Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích Ettingshausen trong hố lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.38 MB, 60 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
NGUYỄN TIẾN LONG
LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH
ETTINGSHAUSENTRONG HỐ LƢỢNG TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
NGUYỄN TIẾN LONG
LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH
ETTINGSHAUSENTRONG HỐ LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU
HÀ NỘI - 2015
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến
GS.TS Nguyễn Quang Báu - Ngƣời đã hƣớng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong
quá trình thực hiện đề tài luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cơ
giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết – Khoa Vật lý – trƣờng Đại học Khoa học Tự
Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học
tập và hồn thành đề tài luận văn một cách tốt nhất.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ln động viên
em trong suốt q trình học tập và hồn thành đề tài luận văn.
Mặc dù em đã có nhiều cố gắng nhƣng do trong thời gian ngắn và lƣợng kiến
thức của bản thân cũng chƣa thực sự đƣợc hồn thiện nên luận văn vẫn khơng tránh
khỏi những thiếu sót và hạn chế, em rất mong nhận đƣợc sự góp ý, chỉ dẫn của các
thầy, cơ giáo và các bạn để luận văn đƣợc hoàn thiện hơn.
Luận văn đƣợc hoàn thành với sự tài trợ của đề tài NAFOSTED (Number
103.01-2015.22)
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Học viên
Nguyễn Tiến Long
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục hình - bảng
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: HỐ LƢỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ETTINGSHAUSEN TRONG
BÁN DẪN KHỐI ..................................................................................................................... 4
1.1. Hố lƣợng tử .......................................................................................................... 4
1.1.1. Khái niệm về hố lượng tử: ............................................................................4
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử ......5
1.2. Hiệu ứng Ettingshausen trong bán dẫn khối ........................................................ 5
1.2.1. Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối
khi có mặt trường điện từ không đổi và trường bức xạ cao tần (laser) ........................5
1.2.2. Mật độ dịng tồn phần trong bán dẫn khối....................................................11
1.2.3. Mật độ thông lượng nhiệt trong bán dẫn khối ............................................19
1.2.4. Hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối ....................................................20
CHƢƠNG 2: HIỆU ỨNG ETTINGSHAUSEN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ .................. 22
2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong hố lƣợng tử ............................... 22
2.2. Biểu thức mật độ dòng toàn phần trong hố lƣợng tử ..................................... 25
2.3. Biểu thức giải tích mật độ thơng lƣợng nhiệt trong hố lƣợng tử: .................. 35
2.4. Hệ số Ettingshausen trong hố lƣợng tử .............................................................. 40
CHƢƠNG 3: TÍNH TỐN SỐ VÀ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT HỆ SỐ
ETTINGSHAUSEN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ GaAs/GaAsAl .............................. 40
3.1. Sự phụ thuộc của hệ số Ettingshausen vào tần số sóng điện từ mạnh (bức xạ
laser): ........................................................................................................................ 40
3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Ettingshausen vào nhiệt độ: ......................................... 41
KẾT LUẬN ............................................................................................................................. 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 43
PHỤ LỤC
DANH MỤC BẢNG, HÌNH
Bảng 1: Tham số vật liệu đƣợc sử dụng trong q trình tính tốn .......................... 40
Hình 1: Sự phụ thuộc của hệ số EC vào tần số laser ................................................ 41
Hình 2: Sự phụ thuộc của hê số EC vào nhiệt độ khi có laser kích thích ............... 41
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ngày nay, chúng ta ngày càng quan tâm nghiên cứu hơn về các đặc tính
của hệ bán dẫn thấp chiều. Những cấu trúc thấp chiều nhƣ các hố lƣợng tử
(quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các dây lƣợng tử (quantum wires) và
các chấm lƣợng tử (quantum dots) … đã đƣợc tạo nên nhờ sự phát triển của công
nghệ vật liệu mới với những phƣơng pháp nhƣ kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ
(MOCDV), epytaxi chùm phân tử (MBE)… Trong các cấu trúc nano nhƣ vậy,
chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hƣớng tọa độ với một
vùng có kích thƣớc đặc trƣng vào cỡ bậc của bƣớc sóng De Broglie, các tính chất vật
lý của điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất vật lý mới khác, gọi là hiệu
ứng kích thƣớc. Ở đây, các quy luật của cơ học lƣợng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó
đặc trƣng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lƣợng bị biến đổi. Phổ năng lƣợng
bị gián đoạn dọc theo hƣớng tọa độ giới hạn. Do các tính chất quang, điện của hệ thấp
chiều biến đổi, đã mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện điện tử, ra đời nhiều
công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Ví dụ
nhƣ: các đi-ốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch… Trong các cấu trúc
thấp chiều đó, cấu trúc hố lƣợng tử thu hút đƣợc rất nhiều sự quan tâm của các nhà
vật lý lý thuyết và thực nghiệm. Trong các hệ này, sự giới hạn chuyển động của
các điện tử dẫn tới thay đổi hầu hết các tính chất của chúng. Từ đó, nhièu đặc
tính của hệ bán dẫn thấp chiều nhƣ: hấp thụ sóng điện từ [1-7-8-11], hiệu ứng
Hall[3-5],Hiệu ứng từ trở [14], và nhiều hiệu ứng khác[4-10-12-13-16-17],…
rất khác biệt so với các hiệu ứng tƣơng ứng trong các hệ bán dẫn khối đã đƣợc
nghiên cứu trƣớc đây.
