Nghiên cứu động lực học và điều khiển rô bốt dưới nước

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHẠM XUÂN HIỀN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
------------------------------

PHẠM XUÂN HIỀN

NGHIÊN CỨU ĐỘNG HỌC VÀ ĐIỀU KHIỂN
NGÀNH: CƠ ĐIỆN TỬ

RÔBỐT DƯỚI NƯỚC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CƠ ĐIỆN TỬ

KHÓA 2010B

Hà Nội – 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đề tài luận văn “nghiên cứu động lực học và điều khiển robot
dưới nước” là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi, và chưa được cơng bố trong bất
cứ cơng trình nào khác. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực.

Học viên
Phạm Xuân Hiền


MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
CHƯƠNG I - ĐỘNG HỌC TÀU LẶN ROV ............................................................. 5
1.1. Mơ hình hố động lực học và điều khiển robot dưới nước .............................. 5
1.2. Động học tàu lặn ROV ..................................................................................... 5
1.2.1. Biểu diễn chuyển động của vật rắn ........................................................... 5
1.2.2. Vận tốc góc của vật rắn ............................................................................. 7
1.2.3. Gia tốc góc của vật rắn .............................................................................. 8
1.2.4. Liên hệ giữa vận tốc và gia tốc hai điểm thuộc vật rắn ............................ 8
1.2.5. Liên hệ giữa vận tốc góc của vật rắn và ma trận cơsin chỉ hướng .......... 10
1.2.6. Toạ độ suy rộng xác định hướng của vật rắn .......................................... 10
1.2.7. Phương trình vi phân động học cho robot dưới nước ............................. 18
CHƯƠNG II - XÂY DỰNG MƠ HÌNH ĐỘNG LỰC HỌC TÀU LẶN ROV.............. 20
2.1. Động lượng - momen động lượng và động năng của vật rắn ........................ 20
2.1.1. Động lượng của vật rắn ........................................................................... 20
2.1.2. Ma trận momen quán tính khối của vật rắn ............................................ 21
2.1.3. Momen động lượng của vật rắn đối với một điểm O thuộc vật .............. 22
2.1.4. Động năng của vật rắn ............................................................................ 24
2.2. Thiết lập phương trình động lực học của vật rắn ........................................... 24
2.2.1. Áp dụng định lý biến thiên động năng và momen động lượng............... 24
2.2.2. Áp dụng định lý biến thiên động năng .................................................... 25
2.2.3. Biểu diễn dạng ma trận phương trình vi phân chuyển động của vật rắn 29
2.2.4. Tính các lực tác dụng lên tàu lặn ROV ................................................... 30
2.2.5. Phương trình chuyển động cho tàu lặn ................................................... 33
2.2.6. Các trường hợp riêng .............................................................................. 34
2.3. Phân phối tối ưu lực đẩy cho các chân vịt ..................................................... 35
2.4. Tóm tắt chương .............................................................................................. 36
CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN CHO TẦU LẶN ............. 37
3.1. Điều khiển vị trí cho ROV ............................................................................. 37
3.1.1. Điều khiển PD + bù trọng lực ................................................................. 37
3.2. Điều khiển bám quỹ đạo ................................................................................. 47

3.2.1. Tuyến tính hố phản hồi trạng thái.......................................................... 47
i


3.2.2. Bộ tích phân cuốn chiếu (Backstepping) ................................................ 54
3.3. Tóm tắt chương .............................................................................................. 66
CHƯƠNG IV - KẾT HỢP ĐIỂU KHIỂN VỚI HỆ THỐNG ĐỊNH VỊ INS .............. 67
4.1. Giới thiệu về hệ thống định vị quán tính INS ................................................ 67
4.2. Hệ thống định vị quán tính INS ..................................................................... 68
4.3. Nguyên lý và kết cấu của INS ........................................................................ 71
4.4. Mô phỏng hệ thống INS (với a ,  giả định) .................................................... 73
4.5. Kết hợp điều khiển với hệ thống định vị qn tính INS để mơ phỏng cho ROV76
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 84

ii


DANG MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT THƯỜNG DÙNG
x, y, z

Vị trí của ROV

 , ,

Các góc Euler

u, v, w

Vận tốc dài của ROV

p, q, r

Vận tốc góc của ROV

m

Khối lượng của vật

Ai

Ma trận cosin chỉ hướng thứ i

B

Ma trận phân phối

C

Ma trận chứa các lực ly tâm và lực quán tính coriolis

V

Hàm lyapunov

T(t)

