Luận án tiến sĩ tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

LÊ VĂN NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH
VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ
LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

LÊ VĂN NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH
VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ
LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 9460112.01

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH. Nguyễn Khoa Sơn

2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là những công trình của tơi được hồn thành dưới
sự hướng dẫn của GS. TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS. TSKH Phạm Kỳ Anh.
Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả
khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là mới và chưa từng được
cơng bố trên bất kỳ cơng trình nào khác.

Hà Nội, tháng 01 năm 2020
Tác giả

Lê Văn Ngọc

i


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tâm huyết và tận tình của GS. TSKH
Nguyễn Khoa Sơn và GS. TSKH Phạm Kỳ Anh. Đầu tiên, tác giả xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Giáo sư đã đặt bài tốn,dạy dỗ, chỉ bảo tận tình,
chu đáo khơng chỉ trong q trình học tập, nghiên cứu khoa học mà cịn trong
cuộc sống suốt q trình thực hiện luận án.
Để hồn thành các bài báo khoa học, bên cạnh sự giúp đỡ của các GS
hướng dẫn và đồng tác giả PGS. TS Đỗ Đức Thuận, tác giả luận án đã nhận
được sự hỗ trợ và động viên của GS Trần Vũ Thiệu, PGS. TSKH Vũ Hoàng

Linh, ThS Nguyễn Huyền Mười.
Nghiên cứu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, tập thể các
Thầy Cơ giáo trong bộ mơn Tốn học Tính tốn-Tốn ứng dụng, Xêmina bộ
mơn Tốn học Tính tốn- Tốn ứng dụng trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và có
những ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập và
làm luận án.
Tác giả xin cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Học viện, Ban chủ nhiệm Khoa, các
Thầy Cơ giáo bộ mơn Tốn và đồng nghiệp trong Khoa Cơ bản 1, Học viện
Cơng nghệ Bưu chính Viễn thông đã luôn động viên, tạo điều kiện và giúp
đỡ trong công tác để nghiên cứu sinh tập trung hoàn thành luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS. TSKH Vũ Ngọc Phát, GS. TS Đặng
Quang Á, GS. TS Cung Thế Anh, PGS. Nguyễn Minh Mẫn, PGS. TS Lê Văn
Hiện, PGS. TS Tạ Duy Phượng, PGS. TS Nguyễn Sinh Bảy, TS Nguyễn Trung
Hiếu, TS Hà Phi, TS Nguyễn Thị Hồi đã đọc luận án đóng góp nhiều ý kiến
để tác giả hoàn thiện luận án tốt hơn.
ii


Tác giả chân thành cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp về tốn (VIASM) đã
tạo điều kiện, giúp đỡ khơng chỉ bố trí nơi làm việc, hồn thiện bài báo cùng
với Thầy hướng dẫn năm 2018 mà còn hỗ trợ kính phí nghiên cứu khoa học
thơng qua thưởng cơng trình cho chính bài báo vào năm 2020. Bên cạnh đó tôi
xin cảm ơn các anh, chị, em, nghiên cứu sinh, bạn bè, đồng nghiệp và những
người quan tâm tới luận án đã chia sẻ, động viên tác giả trong suốt quá trình
học tập và làm nghiên cứu sinh.
Đặc biệt, tác giả dành lời cảm ơn sâu sắc tới những người thân của mình:
bố, mẹ, vợ, con và những người thân trong gia đình đã ln sát cánh, chia sẻ
và động viên để tơi cố gắng và hồn thành tốt luận án.

iii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỤC LỤC

1

BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

3

MỞ ĐẦU

5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Vectơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bài toán ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Bài toán ổn định vững các hệ chịu nhiễu . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Tính ổn định vững của hệ phương trình vi phân tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tính ổn định vững của hệ phương trình vi phân tuyến
tính có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
. 14
. 22
. 26
. 26
. 28
. 33

Chương 2. TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN
TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ
34
2.1 Bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính . . . . . . . . . 34
2.1.1 Tính ổn định vững của hệ tuyến tính: Phương pháp
hàm Lyapunov toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Phương
pháp hàm Lyapunov toàn phương . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.3 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Cách
tiếp cận bằng nguyên lý so sánh nghiệm . . . . . . . . . . 45
1


2.2

2.3

Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ . . . . . . .
2.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ
2.2.2 Cận dưới bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến
tính có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
56
63
73

Chương 3. TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA ĐƯỢC VỮNG CỦA
HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN
HỒN
74
3.1 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc
chuyển tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần
hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.2 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần
hoàn chịu nhiễu cả hệ thống và các thời điểm chuyển
mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 Tính ổn định hóa được vững của hệ chuyển mạch tuyến tính
với quy tắc chuyển tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
KẾT LUẬN CHUNG