Hiệu ứng Ettingshausen đã đƣợc nghiên cứu trong bán dẫn khối [15] là
một trong những hiệu ứng quan trọng. Nó là một hiệu ứng nhiệt điện từ gây ra
dòng điện trong vật dẫn khi từ trƣờng xuất hiện. Tuy nhiên, hiệu ứng này vẫn
chƣa đƣợc nghiên cứu trong các hệ bán dẫn thấp chiều nói chung và trong hố
1
lƣợng tử thế parabol nói riêng.
Do đó trong luận văn này, tơi chọn đề tài nghiên cứu hồn tồn mới:
“Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích Ettingshausen trong hố
lượng tử”
2. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Trong luận văn của chúng tơi đã sử dụng:
- Phƣơng pháp phương trình động lượng tử để xây dựng biểu thức giải tích
hệ số Ettinghaussen (EC) trong hố lƣợng tử thế parabol (cơ chế tán xạ điện tử phonon quang). Biểu thức này chỉ ra rằng EC phụ thuộc phức tạp và khơng tuyến
tính vào cƣờng độ E0 và tần số của laser, nhiệt độ T của hệ và các tham số của
dây lƣợng tử. Đây là phƣơng pháp đƣợc sử dụng nhiều và có những ƣu việt khi
nghiên cứu bán dẫn thấp chiều [2] .
- Ngồi ra, chúng tơi cịn sử dụng chƣơng trình Matlab để tính tốn số và đồ
thị sự phụ thuộc của EC vào tần số laser, nhiệt độ T của hố lƣợng tử GaAs/GaAsAl
nhằm minh họa về sự phụ thuộc phi tuyến của EC vào các đại lƣợng này từ tính
tốn lý thuyết ở chƣơng 2.
3. Cấu trúc của luận văn.
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận
văn gồm có 3 chƣơng, cụ thể:
Chƣơng 1: Hố lƣợng tử và hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối
Chƣơng 2: Hệ số Ettingshausen trong hố lƣợng tử
Chƣơng 3: Tính tốn số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết hệ số Ettingshausen
trong hố lƣợng tử GaAs/GaAsAl
4. Các kết quả thu đƣợc của luận văn.
- Thiết lập đƣợc phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong hố
lƣợng tử với thế Parabol khi có mặt một từ trƣờng và một điện trƣờng khơng đổi
E , H và một sóng điện từ mạnh (bức xạ laser kích thích).
- Xây dựng đƣợc biểu thức giải tích của Hệ số Ettingshausen trong hố lƣợng tử
với thế Parabol khi có laser kích thích (cơ chế tán xạ điện tử – phonon quang). Từ đó
kết luận hệ số EC phụ thuộc phức tạp và phi tuyến vào tần số và biên độ bức xạ laser,
2
tần số phonon và nhiệt độ của hệ.
- Các kết quả lí thuyết đă đƣợc tính tốn số và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc của hệ số Ettingshausen vào tần số laser và nhiệt độ T của hệ.
Các kết quả thu đƣợc trong luận văn là mới và có giá trị khoa học , góp phần
vào phát triển lí thuyết về hiệu ứng quang kích thích Ettingshausen trong bán dẫn
thấp chiều.
3
CHƢƠNG 1
HỐ LƢỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ETTINGSHAUSEN TRONG BÁN DẪN KHỐI
Sử dụng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử, xuất phát từ Hamiltonian
của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối dƣới tác động của điện, từ trƣờng khơng
đổi E , H và một sóng điện từ mạnh (bức xạ laser) E0 t , xây dựng phƣơng trình
động lƣợng tử cho hàm phân bố điện tử, từ đó tính tốn mật độ dịng và mật độ
thơng lƣợng nhiệt trong hiệu ứng Ettingshausen.
