3)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (292.87 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề 1:

RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI; PT VÔ TỈ DẠNG ĐƠN GIẢN

---***---A. Kiến thức cơ bản

I. Định nghĩa căn bậc hai số học

2
x 0
a = x

x = a







II. Điều kiện để căn thức có nghĩa
A có nghĩa khi A  0

III. Các phép biến đổi đơn giản BT chứa căn bậc hai

1. Hằng đẳng thức A = A =2 A (A 0)

-A ( A < 0)





VD: a) 72 7 7

  b) ( 7) 2  7 7

2. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương: 
A.B A. B (với A, B 0)

VD: 5. 20  5.20  100 10

*/Đặc biệt với A0 ta có: A



A



3. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

A A

B  B (với A 0; B > 0)

VD: 1700 1700 100 10

17   

4. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
2

A .B A B

VD: 2

5 .25 2 5 2

( 5) .2  5 2 5 2
5. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

2
2

A B (A 0;B 0)
A B =

A B (A < 0;B 0)








 



VD: a) 3 5 3 .52 45

 

b) 3 5 ( 3) .52 45

   

6. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
A = 1 AB (AB 0;B 0)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

VD: 2 2.3 2.32 6

3  3.3  3  3
7. Trục căn thức ở mẫu:

a) A = A B (B > 0)
B

VD: 5 5. 3 5 3
3
3  3. 3 

b) 2

C =C( A B) (A 0;A B )
A - B

A ± B  



VD: 2 2( 3 1) 2( 3 1) 3 1

2
3 1 ( 3 1)( 3 1)

 

   

  

d) C = C( A B) (A 0;B 0;A B)
A - B

A ± B   



VD: 5 5.( 7 2) 5.( 7 2) 7 2

7 2 ( 7 2)( 7 2)

 

   

  

VI. Phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, quy tắc bỏ dấu ngoặc
1. A.(B + C) = A.B + A.C

VD: x ( x 1)  x. x  x.1 x  x

2. (A + B).(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D

VD: ( x 2)( x 1)   x. x x.1 2. x 2.1 x 3 x 2    

3. - (A - B) = -A + B

Ví dụ: 



x 2



 x 2 2   x

V. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Ví dụ: ( x 1)2 ( x )2 2. x.1 12 x 2 x 1

      

2. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

Ví dụ: ( x 2)2 ( x )2 2. x.2 22 x 4 x 4

      

3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)

Ví dụ: x 1 ( x )2 12 ( x 1)( x 1)

     

4. (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)

5. (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = A3 - B3 - 3AB(A - B)

6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)

Ví dụ: x x 1 ( x) 13 3 ( x 1)(x x 1)

      

7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

Ví dụ: x x 8 ( x )3 23 ( x 2)(x 2 x 4)

      

VI. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

PP1: Đặt nhân tử chung: AB + AC = A(B + C)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) x x  x ( x 1)

b) x2 x  x ( x ) 3 1

 

PP2: Dùng hằng đẳng thức

Ví dụ: Với x 0 , ta ln có:

a) x 1 ( x 1)( x 1)   

b) 4 x (2   x )(2 x )

c) x 2 x 1 ( x 1)2

   

d) x 6 x 9 ( x 3)2

   

e) x x 1 ( x ) 13 3 ( x 1)(x x 1)

      

f) x x 1 ( x )3 13 ( x 1)(x x 1)

      

PP3: Nhóm hạng tử

Ví dụ: Với a 0, ta ln có:

a) a a  a a 1 (a a    a ) (a 1)   a (a 1) (a 1) (a 1)( a 1)     
b) a a  a a 1 (a a    a ) (a 1)   a (a 1) (a 1) (a 1)( a 1)     

PP4: Kết hợp giữa các PP

Ví dụ: Với x 0, ta ln có:
a) x2 x x ( x 1)(x x 1)

    

b) x2 x x ( x 1)(x x 1)

    

B. Bài tập

Phần I. Tìm điều kiện để căn thức có nghĩa
Dạng 1: Biểu thức lấy căn là đa thức bậc nhất

Bài 1: Với giá trị nào của x thì các căn thức 2x 3 có nghĩa:
Giải: 2x 3 có nghĩa khi 2x -3 0  2x  3  x3