104

DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN
105
TÀI LIỆU THAM KHẢO

106

2


BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
R, R+
N
C
C+
Z
ı
n
T
K
Kn
rK

Hn
Hn+
Rez
N
Kn × m
n×m
R+

I
x
x
y
A

B

σ
Σ
det A
λ( A)
µ( A)
A
A∗
λmax ( A)

Tập số thực, số thực khơng âm tương ứng
Tập số tự nhiên
Tập số phức
Tập số phức có phần thực khơng âm
Tập số ngun
Đơn vị ảo
Cỡ của khơng gian
Chu kỳ tuần hồn
Tập số thực hoặc số phức
Khơng gian vectơ n chiều trên trường K
Bán kính ổn định thực với K = R và
phức với K = C
Tập các ma trận Hermit cấp n

Tập các ma trận Hermit xác định dương
Phần thực của số phức z
Tập các chỉ số xác định N := {1, 2, . . . , N }
Tập các ma trận thực hoặc phức cỡ n × m
Tập các ma trận thực khơng âm cỡ n × m
Ma trận đơn vị có chiều tương thích
Chuẩn của vectơ x ∈ Rn
xi > yi (∀i ∈ n), với x = ( x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn
và y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn
Các phần tử của ma trận A lớn hơn hẳn các phần
tử tương ứng của ma trận B
Tín hiệu chuyển mạch của hệ chuyển mạch
Tập các tín hiệu chuyển mạch
Định thức của ma trận A
λ( A) := {λ ∈ C : det(λI − A) = 0}, phổ của ma
trận vng A
µ( A) := max{Reλ : λ ∈ λ( A)}, hồnh độ phổ của
ma trận vng A
Ma trận chuyển vị của ma trận A
Ma trận phức liên hợp chuyển vị của ma trận A
Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A với A là
3


λmin ( A)
s( A)
smax ( A), smin ( A)
ρ( A)

M( A)

A
A
C ([α, β], Kn )

ma trận đối xứng hoặc Hermit
Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận A với A là
ma trận đối xứng hoặc Hermit
Giá trị kỳ dị của ma trận A
Giá trị kỳ dị lớn nhất, nhỏ nhất của ma trận A
ρ( A) := max{|λ| : λ ∈ λ( A)}, bán kính phổ
của ma trận A
Ma trận Metzler hóa của ma trận A
Chuẩn của ma trận A
Tập các ma trận A1 , A2 , . . . , A N của hệ chuyển mạch
Không gian các hàm liên tục trên đoạn [α, β], nhận
giá trị trong Kn với chuẩn x = max x (t)
α≤t≤ β

BV ([α, β], K p×q )
NBV ([−h, 0], K p×q )
QLF
CQLF
FDEs

Tập các hàm có biến phân giới nội trên đoạn [α, β]
trong K p×q
Tập các hàm thuộc BV ([α, β], K p×q ) và thỏa mãn
η (θ ) = η (α) = 0, với θ ≤ α và η (θ ) = η ( β), với θ ≥ β
Hàm Lyapunov toàn phương (quadratic Lyapunov
functions)

Hàm Lyapunov tồn phương chung (common
quadratic Lyapunov functions)
Phương trình vi phân hàm (functional
differential equations)

4


MỞ ĐẦU

1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính các hệ
động lực được bắt đầu nghiên cứu một cách hệ thống từ những năm cuối thế
kỷ XIX bởi nhà toán học Nga A.M. Lyapunov cho đến nay vẫn đang phát triển
sơi động trong Tốn học và trở thành bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết
hệ thống và ứng dụng.
Đến những năm 60 của thế kỷ XX cùng với sự phát triển của lý thuyết điều
khiển người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển
hay còn gọi các bài tốn ổn định hóa các hệ điều khiển.
Các bài toán ổn định và điều khiển cho hệ chuyển mạch được các nhà
nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 30 năm trở lại đây
tiêu biểu như, Molchanov và Pyatnitskiy 1989 ( [56]); Shorten và Narendra,
2002 ( [69]); Liberzon, 2003 ( [41]); Gokcek,
2004 ( [24]); Lin v Antsaklis, 2005
ă
( [43])...(xem cỏc bi tng quan v n định và điều khiển của hệ chuyển mạch
( [44], [68])). Trong nước, một số tác giả cũng đã quan tâm nghiên cứu về ổn
định và điều khiển hệ chuyển mạch như V.N. Phat và cộng sự, 2006 ( [63]);
P.K. Anh và P.T. Linh, 2017 ( [5]).
Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực, chẳng hạn hệ

thống cơ khí, ngành cơng nghiệp ơ tơ, điều khiển máy bay, chuyển đổi năng
lượng (xem trong các cuốn sách Liberzon 2003 [41], Sun và Ge 2011 [71]).
Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm một số hữu hạn các hệ con
thời gian liên tục hoặc rời rạc và quy tắc chuyển giữa các hệ con đó. Dưới biểu
diễn tốn học, một hệ thống chuyển mạch thời gian liên tục được mơ tả bằng
phương trình vi phân dạng
x˙ = f σ ( x ), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , σ ∈ Σ,

