Tài liệu Bài tập hình học & đại số 7

BÀI TẬP HÌNH HỌC 7 CHƯƠNG TAM GIÁC
Bài 1: Chứng minh rằng(cmr) góc tạo thành bởi hai tia phân giác của hai góc ngoài của một
tam giác bằng một nửa góc ngoài thứ ba.
Bài 2: Ba tia phân giác trong AD, BE, CF của tam giác ABC gặp nhau tại O. Từ O dựng
OG ⊥ BC , cmr góc BOD = góc COG.
Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A = 90
0
. M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MC
lấy điểm D sao cho CD nhận M làm trung điểm cmr AB ⊥ BD.
Bài 4: Cho tam giác ABC và tam giác ADE có góc ở A là góc đối đỉnh, tia phân giác của hai
góc C và góc E gặp nhau tại F, cmr góc E = (B + D):2.
Bài 5: Cho ∆ABC có góc A nhọn, vẽ tia Ax ⊥ AB (tia AC nằm giữa 2 tia AB và Ax) và trên
tia đó lấy điểm E sao cho AE = AB. Vẽ gia Ay ⊥ AC (tia AB nằm giữa 2 tia AC và Ay) và
trên đố lấy điểm F sao cho AF = AC.
a) cm BF = CE : b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BF, CE. Kẻ AM, AN, cm AM ⊥ AN.
Bài 6: Cho hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Dựng các
đường thẳng vuông góc qua A và B với xy lần lượt tại H và K. Trên tia đối của các tia HA và
KB lần lượt lấy các điểm A
’
và B
’
sao cho HA = HA
’
và KB = KB
’
. Gọi C là giao điểm của
AB
’
với xy, cm:
a) AC = A
’

C; BC = B
’
C; b) A
’
, B, C thẳng hàng. C) AB = A
’
B
’
Bài 7: Trên cạnh BC của ∆ABC, lấy điểm E và F sao cho BE = CF. Qua E, F vẽ các đường
thẳng song song với BA chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. C/m EG + FH = AB.
Bài 8: Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Oy lấy các điểm A,B,C sao cho OA = AB = BC.
Qua A,B,C kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt Ox theo thứ tự ở D, E, F.
Chứng minh OD = DE = EF.
Bài 9: Cho ∆ABC ( AB < AC), vẽ tia phân giác AL của góc A. Từ trung điểm M của cạnh
BC, vẽ đường thẳng vuông góc với AL, đường này cắt AC ở e và cắt ÁB ở D.
a) cm: AD =AE, b) Kẻ BB
’
// ED. C/m B
’
E = EC = BD
c) C/m các hệ thức 2AD = AC + AB ; 2EC = AC - AB.
d) Tính góc BMD theo các góc B, C
Bài 10: Cho ∆ABC có góc A = 120
0
, BC = a, AC = b, AB = c. C/m a
2
= b
2
+ c
2

+bc.
Bài 11: Cho ∆ABC vuông ở A. Một đường thẳng cát hai cạnh Ab và AC ở D và E.
C/m CD
2
- CB
2
= ED
2
- EB
2
.
Bài 12: Cho ∆ABC có A = 90
0
+ C. Qua A vẽ đường vuông góc với AB, đường này catw
cạnh BC tại điểm D. Từ C vẽ đường vuông góc với cạnh BC, đường này cắt tia BA tại điểm
E; ED cắt cạnh AC tại điểm N.
a)C/m các ∆ ADE, ∆ AEC là các tam giác cân.
b)C/m N là trung điểm của cạnh AC và DE ⊥AC.
c) Cho góc B = 30
0
. Tính các góc A, C. Tam giác ABC là tam giác gì?
Bài 13: Cho ∆ABC vuông ở A và AB = 2AC. Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Trên tia đối
của tia Ac lấy điểm D sao cho AB = AD. CMR:
a) BC = DE; b) ACB + ADE < 180
0
.
Bài 14: Qua trung điểm M của AB ta kẻ đường thẳng xy vuông góc với đường thẳng AB.
Trên tia Mx ta lấy hai điểm C và D, trên tia My lấy điểm E, chứng minh:
a) AC = CB; b) ∆ ACD = ∆ BCD; c) EAD = EBD.
Bài 15: Cho hai đường thẳng d và d

