Gián án de thi dh so 120

I HC S PHM H NI THI TH I HC - CAO NG 2011
KHOA TON-TIN MễN: TON- KHI A
------------- Thi gian lm bi: 180 phỳt ( khụng k thi gian giao )
A. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im )
Cõu I: (2,0 im) Cho hm s:
2 1
1
x
y
x
-
=
-
(C).
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C).
2. Gi I l giao im ca hai tim cn, M l mt im bt kỡ trờn (C), tip tuyn ca (C) ti M ct cỏc tim
cn ti A, B. Chng minh rng din tớch tam giỏc IAB khụng i khi M thay i trờn (C).
Cõu II: (2,0 im)
1. Gii phng trỡnh
( ) ( )
3 3
sin . sin 3 os . cos 3 1
8
t an . t an
6 3
x x c x x
x x
p p
+
= -
- +

2. Gii phng trỡnh
( ) ( )
3 3
2 2
1 1 1 1 2 1x x x x
ộ ự
+ - + - - = + -
ờ ỳ
ở ỷ
.
Cõu III. (1,0 im) Tớnh tớch phõn
( )
1
2
0
ln 1I x x x dx= + +
ũ
.
Cõu IV. (1,0 im) Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD cú
A B A D a= =
,
3
AA '
2
a
=
, gúc
BA D
bng
0

60
. Gi M, N ln lt l trung im ca cnh AD v AB. Chng minh AC vuụng gúc vi mt phng
(BDMN) v tớnh th tớch khi a din AABDMN theo
a
.
Cõu V. (1,0 im) Chng minh rng vi mi s thc dng
, ,a b c
tha món
2 2 2
1a b c+ + =
, ta cú:
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
- + - + - +
+ + Ê
+ + +
.
B. PHN RIấNG (3,0 IM):Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc B)
I. Theo chng trỡnh Chun
Cõu VI.a (2,0 im)
1. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 12, tõm I l giao im
ca hai ng thng: d
1
: x - y - 3 = 0, d
2
: x + y - 6 = 0. Trung im mt cnh l giao im ca d

1
v tia
Ox. Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht.
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im I(1;1;1) v ng thng d:
14 5
4 1 2
x y z- +
= =
-
. Vit
phng trỡnh mt cu (S) tõm I v ct d ti hai im A, B sao cho di on thng AB bng 16.
Cõu VII.a (1,0 im) Tỡm h s cha x
2
trong khai trin:
4
1
2
n
x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
, bit n l s nguyờn dng tha món:

2 3 1
0 1 2
2 2 2 6560
2 ...
2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
+
+ + + + =
+ +
.
II. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu VI.b (2,0 im)
1. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng cú nh l (-4; 8) v mt ng chộo cú phng trỡnh
7x - y + 8 = 0. Vit phng trỡnh cỏc cnh ca hỡnh vuụng.
2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P):
1 0x y z+ + - =
v hai im A(1;-3;0), B(5;-1;-2).
Tỡm ta im M trờn mt phng (P) sao cho
MA MB-
t giỏ tr ln nht.
Cõu VII.b (1.0 im) Cho h phng trỡnh
2
3 3
2
3

1
log log 0
2
,( )
0
x y
m R
x y my
ỡ
ù
ù
- =
ù
ù
ẻ
ớ
ù
ù
+ - =
ù
ù
ợ
. Tỡm m h cú nghim.
.........Ht.........
Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh:............................................................; S bỏo danh:...................
P N - THANG IM
THI TH I HC NM 2011
Mụn thi: TON
.

Cõu í ỏp ỏn im
I 1 1,0
1 TX : D = R\
{ }
1
. 2 S bin thiờn: y =
( )
2
1
0,
1
x D
x
-
< " ẻ
-
.
Hm s nghch bin trờn:
( ) ( )
;1 1;v- Ơ + Ơ
0,25
Gii hn:
lim lim 2
x x+ Ơ - Ơđ đ
= =
; tim cn ngang: y = 2
1 1
lim , lim
x x
+ -

đ đ
= + Ơ = - Ơ
; tim cn ng: x = 1
0,25
Bng bin thiờn: 0,25
1 th:
0,25
2 1,0
Gi M(m;
2 1
1
m
m
-
-
) Tip tuyn ca (C) ti M:
( )
( )
2
1 2 1
1 1
m
y x m
m m
- -
= - +
- -
0,25
A(1;
2