1.1. Hố lƣợng tử
1.1.1. Khái niệm về hố lượng tử:
Hố lƣợng tử (Quantum well) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều,
đƣợc cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc
tinh thể tƣơng đối giống nhau. Tuy nhiên, do các vật liệu khác nhau dẫn tới xuất
hiện độ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn giữa các vật liệu này. Sự khác biệt giữa cực
tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó gây ra một giếng thế
năng đối với các điện tử. Vì vậy trong cấu trúc hố lƣợng tử, các hạt tải điện bị định
xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các hố thế lƣợng tử hai chiều đƣợc tạo bởi
mặt dị tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau. Chuyển động
của điện tử theo một hƣớng nào đó bị giới hạn, phổ năng lƣợng của điện tử theo
phƣơng mà điện tử bị giới hạn chuyển động bị lƣợng tử hố, chỉ cịn thành phần
xung lƣợng của điện tử theo phƣơng điện tử đƣợc tự do là biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lƣợng tử do sự giam giữ điện tử là
mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu nhƣ trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật
độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật 1/2 (với là năng lƣợng của
điện tử), thì trong hố lƣợng tử cũng nhƣ các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái
bắt đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lƣợng thấp nhất và quy
luật khác 1/2 .
Các hố thế có thể đƣợc tạo nên bằng nhiều phƣơng pháp nhƣ epytaxy chùm
phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong
hố lƣợng tử phải phù hợp để có chất lƣợng cấu trúc hố lƣợng tử tốt.
4
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử với
thế parabol
Xét một cấu trúc hố lƣợng tử với thế giam giữ có dạng parabol (sau đây gọi
tắt là hố lƣợng tử parabol) lí tƣởng, giả thiết theo phƣơng z, đƣợc cho bởi
V ( z ) mez2 z 2 / 2 ,với z là tần số giam giữ đặc trƣng của hố lƣợng tử. Ta thấy rằng
thế giam giữ trong trƣờng hợp này códạng giống nhƣ trong bài tốn chuyển động
của dao động tử điều hịa. Vì vậy hàm sóng và phổ năng lƣợng của electron theo
phƣơng giam giữ có dạng hàm sóng và phổ năng lƣợng của dao động tử điều hịa.
Đặt hố lƣợng tử nói trên trong một từ trƣờng B (0,0, B) và điện trƣờng
E1 ( E1 ,0,0)
Chọn thế vector tƣơng ứng của tƣ trƣờng nói trên là A (0, Bx, 0) thì hàm
sóng đơn hạt và năng lƣợng tƣơng ứng của electron khi đó lần lƣợt cho bởi:
1
ik y
N ( x x0 )e y n ( z )
Ly
(r ) (N, n, k y )
(1)
c n vd k y 1 mevd2 ,
1
2
N , n (k y ) ( N )
N 0,1, 2...
2
Ở đây:
n ( z ) n
1
n n
2
1
n
2 n!
p
,
z
z2
exp 2
2 z
z
H n
z
(2)
n 0,1, 2,....
(3)
Với H n ( z ) là đa thức Hermite bậc n là
z
/ (me p )
(4)
1.2. Hiệu ứng Ettingshausen trong bán dẫn khối
1.2.1. Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối khi
có mặt trường điện từ không đổi và trường bức xạ cao tần (laser)
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối đặt trong một từ
trƣờng B (0,0, B) và điện trƣờng E1 ( E1 ,0,0) không đổi và một sóng điện từ mạnh
(bức xạ laser kích thích) E t E0cost , có dạng:
5
e
H p A t a p a p k bkbk
c
p
k
Ck a p k a p bk bk k a p k a p
p ,k
(5)
k
a p , a p ; bk , bk lần lƣợt là các toán tử sinh, hủy điện tử (phonon).
Trong đó :
p2
p p
là phổ năng lƣợng của điện tử.
2m
Ck là hằng số tƣơng tác điện tử - phonon.
A t là thế véc-tơ.
1 A t
E0 cos t .
c t
k là thế vô hƣớng k 2 i eE H k, h
3
k k .
Phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố điện tử n p t a p a p :
t
n p t
t
1
a p a p , H
i
(6)
t
Áp dụng các hệ thức giao hoán tử cho toán tử sinh hủy điện tử (phonon):
a , a a a
k
l
k l
al ak k ,l ;
ak , al ak , al 0
bk , bl bk bl blbk k ,l ; bk , bl bk , bl 0
e
e
* a p a p , p ' A t a p 'a p ' p ' A t a p a p a p 'a p ' a p 'a p 'a p a p
c
c
p'
p'
e
p ' A t a p p , p ' a p 'a p a p ' a p ' p , p ' a p a p ' a p
c
p'
e
p ' A t a p a p ' p , p ' a p 'a p p , p ' a p a p 'a p a p ' a p 'a p a p 'a p
c
p'
e
e
p ' A t a p a p ' p , p ' p ' A t a p 'a p p , p ' 0 (7)
c
c
p'
p'
6
* a p a p , k bkbk 0
k
(7)
* a p a p , Ck a p ' k a p ' bk bk Ck a p a p a p ' k a p ' a p ' k a p 'a p a p bk bk
p ', k
p ',k
Ck a p a p ' p , p ' k a p ' k a p p , p ' bk bk
p ', k
Ck a p a p k bk bk Ck a p k a p bk bk
k
k
Ck Fp , p k ,k Fp*k , p , k Fp k , p ,k Fp*, p k , k
k
với Fp , p ,k a p1 a p2 bk ;
1
(8)
Fp* , p ,k a p1 a p2 bk
2
1
2
*
a p2 a p1 bk
3
* a p a p , k a p 'k a p ' 2 i eE H k, h
k a p a p a p 'k a p ' a p 'k a p 'a p a p
k
k
k
3
2 i eE H k, h
k a p a p ' p , p ' k a p ' k a p p , p '
k
k
i eE H p, h
a p a p
(9)
p
Thay (7), (8), (9) vào (2) thu đƣợc:
n p t
t
eE H p, h
n p t
p
i Ck Fp k , p ,k t Fp*, p k , k t Fp , p k ,k t Fp*k , p , k t
k
Để tìm Fp , p
1
Fp , p ,k t
1
2
t
2
,k
t
ta thiết lập phƣơng trình động lƣợng tử:
1
a p a p b , H
i 1 2 k
(10)
t
e
* a p1 a p bk , p ' A t a p 'a p '
2
c
p'
e
p ' A t a p1 a p2 bk a p 'a p ' a p 'a p 'a p1 a p2 bk
c
p'
7
e
p ' A t a p1 a p 'bk p2 p ' a p 'a p2 bk p1 p '
c
p'
e
e
p2 A t p1 A t a p1 a p2 bk
c
c
e
p2 p1
p2 p1 A t Fp1 , p2 ,k
mc
(11)
Xem xét từ trƣờng là yếu H , không dẫn tới sự tách mức năng lƣợng của
điện tử thành các mini vùng Landau, ta có:
2
2
e
e
e
e
1
p2 A t p1 A t
p2 A t p1 A t
c
c
c
c
2m
1 2
e
e
2
p2 p1 A t
p2 p1 2 p2 p1 A t p2 p1
2m
c
mc
* a p1 a p2 bk , k 'bk'bk ' k 'a p1 a p2 bk bk'bk ' bk'bk 'bk
k'
k'
k 'a p1 a p2 bk'bk k ,k ' bk ' bk'bk 'bk
k'
k 'a p1 a p2 bk ' k ,k ' k a p1 a p2 bk k Fp p k
1 2
k'
* a p1 a p2 bk , Ck 'a p ' k 'a p ' bk ' bk '
p ', k '
Ck 'a p1 a p2 a p ' k 'a p 'bk bk ' bk ' Ck 'a p 'k 'a p 'a p1 a p2 bk ' bk ' bk
p ',k '
p ',k '
Ck 'a p1 p , p ' k ' a p ' k 'a p2 a p 'bk bk ' bk '
p ', k '
2
Ck 'a p ' k ' p ', p1 a p1 a p ' a p2 bk ' bk ' bk
p ', k '
Ck 'a p1 a p 'bk bk ' bk ' p , p 'k ' Ck ' a p 'k 'a p2 bk ' bk ' bk p ', p1
p ',k '
2
p ', k '
Ck 'a p1 a p ' k 'a p2 a p ' bk bk ' bk 'bk
p ',k '
8
Ck 'a p1 a p k 'bk bk ' bk ' Ck 'a p k 'a p2 bk ' bk ' bk
2
k'
1
k'
C k a p1 a p 'k a p2 a p '
(12)
p'
Trong phép lấy tổng trên ta chỉ xét các số hạng là trung bình số hạt điện
tử n p t a p a p và trung bình số hạt phonon
t
N k t bkbk và lƣu ý:
t
p2 p1 k , thu đƣợc:
Ck a p1 a p1 bk bk Ck a p2 a p2 bkbk C k a p1 a p2 a p2 a p1
Ck a p1 a p1 bk bk Ck a p2 a p2 bkbk Ck a p1 a p2 a p2 a p1 bk bk bkbk
Ck a p1 a p1 1 a p2 a p2 bk bk Ck a p2 a p2 1 a p1 a p1 bkbk
(13)
Bỏ qua số hạng thứ tƣ trong phép tính gần đúng.
