Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Quang Minh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (663.63 KB, 18 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1

TRƯỜNG THCS QUANG MINH ĐỀ THI HSG LỚP 8

MƠN: TỐN

(Thời gian làm bài: 150 phút) 
Đề số 1

Bài 1. a) Tìm n để

4 3 2

3 2 6 2

n n n n

B

n

+ + + −

+ có giá trị là một số nguyên.
b) Tìm n để 5

D=n − +n là số chính phương

(

n2

)

.
Bài 2. Giải phương trình:

a) x2−3x+ + − =2 x 1 0.

(

)

2 2 2

2 2

1 1 1 1

8 x 4 x 4 x x x 4

x x x x

 +  +  +  −  +  +  = +

      

       .

Bài 3. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 =3 và a b c ab ac bc+ + + + + =6. Tính giá
trị của biểu thức:

22 12 1994
22 12 2013

a b c

A

a b c

+ +

+ + .

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ đường thẳng tùy ý cắt BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G.
Chứng minh:

a) 2
.

AE =EK EG.

b) 1 1 1

AE = AK + AG.

c) Khi đường thẳng d thay đổi thì tích BK.DG có giá trị khơng đổi.
ĐÁP ÁN

Bài 1

4 3 2

2 2

3 2 6 2 2

2 2

n n n n

B n n

n n

+ + + −

= = + −

+ +

B có giá trị nguyên khi 2 n2+2

2
2

n + là ước tự nhiên của 2.
2

2 1

n + = không có giá trị nào thỏa mãn.
2

2 2

n + =  =n 0 thì B nhận giá trị nguyên.
b) D=n5− +n 2

(

)(

)

(

)(

)

(

)

2 2

1 1 2

1 1 1 2

D n n n

D n n n n

= − + +

= − + + +

(

)(

) (

)(

)

(

)

5 1 1 1 1 4 2

D= n n− n+ +n n− n+ n − +

(

)(

) (

)(

)

5 1 1 1 1 2 2 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2

Vì 5n n

(

−1

)(

n+1 5

)

và n n

(

−1

)(

n+1

)(

n−2

)(

n+2 5

)

Vậy D chia 5 dư 2

Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D khơng phải số chính phương.
Bài 2

a) x2−3x+ + − =2 x 1 0 (1)

+ Nếu x1: (1) 

(

x−1

)

2 =  =0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x1)

+ Nếu x1: (1) x2−4x+ = 3 0 x2− −x 3

(

x− =  −1

)

(

x 1

)(

x− =3

)

0
 =x 1; x=3 (cả hai đều khơng thảo mãn)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1.

(

)

2 2 2

2 2

1 1 1 1

8 x 4 x 4 x x x 4

x x x x

 +  +  +  −  +  +  = +

      

       (2)

ĐKXĐ: x0

(2)

(

)

2 2

1 1 1 1

8 x 4 x x x x 4

x x x x

 

       

  +  +  +   +  − +  = +

        

(

)

(

)

2 2

1 1

8 x 8 x x 4 x 4 16

x x

   

  +  −  + = +  + =

   

0 8

x hay x

 = = − và x0.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x= −8
Bài 3

Ta có: 2

(

a2+b2 +c2

)

=6
Suy ra:

(

2 2 2

)

2 a +b +c = + + +a b c ab+ac+bc

2 2 2

2a 2b 2c a b c ab ac bc

 + + = + + + + +

2 2 2

2a 2b 2c a b c ab ac bc 0

 + + − − − − − − =

2 2 2

4a 4b 4c 2a 2b 2c 2ab 2ac 2bc 0

 + + − − − − − − =

2 2 2 2 2 2 2

3a 3b 3c 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac c a b c 0

 + + − − − − − − + + + + =

2 2 2 2

3a 3b 3c 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac c 3 0

 + + − − − − − − + + = (vì a2+b2+c2 =3)

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 0

a a b b c c a ab b b bc c a ac c

 − + + − + + − + + − + + − + + − + =

(

) (

)

1 1 1 0

a b c a b a c a c

 − + − + − + − + − + − =

1
a b c
 = = =
Vậy

22 12 1994
22 12 2013

1 1 1

A= + + =

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 3

Bài 4

a) Ta có AD // BK nên AE DE

EK = EB (1)

AB // CD nên EG DE

AE = EB (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2
.