1
m
m -
), B(2m-1; 2)
0,25
IA =
2 1
2 2
1 1
m
m m
- =
- -
, IB =
2 2 2 1m m- = -
0,25
1
. 2
2
IA B
S IA IB
D
= =
. Vy din tớch tam giỏc IAB khụng i khi M thay i trờn (C).
0,25
II 1 1,0
iu kin:
6 2
k
x

p p
+ạ
Ta cú
t an . t an t an . cot 1
6 3 6 6
x x x x
p p p p
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
- + = - - = -
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
0,25
Phng trỡnh tng ng vi:
3 3
sin . sin 3 os . cos 3x x c x x+
=
1
8

( )
1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1
. .
2 2 2 2 8
1
2 os2 os2 . os4
2

c x c x c x c x c x c x
c x c x c x
- - + +
+ =
- =
0,25
3
1 1
os os2
8 2
c x c x= =
0,25
( )
ai
6
,
6
x k lo
k Z
x k
p
p
p
p
ộ
= +
ờ
ờ
ẻ
ờ

ờ
= - +
ờ
ở
. Vy :
6
x k
p
p
= - +
0,25
2 1,0
k: -1
1xÊ Ê
t u =
( )
3
1 x+
, v =
3
(1 )x-
; u,v
0
H thnh:
2 2
3 3
2
1 ( ) 2
u v
uv u v uv

ỡ
+ =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ - = +
ù
ù
ợ
0,25
Ta cú:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2
3 3 2 2
1 1 1
1 2 2 2
2 2 2
( ) 2
uv uv u v uv u v
u v u v u v vu u v uv
+ = + = + + = +
+ = - + + = - +

0,25
2 2
2
2 2
2
2
1
2
2
u v
u
u v
ì
+ =
ï
ï
ï
= +Þ Þ
í
ï
- =
ï
ï
î
0,25
2
2
x =Þ
0,25
III 1,0

Đặt
( )
2
2
2
2 1
ln 1
1
2
x
du dx
u x x
x x
x
dv xdx
v
ì +
ï
ï
=
ì
ï
ï
= + +
+ +
ï
ï
ï ï
Þ
í í

ï ï
=
ï ï
ï
î
=
ï
ï
ï
î

( )
1
2 3 2
2
0
1
1 2
2
ln 1
2 2 1
0
x x x
I dxx x
x x
+
= -+ +
+ +
ò
0,25

( )
1
1
2 2 1
0
2
0
0
1 1 1 3
ln 3 ln( 1)
2 2 4 4 1
3 3
ln 3
4 4
dx
x x x x
x x
J
- - + + + -
+ +
= -
ò
0,25
1
2
2
0
1 3
2 2
dx

J
x
=
æ ö
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
+ +
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
è ø
ç
è ø
ò
. Đặt
1 3
t an , ;
2 2 2 2
x t t
p p
æ ö
÷

ç
+ = -Î
÷
ç
÷
è ø

3
6
2 3 3
3 9
J dx
p
p
p
= =
ò
0,25
Vậy I =
3
ln 3
4
-
3
12
p
0,25
IV 1,0
Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’
Þ

M, N lần lượt là trung
điểm của SD và SB AB = AD = a, góc BAD = 60
0

Þ

D
ABD đều
Þ
OA =
3
, 3
2
a
A C a=
SA = 2AA’ = a
3
3, ' AA '
2
a
CC = =
0,25
~ '
'
A O SA
SA O A CC
A C CC
=Þ Þ D D

' ~A CC A IOÞ D D

(I là giao điểm của
AC’ và SO)
'SO A C^Þ
(1) Mặt khác
( ' ') 'BD A CC A BD A C^ ^Þ
(2) Từ (1) và (2)
Þ
đpcm
0,25
2
2
2
2
'
1 3
3
3 2 4
1 3 3
3 2 4 2 32
SA B D
SA MN
a
V a a
a a a
V
= =
æö
÷
ç
= =