Ma trận biến đổi toạ độ thuần nhất

M

Ma trận khối lượng của ROV

J0

Ma trận moment quán tính khối tâm của vật

ω

Vector vận tốc góc của vật rắn

α

Vector gia tốc góc của vật rắn

v op

Vector vận tốc góc của vật rắn P trong hệ qui chiếu cố định Ro

a op

Vector gia tốc góc của vật rắn P trong hệ qui chiếu cố định Ro

a

Ma trận sóng

η

Ma trận sai lệch vị trí giữa thực tế và mong muốn

u

Vector toạ độ điểm trong hệ qui chiếu gắn liền vật

v

Vector vận tốc dài và vận tốc góc của ROV

q, η

Vector toạ độ suy rộng xác định vị trí và hướng của ROV

η, η

Lần lượt là đạo hàm cấp một và cấp hai của η theo thời gian

J

Ma trận Jacobi hay ma trận chuyển đổi góc Euler

y

Vector chứa các thành phần vận tốc và vận tốc góc của vật trong hệ Ro

τ

Vector lực tác dụng lên ROV
iii

g

Vector trọng lực và lực đẩy do thể tích nước bị choán chỗ

l0

Ma trận moment động lượng của vật

T

Động năng của vật

Kp, Kd, Ki Các ma trận tham số của bộ điều khiển PID
DOF

Bậc tự do của hệ

đkqđ

Điều khiển quỹ đạo

đk

Điều khiển

đkphtt

Điều khiển phản hồi trạng thái

tt

Tuyến tính

pt

Phi tuyến

tptt

Tích phân thần tuý

iv


DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1:

Robot dưới đáy biến

1

Hình 2:

Một số dạng robot dưới nước

2

Hình 3:

Một số dạng AUV

2

Hình 4:

Robot dạng ROV đang kiểm tra đường ống

3

Hình 5:

ROV cùng với hệ thống vận hành của nó

3

Hình 1.1: Mơ tả chuyển động của điểm thuộc vật rắn

6

Hình 1.2: Hệ toạ độ của vật rắn

7

Hình 1.3: Các góc quay Euler thứ tự quay ZXZ

11

Hình 1.4: Các góc Cardan thứ tự quay XYZ

13

Hình 1.5: Các góc roll - pitch - yaw thứ tự quay ZYX

15

Hình 1.6: Mơ hình ROV cùng hai trục toạ độ

18

Hình 2.1: Vật rắn chuyển động trong không gian với 2 hệ trục toạ độ

20

Hình 3.1: Sơ đồ khối của bộ điều khiển PD cùng với tàu ROV

38

Hình 3.2: Sơ đồ khối Simulink dùng PD để đk vị trí tàu lặn ROV

39

Hình 3.3: Đồ thị của x và x theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PD

39

Hình 3.4: Đồ thị của y và y theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PD

40

Hình 3.5: Đồ thị của z và z theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PD

40

Hình 3.6: Đồ thị của  và  theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PD

40

Hình 3.7: Đồ thị của  và  theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PD

40

Hình 3.8: Đồ thị của  và  theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PD

41

Hình 3.9: Sơ đồ khối Simulink dùng PID để đk vị trí tàu lặn ROV với 1 DOF 44
Hình 3.10: Đồ thị của z và z theo t khi sử dụng bộ điều khiển PID với 1 DOF

44

Hình 3.11: Sơ đồ khối Simulink dùng PID để đk vị trí tàu lặn ROV

44

Hình 3.12: Đồ thị của x và x theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PID

45

v


Hình 3.13: Đồ thị của y và y theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PID

45

Hình 3.14: Đồ thị của z và z theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PID

45

Hình 3.15: Đồ thị của  và  theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PID

45

Hình 3.16: Đồ thị của  và  theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PID