(1)

trong đó K = R hoặc K = C, N := {1, 2, . . . , N } tập chỉ số, Σ là tập hợp các
hàm hằng từng khúc (có thể phụ thuộc vào biến thời gian và/hoặc biến trạng
5


thái), σ : [0, +∞) × Kn → N gọi là tín hiệu chuyển mạch hoặc luật chuyển
mạch. Trong trường hợp σ là hàm phụ thuộc thời gian thì σ thường được giả
thiết liên tục phải. Ứng với hệ chuyển mạch (1) ta có N hệ con dạng
x˙ = f k ( x ), k ∈ N,

(2)

trong đó F := { f k ( x ) : k ∈ N } là một họ hữu hạn các trường vectơ liên tục
Lipschitz.
Một trong các bài toán quan trọng nhất khi nghiên cứu hệ chuyển mạch
là tìm các điều kiện để một hệ chuyển mạch ổn định với bất kỳ luật chuyển
mạch nào hoặc có thể ổn định hóa được bởi một luật chuyển mạch thỏa mãn
các ràng buộc cho trước. Các kết quả về bài tốn này đã được trình bày trong
các bài báo tổng quan (xem Shorten [68] và cộng sự, Lin và Antsaklis [44]).
Các phương pháp được sử dụng chủ yếu là phương pháp hàm Lyapunov, bất

đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) và đại số Lie. Dưới đây chúng tôi xin dẫn
ra một vài kết quả tiêu biểu cho trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính.
Xét hệ chuyển mạch tuyến tính với luật chuyển mạch phụ thuộc thời gian
trong Kn dạng
x˙ (t) = Aσ(t) x (t), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , σ ∈ Σ,

(3)

trong đó Aσ(t) ∈ A := { Ak ∈ Kn×n , k ∈ N }, t ≥ 0, là tập hữu hạn cho trước
các ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó, nghiệm x = 0 của hệ chuyển
mạch (3) ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch nếu tất cả các hệ con
x˙ (t) = Ak x (t), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , k ∈ N ,

(4)

có hàm Lyapunov tồn phương chung (gọi tắt là CQLF) dạng V ( x ) = x ∗ Px, P
là ma trận Hermit xác định dương (xem [41]). Nói cách khác, tồn tại ma trận
Hermit xác định dương P thỏa mãn hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính:
A∗k P + PAk < 0, k = 1, 2, . . . , N,
trong các trường hợp khi tất cả các ma trận Ak của hệ con đều ổn định Hurwitz (tức là tất cả các giá trị riêng của chúng nằm ở nửa bên trái của mặt
phẳng phức) và giao hốn từng đơi một (được đưa ra bởi Narendra và Balakrishnan [57]) hoặc chuẩn tắc (xem Zhai và cộng sự [76]) hoặc cùng đưa được
về dạng ma trận tam giác trên (tức là tồn tại một ma trận không suy biến T
6


cấp n sao cho tất cả các ma trận T −1 Ak T, k ∈ N đều là ma trận tam giác trên,
xem Mori và cộng sự [55]) và các điều kiện đại số dựa trên đại số Lie tạo bởi
ma trận hệ con Ak , k ∈ N (xem Agrachev và Liberzon [4]).Tuy nhiên đây chỉ
là các điều kiện đủ và một điều kiện cần và đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính
ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch đã được Monchanov và Pyatnitskiy

(xem [56]) đưa ra đó là sự tồn tại hàm Lyapunov V ( x ) chung, trong đó V là
hàm lồi chặt và thuần nhất bậc 2 đối với biến x.
Bên cạnh hướng nghiên cứu trên về hệ chuyển mạch, khía cạnh ổn định
vững các hệ không chuyển mạch và không chắc chắn hoặc chứa tham số nhiễu
đã nhận được rất nhiều sự quan tâm trong lý thuyết điều khiển hệ thống
những thập kỷ qua.
Với hệ ổn định tiệm cận x˙ (t) = A0 x (t), t ≥ 0, người ta đo độ vững cho tính
ổn định tiệm cận đó bằng khái niệm bán kính ổn định, được định nghĩa là số
δ0 ≥ 0 lớn nhất sao cho hệ nhiễu x˙ (t) = ( A0 + ∆) x (t), t ≥ 0, vẫn ổn định tiệm
cận với bất cứ nhiễu ∆ ∈ Kn thỏa mãn ∆ < δ0 . Trong trường hợp K = C,
các cơng thức và thuật tốn tính bán kính ổn định phức được Hinrichsen và
Pritchatrái cả hai vế của
phương trình (3.39) với Ek , ta nhận được
Ek0 sI − Ak0

−1

Dk0 ∆k0 Ek0 x0 = Ek0 x0 .