AE EG

AE EK EG

EK = AE  = .

b) Ta có AE BE

EK = DE

AE BE

AK BD

 = (3)
Tương tự ta có: AE DE AE DE

EG = EB  AK = BD (4)

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có:
1

AE AE BE DE

AK + AG = BD+ BD = 

1 1 1

AE = AK + AG.

c) Ta có:

BK AB

KC =CG và

KC GC

AD= DG nhân từng vế của đẳng thức trên ta được . .

BK AB

BK DG AD AD

AD = DG  =

không đổi

Đề số 2

Câu 1 (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A=

(

2 1 2+

)

(

2+1 2

)(

4+1 ... 2

) (

256+ +1

)

b) Cho x2 =y2+z2. Chứng minh rằng

(

5x−3y+4z

)(

5x−3y−4z

) (

= 3x−5y

)

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 10 5
1

a +a + .

b) Cho x+ =y 1 và xy0. Chứng minh rằng 3 3 2

(

2 2

)

1 1 3

x y

y x x y

−

− + =

− − + .

Câu 3 (2 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song
song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh:

G
K
E

D C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 4

a) 1 1 1

OI = AB+CD.

b) 2 1 1

IJ = AB+CD.

Câu 4 (1 điểm)

Cho hình thang ABCD (AD // BC) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác AOB, biết

diện tích tam giác BOC là 169 2

cm và diện tích tam giác AOD là 196 2

cm .
Câu 5 (1 điểm)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau 2

x y+xy+ =y

ĐÁP ÁN 
Câu 1 (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A=

(

2 1 2+

)

(

2+1 2

)(

4+1 ... 2

) (

256+ +1

)

b) Cho x2 =y2+z2. Chứng minh rằng

(

5x−3y+4z

)(

5x−3y−4z

) (

= 3x−5y

)

Hướng dẫn
a) Ta có:

(

)

(

)(

) (

256

)

1. 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 1

A= + + + + +

(

)(

)

(

)(

) (

256

)

2 1 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 1

A= − + + + + +

(

)(

) (

256

)

2 1 2 1 2 1 ... 2 1 1

A= − + + + +

(

)(

) (

256

)

2 1 2 1 ... 2 1 1

A= − + + +

(

256

)(

256

)

512 512

2 1 2 1 1 2 1 1 2

A= − + + = − + = .

b) Ta có:

(

5x−3y+4z

)(

5x−3y−4z

)

(

)

2 2

5x 3y 16z

= − −

2 2 2

25x 30xy 9y 16z

= − + −

(

)

2 2 2 2

25x 30xy 9y 16 x y

= − + − − (vì x2 = y2+z2)

2 2 2 2

2 2

25 30 9 16 16

9 30 25

x xy y x y

x xy y

= − + − +

= − +

(

)

3x 5y

= − .

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 10 5
1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 5

b) Cho x+ =y 1 và xy0. Chứng minh rằng 3 3 2

(

2 2

)

1 1 3

x y

y x x y

−

− + =

− − + .

Hướng dẫn
a) a10+a5+1

(

10 9 8

) (

9 8 7

) (

7 6 5

)

a a a a a a a a a a

= + + − + + + + + − −

(

)

(

)

(

) (

)(

)

8 2 7 2 5 2 3 3

1 1 1 1 1

a a a a a a a a a a a

= + + − + + + + + − − +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

8 2 7 2 5 2 2 3

1 1 1 1 1 1

a a a a a a a a a a a a a

= + + − + + + + + − − + + +

(

)(

8 7 5 4 3

)

1 1

a a a a a a a a

= + + − + − + − + .

b) Ta có:

3 3

1 1

x y

y − − x −

(

)(

)

4 4

3 3

1 1

x x y y

y x
− − +
=
− −

(

)

(

)

(

)(

)

4 4
3 3
1 1

x y x y

y x
− − −
=
− −

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2
2 2

1 1 1 1

x y x y x y x y

y y y x x x

− + + − −

− + + − + +

Vì x+ =y 1 − = −y 1 x và x− = −1 y, do đó ta có:

