Tài liệu so sánh các công thức mũ và logarit

§. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ VỀ
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
§1. SO SÁNH CÁC CÔNG THỨC VỀ MŨ VÀ LOGARIT
CÁC CÔNG THỨC VỀ LŨY THỪA CÁC CÔNG THỨC VỀ LOGARIT
1.1. Các định nghĩa cơ bản:
• Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
( ) ( ) ( ) ( )
. ....
n
a a a a
=
(có n cơ số a vơ
́
i
*
,a n∈ ∈¡ ¥
)
• Lũy thừa với số mũ âm là nghịch
đảo của lũy thừa với số mũ dương
1
a
a
α
α
−
=
(với
¡
α
∈
và

0
≠
a
)
•
0
1a
=
(với mọi
0
≠
a
)
•
m
n
m
n
a a
=
(vơ
́
i
0, , , 2a m n n¢ ¥> ∈ ∈ ≥
)
Lưu ý:
0
0 ,0
n−
không có nghĩa

1.1. Các định nghĩa cơ bản:
- Cho số thực
0b >
và cơ số a luôn thỏa
0 1a< ≠
, ta
định nghĩa:
( ) ( )
log
a
b b a
α
α
= ⇔ =
* Chú ý:
• Số
a
là số thực tùy ý và
log
a
b
đọc là logarit cơ
số a của b.
• Phép toán logarit là phép toán ngược của phép
toán lũy thừa.
* Đặc biệt:
• Logarit cơ số 10:
10
log lg 10b b b
α

α
= = ⇔ =
• Logarit tự nhiên (cơ số
2,71e »
..)
log ln
e
b b b e
α
α
= = ⇔ =
- Ví dụ:
2
log 8 x=
(Giả sử cần tính
2
log 8
)

2 8
x
=
(Theo định nghĩa logarit)
x = 3 ( Vì
3
2 8=
)
Vậy:
2
log 8 3=

2.2. Các tính chất cơ bản:
2.2.1 Các đẳng thức:
Với các cơ số
0, 0a b> >
và các số mũ
, ¡
α β
∈
, ta có:
• Nhân 2 lũy thừa cùng cơ số:
.a a a
α β α β
+
=
• Chia 2 lũy thừa cùng cơ số:
a
a
a
α
α β
β
−
=
• Lũy thừa chồng chất:
. .
( ) ( )a a a a
α β αβ βα β α
= = =
• Lũy thừa của một tích:

( ) .ab a b
α α α
=
• Lũy thừa của một thương:
a a
b b
α
α
α
 
=
 ÷
 
2.2.2 Các bất đẳng thức:
2.2. Các tính chất cơ bản:
2.2.1 Các đẳng thức: Với cơ số a luôn thỏa
0 1a< ≠
, thì:
●
log 1 0
a
=
●
log 1
a
a
=
●
( )
log

a
b
a b
=
(b > 0)
●
( )
log
a
a
α
α
=
●
log log
a a
b b
α
α
=
(b > 0)
●
1
log log
a
a
b b
α
α
=

(với
0
α
≠
)
• Logarit của một tích:
( )
log log log
a a a
MN M N
= +
(Với M > 0, N > 0)
• Logarit của một thương:
log log log
a a a
M
M N
N
 
= −
 ÷
 
(Với M > 0, N > 0)
• Công thức đổi cơ số:
log
log
log
c
a
c

b
b
a
=
( với a, b, c đều dương và
1c ≠
)

1
log
log
a
b
b
a
=
(với
1b ≠
)
2.2.2 Các bất đẳng thức:
● Hàm số mũ
x
y a=
đồng biến khi
1a >
nên
Nếu:
1a
>
thì

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x
f x
f x
f x g x
g x
g x
g x
a a f x g x
a a f x g x
a a f x g x
a a f x g x
é
> Û >
ê
ê
³ Û ³
ê
ê
ê

< Û <
ê
ê
£ Û £
ê
ë
(giữ nguyên chiều)
● Hàm số mũ
x
y a=
nghịch biến khi
0 1a< <
nên
Nếu:
0 1a< <
thì
a a
a a
a a
a a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
é
> Û <

ê
ê
³ Û £
ê
ê
< Û >
ê
ê
ê
£ Û ³
ë
(đổi chiều)
● Với
0 a b< <
và m là số nguyên thì:
- Nếu
m m
a b<
thì m > 0
- Nếu
m m
a b>
thì m < 0
● Với
a b<
và n là số tự nhiên lẻ thì
n n
a b<
● Hàm số mũ
log

a
y x=
đồng biến khi
1a >
nên
Nếu:
1a
>
thì
log ( ) log ( ) ( ) ( )
log ( ) log ( ) ( ) ( )
log ( ) log ( ) ( ) ( )
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a a
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
f x g x f x g x
f x g x f x g x
é
> Û >
ê
ê
³ Û ³
ê
ê
< Û <
ê

ê
£ Û £
ê
ë
(giữ nguyên chiều)
● Hàm số mũ
log
a
y x=
nghịch biến khi
0 1a< <
nên
Nếu:
0 1a
< <
thì
log ( ) log ( ) ( ) ( )
log ( ) log ( ) ( ) ( )
log ( ) log ( ) ( ) ( )
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
a a
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
f x g x f x g x
f x g x f x g x
é
> Û <

ê
ê
³ Û £
ê
ê
< Û >
ê
ê
£ Û ³
ê
ë
(đổi chiều)