Lấy chuẩn hai vế, ta thu được
Ek0 sI − Ak0

−1

Dk 0

∆k0

Ek0 x0 ≥ Ek0 x0

và
N

∑

k =1

∆k ≥ ∆k0 ≥

1
Ek0 sI − Ak0

−1

1

≥
Dk 0

sup
Res≥0

Ek0 sI − Ak0

= γk0 ( Ak0 , Dk0 , Ek0 ) = max γk ( Ak , Dk , Ek ).
k∈ N

98

−1

Dk 0


Điều này mâu thuẫn với (3.38). Vì µ( Ak0 + Dk0 ∆k0 Ek0 ) < 0 nên theo Bổ đề 3.2
thì hệ (3.7) ổn định hóa được chậm.
Suy ra điều phải chứng minh.
Cuối cùng ta xét hai giả thiết sau đây:
(H5) Tồn tại ma trận B0 ổn định Hurwitz sao cho M( Ak ) ≤ B0 , k ∈ S ⊂ N .
n × lk

(H6) Tồn tại các ma trận Dk+ ∈ R+

p ×n

, Ek+ ∈ R+k

l × pk

k
, ∆+
k ∈ R+

sao cho

| Dk | ≤ Dk+ , | Ek | ≤ Ek+ , |∆k | ≤ ∆+
k , k ∈ S.
Chứng minh tương tự như Định lý 3.7 chúng ta nhận được kết quả sau đây
về tính ổn định hóa được vững chậm của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy
tắc chuyển tuần hoàn.

Định lý 3.9. Giả sử hệ chuyển mạch (3.3) chịu nhiễu cấu trúc hệ thống (3.7) thỏa
mãn các giả thiết ( H5)-( H6). Khi đó, nếu
N

∑

k =1

∆+
< max
k
k ∈S

1
Ek+ B0−1 Dk+

(3.40)

thì hệ nhiễu (3.7) vẫn cịn ổn định hóa được chậm.
Hệ quả 3.4. Giả sử các điều kiện ( H5)-( H6) thỏa mãn và Dk = Ek = I,
∀k ∈ S ⊂ N. Khi đó, nếu
N

∑

k =1

∆+
<
k

1
B0−1

(3.41)

thì hệ chuyển mạch tuyến tính nhiễu (3.7) vẫn cịn ổn định hóa được chậm.
Ví dụ sau đây minh họa Định lý 3.8.
Ví dụ 3.5. Xét hệ chuyển mạch(3.3) với N = m = 2, tín hiệu chuyển mạch
1 nếu T ≤ t < 1 + T; = 0, 1, . . .
tuần hoàn xác định bởi σ(t) =
và
2 nếu 1 + T ≤ t < 2 + T,





−2
0 0.12 1
−4
0
0.01 0.02
 0
 1 −2.02 0 0.15
−2
1
1 





A1 = 
 , A2 = 
,
0.01 1.01 −2 1 
 1
1.02 −1 0.01
1
0
1 −3
0.03 0.11 0.11 −3
99


 
 
0
1
1
0
 
 
D1 =   , E1 = 1 0 1 0 , D2 =   , E2 = 1 0 1 0 .
0
0
1
1
Dễ dàng kiểm tra được các ma trận A1 , A2 là Metzler và ổn định Hurwitz, các
ma trận D1 , E1 , D2 , E2 là khơng âm nên tính được

γ1 ( A1 , D1 , E1 ) =
γ2 ( A2 , D2 , E2 ) =

1
E1 A1−1 D1
1
E2 A2−1 D2

= 0.4637,
= 1.8460,

max γk ( Ak , Dk , Ek ) = max γ1 ( A1 , D1 , E1 ), γ2 ( A2 , D2 , E2 ) = 1.8460.

k =1,2

Hệ chuyển mạch (3.3) có các ma trận nhiễu cấu trúc tương ứng dạng




−2 + δ1 0 0.12 + δ1 1
−4
0
0.01
0.02
 0
 1+δ
−2
1
1 

−2.02
δ2
0.15




2
A1 = 
,
A
=
 2 
.
 0.01

1.01
−2
1 
1
1.02
−1
0.01
1 + δ1
0
1 + δ1 −3
0.03 + δ2 0.11 0.11 + δ2 −3
Hệ nhiễu có thể viết lại dưới dạng A1 = A1 + D1 ∆1 E1 , A2 = A2 + D2 ∆2 E2 với
các tham số nhiễu ∆1 = δ1 , ∆2 = δ2 thỏa mãn |δ1 | + |δ2 | < 1.8460 theo Định
lý 3.8 thì hệ nhiễu (3.7) vẫn cịn ổn định hóa được chậm.