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2

1 1

x y x y x y x y

xy y y x x

− + + − −
=
+ + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2 2 2 2 2

x y x y x y

xy x y y x y yx xy y x x

− + − −

+ + + + + + + + (vì x+ =y 1)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2 2 2

x y x y

xy x y xy x y x y xy

− + −
=
 + + + + + + 

 

(

)

(

)

(

)

2 2
2
2 2
2
x y x x y y
xy x y x y

− − + −
=
 + + + 
 

(

) (

)

2 2
1 1
3
x y x x y y

xy x y

−  − + − 
=
 + 
 

(

) ( ) ( )

2 2
3
x y x y y x

xy x y

−  − + − 
=
 + 
 

(

)(

)

(

)

2 2
2 2
2 2
3
3

x y xy x y

x y
xy x y

− − − −

= =

 + 

 

Do đó 3 3 2

(

2 2

)

1 1 3

x y

y x x y

−

− + =

− − + .

Câu 3 (2 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song
song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh:

a) 1 1 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 6

b) 2 1 1

IJ = AB+CD.

Hướng dẫn

a) Ta có:

OI // AB, xét tam giác OIC ta có: OI CI

AB =CB (1).

OI // CD, xét tam giác BDC ta có: OI BI

CD = BC (2).

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:
1

OI OI CI BI BC

AB+CD = BC+ BC = BC = 

1 1 1

OI = AB+CD (3).

b) Chứng minh tương tự ta có 1 1 1

OJ = AB+CD (4).

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có: 1 1 2 1 1

OI OJ AB CD

 

+ =  + 

 

Lại có OJ DO OI OJ OI

AB= DB = AB = , do đó ta có:

2 1 1

IJ = AB+CD.

Câu 4 (1 điểm)

Cho hình thang ABCD (AD // BC) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác AOB, biết
diện tích tam giác BOC là 169 cm2 và diện tích tam giác AOD là 196 cm2.

Hướng dẫn

Ta chứng minh được SAOD.SBOC =SAOB.SOCD mà SAOB =SDOC

Do đó 2 2 2

169.196 182 182

AOB AOB

S = = S = cm

Câu 5 (1 điểm)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau x y2 +xy+ =y 1
Hướng dẫn

I
J

D C

B
A

O
D

C
B

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 7

x y+xy+ =y

(

)

1 1

y x x

 + + = vì

2 1 3

1 0

2 4

x + + =x x+  + 

  với mọi x nên phương trình có nghiệm ngun dương
khi:

1 1

1
1 1

y y

x

x x

= =

 



  =

+ + = 


Đề số 3

Câu 1 (2 điểm)

Cho

2 2

3 +2 1 1

2 1 1 1

a a a a

M

a a a a a

 + +   

= −   + 

+ − −  + − 

 

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M.

b) Tìm a sao cho 1 1 1

8 4

a
M

+ −

−  .

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình 2x

(

8x−1

) (

2 4x− =1

)

b) Với mọi n thì n5 và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.
Câu 3 (3 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với
AB cắt DA tại E, cắt BC tại F.

a) Chứng minh SAOD=SBOC.
b) Chứng minh:

EF
CD
AB

2
1

1 + =

c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đơi diện tích tam giác
DEF.

Câu 4 (2 điểm)

Cho

2 2
4 4

1
1

x y

a b a b

 + =




+ =

 +



Chứng minh rằng

(

)

2014 2014

1007
1007 1007

x y

a +b = a b+ .

Câu 5 (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

(

x 4

)(

x 9

)

x

+ +

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 8

Câu 1 (2 điểm)

Cho

2 2

3 +2 1 1

2 1 1 1

a a a a

M

a a a a a

 + +   

= −   + 

+ − −  + − 

 

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M.

b) Tìm a sao cho 1 1 1

8 4
a
M
+ −
−  .
Hướng dẫn
a) ĐKXĐ
2
2 0
1 0
1 0
a a
a
a
 + − 
 − 


 + 

1
1
a
a


   −

Ta có
2 2
2

3 +2 1 1

2 1 1 1

a a a a

M

a a a a a

 + +   
= −   + 
+ − −  + − 

 

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

1 2 1 1

1 2 1 1 1

a a a a a a

M

a a a a a

 + + +   − + + 
= −   
− + − + −
   

(

)(

)

2
1 2
.

