Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý về sự phân nhánh nghiệm của phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phan Hữu Hớn

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNH
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH


Phan Hữu Hớn

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNH
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60 46 01.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tơi kính xin gửi đến Thầy PGS. TS. Nguyễn Bích Huy lời cảm ơn
chân thành vì đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tơi trong suốt thời gian làm luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Thành
phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã
tận tình giảng dạy và hướng dẫn tơi trong suốt khóa học.
Tơi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các bạn học viên cao học Tốn
Giải tích K19 và gia đình đã ln động viên, khuyến khích và giúp đỡ tơi trong thời
gian tôi học tập và làm luận văn.
Do kiến thức bản thân tơi cịn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự nhận xét và chỉ bảo của Q Thầy Cơ và sự góp
ý chân thành của các bạn đồng nghiệp.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 20/08/2011
Học viên cao học khố 19
Phan Hữu Hớn


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................. 3
MỤC LỤC ................................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 5
1.Lý do chọn đề tài .................................................................................................... 5
2.Mục tiêu của đề tài ................................................................................................. 5
3.Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 5
4.Nội dung luận văn .................................................................................................. 5

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................. 7
1.1.Đạo hàm Fréchet ................................................................................................. 7

1.2.Công thức Taylor................................................................................................. 7
1.3.Định lý hàm ẩn .................................................................................................... 8
1.4.Bổ đề Whyburn (xem tài liệu tham khảo [3]) .................................................... 8
1.5.Định lý mở rộng Dugundji .................................................................................. 8
1.6.Bậc tôpô của ánh xạ compắc ............................................................................... 8

Chương 2. SỰ PHÂN NHÁNH TỪ GIÁ TRỊ RIÊNG ĐƠN ............... 12
2.1.Phép chiếu Liapunov-Schmit ............................................................................ 12
2.2.Định lý Crandal-Rabinowitz ............................................................................. 14
2.3.Ứng dụng ........................................................................................................... 15

Chương 3. SỰ PHÂN NHÁNH TOÀN CỤC ......................................... 18
3.1.Nguyên lý nối dài .............................................................................................. 18
3.2.Định lý hàm ẩn toàn cục .................................................................................... 21
3.3.Định lý Rabinowitz về sự phân nhánh toàn cục ................................................ 23

Chương 4. SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM DƯƠNG ............................ 26
4.1.Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón ..................................................... 26
4.2.Định lý phân nhánh nghiệm dương ................................................................... 31

KẾT LUẬN ............................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 40


MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Các hệ thống trong tự nhiên hoặc xã hội được phát triển dưới tác động của
nhiều yếu tố. Khi tác động các yếu tố này đạt tới một ngưỡng nào đó thì trong sự phát
triển của hệ thống xảy ra một đột biến lớn. Phát biểu ở dạng tốn học, ta có một họ
phương trình dạng F ( x,λ ) = 0 phụ thuộc tham số λ thuộc một khơng gian L nào đó

và ∀λ ∈ L , phương trình có nghiệm tầm thường 0 nhưng tồn tại λ0 sao cho trong lân
cận ( λ0 − ε ; λ0 + ε ) có thêm nghiệm x ( λ ) ≠ 0 . Ta nói họ nghiệm ( x ( λ ) , λ ) phân

nhánh từ họ nghiệm tầm thường ( 0, λ ) tại điểm ( 0, λ0 ) và λ0 gọi là điểm phân nhánh.
Nghiên cứu sự phân nhánh của các phương trình phi tuyến được bắt đầu từ
những năm 1930, được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Chúng ta tìm được
các ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu, phân tích nhiều hiện tượng của tự
nhiên và xã hội.
2.Mục tiêu của đề tài
• Trình bày một cách hệ thống, chi tiết một số định lý cơ bản về sự phân nhánh
nghiệm, như định lý Crandal-Rabinowitz; định lý Krasnoselskii; định lý Rabinowitz.
• Giới thiệu các phương pháp khác nhau nghiên cứu sự phân nhánh.
• Xét một số ứng dụng đơn giản.
3.Phương pháp nghiên cứu
Chỉ nghiên cứu về mặt lý thuyết. Từ các tài liệu do giảng viên hướng dẫn giới
thiệu và học viên tự tìm; học viên tự tìm hiểu vấn đề và trình bày kết quả theo hiểu
biết của mình một cách chi tiết, theo hệ thống khoa học.
Các phương pháp chứng minh cụ thể: sử dụng định lý hàm ẩn, bậc tôpô.
4.Nội dung luận văn
Nội dung luận văn gồm 4 chương:
Chương 1. Trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau như: đạo hàm
Fréchet, công thức Taylor (trong không gian Banach), định lý hàm ẩn, bổ đề
Whyburn, định lý mở rộng Dugundji và các kết quả về bậc tơpơ của ánh xạ compắc.
Chương 2. Trình bày về sự phân nhánh nghiệm của phương trình
F ( 0 ,λ ) = 0 ,∀λ ∈  từ giá trị riêng đơn.
Phần 2.1 trình bày phép chiếu Liapunov-Schmit để từ đó nhờ Bổ đề 2.1.2, ta sẽ
tìm được nghiệm khơng tầm thường của phương trình F ( u,λ ) = 0 ngay lập tức.
Phần 2.2 trình bày định lý Crandal-Rabinowitz.
Phần 2.3 trình bày một ứng dụng của định lý Crandal-Rabinowitz vào bài tốn
tìm điểm phân nhánh của phương trình vi phân thường với điều kiện biên tuần hoàn.

Chương 3. Trình bày về tính đồng ln của bậc Leray-Schauder liên quan
đến mặt trụ đồng luân có biến là thiết diện và từ đó đi đến nguyên lý nối dài LeraySchauder và một áp dụng của nó; trình bày định lý hàm ẩn tồn cục, từ đó đi đến sự
mở rộng của định lý phân nhánh địa phương ở Chương 2, đó là định lý Rabinowitz
về sự phân nhánh toàn cục và ứng dụng của định lý này.
Chương 4. Trình bày các khái niệm về nón và các kết quả thu được trong
không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón. Định lý về sự phân nhánh nghiệm dương
và một ứng dụng của nó.
Trong luận văn này, một số kết quả sử dụng sẽ được phát biểu dưới dạng định
lí hoặc bổ đề mà khơng chứng minh.
Các ký hiệu được dùng trong luận văn
L(X,Y) : không gian các hàm số tuyến tính liên tục từ X vào Y.
L(X) = L(X,X).
I : ánh xạ đơn vị trên không gian Banach X.
C(X,Y) : không gian các hàm số liên tục từ X vào Y.
C k ( Ω ) : không gian các hàm số khả vi liên tục cấp k trên Ω .
∂Ω : biên của tập Ω .
span { x1 ,...,x2 } : không gian sinh bởi x1 ,...,x2 .
co { x1 ,...,x2 } : bao lồi của các điểm x1 ,...,x2 .
T K : ánh xạ T hạn chế trên tập K.
B ( x0 ,r=
)

{x :

x − x0 < r} : quả cầu tâm x0 bán kính r.

o ( x ) : vô cùng bé theo x .