Thay (9), (11), (12), (13) vào (8) thu đƣợc:
Fp , p ,k t
1
2
t
iCk
a
p2
e
i p1 p2
p1 p2 A t k Fp1 , p2 ,k t
mc
a p2
t
1 a
p1
a p1
t
bb
k k t
a p1 a p1
t
1 a
p2
a p2
t
bb
k k t
(14)
Phƣơng trình (14) là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một khơng thuần
Ft
M t Ft Nt
t
nhất, có dạng :
Ft 0
M t Ft 0 thu đƣợc
Ta giải phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng
t
t
Ft D.exp M t1 dt1
0
t
Biến thiên hằng số: Ft Dt F Dt .exp M t1 dt1 ta có:
t
0
t
t
t'
Dt
exp M t1 dt1 Nt . Suyra Dt dt 'Nt ' exp M t1 dt1
t
Ta thu đƣợc nghiệm
9
t
t'
t
t
t
Ft Dt F0t dt 'Nt ' exp M t1 dt1 .exp M t1 dt1 dt 'N t ' exp M t1 dt1
t '
Nhƣ vậy, nghiệm của (14) là:
t
Fp , p ,k t i dt 'Ck
1
2
a
p2
a p2
t'
1 a
p1
a p1
t'
bb
k k t'
a p1 a p1
t'
1 a
p2
a p2
t'
b b
k k t'
t
e
exp i p1 p2
p1 p2 A t1 k dt1
mc
t'
Ta có
(15)
cE
1 A t
E0 sin t . Suy ra A t 0 cos t . Do đó:
c t
t
ec
exp i p1 p2 p1 p2 A t1 k dt1
m
t'
t
e
exp i p1 p2
p1 p2 E0 cos t1 k dt1
m
t'
exp i p1 p2 k
t t ' exp mie p p E sin t sin t '
1
2
2
0
Áp dụng công thức exp i sin J exp i và đặt a
eE0
,
m2
thu đƣợc:
exp i p1 p2 k
t t ' J a p p J a p p expist ilt '
s
1
s ,l
2
l
1
2
J s a p1 p2 J l a p1 p2 exp i p1 p2 k l t t ' exp i l s t
s ,l
Khi đó, (15) trở thành:
t
Fp , p ,k t i dt 'Ck
1
2
a
p2
a p2
t'
1 a
p1
a p1
t'
bb
k k t'
a p1 a p1
t'
1 a
J s ak J l ak exp i p1 p2 k l t t ' exp i l s t
s ,l
Tƣơng tự:
10
p2
a p2
t'
b b
k k t'
(16)
t
*
p1 , p2 ,k
F
t i dt 'Ck
a a 1 a
p1
p1 t '
p2
a p2
t'
bb
k k t'
a p2 a p2
t'
1 a
p1
a p1
t'
b b
k k t'
J s ak J l ak exp i p2 p1 k l t t ' exp i l s t
s ,l
Từ (15), (16) ta tìm đƣợc biểu thức :
Fp k , p ,k t , Fp*, p k , k t , Fp , p k ,k t , Fp*k , p , k t
Và thay vào (7) thu đƣợc:
n p t
t
eE H p, h
n p t
p
Ck
2
t
J s ak J l ak expi l s t dt '
s ,l
k
n p t ' 1 n p k t ' N k t ' n p k t ' 1 n p t ' N k t ' 1
exp i p k p k l i t t '
n p t ' 1 n p k t ' N k t ' 1 n p k t ' 1 n p t ' N k t '
exp i p k p k l i t t '
n p k t ' 1 n p t ' N k t ' n p t ' 1 n p k t ' N k t ' 1
exp i p p k k l i t t '
n p k t ' 1 n p t ' N k t ' 1 n p t ' 1 n p k t ' N k t '
exp i p p k k l i
t t '
(16)
Phƣơngtrình (16) là phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố điện tử trong
bán dẫn khối khi có mặt trƣờng điện từ khơng đổi và trƣờng bức xạ cao tần (laser).
