De thi va dap an HSG Toan 9 huyen Tien Hai nam 20092010

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> Phòng gd&đt đề thi học sinh giỏi năm học 2009 - 2010 </b>
Huyện tiền hải Môn : Toán 9

<i> ********** ( Thêi gian lµm bµi 120 phút ) </i>
<b> Bài 1 (3điểm ) Thực hiÖn phÐp tÝnh</b> :

1)
9
5

+ 45 − 20 2) (7−4 3).(4−2 3)

3) 3 6 3+10 3 6 310

<b> Bài 2 ( 4 điểm ) Cho phơng trình</b> : x2

− 2( m + 1) x + m2 + 3 = 0

1) Giải phơng trình với m = 1.

2) Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thoả m-n x₁ = x₂ + 2 .
3) Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂thoả m-n

1

1

<i>x</i>
+

2

1

<i>x</i>

< 1.
<b> Bài 3 (3 điểm ) Cho hệ phơng trình</b> : x my 2

mx 2y 1

+ =




− =

 (Víi m lµ tham sè) .
1) Giải hệ phơng tr×nh víi m = 2.

<i> 2) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất ( x, y) mà x > 0 và y < 0. </i>
<b> Bài 4 (2 điểm ) : Cho 3 số d−ơng x, y, z thoả m-n </b> xy+ yz + zx 1=
Chứng minh rằng :

2 2 2

x y z 1

x y+ + y z+ + z x+ 2

<b> Bài 5</b> (7 điểm ) : Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB . Từ A và B kẻ hai tiếp
tuyến Ax và By. Tiếp tuyến kẻ từ điểm M thuộc nửa đờng tròn cắt Ax và By lần lợt
ở E và F.

1) Chøng minh tø gi¸c AEMO néi tiÕp.

2) Biết AM cắt OE tại P; BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao?
3) KỴ MH AB ( H thuộc AB). BE cắt MH và MA lần lợt ở K và I .

Chøng minh MK = HK.

4) §−êng thẳng AK cắt BM tại N. Chứng minh : IK NK 1
IB + NA = 2

<b> Bài 6 (1 điểm ) : Cho tứ giác lồi có diện tích là 1. Lấy 4 điểm ở miền trong của tứ </b>
giác cùng với 4 đỉnh đ−ợc 8 điểm, trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng
minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đ- cho có diện tích khơng v−ợt
q

10
1

.

--- HÕt ---

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 9 HSG (2009-2010) </b>

<b>BÀI </b> NỘI DUNG <b>ðIỂM </b>

<b>1. 1 </b>

9
5

+ 45 - 20 =

3
1

5 + 3 5 - 2 5 = 4

3 5 <b>1 </b>

<b>1. 2 </b> (7 4 3).(4 2 3)− − = (2− 3) .( 3 1)2 − 2= 3 3 - 5 <b>1 </b>

<b>1. 3 </b> 3 ₆ ₃₊₁₀_-3 ₆ ₃₋₁₀_{) =}3 ₍ ₃₊₁₎3 _-₃ ₍ ₃₋₁₎3 _{= 2} <b>₁</b>

<b>2. 1 Với m = 1 ta có phương trình : x</b>

2

– 4 x + 4 = 0⇔(x - 2)2 = 0 ⇔x

= 2 <b>1 </b>

+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆/ > 0 ⇔2(m - 1) >

0⇔m > 1 <b>0.5 </b>

<b>2. 2 </b>

áp dụng Viét, tính m =

2

3_{(thoả mãn), trả lời}

<b>1 </b>
+ Từ
1
1
<i>x</i>
+
2
1
<i>x</i>

< 1 ⇒

2
1
2
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> +

< 1 ⇒

2

2(m 1)