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.Đạo hàm Fréchet
Cho E và X là các không gian Banach, U là một tập mở con của E, x0 ∈U và
hàm số Ùf :U → X . Khi đó:
+ f được gọi là khả vi Fréchet (F-khả vi) tại x0 nếu tồn tại T ∈ L ( E,X )
(không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào X) sao cho với mọi h ∈ E mà
x0 + h ∈U , ta có
với o ( h

) thoả

lim

h →0 E

f ( x0 + h ) − f ( x0 =
) T (h) + o( h

o( h

) =0

h

X

)

.

Ánh xạ T nếu tồn tại sẽ duy nhất. Đặt f ' ( x ) = T và gọi là đạo hàm Fréchet của
f tại x0 .
+ f ' được gọi là khả vi Fréchet (F-khả vi) tại x0 nếu tồn tại

B ∈ L ( E,L ( E,X ) ) (không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào L ( E,X ) ) sao
cho với mọi h ∈ E mà x0 + h ∈U , ta có
f ' ( x0 + h ) − f ' ( x0 =
) B (h) + o( h )

với o ( h

) thoả

lim

h →0 E

o( h

) =0

h

L( E ,X )

.

Ánh xạ B nếu tồn tại sẽ duy nhất. Đặt f (
bậc hai của f tại x0 .

2)

( x) = B

và gọi là đạo hàm Fréchet

Bằng cách tương tự ta có đạo hàm bậc cao k của f tại x0 là f (

k)

( x0 ) .

1.2.Công thức Taylor
Cho E và X là các không gian Banach, U là một tập mở con của E, x0 ∈U và
hàm số Ùf :U → X khả vi bậc m. Khi đó, với mọi h ∈ E sao cho x0 + th ∈U với mọi
t ∈ [ 0 ,1] , ta có
f ( x=
0 + h ) − f ( x0 )

( )

với o h

k

thoả lim

h →0

( ) = 0; f

1

∑ k ! f ( ) ( x )(h)
k

0

k =1

k

( )

+o h

k

k

o h
h

m

k

(k )

( x0 ) ( h )

k

:= f (

k)

( x0 ) ( h,...,h ) (k lần h)


1.3.Định lý hàm ẩn
Cho X, Y, Z là không gian Banach, U ⊂ X ,V ⊂ Y lần lượt là hai lân cận của
x0 và y0 ; F :U × V → Z liên tục và có đạo hàm riêng theo biến y liên tục. Giả sử
F ( x0 ; y0 ) = 0 Z và F −1 y ( x0 ; y0 ) ∈ L ( Z ,Y ) . Khi đó, tồn tại quả cầu đóng
B ( x0 ,r ) ⊂ U ,B ( y0 ,δ ) ⊂ V và một ánh xạ duy nhất T : B ( x0 ,r ) → B ( y0 ,δ ) sao cho
Tx0 = y0 và F ( x;Tx ) = 0 trên B ( x0 ,r ) . Ánh xạ T này liên tục.

1.4.Bổ đề Whyburn (xem tài liệu tham khảo [3])
Cho A và B là các tập con đóng, rời nhau của khơng gian tơpơ compắc X. Khi
đó, hoặc
(i)
tồn tại một tập đóng, liên thơng C AB ⊂ X sao cho
A ∩ C AB ≠ ∅ ≠ B ∩ C AB ,
hoặc
(ii) tồn tại hai tập đóng, rời nhau DA ,DB ⊂ X sao cho
A ⊂ DA , B ⊂ DB , DA ∪ DB =
X.
1.5.Định lý mở rộng Dugundji
Cho E và X là các không gian Banach, C là một tập đóng trong E, K là một tập

lồi trong X và f : C → K là một ánh xạ liên tục.
Khi đó, tồn tại một ánh xạ liên tục f : E → K sao cho
f ( u ) f ( u ) ,u ∈ C .
=

1.6.Bậc tôpô của ánh xạ compắc
Định nghĩa 1.6.1. Cho Ω là một tập mở, bị chặn trong  n và f : Ω →  n là một
ánh xạ thoả
• f ∈ C1 ( Ω , n ) ∩ C Ω , n ,

(

)

• y ∈  n sao cho y ∉ f ( ∂Ω ) ,
• Nếu x ∈ Ω mà f ( x ) = y thì f ' ( x ) = Df ( x ) không suy biến.
Ta định nghĩa:
k

• d ( f ,Ω , y ) =
∑ sgn det f ' ( xi ) , với x1 ,...,xk là nghiệm của f ( x ) = y trong
Ω và

i =1

+
 1 neáu det f ' ( xi ) > 0
=
sgn  det f ' ( xi )  =
,i 1,...,k

−
1
neá
u
det
f
'
x
<
0
( i)



• d ( f ,Ω , y ) =
0 nếu phương trình f ( x ) = y vơ nghiệm trên Ω .
và ta gọi d ( f ,Ω , y ) là bậc tôpô của ánh xạ f trên Ω tại y.
Định nghĩa 1.6.2. Cho E là một không gian Banach thực với chuẩn . và Ω ⊂ E là

( )

một tập mở, bị chặn. Lấy F : Ω → E liên tục và F Ω chứa trong một khơng gian
con hữu hạn chiều của E. Khi đó, ánh xạ
f ( x) =
x + F ( x) =
( I + F )( x )
được gọi là một nhiễu loạn hữu hạn chiều của ánh xạ đồng nhất trên E.
Định nghĩa 1.6.3. Ánh xạ F : Ω → E được gọi là hoàn toàn liên tục (hay ánh xạ

( )

( )

compắc) nếu F liên tục và F Ω là tiền compắc (tức là F Ω compắc).
Định nghĩa 1.6.4. Cho E là một không gian Banach thực với chuẩn . và Ω ⊂ E là
một tập mở, bị chặn. Lấy F : Ω → E hồn tồn liên tục. Khi đó, ánh xạ
f ( x) =
x + F ( x) =
( I + F )( x )
được gọi là một nhiễu loạn hoàn toàn liên tục của ánh xạ đồng nhất trên E.
Bổ đề 1.6.1. Cho f : Ω → E là một nhiễu loạn hoàn toàn liên tục của ánh xạ đồng
nhất và y ∉ f ( ∂Ω ) . Khi đó, tồn tại một số ngun d thoả tính chất sau:
Nếu h : Ω → E là một nhiễu loạn liên tục hữu hạn chiều của ánh xạ đồng nhất
sao cho
sup f ( x ) − h ( x ) < inf f ( x ) − y
x∈Ω

thì y ∉ h ( ∂Ω ) và d ( h,Ω , y ) =
d.

x∈∂Ω

Bổ đề 1.6.2.
• Pε : M → co { y1 ,..., yn } liên tục.

