De HSG Thai Binh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (226.09 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 1 : ( 4 điểm )

Tìm tất cả giá trị của tham số a để ph−ơng trình :
3 2

x −3x − = a 0

có ba nghiệm phân biệt , trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 .
Bài 2 : ( 6 điểm )

Trên mặt phẳng toạ độ cho các đ−ờng thẳng có ph−ơng trình :
x sin t+y cos t+cos t+ = , trong đó t là tham số . 2 0

1, Chứng minh rằng khi t thay đổi , các đ−ờng thẳng này luôn tiếp xúc với
một đ−ờng tròn cố định .

2, Gọi (x0 ; y0) là nghiệm của hệ phơng tr×nh :

2 2

x sin t y cos t cos t 2 0

x y 2y 3 0

+ + + =

⎧
⎨

+ + − =

⎩

Chøng minh r»ng : x20 +y20 ≤ 9
Bµi 3 : ( 3 ®iÓm )

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hµm sè :
2

2 cos x cos x 1
y

cos x 1

+ +

+

Bµi 4 : ( 4 ®iĨm )

Trên mặt phẳng toạ độ cho hai đ−ờng thẳng d1 , d2 có ph−ơng trình :

(d1) : 4x +3y + 5 = 0

(d2) : 3x – 4y – 5 = 0

H·y viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng trên và có tâm nằm
trên đờng thẳng d có phơng trình : x 6y 8 = 0

Bài 5 : ( 3 ®iĨm )

Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi x > 0.
2

x x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Sở giáo dục - đo tạo 
 Thái bình

K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 Năm học 2001 - 2002

*****

§Ò chÝnh thøc ( Thời gian làm bài 180 phút )

Môn thi : to¸n

*******

Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com

Bài 1 : ( 6 ®iĨm ) 
Cho hµm sè:

2x (m 2)x m
y

2x m

− + + +

−

1 ,Tìm các điểm cố định của đồ thị hàm số khi m thay đổi .
2 , Tìm các đ−ờng tiệm cận của đồ thị hàm số .

3 , Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại , cực tiểu
Bài 2 : ( 4 điểm )

1 , Tìm m để :

2 2 2

9x +20y +4z −12xy+6xz+mzy≥ víi mäi sè thùc x , y , z. 0
2 , Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè a , b , c khác 0 và m > 0 thoả mÃn hệ thøc :

a b c

0
m+2+m 1+ +m =

thì phơng trình 2 cã Ýt nhÊt mét nghiƯm thc kho¶ng (0 ; 1)
ax +bx+ =c 0

Bài 3 : ( 4 điểm )

1, Víi giá trị nào của a thì hàm số :

6 6

y= cos x+sin x+a sin x cosx
xác định với mọi giá trị của x .

2, T×m dạng của tam giác ABC thoả mÃn :

cot gA cot gB A B
1000A 1001B 2

− = −

⎧

⎨ + =

Bài 4 : ( 4 điểm )

Cho tam gi¸c ABC , gäi d1 , d2 , d3 là khoảng cách từ một điểm M n»m phÝa

trong tam giác đến các cạnh của tam giác .
1 , Chứng minh bất đẳng thức :

3
1 2 3

d d d , trong đó S là diện tích tam
27abc

≤

giác ABC ; a , b , c là độ dài các cạnh tam giác .

2 , Lập bất đẳng thức t−ơng tự cho tứ diện trong không gian.
Bài 5 : ( 2 điểm )

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bµi 1 : ( 3 ®iĨm ) 
Cho hµm sè

e v i x

x x 1 v i x 0

⎧ ≥

⎪
= ⎨

+ + <

⎪⎩

í
í

Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 0
Bài 2 : ( 2 điểm )

Lập bảng biến thiên cđa hµm sè sau :
n

y=x (2−x)2

với n nguyên dơng .
Bài 3 : ( 2 ®iĨm )

Tìm a để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà khơng có c−c đại :

4 3 2

y=x +4ax +3(a 1)x+ + 1

Bµi 4 : ( 3 ®iĨm )

Cho phơng trình : x3 +mx2 =1 0 (1)

1, Chứng minh rằng ph−ơng trình (1) ln có một nghiệm d−ơng .

