Nghiên cứu các phương pháp tính toán điện từ trường đề xuất các giải pháp hạn chế điện từ trường gây ra bởi các thiết bị điện

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
..

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Nghiên cứu các phương pháp tính tốn
điện từ trường. Đề xuất các giải pháp hạn chế
điện từ trường gây ra bởi các thiết bị điện

NGUYỄN ĐỨC HUY
Ngành: Kỹ thuật điện

Giảng viên hướng dẫn:

TS. Lê Đức Tùng

Viện:

Điện

HÀ NỘI, 2020


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Nghiên cứu các phương pháp tính tốn
điện từ trường. Đề xuất các giải pháp hạn chế
điện từ trường gây ra bởi các thiết bị điện

NGUYỄN ĐỨC HUY
Ngành: Kỹ thuật điện

Giảng viên hướng dẫn:

TS. Lê Đức Tùng
Chữ ký của GVHD

Viện:

Điện

HÀ NỘI, 2020


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên tác giả luận văn: Nguyễn Đức Huy
Đề tài luận văn: Nghiên cứu các phương pháp tính tốn điện từ trường. Đề
xuất các giải pháp hạn chế điện từ trường gây ra bởi các thiết bị điện
Chuyên ngành: Kỹ thuật điện
Mã số SV: CB170163
Tác giả, Người hướng dẫn khoa học và Hội đồng chấm luận văn xác nhận
tác giả đã sửa chữa, bổ sung luận văn theo biên bản họp Hội đồng ngày
02/7/2020 với các nội dung sau:
- Trích dẫn các tài liệu tham khảo theo đúng format quy định.
- Hiệu chỉnh các đề mục theo quy định chung của Trường Đại học Bách
Khoa Hà Nội
- Phần tóm tắt nội dung dùng từ “bài báo”, “nhóm tác giả” đã hiệu chỉnh
lại cho phù hợp với với phạm vi luận văn thạc sĩ

- Hiệu chỉnh các lỗi chính tả và in ấn

Ngày

tháng 7 năm 2020

Giáo viên hướng dẫn

Tác giả luận văn

TS. Lê Đức Tùng

Nguyễn Đức Huy

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG


LỜI CẢM ƠN

Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của thầy giáo TS. Lê Đức Tùng trong việc hoàn
thành luận văn này. Trong q trình làm luận văn, em khơng thể tránh được các
thiếu sót, mong các thầy cơ và các bạn góp ý để em hồn thiện hơn luận văn của
mình.
Em xin cam đoan luận văn: “Nghiên cứu các phương pháp tính tốn điện từ
trường. Đề xuất các giải pháp hạn chế điện từ trường gây ra bởi các thiết bị điện”
do em tự nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Lê Đức Tùng. Nghiên
cứu này được tài trợ bởi Bộ Giáo dục và Đào tạo trong đề tài mã số B2018-BKA11-CtrVL.
Để hoàn thành đồ án này em chỉ sử dụng những tài liệu được ghi trong danh
mục tài liệu tham khảo và không sao chép hay sử dụng bất kỳ tài liệu nào khác.
Nếu phát hiện có sự sao chép em xin chịu hồn tồn trách nhiệm.

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày

tháng
Tác giả

Nguyễn Đức Huy

năm 2020


MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ..................................................................... ii
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ................................................................................ 1
1.1 Tổng quan

................................................................................................. 1

1.1.1 Các phương pháp hữu hạn (Finite methods) .................................... 6
1.1.2 Các phương pháp tích phân số ........................................................ 12
1.1.3 Kết luận ........................................................................................... 17
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP PEEC ............................................................. 18
2.1

Lịch sử phát triển .................................................................................... 18

2.2
Phương pháp tích phân số mạch điện thay thế tương đương PEEC (Partial

Element Equivalent Circuit) ................................................................................. 19
2.2.1

Phép đạo hàm của phương trình tích phân điện trường (EFIE) 19

2.2.2
PEEC

Chuyển đổi phương trình tích phân điện trường EFIE thành
............................................................................................... 20

2.2.3

Mạch điện thay thế tương đương PEEC ................................... 22

2.2.4

Kết luận ..................................................................................... 31

CHƯƠNG 3. MƠ HÌNH HÓA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG PHƯƠNG
PHÁP PEEC – GIẢI PHÁP HẠN CHẾ NHIỄU ĐIỆN TỪ........................... 32
3.1

Biến đổi PEEC cơ bản............................................................................. 32

3.2

Sự hỗ cảm của hai sợi dây đồng trục ...................................................... 33

3.3

Bài toán áp dụng – giải pháp hạn chế nhiễu điện từ ............................... 35

CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN .................................................................................. 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 41


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

PTHH

: Phần tử hữu hạn

FEM

: Finite element method (Phương pháp phần tử hữu hạn)

FDM

: Finite difference Method (Phương pháp sai phân hữu hạn)

MoM

: Moment of method (phương pháp moment)

PEEC
: Partial element equivalent circuit (phương pháp mạch điện thay thế
tương đương)
FDTD

: Phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian

FVM

: Phương pháp thể tích hữu hạn


DANH MỤC HÌNH VẼ, BẢNG
Hình 1.1 Sóng điện từ ............................................................................................ 1
Hình 1.2 Mơ hình Cell gồm các thành phần trường điện từ trong mơ phỏng FDTD
................................................................................................................................ 7
Hình 1.3 Miền thể tích hữu hạn V trong trường hợp một chiều ............................ 9
Hình 1.4 Ơ lưới tính tốn trong mặt kiểm sốt ................................................... 10
Hình 1.5 Các phần tử hữu hạn được sử dụng trong quá trình rời rạc: (a) Một chiều,
(b) hai chiều và (c) ba chiều ................................................................................. 11
Hình 1.6 Hàm MoM cơ bản điển hình, (a) Hàm xung chữ nhật, (b) Hàm xung tam
giác, (c) Hàm xung hàm sin. [12] ......................................................................... 14
Hình 1.7 Mơ hình MoM sử dụng cơ sở xung f cho phép tính gần đúng của phân bố
tần số cộng hưởng cho một lưỡng cực nửa bước sóng ........................................ 14
Hình 1.8 Mơ hình ME được thay thế bằng mạch tương đương ........................... 16
Hình 2.1 Phần tử dây dẫn được chia thành các phần tử hình hộp chữ nhật với mật
độ dịng khơng đổi ................................................................................................ 23
Hình 2.2 Bề mặt phần tử dây dẫn được chia thành chia thành các ô với mỗi ơ có
mật độ điện tích mặt khơng đổi ............................................................................ 24
Hình 2.3 Mơ hình PEEC của phần tử cuộn cảm Lp gồm có Lpmmđộ tự cảm của
phần tử và VmL tổng suất điện động hỗ cảm ....................................................... 26
Hình 2.4 Mơ hình PEEC cho phần tử tụ điện (P) với Pij là hệ số thế và ViClà tổng
hiệu điện thế ......................................................................................................... 27
Hình 2.5 Mơ hình PEEC cho phần tử điện trở R ................................................. 28
Hình 2.6 Mơ hình PEEC cho mạch (Lp, R) ......................................................... 29