46

Hình 3.17: Đồ thị của  và  theo thời gian khi sử dụng bộ điều khiển PID

46

Hình 3.18: Tách phi tuyến trong hệ toạ độ gắn liền vật

47

Hình 3.19: Tách phi tuyến trong cố định chuyển đổi các tàu trong gắn liền vật

49

Hình 3.20: Sơ đồ khối Simulink dùng bộ đkphtt để đkqđ của tàu lặn ROV

50

Hình 3.21: Đồ thị của chuyển động thẳng mong muốn ηd theo thời gian

51

Hình 3.22: Đồ thị của x và x theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

51

Hình 3.23: Đồ thị của y và y theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

51

Hình 3.24: Đồ thị của z và z theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

51

Hình 3.25: Đồ thị của  và  theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

52

Hình 3.26: Đồ thị của  và  theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

52

Hình 3.27: Đồ thị của  và  theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

52

Hình 3.28: Đồ thị của chuyển động trịn mong muốn ηd theo thời gian

53

Hình 3.29: Đồ thị của x và x theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

53

Hình 3.30: Đồ thị của y và y theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

53

Hình 3.31: Đồ thị của z và z theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

53

Hình 3.32: Đồ thị của  và  theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

54

Hình 3.33: Đồ thị của  và  theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

54

Hình 3.34: Đồ thị của  và  theo thời gian thu được khi sử dụng bộ đk

54

Hình 3.35: Hai trạng thái bậc 2 với pt bậc nhất f(x1) và bộ tptt ở đầu vào

55

Hình 3.36: Sử ổ định của hệ thống x1bằng pp ổn định hàm số 1 = 1 ( x1 )

56

Hình 3.37: Sử ổ định của hệ thống x2 bởi pp điểu khiển đầu vào u = u(1, z1, z2 ) 58

vi


Hình 3.38: Hệ thống điều khiển phi tuyến Backstepping để đk 6DOF

62

Hình 3.39: Sơ đồ khối Simulink dùng bộ đk Backstepping để đkqđ tàu lặn ROV 63
Hình 3.40: Đồ thị của x và x theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ thẳng

63

Hình 3.41: Đồ thị của y và y theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ thẳng

63

Hình 3.42: Đồ thị của z và z theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ thẳng

63

Hình 3.43: Đồ thị của  và  theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ thẳng

64

Hình 3.44: Đồ thị của  và  theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ thẳng

64

Hình 3.45: Đồ thị của  và theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ thẳng

64

Hình 3.46: Đồ thị của x và x theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ trịn

64

Hình 3.47: Đồ thị của y và y theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ trịn

65

Hình 3.48: Đồ thị của z và z theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ trịn

65

Hình 3.49: Đồ thị của  và  theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ trịn

65

Hình 3.50: Đồ thị của  và  theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ trịn

65

Hình 3.51: Đồ thị của  và  theo t khi sử dụng Backstepping đkqđ trịn

66

Hình 4.1: Bộ dẫn đường qn tính IRBM53 của Pháp

68

Hình 4.2: Trục toạ độ của hệ thống dẫn đường qn tính

69

Hình 4.3: Sơ đồ khối của INS

70

Hình 4.4: Hệ có đế (Gimbal)

72

Hình 4.5: Sơ đồ hệ thống dẫn đường qn tính INS

72

Hình 4.6: Ba góc Euler

73

Hình 4.7: Sơ đồ khối Simulink hệ thống dẫn đường qn tính INS

74

Hình 4.8: Đồ thị vị trí của ROV thu được khi sử dụng INS

75

Hình 4.9: Đồ thị các góc nghiêng của ROV thu được khi sử dụng INS

75

Hình 4.10: Đồ thị các vận tốc của ROV thu được khi sử dụng INS

75

Hình 4.11: Sơ đồ khối Simulink kết hợp điều khiển với hệ thống INS

76

Hình 4.12: Đồ thị của x và x theo t khi đkqđ thẳng kết hợp với INS

76

vii


Hình 4.13: Đồ thị của y và y theo t khi đkqđ thẳng kết hợp với INS

76

Hình 4.14: Đồ thị của z và z theo t khi đkqđ thẳng kết hợp với INS

77

Hình 4.15: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ thẳng kết hợp với INS