2, Xác định m để ph−ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất .
Bài 5 : ( 6 điểm )

Trong mặt phẳng Oxy cho hai ®iĨm A(a ; 0) , B(0 ; a) (víi a > 0)và đờng tròn
( ) có phơng trình :

2 2 2

x +y −2ax−m 2y a+ = 0 ( m lµ tham sè )

1 , Chøng minh r»ng ®−êng trßn ( )ξ tiÕp xóc víi Ox tại A . Tìm giao điểm thứ
hai P của đờng tròn () và đờng thẳng AB.

2 , Lập phơng trình đờng tròn ( ) đi qua P và tiếp xúc Oy tại B. ′

3 , Hai đ−ờng tròn (ξ) và (ξ cắt nhau tại P và Q . Chứng minh rằng khi m ′)
thay đổi đ−ờng thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định .

Bài 6 : ( 2 điểm )

Lập phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi 2 đờng thẳng :
x+ = , 7x y 4 0y 3 0 − + = cã chøa ®iĨm M0(-1 ; 5)
 Bài 7 : ( 2 điểm )

Cho c¸c sè thùc x1 , x2 , … , x2002 , y1 , y2 , , y2000 thoả mÃn các điều kiện sau :

1 2 2002 1 2 2000

1 2 2002 1 2 2000
1) e x x ... x y y ... y

2) x x ... x y y ... y

≤ ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤

+ + + ≥ + + +

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Sở giáo dục - đo tạo 
 Thái bình

K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 Năm học 2003 - 2004

*****

§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bài 180 phút )

Môn thi : toán

*******

Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com

Bài 1 : ( 5 điểm ) 
Cho hµm sè

4
2
x

y 3x x

2 1

= − + −

1 , Chøng minh r»ng hµm sè cã 3 cùc trÞ .

2 , Cho tam giác có toạ độ đỉnh là toạ độ các điểm cực trị trên , tìm toạ độ
trọng tõm tam giỏc.

Bài 2 : ( 4 điểm )

1 , Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đ−ợc 2 tiếp tuyến với
parabol y=4x−x2 và hai tiếp tuyến đó vng góc nhau.

2 , Tính diện tích tam giác có đỉnh là điểm M( ;5 17)

2 4 và các tiếp điểm của các
tiếp tuyến đó đi qua điểm M.

Bµi 3 : ( 5 ®iĨm )

1, Giải hệ phơng trình :

3 3

6 6

x 3x y 3

x y 1

⎧ − = − y

+ =

2, Giải và biện luận phơng trình ;

2 2

x 2ax 2 2 x 4ax a 2 2

3 + + −3 + + + =x +2ax+ a
Bài 4 : ( 4 điểm )

Cho hä ®−êng cong ( Cm) có phơng trình :

2 2

x y

1
m +m −16 =
trong đó m là tham số , m≠0, m≠ ±4.

1 , Tuỳ theo giá trị của m , xác định tên gọi của đ−ờng cong đó .

2 , Giả sử A là một điểm tuỳ ý trên đờng thẳng x = 1 và A kh«ng thc trơc
hoành. Chứng minh rằng với mỗi điểm A luôn có 4 ®−êng cong hä ( Cm) ®i

qua A .

3 , Khi m = 5 hÃy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cong trên.
Bài 5 : ( 2 điểm )

Chøng minh r»ng trong tam giác ABC luôn có :

1 1 1

cot gA cot gB cot gC 3 3 2

sin A sin B sin C

⎛ ⎞

+ + + ≤ ⎜ + + ⎟

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com

Bài 1 : ( 5 ®iĨm )

Cho đờng cong (Cm) có phơng trình :

3 2

y=(m 1)x+ −3(m 1)x+ −(6m 1)x− −2m

1 , Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng khi m thay

đổi .

2 , Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ để (Cm) không đi qua với mọi

m .
Bài 2 : ( 3 điểm )

Xác định dạng của tam giác ABC nếu :

a cos A b cos B c cos C a b c
a sin A b sin B c sin C 9R

+ + = +

+ +

+
Bài 3 : ( 4 điểm )

Cho parabol y=x2 −2x vµ elip

2 2

x y

1
9 + 1 =

1, Chứng minh rằng parabol và elip ln có bốn giao điểm có hồnh độ x1 , x2 ,

, x3 ,x4 tho¶ m·n − <1 x1 < <0 x2 < <1 x3 < <2 x4 <3
2, Viết phơng trình đờng tròn đi qua 4 giao điểm trên .
Bài 4 : ( 6 ®iĨm )

1, Giải hệ phơng trình :