Hình 2.7 Mơ hình PEEC cho mạch RLC ............................................................. 29
Hình 2.8 Mơ hình PEEC cho mạch RLC có thành phần điện mơi ...................... 30
Hình 2.9 Mơ hình PEEC cho mạch RLC chịu tác động của điện trường ngồi .. 31
Hình 3.1 Hai cuộn dây đồng trục L1 và L2 với mặt cắt hình chữ nhật............... 33
Hình 3.2 Mơ hình chia lưới cuộn dây .................................................................. 34
Hình 3.3 Mơ hình cuộn kháng 3 pha và vịng ngắn mạch ................................... 35
Hình 3.4 Mạch điện thay thế tương đương. ......................................................... 36
Hình 3.5 Mơ hình cuộn dây 2D (trái), và sự phân bố của từ trường bằng phương
pháp FEM 2D (phải). ........................................................................................... 37


Hình 3.6 Sự phân bố của từ trường trên mặt cắt vịng dây chắn từ ..................... 37
Hình 3.7 Kết quả áp dụng tính tốn bằng phương pháp PEEC ........................... 38
Hình 3.8 Sự phân bố của từ trường dọc trục cắt qua mặt phẳng có vịng chắn từ.
.............................................................................................................................. 39
Bảng 3.1.Kết quả so sánh của dòng điện cảm ứng trên vòng chắn bằng các phương
pháp khác nhau .................................................................................................... 38


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1 Tổng quan
Chúng ta đang sống trong thời đại điện từ, bao quanh ta là những đường dây
tải điện, điện thoại, wifi, ti vi, tủ lạnh, vi tính, máy giặt, lị vi sóng… việc nghiên
cứu ảnh hưởng của ô nhiễm môi trường điện từ trường là vấn đề cần thiết.
Trường điện từ là một dạng tồn tại đặc biệt của vật chất, đặc trưng bởi tập hợp các
tính chất điện và từ. Các tham số cơ bản, biểu thị đặc tính của trường điện từ là:
tần số, chiều dài sóng và tốc độ lan truyền.

Hình 1.1 Sóng điện từ

Điện từ trường là những nguồn bức xạ điện tử Electromagnetic Fields
(EMFs). Nguồn EMFs đến rất nhiều nơi và tiếp xúc với con người khác nhau, trong
đó có nguồn tự nhiên và nguồn nhân tạo. Trong tự nhiên các EMFs được tạo ra bởi
quá trình sấm chớp và từ trường của Trái đất. Trong cơ thể con người cũng có
trường điện từ để vận chuyển các thơng tin trong hệ thống thần kinh. Các nguồn
EMFs nhân tạo sinh ra từ quá trình sản xuất, truyền tải và sử dụng điện. Cả điện
và từ trường dưới dạng bức xạ (tần số cao) sẽ xuyên qua bất cứ vật cản nào và tác
động một nguồn năng lượng lên con người, do đó ảnh hưởng của ơ nhiễm mơi
trường điện từ trường là đáng lo ngại.
Dòng điện là nguyên nhân sinh ra điện từ trường. Điện gia dụng thường là
dòng điện xoay chiều (alternating current; AC). Dịng điện AC có thể xoay chiều
và cực theo theo chu kỳ. Dòng điện 50Hz là dòng điện xoay chiều 50 lần trong
vòng 1 giây. Chu kỳ này tạo nên dịng điện và từ trường có cùng tần số.
Điện từ trường được phân làm 5 loại theo tần số của nó:
-

Loại ELF (tần số cực thấp; extremely low frequencies) – các thiết bị điện
gia dụng, đường dây điện.
Loại HF và LF (tần số cao [high frequencies] và tần số thấp [low
frequencies]) – sóng radio AM
Loại VLF (tần số rất thấp; very low frequencies) – tivi và video
Loại VHF (tần số rất cao; very high frequencies) sóng tivi và radio FM

1


-

Loại SHF (siêu tần số; super high frequencies) tần số của microwave SHF
có thể ảnh hưởng đến các phân tử. Khi microwaves đi ngang những vật thể

có nước, nó làm cho các phân tử nước bị rung động và tạo ra nhiệt.

Tất cả các hiện tượng điện từ xảy ra trong thiết bị điện và hệ thống điện đều
được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell cùng với các luật trạng thái của chúng.
Lý thuyết trường điện từ của Maxwell thống nhất giữa điện trường và từ trường,
bằng cách phân tích những hiện tượng điện từ sự chi phối của chúng Maxwell nhận
thấy rằng giữa từ trường và điện trường có một mối quan hệ chặt chẽ. Theo thuyết
này, giữa điện trường và từ trường có mối quan hệ biện chứng, chúng có thể chuyển
hóa lẫn nhau. Mọi sự biến đổi của điện trường đều làm xuất hiện từ trường và
ngược lại. Chúng đồng thời tồn tại trong không gian, tạo thành trường thống nhất
là trường điện từ. Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác
giữa các hạt mang điện.
Để diễn tả trường điện từ một cách định lượng, Maxwell thiết lập nên hệ
phương tình Maxwell diễn tả điện từ trường trong những trường hợp tổng qt của
mơi trường. Đó là một tập hợp các phương trình đạo hàm riêng liên kết mối quan
hệ trường điện từ (E, H) phân bố trong không gian và biến đổi theo thời gian, sự
phân bố của các dịng và điện tích (J, 𝜌) và đặc tính vật liệu (µ, σ): phương trình
Maxwell-Faraday, Phương trình Maxwell-Ampere, Định lí Ostrogradsky – Gauss
(OG) đối với điện trường, Định lí OG đối với từ trường.
Hệ phương trình Maxwell:
Dạng vi phân
⃗ =𝐽+
𝑟𝑜𝑡𝐻

𝑟𝑜𝑡𝐸⃗ = −

⃗
𝜕𝐷
𝜕𝑡

⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡

⃗ = 𝜌𝑣
𝑑𝑖𝑣𝐷

⃗ =0
𝑑𝑖𝑣𝐵

Dạng tích phân
⃗ ⃗⃗⃗
∮ 𝐻
𝑑𝑙 = − ∮ (𝐽 +
(𝐿)

(𝑆)

∮ 𝐸⃗ 𝑑𝑙 = − ∮
(𝐿)

(𝑆)