Ví dụ sau minh họa Định lý 3.7 và mô phỏng đồ thị mô đun các giá trị riêng
của ma trận R, nghiệm của hệ trong trường hợp ổn định hóa được nhanh.
Ví dụ 3.6. Xét hệ chuyển mạch(3.3) với N = m = 2, tín hiệu chuyển mạch
1 nếu T ≤ t < ( 1 + ) T; = 0, 1, . . .
2
tuần hoàn xác định bởi σ(t) =
2 nếu ( 1 + ) T ≤ t < (1 + ) T,
2
T
các khoảng kích hoạt ∆t1 = ∆t2 = và
2
A1 =

−3 2
, D1 =
1 0

−1
, E1 =
0

−1 0
;
1 0

A2 =

2 −2
, D2 =
1 −1

0
, E2 =
−1

0 1
,
0 −1

100


trong đó ∆1 = δ1 δ2 , ∆2 = δ3 δ4 với δ1 , δ2 , δ3 , δ4 ∈ R là các nhiễu chưa
√
17
3
biết. Giá trị riêng của ma trận A1 là − ±
và ma trận A2 là {0, 1}. Chú
2
2
ý rằng cả ma trận A1 và A2 là không ổn định nhưng ma trận A1 + A2 lại ổn
định. Theo Bổ đề 3.1 suy ra chỉ cần tồn tại T đủ nhỏ thì hệ (3.3) ổn định hóa
được nhanh (cụ thể: hệ ổn định mũ với T = 2 và không ổn định mũ với T = 3.
Theo Bổ đề 3.1 độ lớn giá trị riêng của ma trận R là hàm theo T được vẽ bởi
đồ thị các đường cong nét mảnh trên Hình 3.2).

9
8
7

abs(eig(R)

6
5
4
3
2
1
0

0

0.5

1

1.5

2
T

2.5

3

3.5

4

Hình 3.2: Độ lớn giá trị riêng của R.

Chúng ta có thể kiểm tra các giả thiết của Định lý 3.7 sau đây:
(H2) Tồn tại ma trận ổn định Hurwitz A0 =

−0.5 0
1
−0.5

và

1
ζ 1 = ζ 2 = , ζ 1 + ζ 2 = 1 sao cho M( A1 ζ 1 + A2 ζ 2 ) ≤ A0 ;
2
1×2 +
2×2
(H3) Tồn tại các ma trận Dk+ ∈ R2+×1 , ∆+
k ∈ R+ , Ek ∈ R+ , k = 1, 2 sao cho

| D1 | ≤ D1+ =

1
, |∆1 | ≤ ∆1+ = |δ1 | |δ2 | , | E1 | ≤ E1+ =
0

101

1 0
,
1 0

| D2 | ≤ D2+ =

0
, |∆2 | ≤ ∆2+ = |δ3 | |δ4 | , | E2 | ≤ E2+ =
1

0 1
.
0 1

Ta tính được

−2
, E1+ A0−1 D2+ =
−2

E1+ A0−1 D1+ = E2+ A0−1 D2+ = E2+ A0−1 D1+ =

0
.
0

Trong R2 với chuẩn · 1 theo Định lý 3.7 thì hệ nhiễu (3.7) ổn định hóa
được nhanh nếu max{|δ1 |, |δ2 |} + max{|δ3 |, |δ4 |} < 0.5. Vì vậy nếu chúng
ta chọn các tham số δ1 = 0.15, δ2 = 0.1, δ3 = 0.17, δ4 = −0.25 thỏa mãn
max{|δ1 |, |δ2 |} + max{|δ3 |, |δ4 |} < 0.5 thì hệ nhiễu (3.7) ổn định hóa được
nhanh. Hơn nữa, trong trường hợp này quỹ đạo nghiệm của hệ chuyển mạch
ổn định mũ với T = 2 và không ổn định mũ với T = 3 được hiển thị trên
Hình 3.3 và Hình 3.4
Switching

100
$x1(t)$
$x2(t)$
50

0

−50

−100

−150

0

2

4

6

8

10

Time(sec)

Hình 3.3: Đồ thị nghiệm hệ chuyển mạch ổn định mũ chịu nhiễu cấu trúc với T = 2

102

Switching
14000
$x1(t)$
$x2(t)$

12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
−2000

0

2

4

6

8

10

Time(sec)