• Pε ( M ) chứa trong một không gian con hữu hạn chiều của E.
• Pε y − y ≤ ε , y ∈ M .

Cho E là một không gian Banach thực với chuẩn . , M là một tập con compắc
của E. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại một phủ hữu hạn của M gồm các quả cầu có tâm

y1 ,..., yn ∈ M , bán kính ε .
Lấy ánh xạ µi : M → [ a,∞ ) xác định bởi
ε − y − yi neáu y − yi ≤ ε
µi ( y ) = 
nếu y − yi > ε
0

và


λi ( y )
=

µi ( y )
n

∑ µ ( y)
j =1

,

1≤ i ≤ n .

j

Do tất cả µi ,i = 1,...,n không đồng thời triệt tiêu nên λi ( y ) không âm và liên
tục trên M, hơn nữa

n

∑ λ ( y ) = 1.
i

i =1

Định nghĩa 1.6.5.
Toán tử Pε được gọi là một toán tử chiếu Schauder trên M xác định bởi ε và
y1 ,..., yn ∈ M nếu
n

Pε ( y ) = ∑ λi ( y ) yi .
i =1

Bổ đề 1.6.3. Cho f : Ω → E là một nhiễu loạn hoàn toàn liên tục của ánh xạ đồng
nhất và y ∉ f ( ∂Ω ) . Lấy ε > 0 sao cho ε < inf f ( x ) − y . Lấy Pε là một toán tử
x∈∂Ω

chiếu Schauder được xác định bởi ε và các điểm y1 ,..., yn ∈

(f

( )

− I ) Ω . Khi đó,

d ( I + Pε F ,Ω , y ) =
d , ở đây d là một số nguyên được xác định bởi bổ đề 1.6.1.

Định nghĩa 1.6.6. Số nguyên d được xác định bởi bổ đề 1.6.3 được gọi là bậc LeraySchauder của f trên Ω tại điểm y và được ký hiệu là: d ( f ,Ω , y ) .
Mệnh đề 1.6.1 (Nguyên lý bất biến đồng luân)

Cho f ,g ∈ C Ω ,E với f ( x ) và g ( x )

(

h : [ a,b ] × Ω → E

)

liên

tục

sao

cho

khác y, với

x ∈ ∂Ω . Lấy

h ( t,x ) ≠ y,( t,x ) ∈ [ a,b ] × ∂Ω

và

h=
( a,x ) f ( x ) ;h=
( b,x ) g ( x ) ,x ∈ Ω . Khi đó,

d ( f ,Ω , y )= d ( g ,Ω , y ) và d ( h ( t,.) ,Ω , y ) =
constant với a ≤ t ≤ b .

Mệnh đề 1.6.2 (Nguyên lý cắt (khoét))
Cho f ∈ C Ω ,E và K là một tập con, đóng của Ω sao cho y ∉ f ( ∂Ω ∪ K ) .

(

Khi đó,

)

d ( f ,Ω , y )= d ( f ,Ω \ K , y ) .

Mệnh đề 1.6.3 (Cơng thức tích Đềcác)
Giả sử Ω = Ω1 × Ω2 là một tập mở, bị chặn trong E với Ω1 mở trong E1 và Ω2
mở trong E1 , dim E1 + dim E2 =
dim E . Với x ∈ E ta viết x = ( x1 ,x2 ) , x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 .


Giả sử
=
y

f ( x ) = ( f1 ( x1 ) , f 2 ( x2 ) ) ở đây

( y1 , y2 ) ∈ E

f1 : Ω1 → E1 ;

f 2 : Ω2 → E2 liên tục và

sao cho yi ∉ fi ( ∂Ωi ) , i = 1,2 . Khi đó,
d ( f ,Ω , y )= d ( f1 ,Ω1 , y1 ) d ( f 2 ,Ω2 , y2 )


Chương 2. SỰ PHÂN NHÁNH TỪ GIÁ TRỊ RIÊNG ĐƠN

2.1.Phép chiếu Liapunov-Schmit
Cho X, Y là hai không gian Banach thực, ánh xạ F : X ×  → Y thoả các điều
kiện sau:
• F ( 0 ,λ ) = 0 ,∀λ ∈ 

• F thuộc lớp C 2 trong lân cận của {0} × 
Khi đó, theo định lý hàm ẩn sẽ tồn tại nghiệm không tầm thường (tức là u ≠ 0 ) của
phương trình
(2.1)
F ( u,λ ) = 0
Ta gọi λ0 là giá trị phân nhánh hoặc ( 0,λ0 ) là điểm phân nhánh của phương
rình (2.1) nếu mọi lân cận của ( 0,λ0 ) trong X ×  chứa nghiệm của (2.1) với u ≠ 0 .
Định nghĩa.
Ánh xạ tuyến tính L : X → Y được gọi là ánh xạ Fredholm nếu các điều kiện
sau đây được thoả mãn:
• dim ( KerL ) < +∞
• Im L là tập đóng trong Y.
• dim ( CokerL ) < +∞
Bổ đề 2.1.1. Cho Fu ( 0 ,λ0 ) là ánh xạ Fredholm từ X vào Y với nhân là V và đối nhân
là Z. Khi đó, tồn tại một khơng gian con đóng W của X và một khơng gian con đóng T
của Y sao cho
X= V ⊕ W ,
Y= Z ⊕ T .
Ánh xạ Fu ( 0 ,λ0 ) thu hẹp lên W, tức là Fu ( 0 ,λ0 ) W :W → T là song ánh và có

hàm ngược liên tục. Do đó, Fu ( 0 ,λ0 ) W là một đồng cấu tuyến tính từ W vào T.
Từ Bổ đề 2.1.1, ta suy ra: ∀u ∈ X và F duy nhất phân tích như sau:
u=
u1 + u2 ,u1 ∈V ,u2 ∈ W,
F=
F1 + F2 ,F1 : X → Z ,F2 : X → T .
Do đó, phương trình F ( u,λ ) = 0 tương đương với hệ phương trình sau:

 F1 ( u1 ,u2 ,λ ) = 0 ,

 F2 ( u1 ,u2 ,λ ) = 0.
Đặt L = Fu ( 0 ,λ0 ) . Dùng khai triển Taylor ta có thể viết:


F ( u,λ ) =
F ( 0 ,λ0 ) + Fu ( 0 ,λ0 ) u + N ( u,λ )

hay

Lu + N ( u,λ ) =
0

(2.2)
(2.3)

với N : X ×  → Y
Dùng phân hoạch của X ta có thể viết (2.2) là:
(2.4)
Lu2 + N ( u1 + u2 ,λ ) =
0

Đặt Q : Y → Z và I − Q : Y → T là các phép chiếu được xác định bởi tốn tử phân
hoạch . Khi đó, (2.3) suy ra
(2.5)
QN ( u,λ ) = 0
Từ Bổ đề 2.1.1, L W :W → T có ánh xạ ngược là L−1 : T → W , ta có (2.4) tương
đương với hệ
u2 + L−1 ( I − Q ) N ( u1 + u2 ,λ ) =
0
Do Z là hữu hạn chiều nên phương trình (2.5) là một phuơng trình trong khơng
gian hữu hạn chiều, do vậy, nếu u2 được xác định như là một hàm số của u1 và λ thì
phương trình (2.5) này sẽ là một tập hợp hữu hạn các phương trình hữu hạn biến
( u1 ∈V , với V là hữu hạn chiều).
Liên quan đến phương trình (2.5), chúng ta xét kết quả sau
Bổ đề 2.1.2. Giả sử Fu ( 0 ,λ0 ) là một ánh xạ Fredholm với W khơng tầm thường. Khi
đó tồn tại ε > 0 ,δ > 0 và một nghiệm duy nhất u2 ( u1 ,λ ) của phương trình
u2 + L−1 ( I − Q ) N ( u1 + u2 ,λ ) =
0 sao cho

λ − λ0 + u1 < ε với u2 ( u1 ,λ ) < δ .