⃗
𝜕𝐷
) 𝑑𝑆
𝜕𝑡

⃗
𝜕𝐵

∙ 𝑑𝑆
𝜕𝑡

⃗ 𝑑𝑆 = ∮ 𝜌𝑣 𝑑𝑣
∮ 𝐷
(𝑆)

PT 1.1

PT 1.2

PT 1.3

(𝑣)

⃗ 𝑑𝑆 = 0
∮ 𝐵

PT 1.4

(𝑆)

𝐸⃗ : Véc tơ cường độ điện

⃗ : Vecto cường độ từ trường
𝐻

trường (𝑉/𝑚)

(𝐴/𝑚)

⃗ : Véc tơ dòng điện dịch (𝐶/𝑚2 ) 𝐵
⃗ : Vector từ cảm (𝑇)
𝐷
𝜌𝑣 : Mật độ điện tích khối (𝐶/𝑚3 )

𝐽 : Véc tơ mật độ dòng điện
(𝐴/𝑚2 )

2


Hệ phương trình Maxwell là hệ phương trình tổng quát của điện từ trường,
xác định được mọi đại lượng vật lý của trường điện từ và bằng q trình tính tốn
và phân tích hiện tượng Maxwell đưa ra luận điểm thứ nhất: “Mọi từ trường biên
thiên theo thời gian đều làm xuất hiện một điện trường xốy”. Phương trình (1.1)
và (1.5) là phương trình Maxwell – Faraday ở dạng vi phân và tích phân, diễn tả
luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến thiên và điện
trường xốy, phương trình Maxwell-Ampere là một trong những phương trình cơ
bản của thuyết Maxwell được rút ra từ định luật Faraday về hiện tượng cảm ứng
điện từ.
Sóng điện từ bao gồm điện trường biến thiên và từ trường biến thiên lan
truyền trong không gian. Ðiện trường và từ trường là những dạng của vật chất, có
thuộc tính của vật chất và chúng có năng lượng. Vì thế sóng điện từ nói riêng hay
điện từ trường nói chung, cũng có năng lượng. Q trình truyền của sóng điện từ
cũng chính là q trình truyền của năng lượng điện từ.
Q trình truyền sóng điện từ gây ra sự nhiễu điện từ (nhiễu dẫn và nhiễu
bức xạ) ảnh hưởng trực tiếp đến các thiết bị điện điện tử, môi trường và con người.
Trên thực tế các thiết bị y tế như máy đo nhịp tim, máy đo huyết áp rất dễ bị sai
lệch kết quả đo lường điều khiển giám sát của các thiết bị như máy đo nhịp tim,

máy đo huyết áp trong ngành y tế, các thiết bị như ca-mê-ra, cửa tự động..., dễ bị
ảnh hưởng trong điều khiển, giám sát do ảnh hưởng của nhiễu điện từ. Đặc biệt đối
với con người.
Điện từ trường ảnh hưởng trực tiếp đến con người, tác động đầu tiên của năng
lượng điện từ lên cơ thể con người đó là tác động nhiệt. Sự đốt nóng có thể dẫn đến sự
biến đổi, thậm chí sự tổn thương cho các tế bào và mô của cơ thể sống. Hiện tượng quá
nhiệt của cơ thể khi hấp thụ năng lượng điện từ dẫn đến sự thay đổi tần số của mạch đập,
nhịp tim và phản ứng mao mạch. Máu được coi là một chất điện phân, dưới tác động
của trường điện từ, trong máu sinh ra các dịng điện ion, làm nóng các mơ và tế bào. Với
một cường độ xác định trường điện từ gây ra một ngưỡng đốt nóng mà cơ thể người
khơng chịu nổi. Sự đốt nóng đặc biệt nguy hiểm đối với các cơ quan có hệ thống mao
mạch kém với sự lưu thơng máu ít (như mắt, não, dạ dày…). Đặc biệt nhạy cảm đối với
hiệu ứng nhiệt là thủy tinh thể của mắt, túi mật, bọng đái và một số cơ quan khác.
Cùng với tác động nhiệt, trường điện từ còn gây ảnh hưởng xấu đến hệ
thống thần kinh. Sự tác động của trường điện từ lên cơ thể người biểu hiện ở sự
rối loạn chức năng của hệ thống thần kinh trung ương, biểu hiện dễ nhận thấy là
sự mệt mỏi, đau đầu … Ngoài ra, trường điện từ còn gây rối loạn chức năng của
hệ thống tim mạch và hệ thống trao đổi chất. Sự tác động lâu dài của trường điện
3


từ gây hiện tượng đau thắt ở vùng tim. Sự bức xạ có hệ thống của năng lượng điện
từ gây sự thay đổi huyết áp chậm mạch, dẫn đến sự mệt mỏi, đau đầu…
Sự phổ biến của các thiết bị điện - điện tử được sử dụng, dẫn đến nguy cơ
hoạt động sai do nhiễu điện từ tăng lên. Tại nhiều nước trên thế giới, việc nghiên
cứu xây dựng các mơ hình để đưa ra quy chuẩn tương thích điện từ áp dụng đối
với các thiết bị là yêu cầu bắt buộc nhằm kiểm soát, loại trừ hoặc hạn chế các nguy
cơ có thể xảy ra gây mất an tồn cho hạ tầng cơ sở (mạng thông tin, viễn thông,
điều khiển, mạng điện...), cũng như bảo vệ môi trường tài nguyên (dải tần số vô
tuyến), đồng thời nhằm bảo đảm sự hoạt động ổn định của các thiết bị, phòng tránh