1 1 1

a a a a

M

a a a

+ − −
=

− + −

(

)(

)

(

)(

)

1 1 2

1 1 1

a a a

M

a a a

− + −
=
− + −
2 2
1 1

a a
M
a a
−
= =
− −

b) Ta có 1 1 1

8 4

a
M

+ −

−  a0

1 1 1

2 8 4

1
a
a
a
+ −
 − 
−

1 1 1

2 8 4

a a

a

− + −

 − 

4 4 1

8 4

a a a

a

− − − −

 

5 4 1

8 4
a a
a
− − + −
 
2

4a 20a 16 8a

 − − +  −

4a 12a 16 0

 − − + 

(

)

4 a 3a 4 0

 − + − 

3 4 0

a a

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 9

(

a 1

)(

a 4

)

 − + 

4 a 1

 −   vì a1,a0 nên −  4 a 0, 0 a 1
Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình 2x

(

8x−1

) (

2 4x− =1

)

b) Với mọi n thì n5 và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.
Hướng dân

a) 2x

(

8x−1

) (

2 4x− =1

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2

2 2

8 1 8 2 9

16 16 1 64 16 72

x x x

x x x x

 − − =

 − + − =

Đặt 2

64x −16x=t, ta có:

( )

1 72

t t+ = , do đó 8
9

t
t

=

 = −


Từ đó tìm được các giá trị của x.
b) Xét hiệu:

n −n

(

)

n n

= −

(

)(

)

1 1

n n n

= − +

(

) (

)

(

)

1 1 4 5

n n n n

= − + − +

Vậy

(

) (

)

(

)

1 1 4 5 2

n− n n+ n − + (1)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

1 1 4 5 1 1

n n n n n n n

= − + − − − +

(

n 2

)(

n 1

) (

n n 1

)(

n 2

) (

5 n 1

) (

n n 1

)

= − − + + − − +

Vì

(

n−2

)(

n−1

) (

n n+1

)(

n+2

)

chia hết cho 5, 5

(

n−1

) (

n n+1

)

chia hết cho 5.
Vậy

(

n−2

)(

n−1

) (

n n+1

)(

n+ −2

) (

5 n−1

) (

n n+1 5

)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra 5

n −n chia hết cho 2, 5 mà

( )

2,5 = 1 5

n −n

Vậy n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.
Câu 3 (3 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với
AB cắt DA tại E, cắt BC tại F.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10

b) Chứng minh:

EF
CD
AB

2
1

1 + =

c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác
DEF.

Hướng dẫn

a) Ta có SADB =SABC vì có cùng chiều cao hạ từ D và C xuống AB (do AB // CD) và cạnh đáy AB.
ABD AOB ABC AOB

S −S =S −S hay SAOD=SBOC.
b) Vì EO DC//

AC
AO
DC
EO =

. Mặt khác AB CD// AB AO

DC OC

 = .

AB AO AB AO EO AB

AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC

 =  =  =

+ + + +



EF
AB
DC
EF

DC
AB

DC
AB
DC

AB
AB
DC

EF 2 1 1 2

2 =  + =

+

+

= .

c) Dụng trung tuyến EM M

(

DF

)

.
Dựng EN//MK N

(

DF

)

, nối K với N.
KN là đường thẳng phải dựng.

Chứng minh

Ta có SEDM =SEMF (1).

Gọi giao điểm của EM và KN là I thì SIKE =SIMN (chứng minh phần a).
Từ (1) và (2) suy ra SEDNI +SIMN =SKIMF+SIKE SEDNI +SIKE =SKIMF +SIMN

Vậy SEDNK =SKNF.
Câu 4 (2 điểm)

Cho

2 2

4 4

1
1

x y

a b a b

 + =




+ =

 +



Chứng minh rằng

(

)

2014 2014

1007
1007 1007

x y

a +b = a b+ .