3 2

3 2
2z 1 x x x
2y 1 z z z
2x 1 y y y

⎧ + = + +

⎪ + = + +

⎨

⎪ + = + +

⎩
2 , Giải phơng trình :

x x

2 2

1 a 1 a

2a 2a

⎛ + ⎞ −⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ víi 0 < a < 1

Bài 5 : ( 2điểm )

Cho hµm sè f(x) liên tục trên đoạn

[ ]

0;1 thoả mÃn ®iỊu kiƯn f(0) = f(1) .
Chứng minh rằng phơng trình :

1
f (x) f (x )

2004

= +

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Sở giáo dục - đo tạo 
 Thái bình

K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 Năm học 2005 - 2006

*****

§Ò chÝnh thøc ( Thời gian làm bài 180 phút )

Môn thi : to¸n

*******

Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com

Bài 1 : ( 5 ®iĨm ) 
Cho hµm sè :

3 2

x 3x 3x a

− + +

1 , Tìm a để đồ thị hàm số trên có ba điểm cực trị .

2 , Chứng minh rằng các điểm cực trị này luôn nằm trên một parabol cố định
khi a thay đổi

Bµi 2 : ( 4 điểm )

Cho hai phơng trình :
2

x x 2m 1 0 (1

x 2x 2m 1 0 (2

+ + − =

+ + + =

)
)
1 , Tìm m để hai ph−ơng trình có nghiệm chung .

2 , Tìm m để một trong hai nghiệm của ph−ơng trình này nằm trong khoảng
hai nghiệm của ph−ơng trình kia và ng−ợc lại .

Bài 3 : ( 5 điểm )

Giải các phơng trình :

x x x x

1) 5sin x cos 2x 2 cos x 0
2) 2007 2006 2005 2004

+ + =

− =

Bài 4 : ( 4 điểm )

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng trịn có ph−ơng trình : 2 2
x +y =1
1 , Viết ph−ơng trình tiếp tuyến với đ−ờng trịn tại điểm M , biết tia OM hợp
với chiều d−ơng trục Ox một góc a.

2 , Giả sử khi a thay đổi từ 0 đến
4
π

, tiếp tuyến trên thay đổi theo và quýet
đ−ợc một miền trên mặt phẳng toạ độ . Tính phần diện tích giới hạn bởi
miền đó và đ−ờng thẳng y = 0 .

Bài 5 : ( 2điểm )

Tìm các giá trị của m để hệ sau có nghiệm :

2 2

1 m
x 2xy 7y

1 m
3x 10xy 5y 2

−

⎧ + − ≥

⎪ +

⎨

⎪ + − ≤

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bµi 1 : ( 5 ®iĨm ) 
Cho hµm sè :

m
x 2x m

y (

x 2

− +

− C ) víi m≠ . 0

1 , Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A , B sao cho

các tiếp tuyến với đồ thị tại A , B vuông góc nhau .

2 , Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kì của đồ thị (Cm) với hai

tiÖm cËn cã diƯn tÝch b»ng 1 .
Bµi 2 : ( 4 ®iĨm )

1 , Giải phơng trình :
cos 2 x 1

1 1

2 cos 2x log (3cos 2x 1)

2 2

− + = + −

2 , Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hệ sau có nghiệm :

2 2 4

x 4xy 12y 72
3x 20xy 80y a

⎧ + + ≥

⎪
⎨

+ + =

Bài 3 : ( 3 điểm )

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC . Đờng phân giác trong AD ( D∈BC ) ,
đờng cao CH ( HAB) lần lợt có phơng trình : x y = 0 , 2x + y + 3 = 0 .
Cạnh AC đi qua ®iĨm M(0 ; -1) vµ AB = 2AM . H·y viết phơng trình các cạnh của
tam giác ABC .

Bài 4 : ( 2 điểm )

Trên hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng (C) có ph−ơng trình : 2 2

x +y = . Tìm m để 9
trên đ−ờng thẳng y = m có đúng 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ đ−ợc đúng
hai tiếp tuyến đến (C) và mỗi cặp tiếp tuyến y to thnh mt gúc 45D

Bài 5 : ( 5điểm )

1 , Chøng minh r»ng víi mäi x > 1 ta cã :
x 1

ln x

x
−
<
2 , Tìm số thực α thoả mãn bất đẳng thức :

n
1
ln(1 )

α ≤ −

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Së gi¸o dục - đo tạo 
 Thái bình

K× thi chän häc sinh giái líp 12
 Năm học 2007 - 2008

*****

§Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 phót )

Môn thi : toán

*******

Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com

Bài 1 : ( 5 ®iĨm)

Cho hai số m , p ( m 0 ). ≠
Xét đồ thị (Cm):

2 − 2
= x m

y

x vµ (Cp):

(2 1)

= − −

y x p x

1, Tìm điều kiện của m và p để hai đồ thị tiếp xúc nhau.