các sự cố gây ra do q trình truyền sóng điện từ. Vì vậy, việc xây dựng mơ hình
để nghiên cứu và tính tốn các bài tốn điện từ là một phần quan trọng và không
thể thiếu đối với các nhà thiết kế và nghiên cứu. Từ đó giúp đề xuất các giải pháp
giúp hạn chế điện từ trường gây ra bởi các thiết bị điện.
Đề tài này tập trung vào nghiên cứu các phương pháp tính tốn hiện đại ứng
dụng trong mô phỏng trường điện từ các hệ thống thiết bị điện có kích thước lớn
và cấu trúc phức tạp. Những phương pháp, kết quả của đề tài nghiên cứu sẽ tạo
tiền đề cho việc thiết kế và tối ưu hóa các thiết bị điện này. Phương pháp nghiên
cứu được sử dụng trong đề tài là phương pháp tích phân số kết hợp với phương
pháp mạch điện thay thế tương đương PEEC (Partial Element Equivalent Circuit)
nhằm làm tăng tốc độ và tăng độ chính xác của tính tốn. Các kết quả đạt được của
nghiên cứu sẽ được kiểm nghiệm thông qua việc so sánh với kết quả đo đạc thực
nghiệm hoặc kết quả mô phỏng từ phần mềm thương mại. Trong phạm vi đề tài,
nghiên cứu sẽ tập trung vào các phương pháp tích phân số.
Với sự phát triển không ngừng của khoa học kỹ thuật, các thiết bị điện ngày
này ngày càng tinh vi và hiện đại hơn. Bên cạnh sự phức tạp về hình dạng hình
học từ dày đến mỏng, nhiều dạng thù hình, từ kích thước rất nhỏ đến rất lớn, các
thiết bị điện còn sử dụng rất nhiều vật liệu khác nhau: vật liệu điện, vật liệu từ, vật
liệu cách điện, vật liệu composit…. Để phân tích và mơ phỏng các hiện tượng điện
từ đối với các thiết bị điện có kết cấu khác nhau (tức là giải hệ phương trình
Maxwell tương ứng), các nhà nghiên cứu, thiết kế có thể sử dụng phương pháp
giải tích và phương pháp số. Điểm mạnh của phương pháp giải tích là khi phải tính
tốn trên các thiết bị có kết cấu cấu trúc hình học đơn giản, người ta có thể dễ dàng
xác lập các phương trình phép tốn vi phân hoặc tích phân để tính tốn nhằm đưa
tới một kết quả giải tích chính xác trong thời gian ngắn. Tuy nhiên trong các trường
hợp chung, đặc biệt với cấu trúc thiết bị điện lớn và phức tạp thì việc tính tốn
chính xác là điều rất khó khăn cho việc nghiên cứu hay tính chính xác của kết quả.

4

Kể từ những ngày đầu phát triển thiết bị điện, các kỹ sư và các nhà khoa học
đã liên tục cải tiến và thiết kế các nghiên cứu các sản phẩm kỹ thuật nhằm đem lại
hiệu quả kinh tế lớn nhất. Việc tính tốn và dự đốn là khâu kiên quyết trong giai
đoạn thiết kế để đưa ra các số liệu chính xác nhằm đánh giá hiệu suất của các thiết
bị điện. Trước những khó khăm đã được nhìn ra của việc xây dựng mơ hình mơ
phỏng thì phương pháp giải tích đã gặp rất nhiều bất cập, các phương pháp này đã
khơng cịn thể dựa vào độ chính xác và tính nhất qn của kết quả nữa. Do đó với
sự ra đời của máy tính, máy tính kỹ thuật số các phương pháp tính mới phương
pháp số đã được ra đời nhằm cải thiện và khắc phục các yếu điểm của phương pháp
cũ. Tiền thân các phương trình liên kết là định luật vật lý Ohm. Nguyên tắc cơ bản
của các phương pháp này là chuyển đổi các phương trình vi phân từng phần sử
dụng trong việc mơ tả các bài tốn giá trị biên thành các phương trình riêng biệt
và giải chúng bằng phương pháp lặp. Về các kỹ thuật giải pháp lặp với một số
lượng lớn lần lặp đã được giải quyết bằng máy tính, việc sử dụng một bộ nhớ lớn
đã giảm bớt thời gian tính tốn tính và chính xác được đảm bảo tuyệt đối. Mặc dù
vẫn có những khuyết điểm về sự ổn định và tính hội tụ thì phương pháp đã đạt tầm
quan trọng trong việc thiết kế nam châm gia tốc, các thiết bị có tấn số cao, cơ học
kết cấu, tạo hình kim loại đặc biệt là giải quyết cái bài tốn tuyến tính và phi tuyến.
Phương pháp đóng góp một phần không hề nhỏ cho sự nghiên cứu về trường điện
từ. Chính vì vậy thì phương pháp số được sử dụng như một giải pháp duy nhất [1].
Các phương pháp số thường được áp dụng trong mô phỏng trường điện từ
được chia làm hai loại:
Các phương pháp hữu hạn (finite methods):
• Phương pháp phần tử hữu hạn FEM (Finite Element Method),
• Phương pháp sai phân hữu hạn FDM
• Phương pháp thể tích hữu hạn FVM (Finite Volume Method)
Các phương pháp tích phân số:
• Phương pháp tích phân bề mặt BEM (Boundary Element Method),
• Phương pháp mơ men MoM (Method of Moment),

• Phương pháp PEEC (Partial Element Equivalent Circuit).
Việc lựa chọn một trong những phương pháp trên hoàn toàn phụ thuộc vào các
hiện tượng vật lý cần mô phỏng như là ở tần số cao hay thấp, có vật liệu từ hay
khơng, có xét đến hiệu ứng điện cảm hay điện dung, nguồn kích thích ngồi... Tuy
nhiên, khơng có một phương pháp là vạn năng và tối ưu trong mọi bài toán và việc
lựa chọn phương pháp tốt nhất phụ thuộc vào tính chất thiết bị điện và dải hoạt
động của nó.
5


1.1.1

Các phương pháp hữu hạn (Finite methods)

Đối với các thiết bị có dạng hình học phức tạp, với vật liệu khác nhau đặc điểm
và điều kiện biên thường hỗn hợp thì các phương pháp hữu hạn (finite methods)
thường kinh tế và tốt nhất
1.1.1.1. Phương pháp sai phân hữu hạn FDM (Finite difference Method)
Trong các phương pháp được sử dụng để tính tốn và mơ phỏng trường điện
từ thì phương pháp FDTD (Finite difference Time Domain)- phương pháp sai phân
hữu hạn trong miền thời gian được sử dụng phổ biến do tính đơn giản và hiệu quả
của nó [1]. Đặc biệt là các bài toán liên quan đến các vật thể có cấu trúc phức tạp
(2D và 3D) hay các bài tốn có liên quan đến các vật thể có kích thước so sánh
được với bước sóng cũng như các bài toán yêu cầu miền tần số cần khảo sát lớn.
Với các ưu điểm như vậy, phương pháp FDTD hiện là một công cụ rất mạnh mẽ
và hữu hiệu được ứng dụng rộng rải khi giải các bài toán phức tạp liên quan đến
điện từ trường trong nhiều lĩnh vực như thiết kế anten, kỹ thuật siêu cao tần, radar...
Phương pháp FDTD được Kane Yee người Nhật giới thiệu vào năm 1966
[2], phương pháp này được đưa ra nhằm mục đích giải trực tiếp bằng số các phương
trình Maxwell trong các môi trường và các miền không gian khác nhau trong miền

thời gian. Trong phương pháp này, điện trường và từ trường được rời rạc hóa trong
phép lấy vi phân các phương trình Maxwell theo phương pháp sai phân trung tâm
và sau đó các giá trị rời rạc của chúng sẽ được tính tốn bằng máy tính.
Trong phương pháp FDTD, các phương trình sai phân hữu hạn được sử
dụng để giải các phương trình Maxwell cho một miền tính tốn bị hạn chế. Phương
pháp này u cầu tồn bộ miền tính toán được chia hoặc tách rời thành các phần
tử khối (ơ) để giải các phương trình Maxwell. Kích thước phần tử khối (ô) được
xác định bằng cách xem xét hai yếu tố chính [3]:
1. Tần số: Kích thước ơ khơng được vượt quá