Hướng dẫn

I
N

M
K

F
E

D C

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11

Ta có:

(

2 2

)

4 4 4 4

1 x y

x y x y

a b a b a b a b

+ =  + =

+ + (vì

2 2
1

x +y = )

(

)

(

4 4

)

(

4 2 2 4

)

a b bx ay ab x x y y

 + + = + +

4 2 4 2 4 4 4 2 2 4

abx a y b x aby abx abx y aby

 + + + = + +

2 4 2 2 2 4

2 0

a y abx y b x

 − + =

(

2 2

)

2
0

ay bx

 − =

2 2

2 2 x y

ay bx

a b

 =  =

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2

x y x y

a b a b a b

= = =

+ +

2 2

1 1

x y

a a b b a b

 = =

+ +

Vậy

(

)

1007 1007 1007 1007

2014 2014 2 2

1007
1007 1007

1 1 2

x y x y

a b a b a b a b a b

       

+ =  +  =  +  =

+ +

    +

    .

Câu 5 (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

(

x 4

)(

x 9

)

x

+ +

= với

(

x0

)

.
Hướng dẫn

Ta có:

(

16

)(

9

)

25 144 144

x x x x

C x

x x x

+ + + +

= = = + +

Vì x và 144

x là các số dương có tích khơng đổi nên có tổng nhỏ nhất

144

x x

x

 =  =

Vậy min C=49 =x 12.
Đề số 4

Bài 1

Cho

(

a

−

b

) (

+

b

−

c

) (

+

c

−

a

)

=

(

a

+

b

+

c

−

ab

−

ac

−

bc

)

2
2

.

4

Chứng minh rằng

a

=

b

=

c

.
Bài 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được
phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Bài 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

a

−

2 a

+

3 a

−

4 a

+

5

.
Bài 4

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu
của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và
AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì? Hãy chứng minh điều đó?
b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK.

c) Chứng minh rằng: 2

. .

AB AH+AD AK =AC .

ĐÁP ÁN 
Bài 1:

Biến đổi đẳng thức để được

bc
ac
ab
c

b

a
ac
a

c
bc
c

b
ab
b

a2 + 2 −2 + 2 + 2 −2 + 2 + 2 +2 =4 2 +4 2 +4 2 −4 −4 −4
Biến đổi để có (a2 +b2 −2ac)+(b2 +c2 −2bc)+(a2 +c2 −2ac)=0

Biến đổi để có (a−b)2 +(b−c)2 +(a−c)2 =0 (*)
Vì (a−b)2 0;(b−c)2 0;(a−c)2 0; với mọi a, b, c

nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a−b)2 =0;(b−c)2 =0 và (a−c)2 =0;
Từ đó suy ra a = b = c

Bài 2

Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là
11
+

x
x

(x là
số nguyên khác -11)

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
15

7
+

−

x
x

(x khác -15)

Theo bài ra ta có phương trình
11
+

x
x

=
7
15
−
+

x
x

Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
Từ đó tìm được phân số

6
5
−
Bài 3

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13

Vì a2 +20a và (a−1)2 0a nên (a2 +2)(a−1)2 0a do đó (a2 +2)(a−1)2 +33a
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a−1=0 a=1

Bài 4

a) Ta có:

BE AC

BE DF

DF AC

⊥





 ⊥

 (1)

Xét BEO và DFO có:

BO = OD (vì O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD)

1 2

O =O (đối đỉnh)
0
90

BEO=DFO=

Do đó BEO=DFO (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra BE = DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành.
b) Xét CBH và CDK có:

0
90

CKD=CHB=

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên ABC =ADCHBC=KDC (cùng bù với hai góc bằng nhau)
Do đó CBH~CDK (g.g)

. .

CH CB

CH CD CK CB

CK CD

 =  = .

c) Ta có:
~
AFD AKC

  AF AD AD AK. AF AC.

AK AC

 =  =

CFD AHC

  CD CF

AC AH

 = mà CD AB AB CF AB AH. AC CF.

AC AH

=  =  =

Do đó

(

)

. . . . .