Hình 3.4: Đồ thị nghiệm hệ chuyển mạch khơng ổn định chịu nhiễu với T = 3

3.3

Kết luận chương 3

Trong chương này, chúng tôi đã đưa ra khái niệm bán kính ổn định
của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu
trúc hệ thống hoặc chịu nhiễu cả hệ thống và các thời điểm chuyển mạch, thu
được các ước lượng cận của bán kính ổn định. Trường hợp đặc biệt hệ nhiễu
không cấu trúc luận án nhận được cơng thức bán kính ổn định phức với các
ma trận Metzler, ổn định Hurvitz và có vectơ chung ứng với giá trị riêng lớn
nhất của các ma trận hệ con.
Cuối cùng luận án đưa ra khái niệm ổn định hóa được nhanh, ổn định hóa
được chậm. Chúng tôi đánh giá được chặn trên của nhiễu để hệ chuyển mạch
tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn vẫn cịn ổn định hóa được nhanh và
ổn định hóa được chậm.

103


KẾT LUẬN CHUNG

Kết quả đạt được của luận án
Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn
định hóa được vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính. Luận án đã
thu được các kết quả sau:
• Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc của hệ chuyển mạch tuyến
tính với quy tắc chuyển bất kỳ. Đưa ra các đánh giá bán kính ổn định
của hệ dựa trên hàm Lyapunov chung.

• Chứng minh một số điều kiện đủ ổn định mũ đối với hệ chuyển mạch
tuyến tính có trễ tổng qt được mơ tả bởi phương trình vi phân phiếm
hàm và sử dụng điều kiện đó đánh giá độ ổn định vững của hệ khi các
ma trận của hệ chịu nhiễu cấu trúc affine.
• Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc cho hệ chuyển mạch tuyến
tính với quy tắc chuyển tuần hoàn và đưa ra các đánh giá của bán kính
ổn định.

Hướng nghiên cứu tiếp theo
• Mở rộng kết quả của luận án cho các hệ thống chuyển mạch mơ tả bởi
phương trình sai phân, phương trình trên thang thời gian, phương trình
vi phân đại số và các hệ vơ hạn chiều.
• Xây dựng các đánh giá tính ổn định vững với các giả thiết nhẹ hơn và
các lớp nhiễu tổng qt hơn.
• Xây dựng các thuật tốn đánh giá và tính các bán kính ổn định.

104


DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[CT1] Thuan D.D., Ngoc L.V (2019), "Robust stability and robust stabilizability for periodically switched linear systems", Applied Mathematics and
Computation 361(15), pp. 112-130 (SCIE-Q1).
[CT2] Son N.K., Ngoc L.V (2020), "On robust stability of switched linear
systems", IET Control Theory & Applications 14, pp. 19-29 (SCI-Q1).
[CT3] Son N.K., Ngoc L.V (2020), "Robustness of stability of general timedelay switched linear systems" (gửi đăng tạp chí ISI).

105

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[*]

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân và lý
thuyết ổn định, Nhà xuất bản giáo dục Hà nội.
[2] Phạm Hữu Anh Ngọc (2018), Ổn định mũ của các phương trình vi phân
phiếm hàm, NXB Đại học Quốc gia TPHCM.
[3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến,
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[*]

Tiếng Anh

[4] A.A. Agrachev, D. Liberzon (2001), "Lie-algebraic stability criteria for
switched systems", SIAM Journal on Control and Optimization 40, pp. 253269.
[5] P.K. Anh, P.T. Linh (2017), "Stability of periodically switched discretetime linear singular systems", Journal of Difference Equations and Applications 23, pp. 1680-1693.
[6] M.A.Bagherzadeh, J.Ghaisari, J.Askari (2016), "Robust exponential stability and stabilisation of parametric uncertain switched linear systems under arbitrary switching", IET Control Theory and Applications 10, pp. 381390
[7] F. Blanchini, P. Colaneri, M. E. Valcher (2015), Switched positive linear systems, Foundations and Trends in Systems and Control 2, pp. 101-273.
[8] R. Bhatia (1997), Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York.
[9] A. Berman, R.J. Plemmons (1979), Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Academic Press, New York.
106


[10] P. Bolzern, P. Colaneri (2013), "Switched periodic systems in discrete
time: stability and input-output norms", International Journal of Control
86, pp. 1258-1268.
[11] S. Boyd, L. Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press, New York.