𝜆
10

, trong đó 𝜆 là bước sóng

tương ứng với tần số cao nhất trong kích thích.
2. Cấu trúc: Các kích thước của phần tử phải phù hợp của các cấu trúc mỏng.
Mỗi vecto trong Phương trình 1.1 và 1.2 được khai triển thành 3 thành phần
trong hệ tọa độ Descartes: EX, EY, EZ, HX, HY và HZ. Sau khi rời rạc cấu trúc, các
thành phần trường điện từ, EX, EY, EZ, HX, HY và HZ, được xác định cho các ơ, ví
dụ như trong hình. 2.2

6


Hình 1.2 Mơ hình Cell gồm các thành phần trường điện từ trong mô phỏng FDTD
Định nghĩa trường điện từ như hình trên thì phương pháp FDTD được tạo ra dựa trên

cơng thức Yee [2]. Để có thể áp dụng các phương trình Maxwell ở dạng vi phân
cho ơ Yee thì các đạo hàm thời gian và khơng gian được viết dưới dạng các đạo

hàm riêng. Phương trình vi phân PT 1.1 và PT 1.1 được sai phân hóa thành PT 1.5
và PT 1.6 như dưới đây:
𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦
𝜕𝐸𝑥
−
𝜀
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝐽𝑥
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐻𝑧
= 𝜀
+ [𝐽𝑦 ]
−
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝐽𝑧
𝜕𝐻𝑦 𝜕𝐻𝑥
𝜕𝐸𝑧
𝜀
−
[ 𝜕𝑥
𝜕𝑦 ] [ 𝜕𝑡 ]

PT 1.5

𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐸𝑦
𝜕𝐻𝑥

−
−𝜇
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑧
= −𝜇
−
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑥
𝜕𝐻𝑧
−𝜇
−
[ 𝜕𝑥
𝜕𝑡 ]
𝜕𝑦 ] [

PT 1.6

Bằng cách thay thế các đạo hàm riêng thời gian và một phần không gian bằng các
biểu thức sai phân hữu hạn, dẫn đến các phương trình FDTD [4].
Để giải các phương trình Maxwell được rời rạc bằng phương pháp FDTD,
phụ thuộc vào các yếu tố như sau như sau [3]:

7

• Điều kiện ban đầu và kích thích: Các thành phần trường điện từ ban
đầu cho từng điểm riêng biệt trong cấu trúc rời rạc phải được xác
định. Sự kích thích của cấu trúc cũng được xác định tại điểm này.
• Điều kiện biên: Kích thước của khơng gian mơ phỏng bị giới hạn do
dung lượng bộ nhớ máy tính. Vấn đề này có thể được giải quyết bằng
các cơng thức toán học, điều kiện bờ hấp thụ PML (Perfectly
Matched Layer)
• Bước nhảy thời gian ∆t. Để đảm bảo rằng sự lan truyền sóng điện từ
giữa các nút khơng vượt quá tốc độ ánh sáng, điều kiện bước thời
gian, điều kiện Courant [5], phải được thực hiện.
1

∆𝑡 ≤
√

PT 1.7

1
1
1
+ 2+ 2∙𝑐
2
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑦

Trong đó: ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 là kích thước khơng gian bước nhảy, c là tốc độ ánh
sáng trong chân không
Phương trình FDTD được giải theo các bước sau:
1. Tính tốn các thành phần điện trường để hồn thiện phương trình FDTD.

2. Tăng thời gian lên

∆𝑡
2

3. Tính tốn các thành phần từ trường để hồn thiện phương trình FDTD dựa
trên các thành phần điện trường đã tính tốn ở bước 1.
4. Tăng thời gian lên

∆𝑡
2

và tiếp tục quay lại bước 1.

⃗ tại tất
Phương pháp FDTD này cung cấp nghiệm trong trường biến đổi 𝐸⃗ và 𝐻
cả những vị trí của miền rời rạc và tại mọi điểm thời gian.
1.1.1.2. Phương pháp thể tích hữu hạn FVM (Finite Volume Method)
Phương pháp thể tích hữu hạn (FVM) về cơ bản là sự phát triển như một
dạng đặc biệt của phương pháp sai phân hữu hạn [6]. Đó là việc lấy tích phân trên
một thể tích kiểm sốt đã phân biệt phương pháp FVM với các phương pháp tính
tốn khác. Thể tích hữu hạn là một đơn vị thể tích khơng gian khơng lớn quá, cũng
không nhỏ quá. Khi khoanh vùng vật chất để xét, ta chọn một vùng vừa phải để nó
đủ nhỏ, để có thể xem tính chất của các hạt nằm trong phạm vi đang xét gần gần
nhau, nhưng thể tích ta đang xét không quá nhỏ để số lượng hạt vật chất chứa trong
đó là vơ cùng lớn. Phương pháp FVM có thể được tóm tắt trong năm bước sau:
• Bước 1: Tạo lưới. Thay miền khảo sát bằng hệ thống rời rạc các điểm gọi
là nút lưới, và các phần tử thể tích rời rạc bao quanh các nút lưới được gọi
là thể tích kiểm sốt.
8

• Bước 2: Tích phân đúng theo phương trình đặc trưng cho hiện tượng điện
trừ trường trên thể tích kiểm sốt để có được phương trình rời rạc tại các
điểm nút.
• Bước 3: Rời rạc hóa phương trình tích phân (thay thế các phương trình vi
phân bằng các tỉ vi phân tương ứng). Biến các phương trình tích phân thành
hệ phương trình đại số.
• Bước 4: Rời rạc hóa các điều kiện biên. Các điều kiện biên được xấp xỉ
bằng các phương trình sai phân đối với các nút lưới gần biên.
• Bước 5: Giải hệ phương trình đại số (Tập hợp các phương trình sai phân và
các điều kiện biên đã đưuọc rời rạc hóa).
Trong miền tính tốn, ta chọn một thể tích hữu hạn V được bao bởi mặt kín
S. Trong trường hợp một chiều (nếu hai chiều là tính cả chiều thời gian) thì thể
tích V được thay bằng miền D và mặt S được hiểu là biên G của miền D. Thể tích
hữu hạn và mặt bao của nó được gọi là thể tích kiểm sốt và mặt kiểm sốt.