1.2.2. Mật độ dịng tồn phần trong bán dẫn khối
Sử dụng phƣơng pháp gần đúng lặp, ta thay n p t ' n p ; Nk t ' N k và thực
hiện phép tính tích phân:
t
dt 'exp i
p1
p2 k l i t t '
11
t
1 exp i p1 p2 k l i t t '
i
p1 p2 k l i
i p1 p2 k l i
Đồng thời ta chỉ xét l s , thu đƣợc:
n p
n p
eE H p, h
i Ck
t
p
k
n p k 1 n p N k n p 1 n p k
2
J ak
2
l
l
N 1 n 1 n N 1 n 1 n N
p k
k
p p k k l i
p
p k
p
k
k
p p k k l i
2
Thực hiện phép đổi chỉ số và lƣu ý Ck , J l2 ak là các hàm chẵn đối với k , l :
Đổi k k ở số hạng thứ hai và số hạng thứ tƣ.
Đổi l l ở số hạng thứ ba và số hạng thứ tƣ.
Sau đó nhóm số hạng thứ nhất với số hạng thứ tƣ, số hạng thứ hai với số
hạng thứ ba:
n p
n p
eE H p, h
i Ck
t
p
k
2
J ak
2
l
l
n 1 n
N k n p k 1 n p N k 1 n p k 1 n p N k 1 n p 1 n p k N k
p
pk
l
i
p p k k l i
p
pk
k
n p 1 n p k
N 1 n 1 n N
k
p k
p
p k p k l i
k
n p k 1 n p N k n p 1 n p k
N 1
p p k k l i
k
hay
n p
n p
eE H p, h
i Ck
t
p
k
2
J ak
2
l
l
n 1 n
N k n p k 1 n p N k 1 n p 1 n p k N k n p k 1 n p N k 1
p
pk
l
i
p k p k l i
p
pk
k
12
n p 1 n p k
N 1 n 1 n N
p k
k
p
k
p k p k l i
n p 1 n p k
N 1 n 1 n N
p k
k
p
p k p k l i
k
(17)
Áp dụng
1
X i X
i X . Suyra
1
1
2 i X
X i X i
Do vậy phƣơng trình trên trở thành:
n p
n p
eE H p, h
2 Ck
t
p
k
2
J ak
2
l
l
n p k 1 n p N k 1 n p 1 n p k N k p k p k l
n p k 1 n p N k n p 1 n p k
N 1
k
p k
p k l
(18)
Phƣơng trình động lƣợng tử (18) gần đúng trong từ trƣờng yếu (từ trƣờng
không ảnh hƣởng lên phổ năng lƣợng điện tử, lên hệ số tƣơng tác điện tử-phonon).
Xét trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon âm k ;k kT ;k . Khi
đó, ta thực hiện việc đổi chỉ số k k ở số hạng thứ hai, và phƣơng trình (17) trở
thành:
n p t
t
eE H p, h
n p t
p
2 Ck
2
2N
2N
k
1 J l2 ak
l
k
n p k n p p k p l
Đặt W k 2 Ck
2
(19)
1 , trong đó Ck khơng phụ thuộc vào từ trƣờng, ta thu
2
k
đƣợc phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối với
trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon âm:
n
p n p
eE H p, h , p W k
m r
p k
J ak n
2
l
l
pk
n p p k p l
(20)
Với H
H
eH
là tần số Cyclotron, h là véc-tơ đơn vị dọc theo chiều từ trƣờng.
H
m
13
Trong phép xấp xỉ tuyến tính qua cƣờng độ của trƣờng ngoài, ta chỉ
lấy l 0, 1với
J 02 x 1 x 2 / 2; J12 x x 2 / 4 .
Ta nhânhaivếcủa (12) với
R
e
p p rồi lấy tổng theo p thu đƣợc:
m
H h , R Q S
(21)
Trong đó: là thời gian phục hồi xung lƣợng của điện tử.