77

Hình 4.16: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ thẳng kết hợp với INS

77

Hình 4.17: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ thẳng kết hợp với INS

77

Hình 4.18: Đồ thị của x và x theo t khi đkqđ thẳng trong bài tốn động học

78

Hình 4.19: Đồ thị của y và y theo t khi đkqđ thẳng trong bài tốn động học

78

Hình 4.20: Đồ thị của z và z theo t khi đkqđ thẳng trong bài toán động học

78

Hình 4.21: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ thẳng trong bài tốn động học

78

Hình 4.22: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ thẳng trong bài tốn động học

79

Hình 4.23: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ thẳng trong bài tốn động học

79

Hình 4.24: Đồ thị của x và x theo t khi đkqđ trịn kết hợp với INS

79

Hình 4.25: Đồ thị của y và y theo t khi đkqđ trịn kết hợp với INS

79

Hình 4.26: Đồ thị của z và z theo t khi đkqđ tròn kết hợp với INS

80

Hình 4.27: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ trịn kết hợp với INS

80

Hình 4.28: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ tròn kết hợp với INS

80

Hình 4.29: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ trịn kết hợp với INS

80

Hình 4.30: Đồ thị của x và x theo t khi đkqđ trịn trong bài tốn động học

81

Hình 4.31: Đồ thị của y và y theo t khi đkqđ tròn trong bài tốn động học

81

Hình 4.32: Đồ thị của z và z theo t khi đkqđ trịn trong bài tốn động học

81

Hình 4.33: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ trịn trong bài tốn động học

81

Hình 4.34: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ tròn trong bài tốn động học

82

Hình 4.35: Đồ thị của  và  theo t khi đkqđ trịn trong bài tốn động học

82

viii


LỜI MỞ ĐẦU
Biển đóng vai trị ngày càng quan trọng trong chiến lược phát triển nền kinh tế và
an ninh quốc phịng của nước ta. Biển khơng chỉ cung cấp một nguồn tài nguyên rất lớn
và quý giá. Nhu cầu về nghiên cứu và tìm kiếm các nguồn tài nguyên trong lòng biển
và đại dương đòi hỏi con người ngày càng phải tiến sâu hơn trong lòng đại dương. Tuy
nhiên, việc sử dụng thợ lặn bị hạn chế nhiều vì con người chỉ có thể lặn sâu khơng q
300m. Để có thể tìm kiếm những tài ngun ở độ sâu lớn hơn và để tránh những rủi ro
cho thợ lặn từ những năm 70 của thế kỷ XX robot dưới nước đã được nghiên cứu và
phát triển. Loại robot dưới nước có điều khiển từ xa này nhanh chóng đáp ứng các yêu
cầu trong việc thanh kiểm tra, giám sát và bảo dưỡng những cơng trình kỹ thuật ngồi
khơi cũng như việc nghiên cứu các tài nguyên dưới biển và đại dương (hình 1).

Hình 1: Rơbốt bị dưới đáy biển
Các thiết bị lặn loại nhỏ hiện nay có thể phân thành ba loại chính: bơi trong nước nhờ
các cánh quạt chân vịt; bò trên mặt đáy biển nhờ hệ thống bánh xích; và robot dưới
nước phỏng theo chuyển động của cá. Loại thứ nhất được chia làm hai nhóm (ROV:
remotely operated vehicles và AUV: autonomous underwater vehicles) (hình 2).

1


AUV kiểm tra cáp ngầm

ROV chôn cáp dưới đáy biển

Quelle: www.noaanews.noaa.gov

Quelle: www.rov.org

Hình 2: Một số dạng Robot dưới nước
- Tàu lặn loại AUV khơng có dây nối với tàu mẹ. Các thiết bị sử dụng năng
lượng trực tiếp từ ắc qui lắp trên tàu. AUV sẽ làm việc theo một chương trình được
lặp trình sẵn, thơng thường chúng được sử dụng như một camera di dộng. Thời gian
và phạm vi hoạt động phụ thuộc vào năng lượng nạp trong ắc qui. Chuyển động của
AVU được thực hiện bởi một hoặc hai chong chóng đẩy. Chuyển động lên xuống,
của vịng được thực hiện bởi các cánh lái. Kết cấu của loại tàu này thường có dạng
hình trụ dài, đầu hình cầu, phía đi là chong chóng đẩy (hình 3).

