TOAN 10DE THI HS GIOI

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC & ĐAØO TẠO PHÚ N
TRƯỜNG THPT CHUN

LƯƠNG VĂN CHÁNH
---

<b>THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG </b>

<b>Mơn thi: Tốn lớp 10 </b>

<b>Thời gian làm bài: 120 phút </b>

---

<b>Câu 1. Giải phương trình </b>

₍<i>_x</i>2 ₊₂₎2₊₄₍<i>_x</i>₊₁₎3₊ <i>_x</i>2 ₊₂<i>_x</i>_{+ =}₅ ₍₂<i>_x</i>₋₁₎2₊₂

_.

<b>Câu 2. Cho a, b, c là ba số nguyên lẻ. Chứng minh phương trình </b>

khơng có nghiệm hửu tỉ.

2

₀

<i>ax</i>

+

<i>bx c</i>

+ =

<b>Câu 3. Cho ba số nguyên dương a, b, c thoả </b>

<i>abc =</i>

1

. Chứng minh

1 1 1

(1 ) (1 ) (1 ) 2

<i>a</i> +<i>b</i> + <i>b</i> +<i>c</i> + <i>c</i> +<i>a</i>
3
≥

.

<b>Câu 4. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường (O) có </b>

.

Trên cung nhỏ BC lấy điểm M bất kỳ. Gọi N là giao điểm của AM và

BC. Chứng minh

60<i>o</i>
<i>BAC</i>

∠ ≤

1

1

1

<i>MN</i>

≥

<i>MB</i>

+

<i>MC</i>

.

<b>Câu 5. Trong mặt phẳng cho 10 điểm sao cho với 4 điểm bất kỳ đều chọn ra </b>

được ít nhất 3 điểm thẳng hàng. Chứng minh có ít nhất 9 điểm trong số

10 điểm nói trên thẳng hàng.

<b>Câu 6. Trên đường tròn (O) bán kính </b>

<i>R = cho 5 điểm A, B, C, D và E. Một </i>

1

đường thẳng (d) cắt đường tròn tại hai điểm. Chứng minh tồn tại điểm

M thuộc (d) sao cho

10
<i>MA</i>+<i>MB</i>+<i>MC</i>+<i>MD</i>+<i>ME</i> <

.

<b>HEÁT </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b> HƯỚNG DẪN GIẢI VAØ THANG ĐIỂM </b>

<i><b>Chú ý: Dưới đây chỉ là gợi ý cách giải và phân bố điểm cho cách giải đó. Nếu học sinh </b></i>

<i>giải theo cách khác và đúng hồn tồn thì đạt điểm tối đa của câu đó, nếu </i>
<i>giải theo cách khác nhưng chưa hồn chỉnh thì tuỳ theo mức độ, người chấm </i>
<i>cho một phần của số điểm câu đó. </i>

<b>Câu</b> <b>Nội dung bài giải </b>

<b>Điểm </b>
<b>chi </b>
<b>tiết </b>

Phương trình đã cho tương đương với

4 ₄ 3 ₄ 2 ₄₍ 3 ₃ 2 ₃ ₁₎ 2 ₂ ₅ ₄ 2 ₄

<i>x</i> + <i>x</i> + <i>x</i> + <i>x</i> + <i>x</i> + <i>x</i>+ + <i>x</i> + <i>x</i>+ = <i>x</i> − <i>x</i>+3
⇔ (<i>x</i>2+2 )<i>x</i> 2+8(<i>x</i>2+2 ) 5<i>x</i> + + <i>x</i>2+2<i>x</i>+ =5 0 (1)

1ñ

Đặt <i>_t</i>₌ <i>_x</i>2₊₂<i>_x</i>₊_{5 , điều kiện}<i>_{t ≥}</i>₂<i>_{. (điều kiện}_{t ≥}</i>₀<i>_{vẫn được)}</i>

Suy ra <i>x</i>2+2<i>x</i>=<i>t</i>2−5

1đ
Phương trình (1) được viết lại

2 2 2

(<i>t</i> −5) +8(<i>t</i> −5) 5+ + =<i>t</i> 0
0

0

)
⇔ <i>t</i>4−2<i>t</i>2+ −<i>t</i> 10=

⇔ (<i>t</i>−2)(<i>t</i>3+2<i>t</i>2+2<i>t</i>+5)=
⇔ ₃ 2 ₂0

2 2 5 0 (vonghiem v 2
<i>t</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>â</i> <i>ä</i> <i>ì t</i>

⎡ − =
⎢

⎢ + + + = ≥

⎢⎣
⇔ <i>t =</i>2

1đ
Câu 1

(4 đ)

⇔ <i>x</i>2+2<i>x</i>+ =5 2
4
⇔ <i>x</i>2+2<i>x</i>+ =5

⇔ <i>x = −</i>1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất <i>x = −</i>1.