R
e
pn p p
m p
(22)
Q
n
e
p F , p p
m p
p
S
e
W k
4m k
ak n 2
pk p
* Tính:
(23)
2
p
pk
p pk p
p
p k p (24)
pk
p
n
e
p p H p, h , p
m p
p
(24)
Áp dụng
a a a a a a
và
a.b ab ba ab a.b ba
thu đƣợc
n e
e
p p H p, h , p p p H p, h , p n p
m p
p m p
e
p p p npH p, h np p H p, h
m p
e
p p p npH p, h 0
m p
14
e
p p pnpH p, h npH p, h p p
m p
e
e
p 0 n pH p, h .1 H h , pn p p
m p
m p
H h , R
(25)
*) Giải phƣơng trình (22):
Nhân trái, có hƣớng hai vế của (14) với H h ta có:
H h , R H2 h , h , R H h , Q S
(26)
Biến đổi:
h , h , R h h , R R h , h h h , R R
(27)
Nhân trái, vô hƣớng hai vế của (13) với h , sau đó lại nhân với h ta có :
h h , R H h h , h , R h h , Q S
(28)
Thay (28) vào (27) rồi thay (27) vào (26) và lƣu ý h , h , R 0 thu đƣợc:
H h , R H2 h h , Q S R H h , Q S (29)
Trừ vế với vế của (23) cho (29) ta đƣợc:
R
H2 h h , Q S R Q S H h , Q S
Suy ra:
Q S H h , Q S
R
2 2
2 2
1 H h h , Q S
H
(30)
*) Biểu thức mật độ dịng tồn phần:
j
hay
e
pnp
m p
0
e
pnp p d
m p
j L0 Q L0 S
R d
(31)
0
(32)
15
1 A h , A
d .
với L0 A
2
H
0
2
H
H
2
2
h h , A
(33)
Ta tìm hàm phân bố khơng cân bằng của điện tử dƣới dạng:
n p f0 n, p f1 n, p ; f1 n, p f 0 n, p
n p f0 n, p p n, p f0' n, p
Trong đó f 0 n, p là hàm phân bố cân bằng của điện tử.
F H h , F H2 2 h , h , F
2 2
m 1 H
* Tính Q
Từ (15) ta tính Q trong phép xấp xỉ tuyến tính qua cƣờng độ trƣờng ngồi
n p
e
e 4
Q p F ,
Fpf 0' p p p p 2 dp
p
3
m p
p
m 2
p
F 2m
e 1
m 2 2
3/2
p
f 0' p p d p
0
e
2 m
2
F 2m
3/2
f 0'
(34)
* Tính S
Từ (16) ta có: Si SA SB
SA
n 2
e
W k
4m k
ak
ak
p
pk
2
p p k pk
p
e
W k
4m k
2
ki k j
'
p
f
p
j
n
,
p
0
n
,
p
ij
2 2
mk
1
p k p k p p 2 dp
e
W k ak
4m k
2
1
2 2
2m
p
0
3/2
ki k j
j n, p f n, p ij
1/2
m
2
m
k
p
'
0
p k p k p md p
16
ak
em3/2
W k
2 2 2 k
SB
2
e
W k ak
4m k
e 2m
2 2
3/2
j f 0' ij
ak n 2
e
W k
4m k
e
W k ak
4m k
3/2
2
p
2
2
2
p f
j
n, p
'
0
n, p
1
2
p p p
p
1
2
pk
2
2m
3/2
p
ij
p p p k p p 2 dp
j n, p f 0' n, p ij p p k p md p
0
ak
1
W k
4 k
2
k
m 2m k
2m
ki k j
2
3/2
k2
j f ij
2m
'
0
Ta viết lại:
e 2m
Si
2 2
3/2
3/2
j f 0' ij 3/2 j f 0' ij
(35)
Trong đó:
ij
1
W k
4 k
ak
2
k2
ak ij
2m
1
ij W k
4 k
2
ki k j
k
ij
m 2m k
2m
2
(36)
(37)
Xét khí điện tử suy biến hoàn toàn, hàm phân bố cân bằng của điện tử có
dạng:
f0 p F p . Khi đó f0' p F p p F
Thay vào (28) và (29) ta thu đƣợc các biểu thức của Qi , Si :
Q
e
2 m
2
e 2m
Si
2 2
F 2m F
3/2
3/2
3/2
(38)
j F ij 3/2 j F ij (39)
Thay (38), (39) vào (25) và lấy tích phân ta thu đƣợc: (ở đây ta kí
hiệu F )
17
L0 Q
0
e 2m
2 2 m
e 2m F
L0 Qi
2 2 m
3/2
d .
