Tài liệu Đề thi Toán 6 HSG tham khảo

§Ị thi chän häc sinh giái thcs cÊp tØnh
N¨m häc 2004 - 2005
M«n: To¸n 6
Thêi gian: 150 phót (Kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị)
C©u 1 (2 ®iĨm)
TÝnh
a/ A =
123...9899100101
123...9899100101
+−++−+−
+++++++
b/ B =
423134846267.423133
423133846267.423134
+
−
C©u 2 (2 ®iĨm)
a/ Chøng minh r»ng: 10
28
+ 8 chia hÕt cho 72
b/ Cho A = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
2001
+ 2
2002
B = 2
2003
So s¸nh A vµ B

c/ T×m sè nguyªn tè p ®Ĩ p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 ®Ịu lµ c¸c sè nguyªn tè.
C©u 3 (2 ®iĨm)
Ngêi ta chia sè häc sinh líp 6A thµnh c¸c tỉ, nÕu mçi tỉ 9 em th× thõa 1 em, cßn
nÕu mçi tỉ 10 em th× thiÕu 3 em.
Hái cã bao nhiªu tỉ, bao nhiªu häc sinh ?
C©u 4 (3 ®iĨm)
Cho +ABC cã BC = 5,5 cm. §iĨm M thc tia ®èi cđa tia CB sao cho CM = 3
cm.
a/ TÝnh ®é dµi BM
b/ BiÕt BAM = 80
0
; BAC = 60
0
. TÝnh CAM
c/ TÝnh ®é dµi BK thc ®o¹n BM biÕt CK = 1 cm.
C©u 5 (1 ®iĨm)
Chøng minh r»ng:
1
2
100
1
...
2
4
1
2
3
1
2
2

1
<++++

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI – TOÁN 6
Năm học : 2006 – 2007
Thời gian : 90 phút (không kể phát đề)
Ngày thi : 6.11.2006
Bài 1 : 2 điểm
1
Tính các tổng sau bằng cách hợp lý nhất :
1) 22344 . 36 + 44688 . 82
2) 1 + 2 + 3 + … + 2006 + 2007
3) 132 + 128 + 124 + … + 72 + 68
Bài 2 : 2 điểm
Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2
nhưng không chia hết cho 5 ?
Bài 3 : 2 điểm
Để đánh số trang của một quyển sách dày 2746 trang cần dùng bao
nhiêu chữ số ?
Bài 4 : 2 điểm
Tìm x biết :
(x + 1) + (x + 2) + … + (x + 98) + (x + 99) = 9900
Bài 5 : 2 điểm
1) Cho 2006 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu điểm nằm giữa
hai điểm khác ?
2) Trên đường thẳng xy lấy 1003 điểm phân biệt. Hỏi trên đường
thẳng xy có bao nhiêu tia ?
-------------------------------------------------------------------------------
* Chú ý : Học sinh được sử dụng máy tính bỏ túi.
C©u 1 (4 ®iĨm)

T×m x
∈
z
a) b)
C©u 2 (4 ®iĨm):
a) Chøng minh :
b) So s¸nh víi n
∈
N
C©u 3 (4 ®iĨm) :
2
49
119109
2
2.35
)5.(7.3)7.(5.12
4
3
−+−
=






x
1000
499
)1.(

2
....
10
1
6
1
3
1
=
+
++++
xx
1
1024
3
.....
16
3
8
3
4
3
2
3
<−+−+−
1
9
3
3
+

−
=
n
n
A
2
8
5
5
+
−
=
n
n
B
Đội văn nghệ của trờng Cầu Diễn có từ 70 đến 100 học sinh. Số nam chiếm 3/8 tổng số.
Trong đó 2/9 số nam là số học sinh nam khối 6. Trong số học sinh 9 nữ của trờng thì có
tới 4/9 số nữ học sinh nữ khối 6.
Tính số học sinh nam, học sinh nữ khối 6.
Câu 4 (4 điểm) :
Cho = 135
o
. Kẻ 2 tia Bx, By nằm trong góc ABC sao cho = 90
o
,
= 90
o
. Kẻ tia Bm là phân giác của
a) So sánh và
b) Vẽ tia Bz sao cho BC là tia phân giác của chứng tỏ tia Bz, BA đối nhau.