[12] M.S. Branicky (1998), "Multiple Lyapunov functions and other analysis
tools for switched and hybrid systems", IEEE Transactions on automatic
control 43, pp. 475-482.
[13] X. Dai, Y. Huang, M. Xiao (2011),"Periodically switched stability induces exponential stability of discrete-time linear switched systems in
the sense of Markovian probabilities", Automatica 47, pp. 1512-1519.
[14] X. Dai (2014), "Robust periodic stability implies uniform exponential stability of Markovian jump linear systems and random linear ordinary differential equations", J. Franklin Inst 351, pp. 2910-2937.
[15] X. Dai, Y. Huang, M. Xiao (2015), "Pointwise stability of discrete-time
stationary matrix-valued Markovian processes", IEEE Transactions on automatic control 60, pp. 1898-1903.
[16] N.H. Du, V.H. Linh (2006), "Stability radii for linear time-varying differential–algebraic equations with respect to dynamic perturbations", Journal of Differential Equations 230(2),pp. 579-599.
[17] S. Elaydi (2005), An Introduction to Difference Equations, Springer Verlag,
New York.
[18] L. Farina, S. Rinaldi (2000), Positive Linear Systems: Theory and Applications,
Wiley-Interscience, Series on Pure and Applied Mathematics, New York.
[19] L. Fainshil , M. Margaliot , P. Chigansky (2009), "On the stability of positive linear switched systems under arbitrary switching laws", IEEE Trans.
Automat. Control 54, pp. 897–899.
[20] E. Fornasini , M.E. Valcher (2010), "Linear copositive Lyapunov functions
for continuous-time positive switched systems", IEEE Trans. Automat.
Control 55, pp. 1933-1937.
107


[21] Z.Gajic, M.Tahir, J.Qureshi (1995), Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control, Academic Press, San Diego.
[22] X. Gao, D. Liberzon, J. Liu, T. Basar (2018), "Unified stability criteria
for slowly time-varying and switched linear systems", Automatica 96,
pp. 110-120.
[23] J.C. Geromel, P. Colaneri (2006), "Stability and stabilization of
continuous-time switched linear systems", SIAM J. Control Optim 45,
pp. 1915-1930.
ă
[24] C. Gokcek

(2004), "Stability analysis of periodically switched linear systems using Floquet theory", Math. Prob. Eng 1, pp. 1-10.
[25] W.M. Haddad, V. Chellaboina (2004), "Stability theory for nonnegative
and compartmental dynamical systems with time delay", Systems Control
Lett 51, pp. 355-361.
[26] W.M. Haddad, V. Chellaboina (2008), Nonlinear Dynamical Systems and
Control: A Lyapunov-Based Approach, Princeton university press, Princeton.
[27] J. Hale, S. V. Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations,
Springer-Verlag, New York.
[28] L. Hetel (2007), Robust stability and control of switched linear systems , PhD.
Thesis, TU Eindhoven.
[29] E. Hewitt, K.R. Stromberg (1965), Real and Abstract Analysis, SpringerVerlag, New York.
[30] D. Hinrichsen, A. Ilchmann, A.J. Pritchard (1989), "Robustness of stability of time-varying linear systems", Journal of Differential Equations, 82(2),
219-250.
[31] D.Hinrichsen, B.Kelb, A. Linnemann (1989), "An algorithm for the computation of the structured complex stability radius", Automatica 25(5),
pp. 771-775.
[32] D.Hinrichsen, N.K.Son (1998), "Stability radii of positive discrete-time
systems under parameter perturbations", International Journal of Robust
and Nonlinear Control 4, pp. 1169-1188.
108


[33] D.Hinrichsen, A.J.Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems",
Systems & Control Letters 7, pp. 1-10.
[34] D. Hinrichsen, A.J. Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems",
Systems & Control Letters 8, pp. 105-113.
[35] D. Hinrichsen, A.J. Pritchard (2005), Mathematical Systems Theory I,
Springer, Berlin.
[36] R.A. Horn, C.R. Johnson (1985), Matrix Analysis, Cambridge Unviversity
Press, London (1985).
[37] B. Jacob (1998), "A formula for the stability radius of time-varying systems", Journal of Differential Equations 142, pp. 167-187.

[38] S. Kim, S.A. Campbell, X. Liu (2006), "Stability of a class of linear switching systems with time delay", IEEE Trans. Circuits Syst 53, pp. 384-393.
[39] A. Kundu, D. Chatterjee (2015), "Stabilizing switching signals for
switched system", IEEE Trans. Automat. Control 60, pp. 882-888.
[40] T.J.Laffey, H.Smigoc (2009), "Common Lyapunov solutions for two matrices whose difference has rank one", Linear Algebra and its Applications
431, pp. 228-240.
[41] D. Liberzon (2003), Switching in Systems and Control, Birkhauser, Boston.
[42] D. Liberzon, S. Trenn (2009), "On stability of linear switched differential
algebraic equations", Proc. IEEE 48th Conf. Decision Control, pp. 21562161.
[43] H.Lin, P.J. Antsaklis (2005), "Stability and stabilizability of switched linear systems: A short survey of recent results", Proc. IEEE Mediterranean
Conference on Control and Automation Intelligent Control, pp. 24-29.
[44] H.Lin, P.J. Antsaklis (2009), "Stability and stabilizability of switched linear systems: A survey of recent results", IEEE Trans. Automat. Control 54,
pp. 308-332.
[45] V.H. Linh, D.D. Thuan (2015), "Spectrum-based robust stability analysis of linear delay differential-algebraic equations", In Numerical Algebra,
109


