Bài soạn Cuộc thi toán hằng năm bậc trung học của nước MĨ

Cuộc thi toán hằng năm bậc trung học của nước Mĩ
Cuộc thi American high school mathematics examination hằng năm do Hội
Toán học Mĩ tổ chức. Cuộc thi đầu tiên được tổ chức vào năm 1950.
Vào ngày 09 tháng 2 năm 1999, nhiều trường trung học đã tham gia cuộc thi kỉ
niệm 50 năm. Toàn đề thi có 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu được trích từ đề
thi của mỗi năm thi, bắt đầu từ năm 1950, thời gian làm bài là 75 phút. Lần này
chúng tôi sẽ giới thiệu với các bạn một số bài toán của đề thi này.
Bài 1 (1950) : Sau khi hữu tỉ hóa tử số của dạng đơn giản nhất của mẫu số
là :
(E) Các câu trên đều sai.
Bài 2 (1951) : Tỉ số diện tích của một hình vuông nội tiếp nửa đường tròn so với
hình vuông nội tiếp cả đường tròn đó bằng : (A) 1 : 2 (B) 2 : 3 (C) 2 : 5 (D) 3 : 4
(E) 3 : 5.
Bài 3 (1960) : Trên hình vẽ là hệ trục tọa độ Oxy, hai đường tròn tâm O có bán
kính khác nhau. Tọa độ điểm B là (1 ; 1) và tọa độ điểm Q là (-1 ; 0). Biết rằng
B, M nằm trên đường tròn nhỏ (M có tung độ bằng 0) ; C, P nằm trên đường
tròn lớn (C có tung độ bằng 1, P có hoành độ bằng 0) ; CM vuông góc với OM.
Phương trình đường thẳng PQ là : (A) y = 3x + 3 (E) Các câu trên đều sai.
Bài 4 (1977) : Có ba vòi nước A, B, C. Khi được mở, mỗi vòi sẽ chảy nước vào
bể chứa với lưu lượng đều (nghĩa là tốc độ dòng chảy không đổi). Nếu mở cả
ba vòi thì bể sẽ đầy sau 1 giờ ; nếu chỉ mở hai vòi A và C thì bể sẽ đầy sau 1,5
giờ ; nếu chỉ mở hai vòi B và C thì bể sẽ đầy sau 2 giờ. Vậy nếu chỉ mở hai vòi
A và B thì bể sẽ đầy sau bao nhiêu giờ ? (A) 1,1 (B) 1,15 (C) 1,2 (D) 1,25 (E)
1,75.