’
song song với nhau. Một đường thẳng c cắt d và d
’
lần
lượt tại các điểm A,C. Qua trung điểm O của AC, ta vẽ một đường thẳng bất kỳ cắt d và d
’
lần
lượt tại các điểm D,B.
a)C/m AD = BC và AB // DC.
b)Gọi M là trung điểm của DA và N là trnung điểm của BC. C/m O là trung điểm của đoạn
MN.
c)C/m CM // AN.
Bài 16: Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH. Từ H kẻ HM ⊥ AC (H
∈
AC) và trên tia HM
lấy điểm E sao cho HM = EM. Kẻ HN ⊥ AB (N
∈
AB) và trên tia HN lấy điểm D sao cho
NH = DN.
a) C/m ba điểm D,A,E thẳng hàng; b) C/m MN // CE; c) C/m BD // CE
d) C/m AD = AE = AH. Suy ra ∆DHE là tam giác vuông.
Bài 17: Cho ∆ABC có D là trung điểm của BC, AD là tia phân giác của góc A. Kẻ DE vuông
góc với AB, DF vuông góc với AC. C/m:
a) DE = DF; b) Góc B = góc C.
Bài 18: Cho ∆ABC cân ở A, góc A nhỏ hơn 90
0
, kẻ BD,CE lần lượt vuông góc với AC, AB.
Gọi K là giao điểm BD và CE. C/m:
a) AD = AE ; b) AK là tia phân giác của góc A.
Bài 19: Cho ∆ABC vuông ở A(AB < AC), M là một điểm thuộc cạnh AC. Kẻ MH vuông góc

với BC(H
∈
BC). Biết MH = HB. C/m AH là tia phân giác của góc A.
Bài 20: Cho ∆ABC cân ở A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao
cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC).
a) C/m DH = EK; b) Gọi M là trung điểm của HK. C/m ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 21: Cho ∆ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Đường vuông
góc với BC tại D cắt AC ở E.
a) So sánh AE và DE.; b) Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE ở K. Tính
góc BAK.
Bài 22: Cho ∆ABC vuông ở A có góc B bằng 60
0
. Vẽ tia Cx ⊥ BC, trên tia Cx lấy đoạn CE =
CA ( CE, CA cùng một phía đối với BC). Kéo dài CB lấy F trên đó sao cho BF = BA, c/m:
a) ∆ACE là tam giác đều; b) C/m ba điểm E,A,F thẳng hàng.
Bài 23: Cho ∆ABC, ở phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE.
Hãy xác định dạng của tam giác ABC, Biết rằng BD = CE.
Bài 24: Cho ∆ABC vuông cân ở A, D là điểm bất kỳ trên BC. Vẽ hai tia Bx, Cy vuông góc
với BC và nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa BC và điểm A. Qua A vẽ một đường thẳng
vuông góc với AD cắt Bx tại m và cắt Cy tại N. C/m:
a) AM = AD; b) A là trung điểm của của MN; c) ∆DMN vuông cân.
Bài 25: Cho ∆ABC vuông ở A, AB > AC. Trên cạnh BA lấy điểm D sao cho BD = AC. Trên
cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AD. CD cắt BE tại O. Trên đường vuông góc với AB vẽ
tại B, lấy điểm F sao cho BF = CE (F, C cùng nửa mặt phẳng bờ AB)
a/ Chứng minh ∆ BDF = ∆ACD; b/ Chứng minh ∆ CDF vuông cân;
c/ Tính số đo của góc COE.
BÀI TẬP ĐẠI SỐ 7
Bài 1: Tính
a)
1 1 1 1 1

