Gián án Đề ôn tập Toán 11 HK2 - đề số 16

Đề số 16
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung
Bài 1:
1) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x x
5 3
5 4
1
7 11
3
lim
3
2
4
→+∞
− + −
− +
b)
x
x
x
5
1 2
lim
5

→
− −
−
c)
x
x
x x
2
2
2
4
lim
2( 5 6)
→
−
− +

2) Cho hàm số :
x
f x x x
4
3
5
( ) 2 1
2 3
= + − +
. Tính
f (1)
′
.

Bài 2:
1) Cho hàm số
x x khi x
f x
ax khi x
2
1
( )
1 1

+ <
=

+ ≥

. Hãy tìm a để
f x( )
liên tục tại x = 1
2) Cho hàm số
x x
f x .
x
2
2 3
( )
1
− +
=
+
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

f x( )
tại điểm
có hoành độ bằng 1.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và
khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II. Phần tự chọn
A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
1)
x
x x
x
2
9 1 4
lim
3 2
→−∞
+ −
−
2)
x
x
x x
2
2
lim
5 6

+
→−
+ +
Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
x x x
3 2
6 3 6 2 0− − + =
.
2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:
( )
x
x xlim 1
→+∞
+ −
Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:

m m x x
2 3
( 2 2) 3 3 0− + + − =
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA =
a 3
. Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình
gì? Tính diện tích thiết diện đó.
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1

Đề số 16
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
1) a)
x x
x x
x x
x x
x
x
5 3
2 5
5 4
5
1 7 11
1
7 11
4
3
3
lim lim
3 3 1 2
9
2
4 4
→+∞ →+∞
−
+ −

− + −
= = −
− + − +

b)
( )
x x x
x x
x
x
x x
5 5 5
1 2 5 1 1
lim lim lim
5 4
1 2
( 5) 1 2
→ → →
− − −
= = =
−
− +
− − +

c)
x x x
x x x x
x x x
x x
2

2
2 2 2
4 (2 )(2 ) ( 2) 2
lim lim lim
2( 2)( 3) 2( 3) 5
2( 5 6)
→ → →
− − + − +
= = = −
− − +
− +

2)
x
f x x x f x x x f
x
4
3 3 2
5 1 1
( ) 2 1 ( ) 2 5 (1) 5
2 3
2 2 2 2
′ ′
= + − + ⇒ = + + ⇒ = +
.
Bài 2:
1)
x x khi x
f x
ax khi x

2
1
( )
1 1

+ <
=

+ ≥

•
f a(1) 1= +
•
x x x
f x x x f x a f
2
1 1 1
lim ( ) lim ( ) 2, lim ( ) 1 (1)
− − +
→ → →
= + = = + =
•
f x( )
liên tục tại x = 1 ⇔
x x
f x f x f a a
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 1 2 1
− +
→ →

= = ⇔ + = ⇔ =
2)
x x
f x
x
2
2 3
( )
1
− +
=
+
⇒
x x
f x
x
2
2
2 5
( )
( 1)
+ −
′
=
+
Với
x y
0 0
1 1= ⇒ =
,

f
1
(1)
2
′
= −
⇒ PTTT:
y x
1 3
2 2
= − +
Bài 3:
1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.
∆ABC đều, H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ⊥ (ABC).
• AD = a, DH = a
⇒
∆DAH cân tại D, mặt khác I là trung điểm
AH nên DI ⊥ AH
• BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI
⇒ DI ⊥ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
• Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD (1)
Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
d AD BC HK( , ) =
• Xét ∆DIA vuông tại I ta có:
a a a
DI AD AI a

2
2
2 2 2
3
2 4 2
 
= − = − = =
 ÷
 ÷
 
• Xét ∆DAH ta có: S =
AH DI
1
.
2
=
AD HK
1
.
2
⇒
a a
AH DI a
d AD BC HK
AD a
3
.
. 3
2 2
( , )

4
= = = =
2
I
H
A B
C
D
K
Bài 4a:
1)
x x x
x x
x x
x x
x x
x
2
2 2
1 1
. 9 4 9 4
9 1 4 7
lim lim lim
3
3 2 3 2 2
2
→−∞ →−∞ →−∞
− + − − + −
+ −
= = =

− −
−
2)
x
x
x x
2
2
lim
5 6
+
→−
+ +
. Vì
x
x x
x
x
x x
x x
x x x
2
2
2
2 2
2
lim 2 0
lim ( 5 6) 0 lim
5 6
5 6 0, 2

+
+ +
→−
→− →−

= − <


+ + = ⇒ = −∞

+ +

+ + > ∀ > −


Bài 5a:
1) Xét hàm số
f x x x x
3 2
( ) 6 3 6 2= − − +
⇒
f x( )
liên tục trên R.
•
f f f f( 1) 1, (0) 2 ( 1). (0) 0− = − = ⇒ − <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c
1

( 1; 0)∈ −
•
f f f f(0) 2, (1) 1 (0). (1) 0= = − ⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c
2
(0;1)∈
•
f f f f(1) 1, (2) 26 (1). (2) 0= − = ⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có một nghiệm
c
3
(1;2)∈
• Vì
c c c
1 2 3
≠ ≠
và PT
f x( ) 0=
là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng ba nghiệm thực.
2)
Bài 4b:
( )
x x
x x
x x

1
lim 1 lim 0
1
→+∞ →+∞
+ − = =
+ +

Bài 5b:
1) Xét hàm số f(x) =
f x m m x x
2 3
( ) ( 2 2) 3 3= − + + −
⇒
f x( )
liên tục trên R.
• Có g(m) =
( )
m m m m R
2
2
2 2 1 1 0,− + = − + > ∀ ∈
f f m m f f
2
(0) 3, (1) 2 2 0 (0). (1) 0= − = − + > ⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c (0;1)∈
2)
• Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH ⇒ AH ⊥ SD (1)

• SA ⊥ (ABCD) ⇒ CD ⊥ SA
CD⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH (2)
• Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ (SCD)
⇒ (ABH) ⊥ (SCD) ⇒ (P)  (ABH)
• Vì AB//CD ⇒ AB // (SCD), (P) ⊃ AB nên (P) ∩ (SCD) = HI
⇒ HI // CD ⇒ thiết diện là hình thang AHIB.
Hơn nữa AB ⊥ (SAD)
AB HA⇒ ⊥

Vậy thiết diện là hình thang vuông AHIB.
•
SD SA AD a a a
2 2 2 2
3 2= + = + =
• ∆SAD có
SA a a
SA SH SD SH SH
SD a
2 2
2
3 3
.
2 2
= ⇒ = = ⇒ =
a
HI SH a
HI CD
CD SD a
3
3 3 3

2
2 4 4 4
⇒ = = = ⇒ = =
(3)
a
AH
AH SA AD a a a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 3
2
3 3
= + = + = ⇒ =
(4)
• Từ (3) và (4) ta có:
AHIB
AB HI AH a a a
S a
2
( ) 1 3 3 7 3
.
2 2 4 2 16
 
+
= = + =
 ÷
 
.
=========================
3
I

O
A
B
D C
S
H