Hàm số u2 = u2 ( u1 ,λ ) này được giải từ phương trình F2 ( u1 ,u2 ( u1 ,λ ) ,λ ) = 0 .
Chứng minh
Dùng
định
lý
hàm
ẩn
để
phân
tích

phương
trình
−1
u2 + L ( I − Q ) N ( u1 + u2 ,λ ) =
0 như sau:
Do đạo hàm Fréchet Fu2 ( 0 ,λ0 ) là ánh xạ đơn vị trên W nên theo Bổ đề 2.1.1, ta

có Fu2 ( 0 ,λ0 ) là một đồng cấu tuyến tính, và do F ( 0 ,λ0 ) = 0 nên theo Định lý hàm
ẩn, tồn tại ε > 0 ,δ > 0 và tồn tại duy nhất u2 = u2 ( u1 ,λ ) sao cho:

u2 ( u1 ,λ ) < δ ; u2 = u2 ( 0 ,λ0 ) ; F ( u1 + u2 ( u1 ,λ ) ,λ ) =
0 với ( u1 ,λ ) thuộc lân

cận của ( 0,λ0 ) hay λ − λ0 + u1 < ε .
Suy ra: tồn tại nghiệm duy

u2 + L−1 ( I − Q ) N ( u1 + u2 ,λ ) =
0 sao cho

nhất

u2 ( u1 ,λ )

của

phương

λ − λ0 + u1 < ε với u2 ( u1 ,λ ) < δ (do chứng minh trên).

trình

Do F ( u1 + u2 ( u1 ,λ ) ,λ ) =
0 với λ − λ0 + u1 < ε và do u2 ( u1 ,λ ) < δ nên phương

trình F2 ( u1 ,u2 ( u1 ,λ ) ,λ ) = 0 có nghiệm u2 = u2 ( u1 ,λ ) thoả u2 ( u1 ,λ ) < δ . Bổ đề
được chứng minh. □
Do vậy, dùng Bổ đề 2.1.2, ta sẽ tìm được nghiệm khơng tầm thường của
phương
trình
F ( u,λ ) = 0
ngay
lập
tức,
bằng
cách
ta
giải
F1 ( u1 ,u2 ( u1 ,λ ) ,λ ) =
QF ( u1 + u2 ( u1 ,λ ) ,λ ) =
0 sẽ

cho

u1

với

điều

kiện

là

λ − λ0 + u1 < ε .
2.2.Định lý Crandal-Rabinowitz
Trong phần này chúng ta sẽ phân tích phương trình phân nhánh
F1 ( u1 ,u2 ( u1 ,λ ) ,λ ) =
QF ( u1 + u2 ( u1 ,λ ) ,λ ) =
0 trong trường hợp riêng là nhân V và đối

nhân Z của Fu ( 0 ,λ0 ) đều có số chiều là 1.

Định lý. Giả sử nhân V và đối nhân Z của Fu ( 0 ,λ0 ) đều có số chiều là 1. Đặt
V = span {φ } và Q là phép chiếu của Y lên Z.
Giả sử đạo hàm Fréchet cấp hai Fuλ thoả mãn
QFuλ ( 0 ,λ0 ) (φ ,1) ≠ 0 .
Khi đó ( 0,λ0 ) là điểm phân nhánh và tồn tại một đường cong duy nhất
=
u u=
(α ) ,λ λ (α ) xác định với α ∈  trong một lân cận của 0 sao cho
u ( 0=
) 0,u (α ) ≠ 0,α ≠ 0,λ ( 0=) λ0 và F ( u (α ) ,λ (α ) ) = 0

Chứng minh.
Do V = span {φ } nên u1 = αφ . Do đó với α đủ nhỏ và λ gần λ0 luôn tồn tại
duy nhất u2 (α ,λ ) sao cho
F2 (αφ ,u2 (α ,λ ) ,λ ) = 0 (do Bổ đề 2.1.2)

(1)

Do vậy, ta cần giải phương trình sau với λ = λ (α )

F1 (αφ ,u2 (α ,λ ) ,λ ) =
QF (αφ + u2 (α ,λ ) ,λ ) =
0
Đặt µ= λ − λ0 và ta định nghĩa
g=
(α ,µ ) QF (αφ + u2 (α ,λ ) ,λ )

Khi đó g :  2 →  .
Dùng định lý Taylor ta có thể viết:
1
F ( u,λ ) = Fu u + Fλ µ +  Fuu ( u,u ) + 2 Fuλ ( u, µ ) + Fλλ ( µ , µ )  + R , (2.6)
2
với R là phần dư bậc cao và tất cả các đạo hàm Fréchet ở trên được tính tại ( 0,λ0 ) .


Do F ( 0 ,λ ) = 0 ,∀λ ∈  nên =
Fλ ( 0 ,λ0 ) F=
0 . Do đó, tác động Q vào
λλ ( 0 ,λ0 )
(2.6) ta được
1
QF ( u,λ ) = QFuu ( u,u ) + 2QFuλ ( u, µ )  + QR
2
và với α ≠ 0 , ta có
g (α , µ ) 1 
u (α ,λ )



,αφ + u2 (α ,λ ) 
= QFuu  φ + 2
α
α
2


u ( α ,λ )   1

, µ   + QR
+2QFuλ  φ + 2
α

 α
u (α ,λ )
Theo Bổ đề 2.1.2, ta có 2
bị chặn với α thuộc lân cận của 0. Từ định

α

lý Taylor ta suy ra

1

α

QR bị chặn với α thuộc lân cận của 0. Do đó
h=
(α , µ )

Hơn nữa

g (α , µ )
= O (α ) ,khi α → 0 .

α

∂h ( 0 ,0 )
h ( 0 ,0 ) =
0 và
QFuλ ( 0 ,λ0 ) (φ ,1) ≠ 0 .
=
∂µ
Theo định lý hàm ẩn, tồn tại duy nhất một hàm µ = µ (α ) xác định trong một
lân cận của 0 sao cho
(2)
h (α , µ ( α ) ) =
0 ⇒ F1 (αφ ,u2 (α ,λ ) ,λ ) =
0.