....
2.3 3.4 4.5 5.6 49.50
+ + + + +
; b)
1 1 1 1
....
3.7 7.11 11.15 23.27
+ + + +
c)
1 1 1 1 1
.....
5.6 6.7 7.8 8.9 2004.2005
− − − − −
; d)
2 2 2 2
....
1.3 3.5 5.7 49.51
+ + + +

e)
1 1 1 1
.....
1.2.3 2.3.4. 3.4.5 98.99.100
+ + +
; f) 1+
1 1 1
(1 2) (1 2 3) ... (1 2 ... 100)
2 3 100
+ + + + + + + + +
Bài 2: Tính

a) (1+2+3+....+90).(12.34-6.68): (
1 1 1 1
)
3 4 5 6
+ + +
; b) -66.
1 1 1
124.( 37) 63.( 124)
2 3 11
 
− + + − + −
 ÷
 
b)
1 1 1 3 3 3 3
3 5 7 8 16 32 64
2 2 2 1 1 1 1
3 5 7 4 8 16 32
− − − − −
+
− − − − −
; c)
3 3 3 1 1 1
7 11 13 2 3 4
5 5 5 5 5 5
7 11 13 4 6 8
− + − +
+
− + − +
; d)

1 1 1 3 3 3 3
11 7 9 5 25 125 625
4 4 4 4 4 4 4
9 7 11 25 125 625 5
+ − − − −
−
− − + + −
Bài 3: Rút gọn
a)
6 4 13 9
4 3 6
3 .45 15 .5
27 .25 45
−
−
+
; b)
7 3 3
7
7 2
2 9 3
.5 :
5 4 16
2 .5 512
     
+
 ÷  ÷  ÷
     
+
; c)

5 4
10 8 8
4 .9 2.69
2 .3 6 .20
−
+
; d)
19 3 9 4
9 10 10
2 .27 15.4 .9
6 .2 12
+
+
Bài 4: Cho biết S = 2
2
+4
2
+6
2
+....+20
2
= 1540. Tính M= 1
2
+2
2
+3
2
+....+10
2
Bài 5: Cho biết 1

2
+2
2
+3
2
+....+10
2
= 385.
a) Tính (12
2
+14
2
+16
2
+18
2
+20
2
) - (1
2
+3
2
+5
2
+7
2
+9
2
)
b) Tính 3

2
+6
2
+9
2
+.....+30
2
Bài 6: Tính S = 2
2010
-2
2009
- 2
2008
- .....- 3 - 1
Bài 7: Cho S
n
= 1-2+3-4+....+(-1)
n-1
.n, Với n = 1;2;3;...... Tính S
35
+ S
60

Bài 8: Rút gọn
a) A = 2
100
- 2
99
+ 2
98

- 2
97
+ ... + 2
2
- 2; b) B = 3
100
-3
99
+ 3
98
- 3
97
+... +3
2
-3+1
Bài 9: Cho C =
2 3 99
1 1 1 1
.....
3 3 3 3
+ + + +
; C/m: C <
1
2
Bài 10: a) Cmr :
2 2 2 2 2 2 2 2
3 5 7 19
... 1
1 .2 2 .3 3 .4 9 .10
+ + + + <

; b) Cmr:
2 3 3 100
1 2 3 4 100 3
....
3 3 3 4 3 4
+ + + + + <

Bài 11: Cho A = 2+2
2
+2
3
+2
4
+ ..... + 2
12
a) Chứng tỏ A
M
3; b) Chứng tỏ A
M
7
Bài 12: a) C/m: 43
43
- 17
17

M
10; b) C/m: 36
36
- 9
10

M
45; c) C/m: 7
1000
- 3
1000
M
10
Bài 13: a) C/m: A = 7+ 7
2
+ 7
3
+ 7
4

M
50; b) B = 10
6
-5
7

M
59
Bài 14: Cho A = 1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+ .... -99 - 100. C/m: A
M
2
Bài 15: cho B = 8
7
- 2
18