Hình 1.3 Miền thể tích hữu hạn V trong trường hợp một chiều

Thông thường chúng cố định trong không gian theo thời gian, nhưng về nguyên
tắc không nhất thiết lúc nào cũng như vậy. Lấy tích phân phương trình định luật
bảo tồn khối lượng ta được phương trình định luật bảo tồn khối lượng dạng tích
phân:
𝜕𝜌 𝜕𝜌𝑢
∯( +
) 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥

PT 1.8

𝑆

Theo cơng thức Green ta có:
𝜕𝜌 𝜕𝜌𝑢
∯( +
) 𝑑𝑥𝑑𝑡 = ∮ 𝜌𝑑𝑥 − 𝜌𝑢𝑑𝑡 = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥

PT 1.9

𝑆

9


PT 1.10

∮ 𝜌𝑑𝑥 − 𝜌𝑢𝑑𝑡 = 0
𝐺

Có nhiều cách khác nhau để chọn thể tích kiểm sốt, trong trường hợp đơn
giản nhất mặt kiểm soát sẽ chọn trùng với các mặt của ơ lưới tính tốn. Trong
trường hợp này Hình 1.3:

Hình 1.4 Ơ lưới tính tốn trong mặt kiểm sốt

Cơng thức tích phân PT 1.7 được viết lại như sau:
𝑥𝑖

PT 1.11

∮ 𝜌𝑑𝑥 − 𝜌𝑢𝑑𝑡 = ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡𝑛 )𝑑𝑥
𝐺

𝑥𝑖 −ℎ
𝑥𝑖

− ∫ 𝜌(𝑥𝑖 , 𝑡𝑛 + 𝑡)𝑑𝑥
𝑥𝑖 −ℎ
𝑡𝑛 +𝑑𝑡

+ ∫ 𝜌𝑢(𝑥𝑖 , 𝑡)𝑑𝑡
𝑡𝑛
𝑡𝑛 +𝑑𝑡

− ∫ 𝜌𝑢(𝑥𝑖 − ℎ, 𝑡)𝑑𝑡 = 0
𝑡𝑛

Phương trình PT 1.11 là phương trình bảo tồn động lượng trong phương
pháp thể tích hữu hạn. Phương pháp FVM được dựa trên nhiều định luật vật lý
nhưng chủ yếu là các định luật về bảo toàn bằng cách chia đối tượng nghiên cứu
thành các phần tử rất nhỏ nhưng có kích thước hữu hạn và có hình dạng đơn giản
về mặt hình học.
1.1.1.3. Phương pháp phần tử hữu hạn FEM (Finite Element Methods):
Phương pháp phần tử hữu hạn - FEM là một phương pháp có tính ứng dụng
cao để xử lý các vấn đề liên quan đến các đội tượng có hình dạng phức tạp và
khơng đồng nhất [7]. Phương pháp này phức tạp hơn phương pháp FDTD đã đề
cập trước đây nhưng cũng có thể áp dụng cho số lượng lớn các bài tốn. FEM dựa

trên cơng thức vi phân của các phương trình Maxwell, trong đó khơng gian trường
10


hoàn chỉnh bị chia thành nhiều phần rời rạc. Thực chất của phương pháp FEM là
phân chia miền của bài tốn nghiên cứu thành những miền con có kích thước hữu
hạn. Trên mỗi miền con (còn gọi là phần tử hữu hạn) hàm cần tìm được làm gần
đúng bằng một đa thức có bậc từ 1 đến 6. Các phần tử hữu hạn có thể là các đoạn,
tam giác, tứ giác thẳng hoặc cong.

Hình 1.5 Các phần tử hữu hạn được sử dụng trong quá trình rời rạc: (a) Một chiều,
(b) hai chiều và (c) ba chiều

Phương pháp này được áp dụng trong cả miền thời gian và tần số. Trong
phương pháp này, các phương trình vi phân từng phần – partial differential
equations (PDE) được giải bằng cách chuyển đổi thành các phương trình dạng ma
trận [8]. Phương pháp FEM dựa trên nguyên lý tổng quát cho phép nghiên cứu
hành vi của các hệ thống vật lý là nguyên tác “tác động cực tiểu” còn gọi là nguyên
lý Hamilton. Theo nguyên lý này mọi hệ thống vật lý tồn tại và phát triển theo quy
luật sao cho biến thiên các thông số đặc trưng cho năng lượng của hệ là cực tiểu.
Nguyên lý này được áp dụng hiệu quả trong lĩnh vực điện từ. Nếu quan tâm
đến cân bằng tĩnh của hệ thống thiết bị điện từ, năng lượng của hệ hoàn toàn xác
định nếu ta biết điện thế tại mỗi điểm. Để hệ cân bằng thì năng lượng điện từ của
hệ có giá trị cực tiểu.
Bằng cách tìm cực trị của phiến hàm biểu diễn cho năng lượng của hệ ta
được hệ phương trình đại số với các ẩn là thông số của hệ thống điện từ tại các
điểm nút cần tìm.
Nguyên lý Hamilton được thực hiện bằng này cách giảm thiểu năng lượng
cho các phương trình PDE bằng hàm tốn học 𝐹 [9], trong đó năng lượng có thể
thu được bằng cách tổng lấy tích phân các trường chưa biết. Quá trình này [10]

thường được giải bằng cách viết phương trình PDE dưới dạng hàm của u với hệ số
tương ứng:
𝐿∙𝑢 =𝐹

PT 1.12

11


Trong đó 𝐿 là tốn tử PDE. Ví dụ, phương trình Laplace được đưa ra phụ
thuộc vào các biến 𝐿 = ∇2 , 𝑢 = 𝑉và 𝑓 = 0. Bước tiếp theo là phân chia vùng được
xét thành các phần tử hữu hạn. Hàm cho mỗi phần tử FEM là 𝐹𝑒 (là giá trị của F ở
phần tử được đánh số là e). Sau đó, chúng ta thay thế tích phân kép trong biểu thức
F bằng tổng các tích phân của L trên mỗi phần tử hữu hạn của miền.
PT 1.13

𝐹 = ∑ 𝐹𝑒
∀𝑒

Mở rộng các trường chưa biết dưới dạng tổng của các hàm cơ sở đã biết 𝑢𝑒𝑖
với các hệ số chưa biết 𝛼𝑖 . Tổng 𝐹 phụ thuộc vào các hệ số chưa biết 𝛼𝑖 có dạng
như sau:
PT 1.14

𝐹𝑒 = ∑ 𝛼𝑖 𝑢𝑒𝑖
∀𝑖

Trong đó 𝑖 phụ thuộc vào dạng của phần từ hữu được sử dụng. Ví dụ, đối
với phần tử một chiều được hiển thị trong Hình 1.5 thì 𝑖 = 2.
Bước cuối cùng theo nguyên lý tác động cực tiểu của Hamilton ta tìm cực

trị của hàm F bằng cách lấy đạo hàm riêng của F theo các giá trị 𝛼𝑖 . Đạo hàm
riêng của 𝐹 đối với từng hệ số nút chưa biết có dạng như sau:
𝜕𝐹
= 0,
𝜕𝛼𝑖