Matrix Theory, Differential-Algebraic Equations and Control Theory, pp. 533557.
[46] X. Liu, C. Dang (2011), "Stability analysis of positive switched linear systems with delays", IEEE Trans. Automat.Control 56, pp. 1684-1690.
[47] L. Liu, Q. Zhou , H. Liang, L. Wang (2017), "Stability and stabilization
of nonlinear switched systems under average dwell time", Appl. Math.
Comput 298, pp. 77-94.
[48] Y. Li, Y. Sun , F. Meng (2017), "New criteria for exponential stability of
switched time-varying systems with delays and nonlinear disturbances",
Nonlinear Anal. Hybrid Syst 26, pp. 284-291.
[49] Y. Li, Y. Sun, F. Meng, Y. Tian (2018), "Exponential stabilization of
switched time-varying systems with delays and disturbances", Appl.
Math. Comput 324, pp. 131-140.
[50] X. Liu, W. Yu, L. Wang (2010), "Stability analysis for continuous-time positive systems with time-varying delays", IEEE Trans. Automat. Control
55, pp 1024 -1028.
[51] C. King, M. Nathanson (2006), "On the existence of a common quadratic

Lyapunov function for a rank one difference", Linear Algebra and its Applications 419, pp 400-416.
[52] O.Mason, R.N. Shorten (2006), "On the simultaneous diagonal stability
of a pair of positive linear systems", Linear Algebra and its Applications 23,
pp. 13-23.
[53] O. Mason, R. Shorten (2007), "On linear copositive Lyapunov functions
and the stability of switched positive linear systems", IEEE Trans. Automat.Control 52, pp. 1346-1349.
[54] Z. Meng, W. Xia, K. H. Johansson, S. Hirche (2017), "Stability of Positive Switched Linear Systems: Weak Excitation and Robustness to TimeVarying Delay", IEEE Trans. Automat. Control 62, pp. 399-405.
[55] Y. Mori, T. Mori, Y.Kuroe (1997), "A solution to the common Lyapunov
function problem for continuous-time systems", Proceedings of the 36th
Conference on Decision and Control, (San Diego, California) pp. 3530-3531.
110


[56] A. P. Molchanov, E.S.Pyatnitskiy (1989), "Criteria of asymptotic stability
of differential and difference inclusions encountered in control theory",
Systems Control Lett 13, pp. 59-64.
[57] K. S. Narendra, J. Balakrishnan (1994), "A common Lyapunov function
for stable LTI systems with commuting A-matrices", IEEE Transactions
on automatic control 39, pp. 2469-2471.
[58] P. H. A. Ngoc (2013), "Novel criteria for exponential stability of functional
differential equations", Proc. American Math. Soc 141, pp. 3083-3091.
[59] P. H. A. Ngoc, T. Naito, J. S. Shin (2007), " Characterizations of positive
linear functional differential equations", Funkc. Ekvacioj 50, pp. 1 - 17.
[60] P. H. A. Ngoc, N. K. Son (2005), "Stability radii of positive linear functional differential equations under multi-perturbations", SIAM J. Control
and Optimization 43, pp. 2278-2295.
[61] R. V. Patel, M. Toda (1980), "Quantitative measures of robustness for multivariable systems", Proceedings of Joint Automatic Control Conference, San
Francisco, CA.
[62] P. Peleties, R. A. DeCarlo (1991), "Asymptotic stability of m-switched systems using Lyapunov-like functions", Proceedings of the American Control
Conference, IEEE, New Jersey, pp. 1679-1684.
[63] V.N. Phat, S. Pairote (2006), "Global stabilization of linear periodically

time-varying switched systems via matrix inequalities", Journal of Control
Theory and Applications 4, pp. 26-31.
[64] L. Qiu, B. Bernhardsson, A. Rantzer, E. J. Davison, P. M. Young, J. C.
Doyle (1995), "A formula for computation of the real structured stability
radius", Automatica 31, pp. 879-890.
[65] N. K. Son, D. Hinrichsen (1996), "Robust stability of positive continuoustime systems", Numerical functional analysis and optimization 17, pp.649659.
[66] N.K. Son, P. H. A. Ngoc (1999), "Robust stability of positive linear time
delay systems under affine parameter perturbations", Acta Mathematica
Vietnamica 24 (3), pp.353-372.
111