÷
ç
÷
è ø
0,25
2
AA ' '
7
32
BDMN SA BD SA MN
a
V V V= - =
0,25
V 1,0
Do a, b, c > 0 và
2 2 2
1a b c+ + =
nên a, b, c
( )
0;1Î
Ta có:
( )
2
2
5 3
3
2 2 2
1
2
1

a a
a a a
a a
b c a
-
- +
= = - +
+ -
BĐT thành:
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 3
3
a a b b c c- + + - + + - + £
0,25
Xét hàm số
( )
( )
3
, 0;1f x x x x= - + Î
Ta có:
( )
ax
0;1
M
( )
f x
=
2 3
9

0,25
0,25
( )
( )
( )
2 3
3
f a f b f c+ +Þ £
Þ
đpcm Đẳng thức xảy ra
1
3
a b c= = =Û
0,25
VI.a 1 1,0
I
9 3
;
2 3
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
, M
( )
3; 0

0,25
Giả sử M là trung điểm cạnh AD. Ta có: AB = 2IM =
3 2

. 12 2 2
A B CD
S A B A D A D= = =Þ
AD qua M và vuông góc với d
1

Þ
AD: x + y
- 3 = 0
0,25
Lại có MA = MB =
2
Tọa độ A, D là nghiệm của hệ:
( )
2
2
3 0
2
1
3 2
x y
x
y
x y
+ - =ì
ï

=ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
- + =
ï ï
î
ï
î
hoặc
4
1
x
y
=ì
ï
ï
í
ï
= -
ï
î
0,25
Chọn A(2 ; 1)
( ) ( ) ( )

4; 1 7;2 à 5; 4D C v B-Þ Þ
0,25
2 1,0
Gọi H là trung điểm đoạn AB
8HA =Þ
0,25
IH
2
= 17 0,25
IA
2
= 81
9R =Þ
0,25
( )
( )
( )
( )
2
2 2
: 1 1 1 81C x y z- + - + - =
0,25
VII.a 1,0
Ta có:
( )
2
2 3 1
0 1 2
0
2 2 2

2 ... 1
2 3 1
n
n
n
n n n n
C C C C x dx
n
+
+ + + + = +
+
ò
0,25
1
1
3 1 6560
3 6561 7
1 1
n
n
n
n n
+
+
-
= = =Û Û Û
+ +
0,25
7
14 3

7
4
7
4
0
1 1
2 2
k
k
k
x C x
x
-
æ ö
÷
ç
+ =
÷
ç
÷
ç
è ø
å
0,25
Số hạng chứa x
2
ứng với k thỏa:
14 3
2 7
4

k
k
-
= =Û
Vậy hệ số cần tìm là:
21
4

0,25
VI.b 1 1,0
Gọi A(-4; 8)
Þ
BD: 7x - y + 8 = 0
Þ
AC: x + 7y - 31 = 0 0,25
Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b) D: ax + by + 4a - 5b = 0, D hợp với AC một
góc 45
0

Þ
a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3
Þ
AB:
3 4 32 0; : 4 3 1 0x y A D x y- + = + + =
0,25
Gọi I là tâm hình vuông
Þ
I(
1 9
; )

2 2
-
( )
3; 4CÞ

: 4 3 24 0; : 3 4 7 0BC x y CD x y+ - = - + =Þ
0,25
KL: 0,25
2 1,0
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)
Þ
B’(-1;
-3; 4)
0,25
' 'MA MB MA MB A B- = - £
Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng
Þ
M
là giao điểm của (P) và AB’
0,25
AB’:
1
3
2
x t
y
z t
ì
ï
= +

ï
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï
ï
= -
ï
ï
î
0,25
M(-2; -3; 6) 0,25
VII.b 1,0
Đk: x
¹
0, y > 0
( )
( )
2
3 3
3 3
2
3
2
3
3 2
2

1
log log
log log 0
2
0
0
, 1
0
, 2
x y
x y
x y ay
x y my
y x
y x
y y ay
y y a
ì
ï
ì
=
ï
ï
- =
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï

+ - =
ï ï
+ - =
ï
î
ï
ï
î
=
ì
=ì
ï
ï
ï
ï
ï
Û Û
í í
ï ï
+ - =
+ =
ï ï
î
ï
î

0,25
Hệ có nghiệm khi (2) có nghiệm y > 0 Ta có : f(y) =
2
y y+

>0 ,
"
y > 0
0,25
Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0 0,25
Vậy hệ có nghiệm khi a > 0 0,25