Hình 3: Rơbốt dạng AUV
- Tàu lặn loại ROV có nhiều loại kết cấu khác nhau (khối hộp, dạng cầu, dạng
khung,…) và được trang bị các thiết bị phụ trợ khác như camera, cánh tay với dụng
2


cụ có thể cầm, cắt, hệ thống đèn chiếu sáng,… Việc cung cấp năng lượng cho ROV
từ tàu mẹ và truyền thông tin từ ROV tới tàu mẹ được thực hiện nhờ một dây cáp
tương tự như dây dốn. Mặc dù phạm vi làm việc của ROV bị hạn chế bởi chiều dài
cáp, tuy nhiên thời gian làm việc của ROV khơng bị hạn chế. Thơng qua màn hình
đội vận hành sẽ điều khiển trực tiếp bằng các joystick (hình 4 và 5).

Hình 4: Rơbốt dạng ROV đang kiểm tra đường ống
Ở nước ta việc nghiên cứu thiết kế mô hình tàu lặn loại ROV cịn ít được chú ý. Các
kết quả đạt được vẫn còn hạn chế, việc mua các thiết bị phụ kiện cịn khó khăn. Hơn
nữa, hiện nay chúng ta có rất nhiều cơng trình trên biển như các dàn khoan, các
đường ống dẫn dầu, dẫn khí. Các cơng trình này địi hỏi các thợ lặn phải làm việc
với độ sâu và thời gian ngày càng lớn. Do đó việc nghiên cứu thiết kế chế tạo một
mơ hình tàu lặn cỡ nhỏ có điểu khiển từ xa là một nhu cầu cấp thiết để có thể triển

khai chế tạo một sản phẩm có thể ứng dụng trong các ngành nghiên cứu về cơng
trình biển, đại dương, …
Tàu mẹ

Cáp truyền năng
lượng và thơng tin

ROV + tay máy
Hình 5: ROV cùng với hệ thống vận hành nó
3


Cách tiếp cận đề tài: phương pháp nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên
cứu, nội dung nghiên cứu.
-

Tổng quan và xây dựng mơ hình động lực học và điều khiển tàu lặn ROV.
Kết hợp điều khiển với hệ thống định vị INS cho tàu lặn ROV.
Sử dụng phần mềm tính tốn Matlab Simulink để mơ phỏng chuyển
động của tàu lặn ROV.

Do thời gian nghiên cứu có hạn, chắc chắn trong luận văn cịn có những thiếu sót,
tơi mong nhận được sự chỉ bảo và nhận xét của các thầy cơ để luận văn có thể mở rộng
hơn nữa trong tương lại.
Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Quang Hồng đã giúp đỡ, tận tình chỉ
bảo và hướng dẫn tơi trong suốt q trình học tập và làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong bộ môn Cơ học ứng
dụng đã tạo điều kiện giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập.