Bài tập tương tự: Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa

a) 2x b) 2x c) x 2 d) 2 x

e) 2x 3 f) 2x 5

Dạng 2: BT lấy căn là phân thức (chứa ẩn ở tử hoặc mẫu)
Bài 2: Với giá trị nào của x thì căn thức 3

x 5 có nghĩa
Giải : 3

x 5 có nghĩa khi
3

x 5 0 x 5
x 5

x 5 0





    




  


</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) x 5
3


b) 3

x 5 c)

5 2x
3


d) 2

5 2x
Dạng 3: BT lấy căn có giá trị khơng âm

Bài 3: Chứng minh rằng căn thức x2 2x 1

  ln có nghĩa với mọi giá trị của x:
Giải: x2 2x 1 (x 1)2 0

     với mọi giá trị của x
Vậy x2 2x 1

  ln có nghĩa với mọi giá trị của x
Giải: a) Do x2  0 với mọi x nên x2

Bài tập tương tự: Chứng minh rằng căn thức các căn thức sau ln có nghĩa với mọi

giá trị của x:

a) x2 b) x2 4x 4

  c) x21 d) x2  2x 2

Dạng 4: Biểu thức tổng hợp

Cách giải: Cần tìm điều kiện cho căn thức, cho phân thức và phép chia có nghĩa
Bài 4: Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có nghĩa

A = x 1  3 x

Giải: Biểu thức A có nghĩa khi:

x 1 0 x 1

1 x 3

3 x 0 x 3

  

 

   

 

  

 

Bài 5: Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có nghĩa

A = 1 1 : x

1 x

x 1 x 1

 



  

 

 

Giải: Biểu thức A có nghĩa khi:

x 0
x 1 0

x 1

1 x 0

x 0




 






  

 



  



 



Bài tập tương tự: Tìm điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau:

a) A = 1 1

x 2  x 2

b) B = 1 1

x 2 x 1   x 1

c) C = 1 + 1 1- 3

x -3 x +3 x

   

   

   

d) D = 1 1 : 1

x x x x 1

 



 

 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 1: Thực hiện phép tính: 50  8  2

Giải: 50 8 2 25.2 4.2  2 5 2 2 2   2= (5 2 1) 2 
4 2



Bài tập tương tự: Thực hiện phép tính

a)3 27  27 3 b) 12 27 3
c) 20 45 5 d) 48 2 75  108

e) 1 20 80 2 45

2  3 f) 20 45 3 18  72

g) ( 20 3 5  80). 5 h) ( 28 2 3  7) 7 84

Dạng 2: Bài tập khử mẫu của biểu thức lấy căn hoặc đưa thừa số ra ngồi dấu căn
Bài 2: Thực hiện phép tính: 2 1 5 2

2 

Giải: 2 1 5 2 2. 2 5 2 2 5 2 4 2

2   2    

Bài tập tương tự: Thực hiện phép tính

a) 5 1 5

5  b)

3 5 12

3 

c) 5 1 1 20 5

52  d)

2 2 3

6 2 4

3  3  2

e) 3 2 6

2 3

 



 

  f)

6 2a

a 2 6a

a  3  với a > 0

Dạng 3: Trục căn thức ở mẫu

Bài 3: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau: 
a) 4

3 b)
5

3 8 c)
5

5 1 d)
2

3 5 e) 
2

5 3 f) 
a

2 a -1(với a > 0)
Bài 4: Thực hiện phép tính: A = 1 1

3 7 3  7

Giải: 1 1 3 7 3 7

3 7 3 7 (3 7)(3 7) (3 7)(3 7)

 

  

     

3 7 3 7 6

2 2 2

 

   

Bài tập tương tự:

A = 1 1

3 7 3  7 ; B =

2 2

3 5  3 5
C = 1 1

2 5 2 5 D =

2 2

5 2  5 2

E = 1 1

3 5 5 1 ;

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a) 5 ; 2 b) ( 5)2

 c) ( 2 1) 2

d) (1 2)2

 e) (1 5)2  (1 5)2 f) (1 5)2  (1 5)2

Giải: (1 2)2 1 2 2 1

     (vì 1 2< 0)
Bài 5: Thực hiện phép tính: 4 2 3

Giải: 4 2 3 ( 3 1)2 3 1 3 1

      