C/m B
M
14
Bài 16: a) Cmr : (2
10
+ 2
11
+ 2
12
) : 7, được thương là số tự nhiên.
b)Cmr : (8
10
- 8
9
- 8
8
) : 55, được thương là số tự nhiên.
Bài 17: a) C/m:
3
1 1
( 1) ( 1)n n n n
<
− +
; n là số nguyên lớn hơn 1.
b)
3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
....
2 3 4 2005 2006 4
+ + + + + <

Bài 18: a) Cmr :
3
1 1
( 1)( 2)n n n n
>
+ +
Với n là số nguyên dương.
b) cmr :
3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
....
2 3 4 2005 2006 15
+ + + + + >
Bài 19: So sánh A và B, biết
A = 2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ ..... +2
50
; B = 2
51
Bài 20: Không dùng máy tính hãy so sánh
A =
2006 2007 2008 2009
2007 2008 2009 2006

+ + +
với 4
Bài 21: Tìm chữ số tận cùng của
a) 4
21
; b) 9
53
; c) 3
103
; d) 8
4n+1
( n
∈
N); e) 14
23
+ 23
23
+ 70
23

Bài 22: Tìm 2 chữ số tận cùng của
a) 7
1992
; b) 99
101
; c) 1945
1945
; d) 24
100
; e) 2

1000
Bài 23: Tìm x biết rằng:
a) (x- 2)
3
= -27; b) (2x- 3)
2
= 25 ; c)3
x- 1
=
1
243
; d) 2
x
+ 2
x+ 3
= 144 ; e) 81
-2x
. 27
x
= 9
5
Bài 24: Tìm các số x, y, biết
;
3 4 3 5
x y y z
= =
và 2x- 3y +z = 6
Bài 25: Cho
2 3 4
a b c

= =
và a
2
- b
2
+2bc= 76. Tính a, b, c.
Bài 26: Tìm x biết:
a) 5│2x- 7│- 3= 12; b) (x- 1)
4
= (x- 1)
2
c) (x+1)+ (x+2)+(x+3)+.....(x+1999)+ (x+2000)+ 2001=2001
Bài 27: Cho
a b c
b c a
= =
và a+ b+ c= 2007. Tính a, b, c.
Bài 28: a) Tìm x, y biết:
4 4
7 7
x
y
+
=
+
và x+ y= 22 ; b) Cho
y
à .
3 4 5 6
x y z

v= =
Tính M=
2 3 4
3 4 5
x y z
x y z
+ +
+ +
Bài 29: Tìm x biết
a)
1 2 3 4 5 30 31
. . . . .... . 2
4 6 8 10 12 62 64
x
=
; b)
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
4 4 4 4 6 6 6 6 6 6
. 2
3 3 3 2 2
x
+ + + + + + + +
=
+ + +
Bài 30: Tìm x biết
2 4
1 7
x x
x x

− +
=
− +
Bài 31: Tìm x, y, z, biết rằng:
1 1 2
x y z
x y z
y z x z x y
= = = + +
+ + + + + −

Bài 32: Tìm x
∈
Q bết
a) (x -
2
5
) (x +
3
7
) > 0 ; b) (x +
1
5
) (x -
2
7
) < 0; c) (
2 1 3 2
).( )
3 5 5 3

x x− +
< 0
Bài 33: Tìm x
∈
Q bết (x -
2 3 3
).( ).( )
5 7 4
x x+ +
> 0
Bài 34: Tìm x
∈
Q biết a) │x +
2
5
│= 2x b) │x -
2
15
│= │
3
20
−
│
Bài 35: Tìm x,y biết: a) x
2
+ y
4
= 0; b) ( x - 1 )
2
+ ( y + 2)

2
= 0; c) (x -11+y)
2
+ (x-4-y)
2
= 0