Ta đặt u (α ) =
αφ + u2 (α ,λ0 + µ (α ) ) , λ =
λ0 + µ (α ) . Ta có:

u ( 0=
) 0,u (α ) ≠ 0,α ≠ 0,λ ( 0=) λ0 , và F ( u (α ) ,λ (α ) ) = 0 (do (1), (2)).

Do đó, ( 0,λ0 ) là điểm phân nhánh. Định lý được chứng minh. □
2.3.Ứng dụng

Điểm ( 0 ,0 ) là điểm phân nhánh của phương trình vi phân thường
u'' + λ ( u + u 3 ) =
0

với điều kiện biên tuần hoàn là
=
u ( 0 ) u=
( 2π ) , u' ( 0 ) u' ( 2π )
Ta chọn:
X = C 2 [ 0 ,2π ] ∩ {u : u ( 0 ) = u ( 2π ) , u' ( 0 ) = u' ( 2π ) , u'' ( 0 ) = u'' ( 2π )} ,
Y = C [ 0,2π ] ∩ {u : u ( 0 ) = u ( 2π )} ,
cả hai được trang bị với chuẩn thông thường và


F : X × →Y

( u,λ )  u'' + λ ( u + u 3 )

Khi đó: F thuộc lớp C 2 với đạo hàm Fréchet
Fu ( 0 ,λ0 ) ( u=
) u'' + λ0u .

Thật vậy, F ( u,λ ) =u'' + λ ( u + u 3 ) =( u′′ + λu ) + λu 3 . Xét G ( u,λ ) = λu 3 . Ta có:
=
G ( u,λ ) Y max
=
u3 ( x ) λ

u Y .λ .
3

0 ≤ x ≤ 2π

Mà
nên

u

X

= max u ( x ) + max u′ ( x ) + max u′′ ( x ) ≥ max u ( x ) = u
0 ≤ x ≤ 2π

G ( u,λ ) Y
u

X

0 ≤ x ≤ 2π

u .λ
≤ Y=
uY

0 ≤ x ≤ 2π

0 ≤ x ≤ 2π

3

u Y .λ ≤ u

. λ → 0 ⇒ lim
X

2

2

u

X

Y

G ( u,λ ) Y

→0

u

Suy ra: Fu ( 0 ,λ0 ) ( u=
) u'' + λ0u .

→0

X

Toán tử tuyến tính này có nhân V khơng tầm thường mỗi khi
2

=
λ0 n=
,n 0 ,1,2 ,...
và

dimV = 1 khi và chỉ khi λ0 = 0 .

Ta có: h ∈ KerFu ( 0 ,0 ) khi và chỉ khi

2π

∫ h ( x ) dx = 0 . Thật vậy,
0

h ∈ KerFu ( 0 ,0 ) ⇔ Fu ( 0,0 )( h ) =0 ⇔ h′′ =0 ⇔ h ( x ) =ax + b
Do h ( 0 ) = h ( 2π ) nên =
b a.2π + b ⇔ =
a 0 , kéo theo
2π

2π

0

0

∫ h ( x ) dx = ∫ bdx = b  x ( 2π ) − x ( 0 ) = 0 .

Điều ngược lại tương tự ta cũng có.
Do đó, đối nhân Z của Fu ( 0 ,λ0 ) có số chiều là 1.

1
Xét phép chiếu Q : Y → Z được cho bởi Q ( h ) =
2π

(

2π

∫ h ( s ) ds .
0

)

3
Ta có: F ( u + v,λ ) − F ( u,λ ) =( u + v )'' + λ u + v + ( u + v )  − u'' + λ ( u + u 3 ) 


= v′′ + λ v + 3λu 2v  + λ ( 3u + v ) v 2 = Fu ( u,λ )( v ) + o ( v ) khi v X → 0 .

Suy ra: Fu ( u,λ )( v ) =v′′ + λ v + 3λu 2v .

Ta lại có: Fu ( u,λ )( v ) − Fu ( u,0 )( v ) = ( v′′ + λ v + 3λu 2v ) − v′′ = λ v + 3λu 2v
⇒ Fuλ ( u,0 )( v,λ ) =
λ v + 3λu 2v

Kéo theo Fuλ ( 0 ,0 )( u,λ ) = λu , và do đó, khi ta chọn φ = 1, ta sẽ có:
Fuλ ( 0 ,0 )(1,1) = 1 .


Tác động Q ta được:

QFuλ ( 0 ,0 )(1,1)= Q (1)= 1 ≠ 0 .

Áp dụng Định lý Crandal-Rabinowitz với u (α )= α + u2 (α ,λ (α ) ) ta có

phương trình u'' + λ ( u + u 3 ) =
0 có một nghiệm u thoả mãn điều kiện biên

=
u ( 0 ) u=
( 2π ) , u' ( 0 ) u' ( 2π ) . Vậy ( 0,0 ) là điểm phân nhánh của phương trình đã
cho.


Chương 3. SỰ PHÂN NHÁNH TOÀN CỤC

3.1.Nguyên lý nối dài
Trong phần này chúng ta sẽ đưa ra tính đồng luân của bậc Leray-Schauder
liên quan đến mặt trụ đồng luân có biến là thiết diện và từ đó đi đến nguyên lý nối dài
Leray-Schauder. Kết quả này cũng cho phép ta suy ra định lý hàm ẩn toàn cục và
kết quả về sự phân nhánh tồn cục trong phương trình phi tuyến.
Cho O là một tập con mở, bị chặn của E × [ a,b ] , ở đây E là không gian Banach
thực và F : O → E là một ánh xạ hoàn toàn liên tục.
Đặt:
f ( u,λ )= u − F ( u,λ )
và giả sử rằng
f ( u,λ ) ≠ 0 , ( u,λ ) ∈ ∂O
Định lý 3.1.1 (Nguyên lý đồng luân mở rộng)
Lấy f xác định bởi f ( u,λ )= u − F ( u,λ ) và thoả mãn
( u,λ ) ∈ ∂O . Khi đó, với a ≤ λ ≤ b ta có:

với Oλ =
{u ∈ E : ( u,λ ) ∈ O} .

f ( u,λ ) ≠ 0 ,

d ( f ( .,λ ) ,Oλ ,0 ) = constant ,

Chứng minh.
Ta có thể giả sử rằng O ≠ ∅ và
=
a inf {λ : Oλ=
≠ ∅} , b sup {λ : Oλ ≠ ∅} .
 = O ∪ O × ( a − ε ,a ] ∪ O × [b,b + ε ) với ε > 0 cố định.
Đặt O
a
b

 là mở rộng của F lên
Khi đó, O là một tập con mở bị chặn của E ×  . Lấy F
E ×  (điều này luôn bảo đảm tồn tại do định lý mở rộng Dugundji (ĐL 1.5)).
Đặt:
f ( u,λ ) =
 ( u,λ ) ,λ − λ* , với a ≤ λ* ≤ b cố định.
u−F

(

)

Khi đó, f là một nhiễu loạn hoàn toàn liên tục của ánh xạ đồng nhất trên E ×  .