1đ

<b>Câu 2 </b>

<b>(3đ)</b> Giả sử phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ 0
<i>p</i>
<i>x</i>

<i>q</i>

= ( ,<i>p q</i> nguyên).
Khi đó

2

0

<i>p</i> <i>p</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>q</i> <i>q</i>

⎛ ⎞_⎟ ⎛ ⎞_⎟
⎜ _⎟ ₊ ⎜ _⎟_{+ =}
⎜ _⎟ ⎜ _⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔ <i>_ap</i>2 ₊<i>_{bpq cq}</i>₊ 2 ₌₀ (*)

1đ

Khơng mất tính tổng qt ta luôn giả sử được <i>p</i>

<i>q</i> là phân số tối giản,
<i>suy ra p và không thể đồng thời là hai số chẵn. q</i>

+ Trường hợp p chẵn, q lẻ: khi đó chẵn, lẻ, mâu thuẫn
với (*).

2

<i>ap</i> +<i>bpq</i> <i>cq</i>2
+ Trường hợp q chẵn, p lẻ: tương tự.

1ñ

+ Trường hợp p và q đều lẻ: khi đó cả ba số , và đều lẻ
nên cũng mâu thuẫn với (*).

2

<i>ap</i> <i>bpq</i> <i>cq</i>2
Vậy phương trình đã cho khơng có nghiệm hữu tỉ.

1đ

<b>Câu 3 </b>

<b>(3 đ)</b> Theo giả thiết <i>abc =</i>1 nên tồn tại ba số dương x, y, z sao cho ,
<i>x</i>
<i>a</i>

<i>y</i>
=
,

<i>z</i> <i>y</i>
<i>b</i> <i>c</i>

<i>x</i> <i>z</i>

= = (chẳng hạn <i>x</i>= <i>abc</i>=1<i>, y</i>=<i>bc, z</i>=<i>b</i>).

2đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Khi đó, bất đẳng thức đã cho tương đương với
3
2

(1 ) (1 ) (1 )

<i>y</i> <i>x</i> <i>z</i>

<i>z</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>z</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>z</i> <i>y</i>

+ +

+ + +

≥

⇔ 3

2

<i>y</i> <i>x</i> <i>z</i>

<i>x z</i>+ + <i>z</i>+ <i>y</i>+ <i>y x</i>+ ≥ (*)

⇔ 3 3

2
<i>x</i> <i>y z</i> <i>x</i> <i>y z</i> <i>x</i> <i>y z</i>

<i>x z</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>y x</i>

+ + ₊ + + ₊ + + _≥

+ + + +

⇔ ( )( 1 1 1 )

2
<i>x</i> <i>y z</i>

<i>x z</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>y x</i>

+ + + + ≥

+ + +

9

⇔

(

(<i>x z</i>) (<i>z</i> <i>y</i>) (<i>y x</i>) (

)

1 1 1 )
<i>x z</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>y x</i>

+ + + + + + + ≥

+ + + 9 .

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì là một hệ quả quen thuộc của bất
đẳng thức Cauchy.

<i>(Chú ý: nếu học sinh đưa đến bđt (*) và nhận xét đó là bđt Nesbit thì </i>
<i>vẫn đạt u cầu.) </i>

<i>Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x z</i>+ = + = +<i>z y</i> <i>y x</i> ⇔<i> x</i>= <i>y</i>= <i>z</i>

.

⇔
1

<i>a</i>= = =<i>b</i> <i>c</i>

1đ
Ta có Δ<i>MBN</i> ∼Δ<i>CAN</i> suy ra

<i>MN</i> <i>CN</i>
<i>MB</i> = <i>CA</i> .

Tương tự, Δ<i>MCN</i> ∼Δ<i>BAN</i> suy ra
<i>MN</i> <i>BN</i>

<i>MC</i> = <i>BA</i>.

Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế ta
<i>được MN</i> <i>MN</i> <i>CN</i> <i>BN</i>

<i>MB</i>+ <i>MC</i> = <i>CA</i> + <i>BA</i>
hay <i>MN</i>( 1 1 ) <i>BC</i>

<i>MB</i>+ <i>MC</i> = <i>AB</i>.

1ñ

Do <i>_{A ≤}</i>60<i>o</i> và tam giác ABC cân nên <i>_C</i>_≥₆₀<i>o</i>_≥ <i>_A</i> suy ra <i>_AB</i>_≥<i>_BC</i>
hay <i>BC</i> 1

<i>AB</i>≤ .

Do đó <i>MN</i>( 1 1 )

<i>MB</i>+<i>MC</i> ≤1 hay 1

1 1

<i>MB</i>+ <i>MC</i> ≤ <i>MN</i>.

