Tài liệu Đề thi học sinh giỏi Môn Toán lớp 8





 !"#$%&
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THAM KHẢO
MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian :90 phút
Bài 1: (1,5 điểm):
a) Giải phương trình: x
2
- 6x + 9 = 4
b) Giải bất phương trình: |
5
1
x
−
| >
5
2

Bài 2: (1,5 điểm)
Tìm x, y , z biết: x
2
+ 2y
2
+ z
2
- 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 rồi tính giá trị của A với
A = (x-1)
2008

+(y-1)
2008

+(z-1)
2008
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho P(x)=
3x6x2x2x
3x3x2xx
234
234
−−−+
−−−+
a) Rút gọn P(x)
b)Xác định giá trị của x để P(x) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 4: (1 điểm)
Cho a + b + c = 1 , a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 và
c
z
b
y
a
x
==

. Tính giá trị của xy + yz + xz
Bài 5: (1 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + xz = 6.
Chứng minh rằng: x
2
+ y
2
+ z
2
3
≥
Bài 6: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM. K là một điểm của AM sao cho
KM = 2 KA . BK cắt AC tại N.
a) Tính diện tích tam giác AKN theo S.
b) Một đường thẳng đi qua K cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại I và J.
Tính giá trị của:
+
AI
AB
AJ
AC

Đáp án Toán 8:




 !"#$%&
Bài 1 : (1,5 điểm)

a) Tìm đúng x = 5; x = 1 (0,75 điểm)
b) |
5
1
x
−
| >
5
2
⇔
x -
5
1
>
5
2
hoặc
5
1
x
−
<
5
2
−

⇔
x >
5
3

hoặc x <
5
1
−
(0,75 điểm)
Bài 2: (1,5 điểm)
x
2
+ 2y
2
+ z
2
- 2xy - 2y - 4z + 5 = 0
⇔
(x - y)
2
+ (y - 1)
2
+(z - 2)
2
= 0 (0,5 điểm)

⇔





=−
=−

=−
02z
01y
0yx
(0,25 điểm)

⇔



=
==
2z
1yx
(0,25 điểm)
Tính đúng A= (x -1)
2008
+(y -1)
2008

+( z - 1)
2008
=1 (0,5 điểm)
Bài 3: (1,5 điểm)
a)P(x)=
3x6x2x2x
3x3x2xx
234
234
−−−+

−−−+
=
2
2
22
22
)1x(
1xx
)3x()1x(
)3x)(1xx(
+
++
=
−+
−++
(0,5 điểm)

4
3
4
3
)
1x
1
2
1
(
4
3
)1x(

1
1x
1
4
1
)1x(
1
1x
1
1
)1x(
1
)1x(
1x
)1x(
)1x(
)1x(
11x1x2x
)1x(
1xx
P)b
2
22
222
2
2
2
2
2
≥+

+
−=+
+
+
+
−=
+
+
+
−=
+
+
+
+
−
+
+
=
+
+−−++
=
+
++
=
(0,5 điểm)
Dấu = xảy ra
⇔
1x21x
2
1

1x
1
0
1x
1
2
1
=⇔=+⇔=
+
⇔=
+
−
(0,25 điểm)
P(x) có giá trị nhỏ nhất là
4
3
khi x = 1 (0,25 điểm)
Bài 4: (1 điểm)

)1cbavì(zyx
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
=++++=
++

++
===
. (0,25 điểm)
Do đó:
(x+y+z)
2
=
222
222
222
2
2
2
2
2
2
zyx
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
++=
++
++
===
( vì a

2
+ b
2
+ c
2
= 1) (0,25 điểm)
⇒
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy +2yz + 2xz = x
2
+ y
2
+ z
2
(0,25 điểm)
⇒
2xy +2yz + 2xz = 0
⇒
xy + yz + xz = 0 (0,25 điểm)
Bài 5: (1 điểm)
(x-1)
2
≥
0
⇔

x
2
+1
≥
2x.
Tương tự: y
2
+1
≥
2y; z
2
+1
≥
2z và 2(x
2
+y
2
+z
2
)
≥
2(xy+yz+xz) (0,5 điểm)
Cộng 4 bất đẳng thức theo từng vế ta có:3(x
2
+y
2
+z
2
)+3
≥

2(x+y+z+xy+yz+xz) (0,25 điểm)
⇔
x
2
+y
2
+z
2
≥
3(vì x+y+z+xy+yz+xz = 6) (0,25 điểm)
Bài 6: (3,5 điểm)