c) Chứng tỏ Bm là phân giác của
Câu 5 (4 điểm) : Cho A là số nguyên dơng. Biết rằng trong 3 mệnh đề sau đây (P, Q,
R) chỉ có duy nhất một mệnh đề sai.
a) Hãy tìm mệnh đề sai.
b) Hãy tìm A.
P : A + 51 là số chính phơng.
Q : A có chữ số tận cùng là 1.
R : A - 38 là số chính phơng.
3

ABC

ABx

ABy

xBy

ABy

CBx

xBz

ABC
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 6
Câu 1:
Tính

a/ =
101
51
51.101
=
(1 điểm)
b/ B =
1
423134846267.423133
423133846267846267.423133
=
+
+
(1 điểm)
Câu 2:
a/ Vì 10
28
+ 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9
Lại có 10
28
+ 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8
Vậy 10
28
+ 8 chia hết cho 72 (1/2 điểm)
b/ Có 2A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ . . . + 2
2002

+ 2
2003
=> 2A A = 2
2003
1
=> A = B 1. Vậy A < B. (1/2 điểm)
c/ Xét phép chia của p cho 5 ta they p có 1 trong 5 dạng sau:
p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + 4 (k

N; k > 0)
+ Nếu p = 5k thì do p nguyên tố nên k = 1 => p = 5
+ Nếu p = 5k + 1 => p + 14 = 5(k + 3)

5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 2 => p + 8 = 5(k + 2)

5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 3 => p + 12 = 5(k + 3)

5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 4 => p + 6 = 5(k + 2)

5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
Thử lại với p = 5 thoả mãn (1 điểm)
Câu 3:
Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia mỗi tổ 10 em thì cũng còn thừa 1 em
nh khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trớc 4 học sinh. Mỗi tổ 10
học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 - 9 = 1 (học sinh)
(1 điểm)
Do đó số tổ là: 4 : 1 = 4 (tổ) (1/2 điểm)

Số học sinh là: 4 . 10 3 = 37 (học sinh) (1/2 điểm)
Câu 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận (1/2 điểm)
a/ C nằm giữa B và M
=> BC + CM = BM(1/2 điểm)
=> BM = 3 + 5,5 = 8,5 (1/2 điểm)
b/ C nằm giữa B và M =>AC là tia
nằm giữa 2 tia AB và AM (1/2 điểm)
=> BAC + CAM = BAM
=> CAM = BAM BAC
=> CAM = 80
0
60
0
= 20
0
(1/2 điểm)
4
B
C
A
MKK'
c/ XÐt 2 trêng hîp:
+ NÕu K n»m gi÷a C vµ M tÝnh ®îc BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5 (cm)
+ NÕu K n»m gi÷a C vµ B tÝnh ®îc BK = 4,5 (cm) (1/2 ®iÓm)
C©u 5:
Ta cã:

1
100

99
100
1
1
2
100
1
...
2
4
1
2
3
1
2
2
1
100
1
99
1
2
100
1
................
4
1
3
1
2

4
1
3
1
2
1
2
3
1
2
1
1
1
2
2
1
<=−<++++⇒
−<
−<
−<
−<


















5
(1/2 ®iÓm)
(1/2 ®iÓm)
Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 7
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
Thực hiện các phép tính:
a/
8
5
6
5
4
5
4
1
3
1
2
1

13
5
11
5
7
5
13
3
11
3
7
3
+
+
+
+
+
b/ ( 1 + 2 + 3 + ... + 90 ) ( 12 . 34 - 6 . 68 ) :






+++
6
1
5
1
4

1
3
1
Câu 2 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng 36
36
- 9
10
chia hết cho 45
b/ Tính x, y, z biết rằng:
=
+
=
++
=
++
211 yx
z
zx
y
zy
x
x + y + z
c/ Tìm các số a, b, c biết: ( - 2a
2
b
3
)
10
+ ( 3b

2
c
4
)
15
= 0
Câu 3 (2 điểm)
Một ngời đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút.
Sau khi đi đợc
5
4
quãng đờng thì ngời đó đi với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc 12 giờ tr-
a. Tính quãng đờng AB, ngời đó khởi hành lúc mấy giờ?
Câu 4 (3 điểm)
ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân (góc ACE = 90
0
). Đờng
cao Ah của tam giác ABC và đờng cao CK của tam giác BCE cắt nhau ở N. Chứng
minh AN = BC.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 25 số, trong đó 4 số bất kì nào cũng có tổng là 1 số dơng. Chứng minh rằng
tổng 25 số ấy là một số dơng
6