Hơn nữa, với mọi λ* như thế, ta có:
 .
 ⇔ 0 ∉ f ∂O
f ( u,λ ) ≠ 0 , ( u,λ ) ∈ ∂O

(

)

( )

 0 được xác định và không đổi (do định nghĩa bậc Leray-Schauder).
Do đó, d f ,O,

Lấy 0 ≤ t ≤ 1 , xét trường véctơ

(1)


(

)

f ( u,λ ) = u − t F
 ( u,λ ) − (1 − t ) F
 ( u,λ* ) ,λ − λ* .
t

Khi đó:
 ( u,λ* ) ,

ft ( u,λ ) = 0 khi và chỉ khi λ = λ* và u = F
+ 

(

) (

)

0 =
0 ,
=
f1 ( u,λ ) f ( u,λ ) ,( u,λ ) ∈ E ×  ⇒ d 
+ 
f1 ,O,
d f ,O,

(

)

 ( u,λ* ) ,λ − λ* ,( u,λ ) ∈ E ×  .
+ 
f 0 ( u,λ ) = u − F

(2)
(3)

 và t ∈ [ 0 ,1] . Theo
Như vậy, từ giả thiết ta suy ra f t ( u,λ ) ≠ 0 , ( u,λ ) ∈ ∂O

nguyên lý bất biến đồng luân (Mệnh đề 1.6.1), ta có:
 0 =d 
0 .
(4)
d 
f ,O,
f ,O,

(

) (

1

0

)

Mặt khác, theo Nguyên lý cắt (khoét) của bậc tôpô (Mệnh đề 1.6.2) ta có:
0 d 
(5)
d 
f ,O,
=
f ,O * × ( a − ε ,b + ε ) ,0 .

(

) (

0

0

)

λ

Dùng cơng thức tích Đềcác (Mệnh đề 1.6.3) và do (3), ta có:
d 
f 0 ,Oλ* ×
=
( a − ε ,b + ε ) ,0 d f ( .,λ* ) ,Oλ* ,0 .d ( λ − λ* ,( a − ε ,b + ε ) ,0 )

) (
)
= d ( f ( .,λ ) ,O ,0 ) .

(

*

(6)

λ*

Từ (2), (4), (5), (6), ta có:

(

) (

)

0 .
d f ( .,λ* ) ,Oλ* ,0 = d f ,O,

Do (1) và λ* ∈ [ a,b ] tuỳ ý nên với a ≤ λ ≤ b , ta có:

d ( f ( .,λ ) ,Oλ ,0 ) = constant .

Định lý được chứng minh. □
Như là hệ quả trực tiếp của định lý trên, ta nhận được nguyên lý nối dài của
Leray-Schauder sau.
Định lý 3.1.2 ( Nguyên lý nối dài Leray-Schauder)
Cho O là một tập con mở bị chặn của E × [ a,b ] và f : O → E được cho bởi
f ( u,λ )= u − F ( u,λ ) và thoả f ( u,λ ) ≠ 0 , ( u,λ ) ∈ ∂O . Hơn nữa, giả sử

{

}

0 .
d ( f ( .,a ) ,Oa ,0 ) ≠ 0 . Lấy S =
( u,λ ) ∈ O : f ( u,λ ) =

Khi đó, tồn tại một tập con C đóng, liên thơng trong S sao cho
Ca ∩ Oa ≠ ∅ ≠ Cb ∩ Ob ,
với Cλ =
{u ∈ E : ( u,λ ) ∈ C} ,λ ∈ [ a,b] .

Chứng minh
Từ định lý 3.1.1, ta có:
d=
( f ( .,b ) ,Ob ,0 ) d ( f ( .,a ) ,Oa ,0 ) ≠ 0 (do giả thiết).

Suy ra, phương trình f ( u,λ ) = 0 có nghiệm u trên Oa . Do đó,


Sa=

{u ∈ E : ( u,a ) ∈ S }= {u ∈ E : f ( u,a )= 0} ≠ ∅ .

Sb=

{u ∈ E : ( u,b ) ∈ S }= {u ∈ E : f ( u,b )= 0} ≠ ∅ .

Tương tự,
Dẫn đến:

Sa × {a}= A ≠ ∅ ≠ B= Sb × {b} .
Do F hồn tồn liên tục nên S là không gian mêtric compắc con của E × [ a,b ] .
Hơn nữa, S là tập liên thơng. Thật vậy, nếu S khơng liên thơng thì áp dụng bổ
đề Whyburn (xem tài liệu tham khảo [3]) với X = S, sẽ tồn tại các tập compắc
X A ,X B ⊂ X sao cho
A ⊂ XA, B ⊂ XB, XA ∩ XB =
∅, X A ∪ X B =
X.
Do đó, ta có thể tìm một tập mở U ⊂ E × [ a,b ] sao cho A ⊂ U ∩ O =
V và
S ∩ ∂V = ∅ = Vb . Theo Định lý 3.1.1, ta có:

d( f=
( .,λ ) ,Vλ ,0 ) constant, λ ≥ a
Mặt khác, từ nguyên lý cắt (khoét) kéo theo
d=
( f ( .,a ) ,Va ,0 ) d ( f ( .,a ) ,Oa ,0 ) ≠ 0 (do giả thiết)
Từ (1), (2) ta có:
d ( f ( .,b ) ,Vb ,0 ) ≠ 0

(1)
(2)
(3)

Do Vb = ∅ nên d ( f ( .,b ) ,Vb ,0 ) = 0 , mâu thuẫn với (3). Vậy, ta có S là tập liên
thơng.

Do S là không gian mêtric compắc và S liên thông nên theo bổ đề Whyburn
(xem tài liệu tham khảo [3]), tồn tại một tập con C đóng, liên thơng trong S sao cho
C ∩ A ≠ ∅ ≠ C ∩ B.
Suy ra
Ca ∩ Oa ≠ ∅ ≠ Cb ∩ Ob .
Định lý được chứng minh. □

Ví dụ. Cho g : [ 0 ,1] ×  →  liên tục. Xét bài toán Dirichlet phi tuyến sau:
u'' + g ( x,u ) =
0 trong J

=
u 0 treân ∂J

với J = [ 0 ,1] . Cho các hằng số a < 0 < b thỏa g ( x,a ) > 0 > g ( x,b ) ,x ∈ Ω .