m 3

+

+ < 1

⇔ m2 + 3 > 2m +2 ⇔ (m - 1)2 > 0 ⇔ <i>∀m</i>≠1

<b>1 </b>
<b>2. 3 </b>

+ Kết hợp với _∆/_{> 0 khi m > 1. Vậy} _∀_{m > 1 thì phương trình}

có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

1

1

<i>x</i> +

2

1

<i>x</i> < 1

<b>0.5 </b>

<b>3. 1 Khi m =2 ta có : </b>x 2y 2_{2x 2y 1}+ =

− =

 ⇒

x 1
2x 2y 1

=


− =
 ⇒
x 1
1
y
2
=



=

 <b>1 </b>

+ Giải và biện luận hệ có nghiệm duy nhất :x m 4₂

m 2

+
=

+ và

2
2m 1
y
m 2
−
=

+ , m

∀

<b>1 </b>

x 0 m 4 0 m 4

1
4 m

1 ₂

y 0 2m 1 0 m

2

> ⇔ + > ⇔ > − 



⇒ − < <



< ⇔ − < ⇔ <

 <b>0.5 </b>

<b>3. 2 </b>

Vậy các giá trị nguyên của m là : m = - 3 ; -2 ; - 1 ; 0 <b>0.5 </b>

<b>4 </b>

ðặt VT = P, ta có :
P + x y z

2

+ +

= ( x2

x y+ +
x y

4
+

) + ( y2

y z+ +
y z

4
+

) + ( z2

z x+ +
z x

4
+

)
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có :

2

x

x y+ +

x y
4
+
≥
2
x
2

4 = x

2

y

y z+ +

y z
4
+
≥
2
y
2

4 = y

2

z
z x+ +

z x
4
+
≥
2
z
2

4 = z

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Suy ra :P +x y z

2

+ +

x y z

≥ + + ⇒ P ≥ x y z

2

+ +

Mà x +y +z ≥ xy+ yz+ xz ⇒

P ≥ xy yz xz
2

+ +

⇒ P ≥
2

1_(ðPCM)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
3

+ Vẽ đúng hình <b>0.5 </b>

<b>5. 1 </b>

+ C/m tứ giác AEOM nội tiếp. <b>1 </b>

+Tứ giác MPOQ là hình chữ nhật. <b>0.5 </b>
<b>5. 2 + Chỉ ra tứ giác có 3 góc vng </b>

⇒_{MPOQ là hình chữ nhật} <b>1 </b>

+ Ta có MH // FB ⇒

MK EM MK FB

FB EF EM EF

MK MF

EA EF

= ⇒ =

⇒ =

( vì EM = EA , FB = FM)

<b>1 </b>
<b>5. 3 </b>

+ Ta lại có MH // EA ⇒

HK BK MF MK HK

EA = BE = EF ⇒ EA = EA

MK HK

⇒ =

<b>1 </b>

+ Từ cơng thức tính diện tích tam giác S 1ah
2

= ⇒ Nếu hai tam

giác có đường cao bằng nhau thì tỷ số hai cạnh ñáy tương ứng
bằng tỷ số diện tích của hai tam giác.

Từ đó suy ra : IKM AIK IKM AIK KAM

IMB AIB IMB AIB AMB

S S S S S

IK

IB S S S S S

+

= = = =

+

Chứng minh tương tự như trên : MKB
ABM
S
NK

NA =S ;

AKB
ABM

S
HK

HM =S

<b>1 </b>

<b>5. 4 </b>

+ Cộng vế với vế ta có :

KAM MKB AKB ABM

ABM ABM

S S S S

IK NK HK

1

IB NA HM S S

+ +

+ + = = =

IK NK 1

1

IB NA 2

⇒ + + = IK NK 1

IB NA 2

⇒ + =

<b>1 </b>

<b>6 </b>

Nối các ñiểm lại với nhau tạo thành các
tam giác đơi một chỉ chung nhau nhiều
nhất một cạnh, phủ kín tứ giác.

Tổng các góc trong của các tam giác là :
3600 + 4 . 3600= 5 . 3600 = 10 . 1800
Suy ra ta sẽ có 10 tam giác.

Tổng diện tích 10 tam giác này bằng 1,

<b>1 </b>

<b>O</b>
<b>Q</b>
<b>N</b>

<b>P</b>

<b>I</b>

<b>K</b>

<b>F</b>

<b>B</b>
<b>H</b>

<b>M</b>

<b>E</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

nên tồn tại tam giác có diện tích khơng vượt quá

10
1

.

<b> 1. Trên ñây chỉ là các bước giải và khung ñiểm bắt buộc cho từng bước theo giới </b>
<b>hạn chương trình đến tuần 32 của lớp 9; u cầu thí sinh phải trình bày, lập luận </b>
<b>và biến đổi hợp lí mới được cơng nhận cho điểm. </b>

<b>2. Bài 5 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải của bài toán . </b>
<b>3. Những cách giải khác ñúng vẫn cho ñiểm tối ña theo biểu ñiểm. </b>

</div>

<!--links-->