Tài liệu ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 8

TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU
****************
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (VÒNG 2)
MÔN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT
NĂM HỌC: 2007-2008
Bài 1: (2đ)
a/ Cho x + y = a , x
2
+ y
2
= b, x
3
+ y
3
= c.
Chứng minh a
3
+ 2c = 3ab
b/ Với giá trị nào của x thì phân thức sau bằng 0
P =
12
1
234
34
+−+−
+++
xxxx
xxx
Bài 2: (1,5đ)
Cho biểu thức: Q =
41292

4104
23
2
+++
++
aaa
aa
a/ Rút gọn Q.
b/ Tìm các giá trị của a để Q đạt giá trị nguyên.
Bài 3: (1,5đ)
Giải phương trình:
5
2012
4
2011
3
2010
2
2009
1
2008
=
+
+
+
+
+
+
+
+

xxxxx
Bài 4: (2đ)
Cho tam giác ABC , ba đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H.
Chứng minh:
1
'
'
''
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
Bài 5: (3đ)
Cho hình vuông ABCD . M là điểm tùy ý trên đường chéo BD .Kẻ ME vuông góc
với AB, MF vuông góc với AD.
a/ Chứng minh DE = CF, DE vuông góc với CF.
b/ Chứng minh DE, BF, CM đồng quy.
c/ Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
******************************
ĐÁP ÁN TOÁN 8
j
H
C'
B'
A'

CB
A
Bài 1: (2đ)
a/ (0,75đ) a
3
+ 2c = (x + y)
3
+ 2(x
3
+ y
3
)
= 3x
3
+ 3y
3
+ 3x
2
y +3xy
2
(0,25)
3ab = 3(x + y)(x
2
+ y
2
)
= 3x
3
+ 3y
3

+ 3x
2
y +3xy
2
(0,25)
Vậy: a
3
+ 2c = 3ab (0,25)
b/ (1,25đ)
Biến đổi được P =
)1)(1(
)1()1(
)1()1(
)1)(1(
22
22
222
3
+−+
+−+
=
+−+
++
xxx
xxx
xxx
xx
(0,5)
Lý luận được mẫu thức > o với mọi x. (0,25)
P = 0

⇔
(x +1)
2
(x
2
- x + 1) = 0 (0,25)

⇔
(x +1) = 0

⇔
x = -1 (0,25)
Bài 2: (1,5đ)
a/ Biến đổi Q =
)12()2(
)12)(2(2
2
++
++
aa
aa
=
2
2
+
a
(a
≠
-2; a
≠

-
2
1
) (1đ)
Thiếu điều kiện trừ 0,25đ
b/ Q nguyên
⇔
a + 2 là ước của 2

⇔
a+2
{ }
2;2;1;1
−−∈
(0,25)

⇔
a
{ }
4;0;3;1
−−−∈
(0,25)
Bài 3: (1,5đ)

5
2012
4
2011
3
2010

2
2009
1
2008
=
+
+
+
+
+
+
+
+
xxxxx
⇔
0)1
2012
4
()1
2011
3
()1
2010
2
()1
2009
1
()1
2008
(

=−
+
+−
+
+−
+
+−
+
+−
xxxxx
(0,25)
⇔
(x-2008)
0)
2012
1
2011
1
2010
1
2009
1
2008
1
(
=++++
(0,25)
Vì
0)
2012

1
2011
1
2010
1
2009
1
2008
1
(
≠++++
(0,25)
Nên x -2008 = 0
⇔
x = 2008 (0,5)
Vậy S =
{ }
2008
(0,25)
Bài 4: (2đ) Hình vẽ 0,25đ

ABCHABHACHBC
SSSS
=++
(0,5)
⇔
1
=++
ABC
HAB

ABC
HAC
ABC
HBC
S
S
S
S
S
S
(0,5)

⇔

1
'.
'.
'.
'.
'.
'.
=++
ABCC
ABHC
ACBB
ACHB
BCAA
BCHA
(0,5)

⇔

1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
(0,25)
M
F
E
D
C
B
A
Bài 5: (3đ) Hình vẽ 0,25đ
a/ (1đ)
C/m AEMF là hình chữ nhật suy ra MF = AE
C/m ∆MFO vuông cân tại F suy ra MF = FD
Suy ra AE = FD (0,25)
C/m ∆DAE = ∆CDF (c.g.c) suy ra DE = CF (0,25)

