Gián án nguyên hàm cơ bản

BẢNG ĐẠO HÀM CƠ BẢN
Hàm sơ cấp Hàm số hợp u = u(x)
( ) ( )
' '
0 ; 1C x= =
( )
'
1
x x
α α
α
−
=
'
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 
( )
'
1
x
2 x
=
( )
'
1 '
u u .u

α α
α
−
=
'
'
2
1 u
u u
 
= −
 ÷
 
( )
'
'
u
u
2 u
=
( )
'
x x
e e
=
( )
'
x x
a a ln a=
( )

'
u u '
e e .u
=
( )
'
u ' u
a u .a ln a=
( )
'
1
ln x
x
=
( )
'
a
1
log x
x ln a
=
( )
'
'
u
ln u
u
=
( )
'

'
a
u
log u
u ln a
=
( )
( )
( )
( )
( )
'
'
'
2
2
'
2
2
sin cos
cos sin
1
tan 1 tan
cos
1
cot 1 cot
sin
x x
x x
x x

x
x x
x
=
= −
= = +
= − = − +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
'
'
'
'
'
2 '
2
'
2 '
2
sin .cos
cos .sin
'
tan 1 tan .
cos
'
cot 1 cot .

sin
u u u
u u u
u
u u u
u
u
u u u
u
=
= −
= = +
= − = − +
- 1 -
§. NGUYÊN HÀM
1. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ NGUYÊN HÀM
1.1 Nguyên hàm của hàm tổng bằng tổng các nguyên hàm:
( )
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +
ò ò ò
1.2 Nguyên hàm của hàm hiệu bằng hiệu các nguyên hàm:
( )
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx- = -
ò ò ò
• Chú ý: Có thể mở rộng cho nhiều hàm với tổng và hiệu kết hợp tùy ý.
1.3 Nguyên hàm của hàm bội bằng bội của nguyên hàm:
. ( ) . ( )k f x dx k f x dx=
ò ò
(với k là hằng số)
1.4 Nguyên hàm không phụ thuộc kí hiệu biến số, tức là:

( ) ( ) ( ) ... f x dx f u du f t dt= = =
ò ò ò
2. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM CƠ BẢN
Ghi chú: Kí hiệu
ò
đọc là nguyên hàm và C là hằng số
Tên hàm
Nguyên hàm của các
hàm sơ cấp cơ bản
Nguyên hàm của các
hàm mở rộng tương ứng
Hàm hằng
kdx kx C= +
ò
( k là hằng số)
……….
Hàm lũy
thừa
( 1)
( 1)
x
x dx C
a
a
a
+
= +
+
ò
( )

( )
( 1)
1
.
( 1)
ax b
ax b dx C
a
a
a
a
+
+
+ = +
+
ò
Hàm phân
thức
1
lndx x C
x
= +
ò
(
ln x
là logarit cơ số e)
•
1 1
.lndx ax b C
ax b a

= + +
+
ò
•
'( )
ln ( )
( )
u x
dx u x C
u x
= +
ò
Hàm mũ
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
ò
……….
x x
e dx e C= +
ò
1
( ) .( )
ax b ax b
e dx e C
a

+ +
= +
ò
Hàm lượng
giác
sin cosxdx x C=- +
ò
( ) ( )
1
sin .cosax b dx ax b C
a
+ =- + +
ò
cos sinxdx x C= +
ò
( ) ( )
1
cos .sinax b dx ax b C
a
+ = + +
ò
( )
2
2
1
1 tan tan
cos
dx x dx x C
x
= + = +

ò ò
……….
( )
2
2
1
1 cot cot
sin
dx x dx x C
x
= + =- +
ò ò
……….
- 2 -
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
• Do đó:
( )
2
2
1
2 3
2
x dx u du+ =
ò ò

3
1
6
u C= +

3
1
(2 1)
6
x C= + +
3.1.2 Phương pháp đổi biến số nghịch:
(Dùng cho tích phân)
• Bước 1: Đặt x = x(t) là hàm của t …
3.2 Phương pháp nguyên hàm từng phần: (Dùng cho hàm tích phức tạp)
Tính
( )f x dx
ò
bằng cách đặt thêm hai ẩn u và v để chuyển về
( ) ( ) ( ) ( )
.u dv u v v du= -
ò ò

• Đặt:
( )
( ) ( )
... ... '
... ... ...


u du dx
dv dx v dx
ì
= =Þ
ï
ï

ï
í
ï
= = =Þ
ï
ï
î
ò
• Do đó:

( )f x dx udv=
ò ò

( ) ( ) ( )
.u v v du= -
ò
= ……
☺Tính
ln ?x xdx =
ò
Giải:
• Đặt:
( )
2
1
ln ln '
2


u x du x dx dx

x
x
dv xdx v xdx
ì
ï
ï
= = =Þ
ï
ï
ï
í
ï
ï
= = =Þ
ï
ï
ï
î
ò
• Do đó:
lnx xdx
ò
udv=
ò
(Theo cách đặt nên có)
( ) ( ) ( )
.u v v du= -
ò
(Theo định lý có)
( )

2 2
1
ln . .
2 2
x x
x dx
x
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
= -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ò
(Thay u, v và du vào)
( )
2
1
ln .
2 2
x
x xdx
æ ö
÷
ç

÷
= -
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
(Rút gọn)
( )
2 2
1
ln . .
2 2 2
x x
x C
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
= - +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
- 3 -