F H h , F H2 2 h h , F F
2 2
1 H
3/2
Fj H h , F H2 2 h j h , F
2 2 ij
j
1 H
Do Fj jk Ek nên ta biểu diễn h , F jpk hp Fk e jkp hp Ek và
j
h j h , F h j hk Fk eh j hk Ek , thu đƣợc:
e2 2m F
L0 Qi
2 2 m
L0 Si
0
3/2
H jkp hp H2 2 h j hk Ek
2 2 ij jk
1 H
(40)
e 2m F3/2 d .
il H ilm hm H2 2 hi hl
2
2 2
2
1 H
3/2
lj lj F j
Từ (20): j j F
e
H jkp hp H2 2 h j hk Ek , thu đƣợc
2 2 jk
m 1 H
e2 2m F
L0 Si
2 2 m
3/2
il
H ilm hm H2 2 hi hl
lj
lj
H jkp hp H2 2 h j hk Ek (41)
2 2
2 2
2 2 jk
1 H
1 H
1 H
F F
1/2
với:
Thay (32), (33) vào (34) và biểu diễn ji ik Ek ik Tk ta tìm đƣợc biểu
thức của ten-xơ độ dẫn:
e2 2m F
ik
2 2 m
3/2
il H ilm hm H2 2 hi hl lj
ij
2 2
1 H
2
2 2
h
h
h
H ilm hm
jk
H
jkp
p
H
j
k
2 2 il
1 H2 2
1 H
H2 2 hi hl lj jk H jkp hp H2 2 h j hk
18
(42)
e 2m F
ik
2 2 mT
3/2
( F )
()
il H () ilm hm H2 2 ()hi hl lj ]
[ ij
2 2
1 H ()
H jkp hp H2 2 h j hk
2 2 jk
1 H
2
( F )
H ilm hm H2 2 hi hl )jk
2 2 il
1 H
jk
H jkp hp H2 2 h j hk
(43)
Giả thiết E Ex ,0,0 ; h 0,1,0 )
Ta biểu diễn lại:
e2 2m F
ik
2 2 m
3/2
H ikp hp H2 2 hi hk
2 2 ik
1 H
H ilm hm H2 2 hi hl lj
2 2
2 2 il
1 H 1 H
2
jk H jkp hp h j hk
H ilm hm
2 2 il
1 H
2
H
2
H2 2 hi hl lj jk H jkp hp H2 2 h j hk
e2 2m F
ik
2 2 mT
3/2
(44)
()
il H ilm hp H2 2 hi hl lj
2 2
1 H ()
H jkp hp H2 2 h j hk
2 2 jk
1 H
(45)
1.2.3. Mật độ thông lượng nhiệt trong bán dẫn khối
1
Biểu thức mật độ thơng lƣợng nhiệt có dạng: qe ( F ) R( )d
e0
Tính tƣơng tự nhƣ ở phần 2, nhƣng các biểu thức tƣơng ứng
nhânvới ( F ) vào các biểu thức (22), (23) ta thu đƣợc
qe
(r )
ik H (r) ik h H2 2 (r )hi hk k
2 2
e 1 H ( r )
19
en
F
e
.
H (r) ik h H2 2 (r )hi h
2 2 ik
1 H
ik Fj H (r) h, F ( ) H2 2 h h, F ( )
en F
.
Fj H (r) h, F ( ) H2 2 h h, F ( )
2 2
2 2
m 1 H m e 1 H
Biểudiễn qi ik Ek ik Tk ta tìmđƣợcbiểuthứccủa ten-xơđộdẫn:
ik
3 (2m F )3/2
2 2 mT
il H ilm hm H2 2 hi hl lj
2 2
1 H
H jkp hp H2 2 h j hk
2 2 jk
1 H
(46)
1.2.4. Hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối
Biểu thức hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối có dạng:
P
xx xy xy xx
1
H xx xx xx xx xx K L
(47)
Từ biểu thức (43), đặt :
e2 n
0
; H ; H () ; ik ik () ; ik ik
m
(48)
Khi đó:
ik
0
1
{[ ij
( il ilm hm 2 hi hl ) lj ]( jk ikp hp 2 h j hk )
2
2
1
1
1
1
{[ il
( il ilm hm 2 hi hl ) lj ]( jk ikp hp 2 h j hk )
2
2
1
1
Hay ta có thể viết:
xx
0
1
{[ xj
( xl ilm hm 2 hi hl ) lj ]( jx ixp hp 2 h j hx )
2
2
1
1
1
1
{[ il
( xl xlm hm 2 hx hl ) lj ]( jx ixp hp 2 h j hx )
2
2
1
1
Chọn: hx hz 0 ; hy h 1
20