2, Giả sử hai đồ thị tiếp xúc nhau , chứng minh rằng tiếp điểm của chúng
thuộc thị hàm số y = x x3

Bài 2 : (2 điểm )

Chøng minh r»ng : a2 – 3b > 0

Bµi 3 : ( 5 ®iĨm )

1, Tìm m để hệ sau có nghiệm :
5
log ( 3)

2 2

1 log ( ) log ( 1)
+

⎧ ≥
⎪
⎨

+ − ≥

⎪⎩

x

m x x +

2, Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm :

(2m−1) x+ +2 (m−2) 2− + − =x m 1 0
Bài 4 : ( 6 điểm)

1, Cho tam giác ABC với B (1 ; 2) , đ−ờng phân giác trong của góc A có
ph−ơng trình 2x + y + 1 = 0 (d) . Tìm toạ độ các đỉnh A và C biết rằng
khoảng cách từ C đến (d) bằng hai lần khoảng cách từ A đến (d) và C nằm
trên trục tung .

2, Cho A(0 ; 4) và B(-4 ; 0) . Xét đờng thẳng Δ: ax + by + 2 = 0 ( a2 + b2 > 0)
luôn tiếp xúc với đờng tròn : x2 + y2 = 16 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tæng

khoảng cách từ A và B đến Δ
Bài 5: (2 điểm)

Gäi xi là nghiệm của bất phơng trình :

x2 −2a xi +(ai −1)2 ≤0 ( i = 1;n ) vµ 1 5, 1; 2;...;
2≤ ≤ai i= n 
Chøng minh r»ng :

2 2 2

1 2 ... 1 2 ...
1

+ + + + + +

≤ +

n n

x x x x x

n n

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bµi 1 : ( 3 ®iÓm)

1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :y= x3 −3 x −2 ( )ξ

2, Gọi d là đ−ờng thẳng đi qua M(2 ; 0) và có hệ số góc k . Tìm k để đ−ờng thẳng
d cắt ( )ξ tại 4 điểm phõn bit.

Bài 2 : (4 điểm )

1, Cho dãy (xn) xác định bởi :

+
=
⎧
⎪

⎨ = +

⎪ +

⎩
1

n 1

n
x 1

2008

x 1

1 x

với n≥1
Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó .

2, Tìm m để ph−ơng trình : x+ +y 2x(y 1)− +m = có nghiệm . 2
Bài 3 : ( 2 điểm )

Cho 1 a, b, c, d 1

4 < < . T×m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a b c d

1 1 1

F log (b ) log (c ) log (d ) log (a )

4 4 4

= − + + + 1

4
Bài 4 : ( 3 điểm)

1, Giải phơng trình : 2

x − −x 2008 1 16064x+ =2008
2, Tìm nghiệm của phơng trình

cos x − sin x −cos 2x 1 sin 2x+ = tho¶ m·n 2008 < x < 2009 0
Bài 5: (2 điểm)

Cho tam gi¸c ABC biÕt A(1 ; -2), hai đờng phân giác trong của góc B và C lần l−ỵt
cã phơng trình là (d1) : 3x + y 3 = 0 vµ (d2) : x – y – 1 = 0 . Lập phơng trình các

cạnh của tam giác ABC.
Bài 6: (4 điểm)

Cho một tam diện vuông Oxyz và một điểm A cố định bên trong tam diện . Gọi
khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oyz , Ozx , Oxy lần l−ợt là a , b , c . Một mặt
phẳng (α) qua A cắt Ox , Oy , Oz lần l−ợt tại M , N , P .

1, Chøng minh r»ng a b c 1
OM +ON +OP =

2, Xác định vị trí của mặt phẳng ( α ) để thể tích tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ nhất .
Khi thể tích tứ diện OMNP nhỏ nhất , hãy chỉ rõ vị trí điểm A .

3, Chøng minh r»ng : (MN+NP+PM)2 6(OM2 +ON2+OP )2
Bài 7: (2 điểm)

Cho ⎨0 a b c d . Chøng minh r»ng :
bc ad

< ≤ ≤

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>