AB AH+AD AK= AC CF+AF AC=AC CF+AF = AC AC=AC .
Đề số 5

2
1

O
H

K
F

D
C
B

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14

Câu 1

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 2 2 3

2 7 7 2

P= a + a b+ ab + b .
b) Giải phương trình: 3 2

3 2 0

x + x + x= .
Câu 2

a) Chứng minh rằng 3
11

n + n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
b) Cho x+ =y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x2+y2.

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vng
góc của điểm D lên AB, AC.

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vng.

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm
3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn
vị ta vẫn được một số chính phương.

Câu 5

Cho a, b dương và 2012 2012 2013 2013 2014 2014

a +b =a +b =a +b . Tính 2015 2015

a +b

ĐÁP ÁN 
Câu 1 a) Ta có:

3 2 2 3

2 7 7 2

P= a + a b+ ab + b

(

3 3

)

(

)

2 7

P= a +b + ab a+b

(

)

(

2 2

)

(

)

2 7

P= a+b a −ab b+ + ab a+b

(

)

(

2 2

)

2 5 2

P= a+b a + ab+ b

(

)

2 2

2 4 2

P= a+b  a + ab+ab+ b 

(

)(

)

P= a b a+ + b a b+
b) x3+3x2+2x=0

(

)

3 2 0

x x x

 + + =

(

)(

)

0
x x x

 + + =

Vậy S= − −



2; 1;0



Câu 2 a) Ta có:

3
11

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15

(

)

n n

= +

(

)

1 12

n n

= − +

(

)

1 12

n n n

= − −

(

n 1

) (

n n 1

)

12n

= − + −

Vì

(

n−1

) (

n n+1

)

là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên

(

n−1

) (

n n+1

)

chia hết cho 6 và 12n chia hết
cho 6.

Do đó 3
11

n + n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
b) Từ x+ =  = −y 1 y 1 x, do đó ta có:

(

)

2 2 2 2 1

1 1 2 2

A=x + −x =x + − x+x = x − +x 

 

2 2

1 1 1 1 2

2 2

2 4 2 2 2

A= x−  + = x−  + 

   

 

 

Vậy min 1 1

2 2

A=  = =x y .
Câu 3 (2 điểm).

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vng góc
của điểm D lên AB, AC.

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vng.

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì

E

= = =

A

F 90

E
F

A B

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16

Để tứ giác AEDF là hình vng thì AD là tia phân giác của

BAC

.
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

3AD + 4EF nhỏ nhất



AD nhỏ nhất, AD nhỏ nhất khi D là hình chiếu của A trên BC.
Câu 4 (2 điểm).

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm
3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn
vị , ta vẫn được một số chính phương.

Hướng dẫn

Gọi số phải tìm là abcd với a b c d, , ,  , 0a b c d, , , 9,a0
Theo đề bài ta có:

(

)(

)

1 3 5 3

abcd k

a b c d m

 =




+ + + + =


Suy ra:

2
1353

abcd k

abcd m

 =




+ =

 với k m,  , 31  k m 100
Do đó 2 2

1353

m −k =

(

m k−

)(

m k+

)

=123.11 41.33=
Vì k m,  nên m k+  −m k.
Do đó:

123 67

11 56

m k m

m k k

+ = =

 



 − =  =

  hoặc

41 37

33 4

m k m

m k k

+ = =

 



 − =  =

 

Kết luận đúng

abcd

= 3136
Câu 5 (2 điểm)

Cho a, b dương và a2012+b2012 =a2013+b2013=a2014+b2014.

Tính 2015 2015

a +b .
Hướng dẫn
Ta có:

2012 2012 2013 2013 2014 2014

a +b =a +b =a +b

(

)

(

2012 2012

) (

2011 2011

)

2014 2014
.

a+b a +b − a +b ab=a +b

1
a b ab

 + − = (vì 2012 2012 2013 2013 2014 2014

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 17

(

)(

)

0
1

a b

a

b

 − − =

=

  =



Với a = 1 thì 2012 2013

b =b  =b hoặc b=0 (loại)
Với b = 1 thì 2012 2013

a =a  =a hoặc a=0 (loại)
Vậy a = 1, b = 1

Do đó 2015 2015
2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 18

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng.

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng

Anh.

V

ữ

ng vàng n

ề

n t

ảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>