∀𝑖

Quá trình này dẫn đến hệ phương trình đại số n ẩn với mỗi ẩn là giá trị của hàm ẩn
tại các nút
1.1.2

Các phương pháp tích phân số

Từ năm 1960 các nhà nghiên cứu đã dành nhiều cơng trình nghiên cứu cho
phương pháp số để giải quyết các vấn đề mơ phỏng. Chính lý do này đã dẫn đến
việc xuất hiện nghiên cứu các phương pháp mới để đáp ứng được khối lượng cơng
việc tính tốn trong q trình mơ phỏng cũng như là thiết kế, tiếp đó là các nghiên
cứu về các định luật vật lý cơ bản các phương pháp biển đổi. Nhưng khi nghiên
cứu về vấn đề ba chiều trong nhiều lĩnh vực. Với các số liệu đầu vào quá lớn thì
việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trở nên khó sử dụng và kết quả tính
tốn đã thiếu đi độ chính xác.
1.1.2.1. Phương pháp mô men MoM (Method of Moment)
Phương pháp mơ men (MoM) [11] dựa trên cơng thức dạng tích phân của
phương trình Maxwell (PT 1.1-PT 1.4). Tính năng cơ bản này làm cho nó có thể loại
12


trừ khơng khí xung quanh các vật thể. Phương pháp này thường được sử dụng
trong miền tần số nhưng cũng có thể được áp dụng cho các bài tốn liên quan đến

miền thời gian.
Trong MoM, các phương trình có dạng tích phân, được mơ tả như một ví
dụ về mật độ dịng trên dây hoặc bề mặt. Phương trình được chuyển đổi thành dạng
ma trận dễ dàng giải quyết bằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo. Khi sử dụng
MoM cho các bề mặt của một lưới dây, có thể sử dụng xấp xỉ của bề mặt như mô
tả trong [3]. Cơng thức dây của bài tốn đơn giản hóa các tính tốn và thường được
sử dụng để tính tốn trường xa.
Phương trình có nguồn gốc lý thuyết [3], là một tốn tử tuyến tính (tích
phân) 𝐿 liên quan đến hàm Green tích hợp 𝐺(𝑟, 𝑟 , ) được áp dụng cho một hàm
chưa biết, trong đó 𝑓 là kích thích đã biết
𝐿∙𝐼 =𝑓

PT 1.15

PT 1.15 có thể là Phương trình tích phân Pocklington, mơ tả cường độ dịng
I (z’) trên ăng ten hình trụ, được viết lại như sau:
𝑙
2

𝜕2
(
∫ 𝐼 𝑧 ( 2 + 𝑘 2 ) 𝐺 (𝑟, 𝑟 ′ ) = 𝑗𝜔𝜖𝐸𝑧
𝑙
𝜕𝑧
−

PT 1.16

′)

2

Sau đó, được hàm 𝐼 là tổng một chuỗi các hàm đã biết 𝑢𝑖 với biên độ khơng
xác định 𝐼𝑖 có dạng như sau:
𝑛

PT 1.17

𝐼 = ∑ 𝐼𝑖 𝑢𝑖
𝑖=1

Trong đó 𝑢𝑖 được gọi là các hàm cơ sở

13


Hình 1.6 Hàm MoM cơ bản điển hình, (a) Hàm xung chữ nhật, (b) Hàm xung tam
giác, (c) Hàm xung hàm sin. [12][12]

Hình. 2.5 cho thấy các ví dụ về các chức năng cơ bản được sử dụng trong
MoM. Để giải quyết các bài toán liên quan đến biên độ chưa biết, n phương trình
được suy ra từ PT 1.15 và PT 1.17 nhân các hàm trọng số n, lấy tích phân trên
chiều dài dây [12]. Điều này dẫn đến việc hình thành tập hợp các phương trình
tuyến tính có thể được viết dưới dạng ma trận như sau:
[𝑍][𝐼] = [𝑉 ]

PT 1.18

Trong đó các ma trận [𝑍], [𝐼] và [𝑉 ] là các ma trận tổng trở, dòng điện và điện áp

Hình 1.7 Mơ hình MoM sử dụng cơ sở xung f cho phép tính gần đúng của

phân bố tần số cộng hưởng cho một lưỡng cực nửa bước sóng
Phương pháp Momen mơ tả cơ sở của tất cả các phương pháp tích phân số
ứng dụng mơ hình hóa điện từ trong chương này. MoM cung cấp kết quả về mật
độ dòng điện hoặc điện áp tại tất cả các vị trí trong cấu trúc và tại mọi điểm tần số.

14


Ngày nay chương trình máy tính nổi tiếng Numerical Electromagnetics
Code, thường được gọi là NEC [19, 20, 21], sử dụng MoM để tính tốn phản ứng
điện từ cho ăng ten và các cấu trúc kim loại khác.
1.1.2.2. Phương pháp tích phân số mạch điện thay thế tương đương PEEC
(Partial Element Equivalent Circuit)
Phương pháp PEEC dùng để mô phỏng thiết bị điện khơng có vật liệu từ bằng
mạch điện thay thế tương đương thông số tập trung với các giá trị phần tử được
tính bằng phương trình tích phân [5].
Phần này sẽ giới thiệu ngắn về phương pháp PEEC [22, 23, 24] như đối với
ba phương pháp mô phỏng EM trước đây. Phương pháp PEEC, được phát triển bởi
Tiến sĩ Albert E. Ruehli, giống như MoM dựa trên công thức dạng tích phân của
phương trình Maxwell, làm cho phương pháp này phù hợp với mô phỏng trong
không gian tự do. Các mơ hình EM ứng dụng phương pháp PEEC được thay thế
bằng mạch điện tương đương trong cùng miền thời gian và tần số, đây là điểm đặc
biệt của phương pháp này
Phép đạo hàm được bắt đầu [25] từ biểu thức của tổng điện trường tự do
trong không gian 𝐸⃗ 𝑇 (𝑟, 𝑡 ) bằng cách sử dụng véc tơ điện thế 𝐴 và trường vơ thế
𝜙 có dạng như sau:
𝐸⃗ (𝑟, 𝜔) = −𝑗𝜔𝐴(𝑟, 𝜔) − 𝛻𝜙(𝑟, 𝜔)

