De thi va dap an vao truong chuyen

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (239.47 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sở giáo dục và đào tạo

phó thọ

THPT chuyên hùng vơng

kì thi tuyển sinh lớp 10

năm học 2009-2010

Môn: Toán ( Chuyên Tin học)

Thi gian lm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1(2 điểm). Cho phương trình x2 2(m 1)x 2m 4 0

     (trong đó mlà tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm để biểu thức P x 12x22 đạt giá trị

nhỏ nhất.
Câu 2(2 điểm).

a) Giải phương trình: 3 2 2 2

3 3 2 3 2 2

x x  x  x x   x  x

b) Giải hệ phương trình:

2 2

4 4 1

4 3 1

x x y

x xy y

   




  




Câu 3(2 điểm).

a) Chứng minh với mọi số a b c, , đôi một phân biệt ta có: 
1

( )( ) ( )( ) ( )( )

bc ca ab

a b a c   b a b c   c a c b  

b) Cho ba số a b c, , đơi một phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

( ) ( ) ( )

a b c

P

b c c a a b

  

  

Câu 4(3 điểm). Hai đường tròn ( ),( )O1 O2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A B, . Đường thẳng

vng góc với AB tại B cắt lại ( )O1 tại C và cắt lại ( )O2 tại D. Một đường thẳng quay

quanh B cắt các đường tròn ( ),( )O1 O2 theo thứ tự tại giao điểm thứ hai E F, .

a) Chứng minh tỉ số AE

AF không đổi.

b) Các đường thẳng EC DF, cắt nhau tại G. Chứng minh rằng tứ giác AEGF nội tiếp.
c) Chứng minh rằng, khi đường thẳng EF quay xung quanh B thì tâm đường trịn ngoại

tiếp tứ giácAEGF ln thuộc một đường tròn cố định.

Câu 5(1 điểm). Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho ba điểm bất kỳ trong chúng là đỉnh
của một tam giác có diện tích không vượt quá 1. Chứng minh rằng tất cả các điểm đã cho
nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4.

——Hết——

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh

...

SBD

...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN

(Chun Tin học)

Câu Ý Nội dung Điểm

a)
(0.5đ)

+ Phương trình đã cho có













' m 1 1 2m 4 m 4m 5 m 2 1 0 m

              0.25

+ Do đó, với mọi giá trị của tham số m, phương trình đã cho ln có hai nghiệm

phân biệt 0.25

b)
(1.5đ)

+ Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình. Khi đó, theo định lý Viet, ta có





1 1 2 1 , 1 2 2 4

x x  m x x  m 0.5

+ Khi đó













2 2

1 2 1 2 1 2

2 4 1 2 2 4

4 12 12

x x x x x x m m

m m

       

  

0.25

+ Biểu diễn





2 2 3

4 12 12 4 3 3 4 3 3

2
3

" "

m m m m m

m

 
          
 
  
0.5

+ Kết luận 0.25

a)
(1đ)

+ Điều kiện

3 2

3 3 0

2 0

0
3 0

2 2 0

x x x

x
x
x
x x
    



 

 

  

0.25

+ Viết lại phương trình



x 1





x2 3



2x x2 3 2x x



1





2x x2 3





x 1 1



0

             0.25

+ Phương trình 2 2

2x x   3 0 x  2x 3 0 vơ nghiệm.

+ Phương trình x 1 1 0  x0 0.25

+ Kết luận nghiệm 0.25

b)
(1đ)

Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra



2 1 2

 



0 2 1
2 1

y x

x y x y

y x
 

      
 
 0.25

+ Nếu y2x1, thay vào phương trình thứ hai, được

2 2 2

4 3 (2 1) (2 1) 1 2 0 1

2
x

x x x x x x

x



        
 


Với x0 thì y1. Với 1

x thì y0

0.25

+ Nếu y2x1, thay vào phương trình thứ hai, được

2 2 2

4 3 ( 2 1) ( 2 1) 1 14 7 1

2
x

x x x x x x

x



         
 


Với x0 thì y1. Với 1

x thì y0

0.25

Vậy hệ đã cho có các nghiệm



;

 

0; 1 ,



1;0
2

x y    

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a)
(1đ)

( )( ) ( )( ) ( )( )

bc ca ab

VT

a b a c a b b c a c b c

  

      0.25

( ) ( ) ( )

( )( )( )

bc b c ca a c ab a b
a b b c a c

    



   0.25

2 2 2 2 ( )

( )( )( )

b c bc ca ac ab a b
a b b c a c

    



   0.25

( )( )( )

a b b c a c

VP
a b b c a c

  

  

   với a,b,c đôi một khác nhau 0.25

b)
(1 đ)

2
2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c ab bc ca

P

b c c a a b b c c a c a a b a b b c

   

        

        

   

0.25
2

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c bc ca ab

P

b c c a a b a b a c b c b a c a c b

 

        

        

    0.25

2.1 2

a b c

P

b c c a a b

 

     

  

  0.25

Dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại a = -1; b = 0; c = 1, vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 đạt

được khi a = -1; b = 0; c = 1. 0.25

4 (1đ)a)

I

G

F

D
C

A

B

O1 O

2

E

0.25

Xét hai tam giác ACD AEF, ta có

 AEF AEB ACB ACD  (cùng chắn cung AB của ( )O1 )
 AFEAFB ADBADC (cùng chắn cung AB của ( )O2 )

Suy ra AEF ACD.

0.5

Do đó 1

R

AE AC

const

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b)
(1đ)

Do CDAB nên AC là đường kính của ( )O1 và AD là đường kính của ( )O2 0.25
Suy ra AEG AEC 900

  , và AFGAFD900 (góc nội tiếp chắn nửa đường

trịn) 0.5

Từ đó, tứ giác AEGF có AEG AFG 900

  do đó nội tiếp trong đường trịn đường

kính AG 0.25

c)
(1đ)

Chứng minh tương tự phần 2, cũng được tứ giác ACGD nội tiếp. 0.25
Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác AEGF. Khi đó I là trung điểm AG 0.25
Suy ra IO CG IO1|| , 2||DG

Từ đó   0  0 

1 180 180 2

AO I ACG  ADG  AO I. Từ đó, do O O1, 2 khác phía với

AI suy ra tứ giác AO IO1 2 nội tiếp, hay I



AO O1 2



cố định.

0.5

5 1 đ A'

B'
C'

A

B C

P
P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích

S). Khi đó S1. 0.25

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các
đường thẳng này giới hạn nên một tam giác ' ' 'A B C (hình vẽ). Khi đó

' ' ' 4 4

A B C ABC

S  S  . Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác
' ' '

A B C

0.25
Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác A B C' ' ', chẳng hạn như trên

hình vẽ. Khi đó d P AB



;



d C AB



;



, suy ra SPAB SCAB, mâu thuẫn với giả thiết 
tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

0.25
Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' 'A B C có diện tích khơng

lớn hơn 4. 0.25

</div>

De thi va dap an vao truong chuyen

<b><sub>THPT chuyên hùng vơng</sub></b>

<b>kì thi tuyển sinh lớp 10 </b>

<b>năm học 2009-2010</b>

<b>Môn: Toán ( Chuyên Tin học)</b>

Thi gian lm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

<i>(Đề thi có 01 trang)</i>

——Hết——

<i>Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.</i>

<b>Họ tên thí sinh </b>

...

<b> SBD </b>

...





































<sub></sub>

<sub></sub>















 





 















Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về