(*)

Khi đó, (*) có một nghiệm u ∈ C 2 ( J , ) sao cho
a < u ( x ) < b, x ∈ J .
Chứng minh
Ta xét một họ tham số của các bài toán:
u'' + λ g ( x,u ) =
0 trong J
(**)

u
J
=
0
treâ
n
∂

Đặt G ( u )( x ) = g ( x,u ( x ) ) . Khi đó, (**) tương đương với phương trình hàm


u = λ LG ( u ) , u ∈ C ([ 0,1] , ) = E

(***)

ở đây, với mỗi v ∈ E thì w ∈ LG ( v ) là nghiệm duy nhất của
 w'' + g ( x,v ) =
0 trong J


w 0 trên ∂J
=

Nó được hiểu rằng, với mỗi v ∈ E , LG ( v ) ∈ C 2 ( J ) và từ C 2 ( J ) là compắc được
nhúng trong E như sau
LG (  ) : E → E
là tốn tử hồn toàn liên tục.
Đặt
=
O {( u,λ ) : u ∈ E, a < u ( x ) < b, x ∈ J , 0 ≤ λ ≤ 1} . Khi đó, O là một tập mở và bị

chặn trong E × [ 0 ,1] . Nếu ( u,λ ) ∈ ∂O là một nghiệm của (**) thì tồn tại x ∈ J sao
cho u ( x ) = b hoặc tồn tại x ∈ J sao cho u ( x ) = a và λ > 0 . Trong trường hợp khác,
qua tính tốn sơ cấp, (*) cho điều mâu thuẩn. Do đó, (**) khơng có nghiệm trên ∂O .
Vì vậy
d ( I − λ LG,Oλ ,0 ) =d ( I ,O0 ,0 ) =1
Theo Định lý 3.1.2 suy ra tồn tại một tập liên thông C các nghiệm của (***), cũng là
của (**) sao cho C ∩ E × {0} =
{0} và C ∩ E × {1} ≠ ∅ .
3.2.Định lý hàm ẩn tồn cục
Giả sử F : E ×  → E là một ánh xạ hoàn toàn liên tục và xét phương trình
(3.1)
f ( u,λ ) =
u − F ( u,λ ) =
0
Cho ( u0 ,λ0 ) là nghiệm của (3.1) sao cho điều kiện của định lý hàm ẩn được
thoả tại ( u0 ,λ0 ) .
Khi đó, có một đường cong nghiệm

{( u ( λ ) ,λ )} xác định trong lân cận của λ ,

0

đi qua ( u0 ,λ0 ) . Hơn nữa, từ điều kiện của định lý hàm ẩn suy ra nghiệm u0 là một
nghiệm cô lập của (3.1) tại λ = λ0 , và nếu O là một lân cận cô lập của u0 , ta có:

(3.2)
d ( f ( .,λ0 ) ,O,0 ) ≠ 0
Bây giờ, ta sẽ thấy chỉ cần điều kiện (3.2) là bảo đảm rằng phương trình (3.1)
sẽ có nhánh nghiệm tồn cục trong nữa khơng gian E × [ λ0 ,∞ ) và E × ( −∞ ,λ0 ] .
Định lý.
Cho O là một tập con mở, bị chặn của E , giả sử với λ = λ0 , phương trình

f ( u,λ ) =
u − F ( u,λ ) =
0 có một nghiệm duy nhất trong O và d ( f ( .,λ0 ) ,O,0 ) ≠ 0 .
Cho
=
Ω + {( u,λ ) ∈ E × [ λ0 ,∞ ) : f ( u,λ ) =0}
và


=
Ω−

{( u,λ ) ∈ E × ( −∞ ,λ ] : f ( u,λ ) =0}
0

Khi đó, tồn tại một tập liên thông C + ⊂ Ω +
(i) Cλ+=
∩O

0

∩ O {u0 } ) ,
{u0 } ( Cλ−=

(C

−

⊂ Ω − ) sao cho

0

(ii) C là tập không bị chặn trong E × [ λ0 ,∞ ) ( C − là tập khơng bị chặn trong
+

(

(

)

(

)

)

E × ( −∞ ,λ0 ] ) hoặc Cλ+0 ∩ E \ O ≠ ∅ Cλ−0 ∩ E \ O ≠ ∅ .

Chứng minh.
Theo Nguyên lý nối dài Leray-Schauder, luôn tồn tại một tập liên thông
+
C ⊂ Ω + sao cho
Cλ+0 ∩=
O {u0 } ≠ ∅ (thoả (i)).
Bây giờ, ta sẽ chứng minh C + thoả (ii).
Lấy C + là tập con, liên thông lớn nhất của Ω + thoả (i). Giả sử trái lại
Cλ+0 ∩ E \ O =
∅ và C + là tập bị chặn trong E × [ λ0 ,∞ ) . Khi đó, tồn tại một hằng số

(

)

R > 0 sao cho với mỗi ( u,λ ) ∈ C + , ta có

Đặt=
Ω2+R

{( u,λ ) ∈ Ω

u + λ < R.

+

: u + λ ≤ 2 R} , ta có:

+ Ω2+R là một tập con, compắc của E × [ λ0 ,∞ ) . Do đó, Ω2+R là khơng gian
mêtric compắc.

+ Có hai khả năng xẩy ra: hoặc Ω2+R =
C + hoặc tồn tại ( u,λ ) ∈ Ω2+R sao cho

( u,λ ) ∉ C + , tức là: C + ⊆ Ω2+R .

Nếu C + ⊂ Ω2+R ,C + ≠ Ω2+R thì sẽ mâu thuẫn với tính lớn nhất của C + .
Nếu Ω2+R =
C + thì ta có thể tìm một tập hợp mở bị chặn U ⊂ E × [ λ0 ,∞ ) sao
cho U λ0 = O, Ω2+R ∩ ∂U = ∅ , C + ⊂ U . Theo định lý 3.1.1, ta có:

(

)

λ ) ,U λ ,0 ) d f ( .,λ=
constant ,λ ≥ λ0 .
d ( f ( .,=
0 ) ,U λ0 ,0

Hơn nữa:
Do đó:

(

)

d =
f ( .,λ0 ) ,U λ0 ,0 d ( f ( .,λ0 ) ,O,0 ) ≠ 0 (do giả thiết).

d ( f ( .,λ ) ,U λ ,0 ) ≠ 0 ,λ ≥ λ0 .

(*)

Mặt khác, tồn tại λ* > λ0 sao cho U λ* khơng chứa nghiệm của phương trình

(

)

f ( u,λ ) =
u − F ( u,λ ) =
0 và do đó d f ( .,λ* ) ,U λ* ,0 = 0 , mâu thuẫn với (*) (sự tồn

tại một tập mở U với các tính chất như trên, là do ta áp dụng bổ đề Whyburn).
Việc tồn tại C − thoả các tính chất như ở trên, được chứng minh một cách
tương tự. Định lý được chứng minh. □


Ví dụ. Cho p ( z ) ,z ∈  là một đa thức bậc n với hệ số là 1 và q=
( z)

(

)

n

∏ ( z − a ) , với
i =1

i

ai , i = 1,n là các số phức phân biệt.