ADE = DCF
ADE+ EDC = 90
0
⇒
DCF+ EDC = 90
0
(0,25)
⇒
CF
⊥
DE (0,25)
b/ (0,75đ)
C/m tương tự ta có EC = FB và EC
⊥
FB
C/m ∆FEB = ∆CME (EC = FB, ADE = DCF, ME = EB)
⇒
MCE = EFB (0,25)
⇒
MCE+ FEC = EFB+ FEC = 90
0
⇒
CM
⊥
EF (0,25)
∆CEFcó CM,DE,BF là các đường cao nên chúng đồng qui. (0,25)
c/ (1đ)
ME+MF=AE+EB=AB không đổi (0,25)
⇒
ME.MF lớn nhất

⇔
ME=MF (0,25)

⇔
AEMF là hình vuông (0,25)

⇔
M
≡
O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình
vuông ABCD
PHÒNG GD-ĐT TP TAM KỲ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU MÔN : TOÁN - LỚP 8 (VÒNG 2)
**************** NĂM HỌC: 2008 - 2009
THỜI GIAN : 90 PHÚT
Bài 1: (2,5đ)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x
5
– 5x
3
+ 4x
b/ Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = a
2
(2a - 3) + b
2
(-3 + 2b)
Bài 2: (2,5đ)
a/ Cho a;b;c
≠
0, a + b + c =1 và

cba
111
++
= 0
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
b/ Giải phương trình:

4
1994
15
1993
16
1992
17
1991
18
−=
+
+
+
+
+
+
+

xxxx
Bài 3: (2đ)
Cho biểu thức: M =
)1)(1()1)(()1)((
2222
yx
yx
xyx
y
yyx
x
−+
−
++
−
−+
a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức M.
b/ Rút gọn biểu thức M.
c/ Tìm các cặp số nguyên (x;y) để biểu thức M có giá trị bằng 3.
Bài 4: (3đ)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD.
Chứng minh rằng:
a/ Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
b/ Tích của diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD bằng bình phương
diện tích tam giác BOC.
--------------Hết-------------
ĐÁP ÁN TOÁN 8:
Bài 1: (2,5đ)
a/ (1,5đ) x
5

– 5x
3
+ 4x = x(x
4
-5x
2
+ 4) (0,25)
= x[x
2
( x
2
-1)-4(x
2
-1)] (0,5)
= x( x
2
-1)(x
2
-4) (0,25)
= (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) (0,5)
b/ (1đ) A = a
2
(2a - 3) + b
2
(-3 + 2b)
= 2(a
3
+b
3
)-3(a

2
+b
2
) (0,25)
= 2(a+b)(a
2
–ab + b
2
) -3(a
2
+b
2
) (0,25)
= 2(a
2
–ab + b
2
) -3(a
2
+b
2
) (vì a+b=1) (0,25)
= -2ab-a
2
-b
2
= -(a+b)
2
= -1 (0,25)
Bài 2: (2,5đ)

a/ (1đ) (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+

2ab + 2ac + 2bc = 1 (0,25)

cba
111
++
= 0
abc
bcacab
++
⇒
= 0 (0,25)

⇒
ab + ac + bc = 0 (0,25)

⇒
2ab + 2ac + 2bc = 0

⇒
a

2
+ b
2
+ c
2
= 1 (0,25)
b/(1,5đ)
4
1994
15
1993
16
1992
17
1991
18
−=
+
+
+
+
+
+
+
xxxx

0
1994
2009
1993

2009
1992
2009
1991
2009
=
+
+
+
+
+
+
+
⇔
xxxx
(0,5)

⇔
(x+2009)
0)
1994
1
1993
1
1992
1
1991
1
(
=+++

(0,25)

⇔
(x+2009) = 0 (vì
)0
1994
1
1993
1
1992
1
1991
1
≠+++
(0,5)

⇔
x =-2009 (0,25)
Bài 3: (2đ)
a/ (0,5đ) x
≠
-1, y
≠
1, x
≠
y (Thiếu,sai 1ĐK trừ 0,25đ)
b/ (1đ) M =
)1)(1()1)(()1)((
2222
yx

yx
xyx
y
yyx
x
−+
−
++
−
−+
=
)1)(1)((
)()1()1(
2222
xyyx
yxyxyyxx
+−+
+−−−+
(0,25)
=
[
]
)1)(1)((
)1()1()1)(1(
22
xyyx
xyyxyx
+−+
−++−+
(0,25)

=
)1)(1)((
))()(1)(1(
xyyx
xyyxyxyx
+−+
+−+−+
(0,25)
= x – y + xy (0,25)
c/ (0,5đ) M = 3
⇔
x – y + xy = 3

⇔
(x –1) (y+1) = 2 (0,25)




=
=
⇔



=+
=−
⇒
1
2

21
11
y
x
y
x
(loại)