Bài tập tương tự: Thực hiện phép tính

a) 4 2 3 b) 7 2 6 c) 7 2 6

d) 5 2 6 ; e) 6 4 2 f) 9 4 2

g) 13 4 3 ; h) 5 2 6  5 2 6 i) 4 7 + 4 7
Bài 6: Rút gọn biểu thức: (BT dưới dấu căn chứa chữ)

A = 3 a2 2a

 với a 0

Giải: 3 a2 2a 3a 2a 3a 2a a

   

  (vì a  0 nên a a)

Bài tập tương tự: Rút gọn các biểu thức sau
a) 9a2 3a

 với a < 0 b) (a 2) 2 3a với a > 2
c) 9a + 3a4 2 d) 16a - 2a với a < 06 3
c) 9 a 25a 4a3

a 2

 

 với a > 0

c) 2 . x2 2x 12

x 1 4x

 

 , với 0 <x < 1 (Đề số 10-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)

d) x2 6x 9

x 3

 

 , với x

-3 (Đề số 35-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)

e) ( a 1 1)2 ( a 1 1)2

     , với a1 (Đề số 34-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)

f) x 2 x 1   x 2 x 1  , với x1 (Đề số 31-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)

Dạng 5: Bài tập phối hợp giữa các phép biến đổi căn

Bài 7: Thực hiện phép tính: A = 1 2

2 1-

-Giải: A = 1 2 2 1 2 2 1 2 1

2 1 ( 2 1)( 2 1)
+

- = - = + - =

- - +

Bài tập tương tự: Thực hiện phép tính

A = 8 20

3- 5- B =

1 5

20
5 2   5

C = 3( 3 1) 2
3 1
 

 D =

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

E = 18 (1 2)2 1 F = 3 12 27 ( 3 1)2

  

G =



3 3



2  3



3 5



3 H = 6 (2 3)2 75

2 3  

I =



5 1 6 2 5





Dạng 6: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn 
Bài 8: Thực hiện phép tính: 3 6

1 2



Giải: 3 6 3 3. 2 3(1 2 3

1 2 1 2 1 2

  

  

  

Bài tập tương tự: Thực hiện phép tính
a) 5 55

5


b) 3 6 2 8

1 2 1 2

 



 

c) 5 7 5 11 11

5 1 11

 



 d)





5 5
1 5 .

2 5



e) 6 3 1



3 1



2 1

  

 

 

  

 

f) 5 : 5
5 55

g) 2 5 5 2 15 5

5 1 3 1

     

 

   

     

   

h) 2 3 3 2 3 3

3 1 3 1

     

 

   

     

   

i) 2 3 3 2 3 3

3 1 1 3

æ + ửổữ - ửữ

ỗ + ữỗ + ữ

ỗ ữỗ ữ

ỗ ữữỗ ữữ

ỗ + ỗ

-ố ứố ứ

Phn III. Bi tp rút gọn biểu thức chứa chữ
Dạng 1: Rút gọn biểu thức dạng phân thức
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau A = 9

x
x



 với x 0

Giải: A = 9
3

x
x


 =

 

2 32
3

x
x






 



x x

x

 



= x  3
Bài tập tương tự: Rút gọn các biểu thức sau

A = x + x

x (với x >0) B = 1

x x

x



 với x 0

C = 5



x x

x với x0;x25 D =

2
2
2

x x

x




 với

0; 4

x x

E = x - 4

2


x (với x  0; x 4 ) F =

x 1
x 2 x 1



  (với x 0 )
G = 2 1

x x

x

 

 với

0; 1

x x H= 1

x x

x x



  với x 0

I = x x 1

x x



 với x>0 K =

3 x 6
x 4



 (với

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

L = 2 4
4

x
x



 với x 0;x 4

  M = 2 x 2

x x



 với x 0;x 1

 

N = 3 2

3 3

x x

x

 

 với x0;x1 P =

1
1


  

x

x x x x với x 0

Dạng 2. Rút gọn biểu thức gồm tổng các phân thức cùng mẫu
Bài 2: Rút gọn biểu thức:

A = 4 2 4 7

3 3

x x x

x x

  



  với x 0

Giải:

A = 4 2 4 7
3

x x x

x

   

 =



 



x x

x

 



= x  3
 Bài tập tự luyện: Rút gọn biểu thức: 
A = 2 4 2

3 3

x x

 

 với x 0
B = 2 4 13

3 3

x x

 



  với x 0;x 9

 

C = 1 3 6

4 4 4

x x

x x x

 

 

   với x 0
D = 3 2 2 2 1

2 2 2 2

x x x

x x

  



  với

0; 1

x x

E = 3 1 5 1

2 2

x x x

x x

  



  với x0;x4
F = 2 3 1 3 1

1 1

x x x

x x

  



  với x 0;x 1

 

G = 4 1 2 2 2x-1

1 1 1

x x

x x x

 

 

   với x 0

H = 1 3 1 2 5

2 2 2

x x x

  

 

   với x 0

Dạng 3: Rút gọn biểu thức gồm tổng các phân thức khác mẫu
Dạng 3.1: Đưa các phân thức về cùng mẫu bằng cách rút gọn
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau (Rút gọn đưa về cùng mẫu) 
P= 3 9

x x x

x x

 



 với x 0

Giải:

P =

 

2 2

3 3

x x x

x x

 





 



x x x x

x x

  



 =

3 3 2

x  x  x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

x + x x - 4
A =

x  x (Với x > 0)

x + x x - 9
B =

3




x x (Với x > 0; x 9 )

C = x - x x -1

1




x x (Với x > 0; x 1) D =

2 x - 4

2





x x

x x (Với x > 0)

E = 3 x 6 3

x 4 x 2




  (Với x  0; x 4 )

2x
-E =

x x

x  x x (Với x > 0; x 1)

F = x 1 x x

1 x
x 2 x 1

 




  (Với x  0; x 1)

H = 2x 5 2x 2

2 x 1 1 2 x

 



  (Với x  0; x 1/4)

Dạng 3.2: Đưa các phân thức về cùng mẫu bằng cách quy đồng mẫu
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau

P = 1 1

x 1  x 1 ,với x 0, x  1

Giải:

P= 1 1 x 1 x 1

x 1 x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)

 

  

     

x 1 ( x 1)
( x 1)( x 1)

  



 

x 1 x 1
( x 1)( x 1)

  


 

x 1





Bài tập tương tự:

A =

2 2

x x

x  x với x 0;x 4

 
B =

3 3

x x

x  x

  với x0;x9

C = 1 1

x 1  x với x >0

D = 3 5 2

5 5

x

x x x




  với x 0, với x >0

E = 2 1

x 2 x  x 2 , với x >0, x  4

F = 3 x 6

x 4
x 2






 , với x 0, x  4

G = x 2 x 2 4 x 5

x 4

x 2 x 2

  

 



  , với x 0, x  4

I = 2 3 9

3 3



 



 

x x x

x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

P = 1 1 1

x

x x x x



 

  với x 0;x 1

 

Q = 2

1 1

x x

x
x  x   với

0; 1

x x

Dạng 4: Rút gọn biểu thức gồm tích hoặc thương các phân thức
Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: P = x .x 9

x
x 3




Giải: P = x .x 9 x (x 9) x ( x 3)( x 3) x 3
x

x 3 ( x 3)x ( x 3) x x x

    

  

  

Bài tập tương tự:
A = x 2 x 9.

x 3 x 2

 

 

B = x 1: x 1

x x x 2 x 1

 

  

C = x : 1
x 4 x 2

Dạng 5: Rút gọn biểu thức chứa tổng, tích và thương 
Bài 6: Rút gọn các BT sau: (Rút gọn và đưa về HĐT số 3)
 P = 1 x x . 1 x x

x 1 x 1

     

 

   

 

   

(Với x 0; x 1  )

HD giải:

P = 1 x x . 1 x x

x 1 x 1

     

 

   

 

   

= 1 ( 1) . 1 ( 1)

1 1

     

 

   

   

 

x x x x

x x  



1 x

 

1 x



 1 x

Bài tập tương tự:
A =



1 x



. x x

x , với x > 0

B = 1





  

 

 

  

 

x x

x

x , với x 0; x 1 

C = 1 x x . 1 x x

1 x 1 x

     