PT 1.19

Biểu thức véc tơ điện thế 𝐴(𝑟, 𝑡 ) có dạng như sau [26]:
PT 1.20
′

′

𝐴(𝑟, 𝜔) = 𝜇 ∫ 𝐺( 𝑟, 𝑟 )𝐽(𝑟 , 𝜔)𝑑𝑣

,

𝑣,

Trong đó 𝐽 là mật độ dịng tại điểm gốc của véc tơ 𝑟 ′ , hàm Green trong khơng
gian với
𝑅 = |𝑟 − 𝑟 ′ | có biểu thức như sau:
𝐺 (𝑟 , 𝑟 ′ ) =

𝑒 −𝑗𝛽𝑅
4𝜋𝑅

PT 1.21

Trường vô thế 𝜙 tại điểm gốc của véc tơ 𝑟 với 𝑣 , là thể tích của dây dẫn và 𝑞
là mật độ điện tích trên dây dẫn
1
𝜙(𝑟, 𝑡 ) = ∫ 𝐺( 𝑟, 𝑟 ′ )𝑞(𝑟 ′ , 𝜔)𝑑𝑣 ,
𝜖

PT 1.22

𝑣,

15


Kết hợp PT 1.19, PT 1.20 và PT 1.22 dẫn đến phương trình tích phân điện
trường (Electric field integral equation EFIE) có biểu thức như sau:
PT 1.23

𝐸⃗ (𝑟, 𝜔) = −𝑗𝜔 𝜇 ∫ 𝐺( 𝑟, 𝑟 )𝐽(𝑟 , 𝜔)𝑑𝑣
′

′

,

𝑣,

1
− ∇ ∫ 𝐺( 𝑟, 𝑟 ′ )𝑞(𝑟 ′ , 𝜔)𝑑𝑣 ,
𝜖
𝑣,

Phương trình PT 1.23 được giải bằng cách mở rộng từng hàm chưa biết 𝐽, 𝑞
thành một chuỗi các hàm cơ sở xung với biên độ không xác định [25] đồng thời áp
dụng phương pháp Galerkin [6] để chọn các hàm trọng số cho hàm xung chưa biết.
Điều này tương ứng với phương pháp rời rạc đặc biệt trong việc mô hình hóa đối
tượng. Sau đó, mỗi số hạng của PT 1.23 có thể được hiểu là mỗi phần tử mạch

tương ứng [25, 27] được lý giải như sau:
• Vế trái của phương trình được biểu thị cho độ giảm điện áp có thể
được hiển thị bằng với điện áp rơi trên một phần tử
• Số hạng thứ nhất ở phía bên phải của phương trình biểu thị độ giảm
điện áp cảm ứng giảm trên mỗi phần tử hoặc biểu thị tổng độ giảm
điện áp trên cuộn cảm giữa các nút giảm trên độ tự cảm một phần giữa
các nút và giữa các ơ do hiện tượng hỗ cảm
• Số hạng thứ hai ở phía bên phải của phương trình biểu thị hiệu điện
thế giữa hai nút của ô do điện dung trên mỗi nút và điện dung trên
phần tử bề mặt ( đại diện cho khớp nối điện trường)

Hình 1.8 Mơ hình ME được thay thế bằng mạch tương đương

Trong hình, sau quá trình phân tách sẽ hình thành ba nút đã dẫn đến hai ơ giữa
3 nút từ đó xác định được thành phần cuộn cảm 𝐿𝑝 . Đối với mỗi nút sẽ kết nối với
một điện dung 𝐶𝑛𝑛 được liên kết bởi các điện dung tương hỗ 𝐶𝑛𝑚 được tính tốn
theo chương 2 và các kích thích đưa vào mạch tương ứng bằng cách sử dụng các
nguồn dòng hoặc nguồn điện áp. Mơ hình PEEC sau đó được giải bằng cách sử

16


dụng chương trình giải mạch như SPICE [28] hoặc bằng cách thiết lập và giải các
phương trình mạch tương ứng.
Việc bao gồm các khớp nối và từ trường trễ [29] có thể được xử lý trong các
bộ giải SPICE [30] hoặc bằng cách sử dụng (1) các phần tử trong miền tần số và
(2) phương trình vi phân trễ trung tính (NDDE) trong miền thời gian. Phương pháp
PEEC gần đây đã được mở rộng để sử dụng các tế bào bề mặt thể tích, bao gồm
Paper D, Cơng thức PEEC cho mơ hình mạch và mơ hình mạch thời gian và tần
số, giúp cải thiện đáng kể khả năng

1.1.3

Kết luận

Các phương pháp tích phân số thường khơng tổng qt như phương pháp phần
tử hữu hạn, tuy nhiên nó lại là phương pháp thích hợp nhất trong từng bài tốn mơ
phỏng cụ thể. Ưu điểm lớn nhất của các phương pháp này khi so sánh với phương
pháp phần tử hữu hạn là việc khơng phải mơ phỏng thành phần khơng khí xung
quanh thiết bị điện. Do vậy khi mô phỏng các thiết bị điện lớn, phức tạp có nhiều
khơng khí bao quanh, chúng ta chỉ cần sử dụng một số lượng biến vừa phải [5][17].
Bên cạnh những ưu điểm về việc mô phỏng được các thiết bị điện lớn, phức
tạp, phương pháp tích phân số nói chung có những điểm yếu cơ bản do các phương
pháp này đều biến đổi hệ phương trình Maxwell về hệ phương trình đại số ma trận
đầy. Điều này dẫn đến hạn chế của phương pháp khi phải mơ phỏng các thiết bị
điện có cấu trúc khơng gian rộng lớn địi hỏi nhiều phần tử chia lưới (mesh). Nếu
gọi N là số ẩn cần giải thì bộ nhớ cần thiết để lưu trữ sẽ là O(N2) và thời gian giải
phương trình bằng phương pháp trực tiếp (phân tích LU) tỷ lệ với O(N3). Lấy ví
dụ một bài tốn mơ phỏng lớn dùng phương pháp tích phân số có 50000 ẩn thì bộ
nhớ cần thiết để lưu trữ ma trận sẽ là 50000 x 50000 x 8byte tương đương với
khoảng 20 GB bộ nhớ, và thời gian tính tốn để giải một phương trình theo phương
pháp cổ điển sẽ là hàng tuần.
Trong quá trình chế tạo các thiết bị điện, tối ưu hóa chi phí là một trong những
vấn đề quan trọng. Cùng với sự phát triển của khoa học máy tính và các kiến thức
vật lý hiện đại, việc sử dụng các phần mềm mô phỏng số ln được ưu tiên vì lý
do tiết kiệm chi phí so với việc tạo ra thiết bị mẫu thực vì khi sử dụng mơ phỏng
số, chúng ta có thể dễ dàng thay đổi các tham số, tạo ra nhiều mơ hình ảo đáp ứng
u cầu thiết kế mà khơng tốn thêm chi phí nào.

17