1đ

<b>Câu 4 </b>
<b>(3đ)</b>

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <i>BC</i> 1

<i>AB</i>= <i> C</i> ⇔ tam giác
ABC đều.

⇔ 60<i>o</i> <i>_A</i>

<b>A</b>

<b>B</b> <b>C</b>

<b>M</b>
<b>N</b>

= = 1ñ

<b>Câu 5 </b>
<b>(3đ)</b>

Trường hợp 10 điểm đã cho thẳng
hàng, bài toán hiển nhiên đúng.
Trường hợp ngược lại, khi đó tồn
tại 4 điểm, ta đặt tên là A, B, C,
D, không cùng thuộc một đường
thẳng. Theo giả thiết, từ 4 điểm
này tồn tại 3 điểm thẳng hàng,
giả sử ba điểm này là A, B và C.

3ñ

<b>E</b>

<b>D</b>

<b>A</b> <b>B</b> <b>C</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Gọi (d) là đường thẳng qua A, B, C. T
thuộc (d) bằng phản chứng.

Thật v

a chứng minh 6 điểm cịn lại đều
ậy, giả sử tồn tại điểm E (thuộc tập 6 điểm cịn lại) khơng thuộc
điểm A, B, D và E thẳng hàng. Do

thẳng hàng nên chỉ có thể A, D, E
(d). Theo giả thiết, tồn tại 3 trong 4

các bộ ba A, B, D và A, B, E không
hoặc B, D, E thẳng hàng.

+ Trường hợp A, D, E thẳng hàng: Ta
nếu thẳng hàng thì A, B, D thẳng hàng). K
E khơng có 3 điểm nào thẳng hàng

+

có B, D, E khơng thẳng hàng (vì
h ó trong 4 điểm B, C, D,
. Mâu thuẫn với giả thiết.

i đ
Trường hợp B, D, E thẳng hàng: Lý luận tương tự.

Vậy 6 điểm còn lại đều thuộc (d). Bài toán được chứng minh

Nhận xét: cho hai điểm P, Q bất kỳ thuộc hình trịn (O), kể cả biên,
khi đó mọi điểm X thuộc đoạn PQ đều thuộc hình trịn (O).

1 đ
Gọi <i>G là trung điểm đoạn AB; </i>₁

<i>G là điểm trên đoạn G C</i>₂ ₁
cho

sao

1 2 1₃ 1

<i>G G</i> = <i>G C</i>; <i>G là điểm </i>₃
trên đoạn <i>G D sao cho </i>₂

2 3 ₄ 2 4

<i>đoạn G E sao cho </i>
1

<i>G G</i> = <i>G D; G là điểm trên </i>

3 3 4 ₅ 3

eo nhận xét trên ta ₁, <i>G</i>₂

3

Theo ên, ta coù

4

<i>G E</i>= − <i>G</i> .

1
<i>G G</i> = <i>G E</i>.

Th <i>coù G</i> ,

<i>G , G đều thuộc hình trịn (O). </i>₄

cách xây dựng tr , ₂,

3

<i>G</i>

1 ñ

2 2 2 1

<i>G C</i>= − <i>G G</i> <i>G D</i>₃ = −3<i>G G</i>₃

4 4

<b>Caâu 6 </b>
<b>(4 ñ) </b>

Do (d) cắt đường tr điểm M vừa uộc (d) và thuộc hình
trịn (O) (khơng kể biên). Khi đó

<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>

òn nên tồn tại th

<i>MA M</i>+ +

=

<i>B MC</i>+ +<i>MD ME</i>

1

<i>2MG</i> +<i>MC M</i>+ <i>D ME </i>+

= 2(<i>MG</i>2+<i>G G</i>₂ ₁) (+ <i>MG</i>2+<i>G C</i>₂ )+<i>MD ME</i>+

= <i>3MG</i>2+<i>MD ME </i>+

= 3(<i>MG</i>3+<i>G G</i>₃ ₂) (+ <i>MG</i>3+<i>G D</i>₃ )+<i>ME</i>

= <i>4MG</i>2+<i>ME</i>

= 4(<i>MG</i>4+<i>G G</i>₄ ₃) (+ <i>MG</i>4+<i>G E</i>₄ )

= 5<i>MG</i>4 =5<i>MG</i>₄ <5.2<i>R</i>=10 .

(Do G4, M thuộc hình t (O) và M không thuộc biên.)

2 đ

ròn

<b>HẾT </b>

<b>D</b>
<b>E</b>
<b>G1</b>

<b>G2</b>

<b>G3</b>
<b>G4</b>

<b>(d)</b>
<b>M</b>

</div>

<!--links-->