 

   

 

   

,với x 0; x 1 

D = a 1 2 . a a 1

a 1 a 1

 

 

 

   

 

 

    , với

a 0;a 1 

E = a 4 4 . a 2 a 2

a 2 a 2

 

 

 

   

 

 

   , với

a 0;a 4 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

P = 3 x 6 x . x 3

x 4 x 2 x 9

   



 

  

 

(Với x 0;x 4, x 9   )

Giải: P = 3 x 6 x : x - 9
x - 4 x 2 x 3

  



 

   

 



 





x 3

 

x 3



3( x 2) x

x 2 x 3

x 2 x 2

   



 

 

     

 

3 x 1 1

x 2 x 3 x 2

  

  

    

  .

Bài tập tương tự:
A =

1 a a 1 a

a .

1 a

     



   




   

(Với a 0;a 1  )

B = a a 1 a a 1 :a 2

a 2

a a a a

    



 



 

 

(Với a 0;a 1  )

C =

2 2

x x x x

x 1

x x 1 x x 1

 

  

    (với x0)

D = a a : a 1

a 1

a 1 a a

  



 



 

 

(với a 0;a 1  )

Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau (Quy đồng mẫu số)

P = 1 1 .a 4

a 2 a 2 a



 



 

 

  , với a>0; x

4

Giải: P = a 2 a 2 .a 4

( a 2)( a 2) ( a 2)( a 2) a

    



 

   

 

a 2 a 2 a 4 2 a a 4

. . 2

a 4

( a 2)( a 2) a a

    

  



 

Bài tập tương tự:

A = 1 1 .1 a

a 1 a 1 a



 



 

 

  , với

a 0;a 1 

B = x 4 : x 16

x 4 x 4 x 2

  



 

  

 

, với x0; x 16

C = 1 1 : x

x 1 x x x 2 x 1

 



 

   

  ,với x > 0

Bài 9: Rút gọn biểu thức sau 
P = 1 - x 1 + x1 + 1    . 1 - 1x

    (với x1 và x >0)

Giải: P

)( ) )( )

1 + x + 1 - x . - 1
(1 - x 1 + x (1 + x 1 - x x

   

    

   

x
x

+ 1

)( )

1 + x 1 - x

= .

(1 - x 1 + x



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2 1
)( ) .
(1 - x 1 + x



 x

x

2
= 



x x

Bài tập tương tự:

A = 1 1 1 3

x 3 x 3 x

   

 

   

 

    (với x

0; x  9)

B = 1 1 : 1 1

x 1 x x x

   

 

   

 

    (Với

x 0;x 1  )

C = x 1 : 1 2

x 1 x x x 1

   

 

   

    

 

(Với x 0;x 1  )

D = 3 x 6 : 1 3

x 4 x 4

x 2

    

 

   

 

  

 

(Với x 0;x 4  )

E = x 2 : 2 1

x 2 x 2 x x 2

   

 

   

    

 

(với x >0 và x4)

F = x 3 x 4 : 2 x 7

x 9 x 3 x 3

     

 

   

  

   

(Với x 0; x 9  )

3 x 6 1 5

G : 2

x 4 x 3 x 3

    

     

    

 

(Với x 0; x 9  )

H = x 4 3 : x 2 x

x 2 x x 2 x x 2

     

 

   

  

   

(Với x 0; x 4  )

I = 1 2 x 2 : 1 2

x 1

x 1 x x x x 1 x 1

    

 

   



      

 

(Với x 0;x 1  )

K = 1 1 .x x

x 1 x 2 x 1 x



 



  

 

  (Với

x 0; x 1  )

M = 1 1 : x

x 4 x 4 x 4 x 2 x

 



  

  

  (Với

x 0;x 4  )

Phần IV. Các bài tập tổng hợp

Dạng 1: Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức khi biết giá trị của biến
Bài 1: Cho biểu thức P = 1 :

x x

x x x x

 



 

   

 

(với x >0)
a) Rút gọn P

b) Tính P khi x = 4;
c) Tính P khi x = 3 - 2 2
Giải: Với x > 0, ta có:

a) P 1 . :

( 1) ( 1) ( 1)

  

  

  

 

x x x x

x x x x x x

1 1

( 1) 1

 



