Bài giảng Đề ôn tập Toán 11 HK2 - đề số 13

Đề số 13
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
x
x x
x
2
2
1
2 3 5
lim
1
→
+ −
−
b)
x
x x
x
3
1
1
lim
1
+
→
+ +
−

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình
x mx x m
3 2
2 0− − + =
luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.
x x x
khi x 1
f x
x a
x a khi x = 1
3 2
2 2
( )
3
3

− + −

≠
=

+

+

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số:
a)
y x
x

x x
2 4
2 3 1
3 1= + + − +
b)
x x
y
x x
cos
sin
= +

Bài 5: Cho đường cong (C):
y x x
3 2
3 2= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
y x
1
1
3
= − +
.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
a
OB
3
3

=
,
SO ABCD( )⊥
,
SB a=
.
a) Chứng minh:
SAC
∆
vuông và SC vuông góc với BD.
b) Chứng minh:
SAD SAB SCB SCD( ) ( ), ( ) ( ).⊥ ⊥
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đề số 13
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
a)
x x
x x x
=
x
x
2
2
1 1

2 3 5 2 5 7
lim lim
1 2
1
→ →
+ − +
=
+
−
b)
x
x x
x
3
1
1
lim
1
+
→
+ +
−
Ta có
x
x
x
x
x x
x
x

x x
3
1
1
3
1
lim ( 1) 0
1
1 0 lim
1
lim ( 1) 3 0
+
+
+
→
→
→

− =

+ +

− > ⇒ = +∞

−

+ + = >


Bài 2: Xét hàm số

f x x mx x m
3 2
( ) 2= − − +
⇒ f(x) liên tục trên R.
•
f m m f m f f m m
3 4
( ) , (0) (0). ( )= − = ⇒ = −
• Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0
• Nếu m
0≠
thì
f f m m(0). ( ) 0, 0< ∀ ≠
⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0; m) hoặc
(m; 0).
Vậy phương trình
x mx x m
3 2
2 0− − + =
luôn có nghiệm.
Bài 3:
x x x
khi x 1
f x
x a
x a khi x = 1
3 2
2 2
( )
3

3

− + −

≠
=

+

+

•
x x x
x x x x x
f x
x a x a
3 2 2
1 1 1
2 2 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim
3 3
→ → →
− + − − +
= =
+ +
• Nếu a = –3 thì
x x x
x x x
f x
x

2 2
1 1 1
( 1)( 2) 2
lim ( ) lim lim 1 0
3( 1) 3
→ → →
− + +
= = = >
−
và
f (1) 0=
nên hàm số không
liên tục tại x = 1
• Nếu a ≠ –3 thì
x x
x x
f x
x a
2
1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim 0
3
→ →
− +
= =
+
, nhưng
f a(1) 3 0= + ≠
nên hàm só không liên tục

tại x = 1.
Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x = 1.
Bài 4:
a)
y x y'=
x
x
x x x x x
2 4 2 3 5
2 3 1 2 3 6 4
3 1
2 3 1
= + + − + ⇒ − + + −
+
b)
x x x x x
y y
x x x x
2
cos sin cos
sin sin
+
= + ⇒ =
⇒
x x x x x x x
y x x x x
x
x x x
2
2

2 2 2
sin cos sin cos cos 1
' sin cos (1 cot )
sin
sin
− − −
= + = − − + − +
Bài 5:
y x x
3 2
3 2= − +
⇒
y x x
2
' 3 6= −
a)
x y y
0 0
2 2, (2) 0
′
= ⇒ = − =
⇒ PTTT
y 2= −
.
b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y x
1
1
3
= − +

nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3.
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm ⇒
x
x x x x
x
2 2
0
0 0 0 0
0
1 2
3 6 3 2 1 0
1 2

= −
− = ⇔ − − = ⇔

= +


2
• Với
x y
0 0
1 2 2= − ⇒ =
⇒ PTTT:
( )

y x y x3 1 2 2 3 4 2 3= − + + ⇔ = + −
• Với
x y
0 0
1 2 2= + ⇒ = −
⇒ PTTT:
( )
y x y x3 1 2 2 3 4 2 3= − − − ⇔ = − −
Bài 6:
a) • Chứng minh:
SAC
∆
vuông
+
a a a
SO SB OB a SO SO
2 2
2 2 2 2 2
3 6 6
9 9 3
= − = − ⇔ = ⇔ =
.
+
a a
OA OC BC OB a SO
2
2 2 2
3 6
9 3
= = − = − = =

.
⇒
tam giác SAC vuông tại S.
• Chứng minh SC ⊥ BD
BD ⊥ SO, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC.
b) • Chứng minh:
SAD SAB SCB SCD( ) ( ), ( ) ( ).⊥ ⊥
Gọi H là trung điểm của SA.
a SA a
SA OA OH
2 3 3
2
3 2 3
= = ⇒ = =
⇒
OH OB OD= =
⇒ ∆HBD vuông tại H
⇒ DH ⊥ BH (1)
• ∆SOA vuông cân tại O, H là trung điểm của SA ⇒ OH ⊥ SA (2)
• SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD, mặt khác AC ⊥ BD
BD SAC SA BD( )⇒ ⊥ ⇒ ⊥
(3)
• Từ (2) và (3) ta suy ra SA ⊥ (HBD)
⇒
SA ⊥ HD (4)
Từ (1) và (4) ta suy ra DH ⊥ (SAB), mà DH
⊂
(SAD) nên (SAD) ⊥ (SAB)
• Gọi I là trung điểm của SC dễ thấy OI = OH = OB = OD ⇒ ∆IBD vuông tại I ⇒ ID ⊥ BI (5)
•

a a
SD SO OD a CD
2 2
2 2
6 3
9 9
= + = + = =
⇒ ∆DSC cân tại D, IS = IC nên ID ⊥ SC (6)
Từ (5) và (6) ta suy ra ID ⊥ (SBC), mà ID
⊂
(SCD) nên (SBC) ⊥ (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.
OH ⊥ SA, OH ⊥ BD nên
a
d SA BD OH
3
( , )
3
= =
.
============================
3
I
K
H
O
A
B
D C
S