Phương pháp giải các dạng vô định Toán 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (841.68 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH TỐN 11

1. Dạng vơ định 0
0
Bài tốn:

Tính

 

0
lim

x x

f x
g x

 khi 0

 

lim lim 0

xx f x xx g x  , trong đó f x

   

,g x là các đa thức hoặc căn thức.
Phƣơng pháp:

- Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.

- Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.
- Bước 3: Tính giới hạn theo cách thông thường.

Nếu f x

 

và g x

 

có chứa căn thức thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân
tích chúng thành tích và giản ước.

Đặc biệt:

sin

lim 1

x

x
x

 

Ví dụ:







2 2 2

2 2 1 1

lim lim lim 1

3 2 2 1 1 2 1

x x x

x x

x x x x x

  

 

   

     

2. Dạng vô định 

Bài tốn: Tính

 

lim

x

f x
g x

 khi xlim f x

 

xlimg x

 

 , trong đó f x

   

,g x là các đa thức.

Phƣơng pháp:

- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.
- Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.

- Bước 3: Tính các giới hạn thơng thường và suy ra kết quả.

Ví dụ:

1
lim

2
x

x
x





1
1

lim

x

x
x



  

 

 

 2

1
1
lim

x

x
x





 2

1
1

1
lim

2 2

x

x
x
x



 

  

Cần xét xem x   ,x khi khai căn biểu thức có chứa căn bậc hai.

3. Dạng vơ định 0.

Bài tốn: Tính giới hạn

   

lim .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2

- Bước 1: Biến đổi

   

 

0 0

lim . lim

x x x x

f x
f x g x

g x

     để đưa về dạng

0 hoặc

   

 

0 0

lim . lim

x x x x

g x
f x g x

f x

    

để đưa về dạng 

.

- Bước 2: Sử dụng các phương pháp của dạng 1 và 2 để tính tiếp giới hạn.

4. Dạng vơ định  

Bài tốn: Tính

   

lim

xx f x g x  khi xlimx0 f x

 

 , limxx0g x

 

  hoặc tính limxx0f x

   

g x  khi

 

0 0

lim , lim

xx f x   xx g x  .
Phƣơng pháp:

- Bước 1: Nhận hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng một
phân thức.

- Bước 2: Thực hiện tính giới hạn dựa theo các dạng đã biết.

5. Bài tập

Câu 1. Tìm giới hạn

1 1

lim ( *, 0)

n

x

ax

B n a

x



 

   :

A.  B.  C. a

n D. 1

n
a



Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Cách 1: Nhân liên hợp
Ta có:

1 2

( 1 1)( (1 ) (1 ) ... 1 1)

lim

( (1 ) (1 ) ... 1 1)

n n

n n n n

n n

x n n n

ax ax ax ax

B

x ax ax ax

 



        



      

1 2

lim

(1 )n (1 )n ... 1 1

x n n n

a a

B

n

ax  ax  ax



 

       .

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Đặt 1 1

n

n t

t ax x

a



    và x  0 t 1

1 1

lim lim

1 ( 1)( ... 1)

n n n

t t

t t a

B a a

t t t  t t n

 

 

   

      .

Câu 2. Tìm giới hạn

1 1

lim

1 1

n

m

x

ax
A

bx



 



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

A.  B.  C. am

bn D. 1

am
bn


Hƣớng dẫn giải

Chọn C.

Áp dụng bài tốn trên ta có:

0 0

1 1

lim .lim .

1 1

n

m

x x

ax x a m am

A

x bx n b bn

 

 

  

  .

Câu 3. Tìm giới hạn

1 1

lim

m n

x

ax bx

N

x



  

 :

A.  B.  C. a b

mn D.

a b

mn

Hƣớng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

0 0

1 1 1 1

lim lim

m n

x x

ax bx a b

N

x x m n

 

   

   

Câu 4. Tìm giới hạn

1 1

lim

1 1

m n

x

ax bx

N

x



  



  :

A.  B.  C. 2



an bm



mn



D. 0

Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có:

1 1 1 1

lim .

1 1

m n

x

ax bx x

N

x x x



     

   

 

 

2( )

a b an bm

m n mn



 

   

  .

Câu 5. Tìm giới hạn

1 1 1

lim

m n

x

ax bx
G

x



  

 :

A.  B.  C. a b

mn D.

a b
mn

Hƣớng dẫn giải 
Chọn D.

Ta có:





0 0

1 1 1 1 1

lim lim

m n

m

x x

ax bx ax b a

G

x x n m

 

    

   

Câu 6. Tìm giới hạn

(2 1)(3 1)(4 1) 1

lim

n

x

x x x

F

x



   

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4

A.  B.  C. 9

n D. 0

Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Đặt yn (2x1)(3x1)(4x  1) y 1 khi x0

Và:

0 0

1 (2 1)(3 1)(4 1) 1

lim lim 9

n

x x

y x x x

x x

 

      

Do đó:



1 2



1 9

lim

... 1

n

n n

x

y
F

n
x y  y  y





 

   

Câu 7. Tìm giới hạn

3 4
0

1 1 1 1

lim
x

x x x

B

x

  



   

 với  0.:

A.  B.  C.

4 3 2

B     D.

4 3 2

B    

Hƣớng dẫn giải 
Chọn D.

Ta có: 1x31x41x 1

3 4 3

1 x 1 x( 1 x 1) 1 x(( 1 x 1) ( 1 x 1)

           

3
4

0 0

1 1 1 1

lim( 1 1 ) lim 1

x x

B x x x

x x

 

  

 

   

    

1 1

lim
x

x
x




 



Câu 8. Tìm giới hạn



 

2



1 1

lim

n m

x

mx nx

V

x



  

 :

A.  B.  C.





mn n m

D.





mn n m

Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có: 2 2

0 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

lim lim

m n

x x

nx mnx mx mnx

V

x x

 

     

  ( )

mn n m

 .

Câu 9. Tìm giới hạn





 







1
1

1 1 ... 1

lim

n

n
x

x x x

K

x 



  



 :

A.  B.  C. 1

n D. 0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5

Ta có:

3 2 1

1 3

1 1

lim

(1 )( 1)...(n n ... 1)

x

K

n

x x x x 



 

     .

Câu 10. Tìm giới hạn



 



2 2

1 1

lim

n n

x

x x x x

L

x



    

 :

A.  B.  C. 2n D. 0

Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.













2 2

0 2

1 1 1 1

lim 2

n n

n
x

x x x x

L n

x x x



         

   

   

 

 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường

Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Phương pháp giải các dạng vô định Toán 11

<b>PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH TỐN 11 </b>

 

 

 

 

   

 

 







 

 

 

 

   

   

   

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 















 















 









 















<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về