =2 dấu = xẩy ra ⇔ x =

√

4x −1

⇔ x2 - 4x + 1 = 0 ⇔ x = 2 ±

√3

, thỏa mãn
V) Phương pháp sử dụng nghiệm duy nhất

+) Nhận dạng: VT luôn tăng hoặc luôn giảm, vế phải ln tăng hoặc ln giảm
+) Phương pháp: Đốn nghiệm sau đó chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất
*) Các ví dụ áp dụng

+) Giải phương trình sau

√

x −2+

√

x+1=3
ĐK : x  - 1

Ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình
+) Xét x > 3  3

√

x −2>1 ;

√

x+1>2  VT > 3  phương trình khơng có nghiệm x
> 3

+) Xét -1  x < 3 thì 3

√

x −2<1 ;

√

x+1<2  VT < 3  phương trình khơng có
nghiệm -1  x < 3

Bài tập tự luyện

Giải các phương trình sau

√

3x2−9x+1+x −2=0
2)

√

x+1+

√

x −1=4

√

3x+4+

√

x −3=

√

4x+9
4)

√

x2−6x+6=2x −1
5) x2 + 3x + 1 = (x + 3)

√

x2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

9) x+

√

x+1
2+

√

x+

1
4=2

10) ( x - 3 )( x + 1 ) + 4( x - 3 )

√

x+1
x −3=−3
11)

√

3+x+

√

6− x −

√

(3+x) (6− x)=3
12) x x



1



 x x



2



 x x



3



13) x 1 2



x1



  x 1 1 x3 1 x2
14)

2
7

8 2 2 1
1

x

x x

x


  



15)





1 1 2 1 2
x   x   x

16) x 94 96 x x2190x9027

17)





2 1995 1996

x  y  z  x y z 

18)x y z   4 2 x 2 4 y 3 6 z 5
19)3x22x2 x2   x 1 x

20)

2 2 3

3
1

x x

x
x

 

 


21)

5 3

3 5

x
x

x


  

 

23) 3 x4 49 4 3 x312 3x
24) 2x28x 6 x21 2 x2

25)x2  4x8 x1

26)

√

x+

√

2x −1+

√

x −

√

2x −1=

√

2
27) 1+2

√

x − x

√

x+

√

1− x

28)

√

x −2−

√

x+2=2

√

x2−4−2x+2
29) 3x2 + 2x = 2

√

x+x2+1− x

30)

√

x+2−4

√

x −2+

√

x+7−6

√

x −2=1
31)

√

10−2x −

√

2x+3=1

32)

√

48− x3

√

35− x3=13
33) 3

√

x −1+3=4

√

82− x

34) x+

√

17− x2+x

√

17− x2 = 9
35) x3 + 1 = 2 3

√

2x −1
36) x2 +

√

x+7=7
37) x2 +

√

x+5=5

38)





3 2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

39)x2 4x 5 2 2x3
40)x2  x 6 4 3x 2

41) 3x26x12 5x410x29 3 4  x 2x2

42)

3 2

1 2 1

2 2

x x

x x x

     

43) x2 x 5 x2  x 3 x2  3x4
44) x 2 10 x x212x40

45)









2
3

2 1 1 2 1

6
1

x x y

y
x

   

 



46)

1 2 1

2
xy
x y  y x 

47)



 



2 2 2 4 1 2 2 2 3 2 4 2

x  y  x y  x  x  y  y
48)



4x 1



x3 1 2x32x 1

</div>

cac pp giai pt vo ti

<b>CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI </b>

<b>PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ</b>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√a</sub>

√b=

√c

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√





<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

(

<sub>√</sub>

√

)

<sub>√</sub>

(

)

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√1345

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

(

)

√

√

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

(

<sub>√</sub>

√

)

(

)

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√