Đặt f ( z,=
λ ) λ p ( z ) + (1 − λ ) q ( z ) .
Khi đó, f có thể được xem là một ánh xạ liên tục f :  2 ×  →  2 . Hơn nữa, với
λ ∈ [ 0,r ] ,r > 0 , tồn tại một hằng số R sao cho với mọi nghiệm của phương trình
f ( z,λ ) = 0
đều thoả z < R . Với mọi λ ≥ 0 , phương trình f ( z,λ ) = 0 chỉ có nghiệm cơ lập và
với λ = 0 mỗi nghiệm như thế có tính chất
d ( f ( .,0 ) ,Oi ,0 ) = 1 ,
ở đây Oi là một lân cận độc lập của ai . Do đó, theo định lý hàm ẩn tồn cục, với mỗi

i, tồn tại một tập liên thông Ci+ gồm các nghiệm của f ( z,λ ) = 0 là không bị chặn
theo phương λ . Ta kết luận rằng: mỗi 0 của p ( z ) phải nối với ai nào đó.
3.3.Định lý Rabinowitz về sự phân nhánh tồn cục

Cho E là không gian Banach thực và f : E ×  → E là một ánh xạ xác định bởi
f ( u,λ )= u − F ( u,λ )
với F : E ×  → E là một ánh xạ hoàn toàn liên tục. Giả sử
F ( 0 ,λ ) ≡ 0 , λ ∈  ,
Khi đó, phương trình f ( u,λ ) = 0 có nghiệm tầm thường với mọi giá trị λ .
Chúng ta sẽ xét vấn đề: sự phân nhánh từ nhánh tầm thường của nghiệm và
chứng minh sự tồn tại các nhánh toàn cục của nghiệm không tầm thường phân nhánh
từ nhánh nghiệm tầm thường. Chúng ta sẽ dùng bậc Leyray-Schauder và bổ đề
Whyburn để làm công cụ chứng minh.
Sau đây, chúng ta sẽ thấy kết quả này là sự mở rộng của định lý phân nhánh
địa phương ở Chương II.
Định lý (Rabinowitz)

Cho a,b ∈  với a < b sao cho u = 0 là một nghiệm cô lập của f ( u,λ ) = 0 với
λ = a và λ = b , ở đây a, b không là giá trị phân nhánh.
Giả sử
(*)
d ( f ( .,a ) ,B ( 0 ,r ) ,0 ) ≠ d ( f ( .,b ) ,B ( 0 ,r ) ,0 )

với B ( 0 ,r ) =
{u ∈ E : u < r} là một lân cận cô lập của nghiệm tầm thường.


Đặt =
∆

{( u,λ ) : f ( u,λ=)

0 ,u ≠ 0} ∪ {0} × [ a,b ] và lấy C là tập con liên thông

lớn nhất của ∆ chứa {0} × [ a,b ] .
Khi đó, hoặc
(i)
C là tập khơng bị chặn trong E ×  ,
hoặc
(ii) C ∩ {0} × (  \ [ a,b ]) ≠ ∅ .

Chứng minh. (Dùng phản chứng)
Ta định nghĩa lớp ℜ gồm các tập con của E ×  như sau:
ℜ = {Ω ⊂ E ×  : Ω = Ω0 ∪ Ω∞ } ,

với=
Ω0 B ( 0 ,r ) × [ a,b ] và Ω∞ là một tập con mở bị chặn trong ( E \ {0} ) ×  .

Trước hết, ta chứng minh rằng: phương trình f ( u,λ ) = 0 có một nghiệm
khơng tầm thường ( u,λ ) ∈ ∂Ω , với mọi Ω ∈ℜ . Để hoàn thành chứng minh này, ta
cần xét các tập hợp sau:
 K f −1 ( 0 ) ∩ Ω ,
=

A {0} × [ a,b ] ,
=

−1
=
 B f ( 0 ) ∩ ∂Ω \ ( B ( 0,r ) × {a} ∪ B ( 0,r ) × {b} ) .
Ta thấy, K là một không gian mêtric compắc, và A, B là các tập con compắc
của K. Do đó, chúng ta có thể áp dụng bổ đề Whyburn để suy ra rằng: tồn tại một
nhánh liên tục trong K nối A với B (tức là tồn tại một tập đóng, liên thông C AB ⊂ K
sao cho A ∩ C AB ≠ ∅ ≠ B ∩ C AB ), hoặc ngược lại có một phân hoạch K A ,K B ⊂ K với
A ⊂ K A ,B ⊂ K B . Nếu điều sau được thoả, ta có thể tìm được các tập mở U, V trong
∅.
E ×  sao cho K A ⊂ U ,K B ⊂ V ,U ∩ V =

(

)

Đặt Ω* = Ω ∩ (U ∪ V ) , ta có Ω* ∈ℜ . Nếu phương trình f ( u,λ ) = 0 khơng có

nghiệm khơng tầm thường thuộc ∂Ω* thì sẽ đưa đến
d ( f ( .,a ) ,B ( 0 ,r ) ,0 ) = d ( f ( .,b ) ,B ( 0 ,r ) ,0 )
(do nguyên lý đồng luân mở rộng và nguyên lý cắt (khoét) của bậc LeraySchauder), mâu thuẫn với giả thiết (*).

Do vậy, ta có với mỗi Ω ∈ℜ , ln có một tập liên thơng C chứa các nghiệm
của phương trình f ( u,λ ) = 0 , với C giao với ∂Ω tại một nghiệm không tầm thường.
Bây giờ, ta giả sử rằng định lý không thoả, nghĩa là ta giả sử C là tập bị chặn
trong E ×  và C ∩ {0} × (  \ [ a,b ]) =
∅ . Trong trường hợp này, ta dùng tính bị chặn
của C để xây dựng một tập Ω ∈ℜ không chứa nghiệm không tầm thường tại biên của

nó. Điều này dẫn đến điều mâu thuẫn với giả thiết (*). Định lý được chứng minh. □


Sau đây, chúng ta sẽ áp dụng định lý trên cho một vài phương trình vi phân
phi tuyến. Ở đây chúng ta sẽ minh hoạ định lý thông qua hai ví dụ đơn giản một
chiều.
Ví dụ 3.3.1. Cho f :  ×  →  xác định bởi

f ( u,λ )= u ( u 2 + λ 2 − 1) .

Ta chọn:
∆=

{( u,λ ) : u

2

+ λ 2= 1} ∪ {0} × ( −∞ ,∞ )

ở đây các điểm ( 0 ,−1) và ( 0 ,1) là các điểm phân nhánh từ nghiệm tầm thường. Hơn
nữa, phân nhánh liên thông là bị chặn và (*) được thoả với a, b được chọn trong một
lân cận của λ = −1 và cũng như trong lân cận của λ = 1 .
Ví dụ 3.3.2. Cho f :  ×  →  xác định bởi

Ta chọn:

1
f ( u,λ ) =
(1 − λ ) u + u sin .
u

1

=
∆ ( u,λ ) : =
λ − 1 sin  ∪ {0} × [ 0,2]
u

Đây là một tập khơng bị chặn. Ta có thể kiểm tra rằng (*) được thoả bằng cách chọn
a < 0, b > 2 .