 

x x

x x x

1 1

.
1
( 1)

  





x x x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

 

x x

x

b) Với x = 4, ta có P = 4 4 1 7

2
4

 



c) Với x = 3 - 2 2



2 1



2suy ra x 



2 1



2  2 1  2 1 . Khi đó:

P = 3- 2 2 2 1 1 3 2 (3 2)( 2 1) 1 2 2

2 1 2 1 ( 2 1)( 2 1)

     

   

   

Bài 2: Cho A = 1 : 1 2

1 1

x

x x x x

   

 

   

     

 

(với x>0; x1)

a) Rút gọn A (KQ: x 1

x



)
b) Tính giá trị của A biết x = 6 - 2 5
Bài 3 : Cho biểu thức: K = x - 2x - x

x - 1 x - x với x >0 và x1

1) Rút gọn biểu thức K

2) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2 3

Bài 4: Cho biểu thức A = 1 : 1 2

1 1

x

x x x x

   

 

   

       

  với a > 0, a  1

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của A khi x 2 2 3 .

Bài 5: Cho biểu thức A = 






























1
2

1
1
:
1

2
1

a
a
a
a

a
a

với a > 0, a  1
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2 2010.

Dạng 2: Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biến khi biết giá trị của BT
Bài 6: Cho biểu thức A = 2 3 9

3 3

x x x

x

x x



 



  (với x0; x9)

a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 1

3
Bài 7: Cho biểu thức

P = x + 1 + 2 x + 2 + 5 x
4 - x

x - 2 x + 2 với x ≥ 0, x ≠ 4.
a) Rút gọn P.

b) Tìm x để P = 2.

Bài 8: Cho biểu thức: C = x -1 -2 x 2
x +1 x 1




</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) Tìm x để C = x – 5
Bài 9: Cho biểu thức: B =

x
x
x
x
x
x
x 




 2
1
1
2

với x > 0.
a) Rút gọi biểu thức B.

b) Tìm x để B = 0.

Bài 10: Cho biểu thức D = x 1 1 x

2 x 2 2 x 2

 



  , với x  0; x 1

a) Rút gọn D

b) Tìm x để D = 3

Bài 11: Cho biểu thức: Q = 






















1
1
1
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
.
1) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
2) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3 x- 3.

Dạng 3: Rút gọn biểu thức và giải bất phương trình

Bài 12: Cho B = x 1 : 1 2

x 1 x x x 1

   

 

   

    

 

a) Rút gọn B
b) Tìm x để B < -1

Bài 13: Cho biểu thức: P = 





















1

1
2
1
2 a
a
a
a
a
a
a
a

với a > 0, a  1
a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm a để P > - 2

Bài 14: Cho biểu thức P = 1 1 : x
x + x x 1 x + 2 x 1

 



 

 

  với x > 0.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị của x để P > 1
2.

Bài 15: Cho biểu thức A = a a : a 1
a - 1
a 1 a + a

  



 

  

  với a > 0, a

 1.
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị của a để A < 0.

Bài 16: Cho P = 1 1 1 3

3 3

a a a

   

 

   

 

    (với a> 3; a 9)

a) Rút gọn A

b) Tìm các giá trị của a để A > 1

Bài 17: Cho biểu thức: P = a a aa aa







 9
7
3
3
1
3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b) Tìm a để P < 1.

Dạng 4: Rút gọn biểu thức và tìm giá trị nguyên của biến để BT có giá trị
nguyên

Bài 18: Cho biểu thức: P = a a - 1 - a a + 1 : a +2
a - 2
a - a a + a

 

 

  với a > 0, a  1, a  2.
1) Rút gọn P.

2) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Bài 19: Cho biểu thức: P = x -1 3 x- :

x -1 x 1 4 4

x x x

x

  

 

   

 

. với x > 0; x 1
a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên

Bài 20: Cho biểu thức Q = x 2 : x

x 1 x x x 1

 



 

  

 

, với x > 0; x 1
a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên

Bài 21: Cho biểu thức P = 1 1 : x
x - x x 1 x - 2 x 1

 



 

 

  (với x > 0, x

1)
a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
Dạng 5: Một số dạng khác

Bài 22: Cho biểu thức : P = : 2 1

1
1
1
1

2 



















 x

x
x

x
x
x

x
x

Với x0 và x1
a) Rút gọn P.

b) Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1

Bài 23: Cho biểu thức P 1 1 : 1

x 1 2 1

x

x x x x



 



 

   

  (với x 0)

a) Rút gọn P
b) So sánh P và 1

Bài 24: Cho biểu thức : P = 3 2( 3) 3

2 3 1 3

x x x x

x x x x

  

 

   

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P với x  14 6 5
c) Tìm GTNN của P

Bài 25: Cho biểu thức P = 1 2 2

x 1 1

x x x

x

 



 

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2
x 0
a = x

x = a






2. Bài tập

Dạng 1: Phương trình dạng f x( )g x( )

Bài 1: Giải phương trình
a ) 25x 35
b) (x  3)2 9


Giải:

b) (x  3)2 9

  x 3 9  xx 3 93 9
 



3 9 12

3 9

3 9 6

x x

x

x x

  

 

     

  

 

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 12;x2 6
Bài 2: Giải phương trình: x  1 x 1

Giải: 2 2

1 0 1

(1) 0

( 1) 1 3 0

3



  

  

      

     

   




x

x x

x

x x x x

x

3
 x

Vậy phương trình có tập nghiệm là S =

 

3
Bài tập tương tự: Giải phương trình

1) 3 x = 12 2) 3x 75 0
3) 4x 2 6 4) (2x 1)2 3


5) 4x2 4x 1 6

   6) x2 2x4 2

7) x 1 x2 1

   8) x2 1x 1;

9) 9x2 2x 1

  10) x26x9 3 x1
11) 4(1 6x 9 )x2 2 8

   12) 5 15 15 2 1 15

3 x x 3 x

13) 4 20 3 5 4 9 45 6

x  x x  14) 25 25 15 1 6 1

2 9

x

x     x

Dạng 2: Phương trình dạng =

Bài 3: Giải phương trình
 2x 3 4x 7
HD giải: - Điều kiện: x 7

4


- Bình phương hai vế rút gọn ta được x = 5
Bài tập tương tự: Giải phương trình

1) 3x 1 2 2 x

2) 3 5 2 x  2x1
3) x 2 3 x  4 0
4) 3 x x 3x

Dạng 2: Phương trình dạng + = g(x)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Giải:

(1)  + = 5
Điều kiện: 3 0 2

2 0
 


 



 


x

x (*)

Với điều kiện (*) phương trình có hai vế khơng âm nên ta bình phương hai vế ta có:
2x + 1 + 2 = 25

 2 = 24 - 2x (2)

Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x  0  x  12 (**)

Bình phương hai vế của (2) ta có:

x2 + x - 6 = 144 - 24x + x2

 25x = 150  x = 6 (thỏa mãn (*) và (**))
Vậy phương trình có tập nghiệm là S =

 

Bài 5: Giải phương trình.
= + (1)

Giải:

Điều kiện :

1 0

12 0 7 12

7 0
 



    



  


x

x x

x

(*)

Với điều kiện (*) phương trình (1) có hai vế khơng âm nên ta bình phương hai vế.
(1)  x + 1 = 12 - x - 7 +

 2 = x + 4 (2)

Với (*) thì hai vế của p.trình (2) khơng âm ta bình phương hai vế của (2) ta được:
(2)  4 (- x2 + 19x - 84) = x2 - 8x + 16

 5x2 - 84x + 352 = 0

D' = 1764 - 1760 = 4 > 0 Þ = 2

Phương trình (3) có hai nghiệm: x1 = , x2 = 8
Đối chiếu với (*) ta có x = 8 thõa mãn

Bài tập tương tự: Giải phương trình
1) x2 9 3 x 3 0

   

2) x2 4 2 x 2 0

   

3) 3x 2 x 13;

4) 3x 2 x1;

5) 2 x1 3 5  x2 13
6) x + 2 x  1 + = 2

7) + = 1
8) 3x4 2x 1 x3 ;

9) - =

</div>

3)









<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>









 



 





 



 

 



 

 





 













 





 



<sub></sub>

<sub></sub>





 

<b>Giải:</b>

 

<i><b>Giải:</b></i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về