Học viên

Phạm Xuân Hiền

4


CHƯƠNG I - ĐỘNG HỌC TÀU LẶN ROV
1.1. Mơ hình hoá động lực học và điều khiển robot dưới nước
Việc vận hành robot dưới nước được thực hiện nhờ một hệ điều khiển. Việc mơ
hình hố động lực học của robot dưới nước với độ chính xác cao nhất có thể là rất cần
thiết cho việc thiết kế bộ điều khiển robot. Nhiệm vụ này khơng chỉ địi hỏi phải xác
định mơ hình tốn học của robot mà cịn u cầu mô tả tác động qua lại giữa robot và
phần nước bao quanh nó. Phương trình chuyển động của robot dưới nước được thiết
lập bằng cách áp dụng phương trình Newton Euler đối với vật rắn chuyển động tự do
và có tính đến tác động qua lại giữa chất lỏng và cấu trúc. Nhiều yếu tố sử dụng trong
mơ hình hố động lực học của robot dưới nước chỉ có độ chính xác tương đối.
Bên cạnh việc mơ tả gần đúng tác động qua lại giữa chất lỏng và cấu trúc, tác
động của dòng nước thay đổi lên robot cũng như khó có thể đốn trước và mơ hình
hố chính xác được. Thêm vào đó dây cáp dùng để cung cấp điện năng cho robot và
truyền tín hiệu qua lại giữa robot và tàu mẹ cũng tác dụng lên robot một lực thay đổi
phụ thuộc vị trí, vận tốc của robot và tốc độ của dòng đại dương cũng gần như cấu
hình của dây cáp. Lực này khơng sẵn có cho hệ điều khiển phản hồi. Vì vậy việc lựa
chọn phương án điều khiển đối với robot dưới nước có một ý nghĩa quan trọng. Các
phương pháp điều khiển truyền thống như PD, PID vẫn được sử dụng do tính đơn
giản dễ áp dụng. Ngoài ra, phương pháp điều khiển hiện đại như điều khiển trượt,
điều khiển thích nghi, hay điều khiển mờ cũng đã thu hút được sự chú ý nghiên cứu
của các chuyên gia.
1.2. Động học tàu lặn ROV
Tàu lặn chuyển động trong nước được coi như vật rắn với sáu bậc tự do. Vị trí
và hướng của vật được xác định bởi vị trí một điểm thuộc vật - thường được gọi là
điểm cực, và hướng của vật so với một hệ qui chiếu cố định. Bài tốn động học

trình bày các thơng số định vị, các phép biến đổi vận tốc dài và vận tốc góc trong
các hệ qui chiếu. Trong đó liên quan đến khái niệm ma trận cơsin chỉ hướng, các
góc định vị, các phép biến đổi vận tốc dài và vận tốc góc.
1.2.1. Biểu diễn chuyển động của vật rắn
Xét chuyển động tổng quát của vật rắn B đối với hệ qui chiếu cố định R.
Chuyển động tổng quát này có thể được phân tích thành chuyển động của điểm O
thuộc vật và chuyện động quay quanh điểm O đó. Vị trí và hướng của vật được xác
định vị trí của điểm O thuộc vật và hướng của vật.

5


z, e3

P

u

z0 , e3o

y, e2

rP

O
ro

O0

x, e1

y0 , e2o

x0 , e1o

Hình 1.1: Mô ta chuyển động của điểm thuộc vật rắn
Vị trí của điểm P bất kỳ thuộc vật ln xác định nếu ta biết vị trí của điểm O và ma
trận cơsin chỉ hướng:
rP = r0 + u

(1.1)

Chiếu phương trình trên trong hệ toạ độ cố định ra nhận được toạ độ của điểm P như sau:
rP = r0 + Au

(1.2)

T

Với u = ux , uy , uz  = const , là vector chứa toạ độ của điểm P trong hệ qui chiếu gắn liền vật.
Như thế, nếu biết chuyển động của điểm O, ro (t ) , và chuyển động quay quanh O - mô
tả bởi ma trận A(t), ta sẽ xác định được chuyển động của điểm bất kỳ thuộc vật. Điều
này cho phép ta có thể biểu diễn được chuyển động của vật rắn thông qua cặp thông số:

ro (t ), A(t )
Nếu đưa vào các toạ độ thuần nhất - bằng cách thêm phần tử thứ tư có giá trị bằng 1
vào các vector toạ độ của các điểm, ví dụ như:
T

u = ux , u y , uz   tnu = ux , u y , uz , 1

T

ro =  xo , yo , zo   tnro =  xo , yo , zo , 1
T

T

rP =  xP , yP , zP   tnrP =  xP , yP , zP , 1
T

T

Khi đó toạ độ thuần nhất của điểm P được tính như sau:
tn

r (t ) A(t ) ro (t ) u
rP =  P  = 
= T(t ) tnu



1  1 
 1   0

6


Với ma trận:
 A(t ) ro (t ) 

T(t ) = 
1 
 0

(1.3)

được gọi là ma trận biến đổi toạ độ thuần nhất. Ma trận này chứa đựng đầy đủ thơng
tin về chuyển động của vật rắn, đó là chuyển động của điểm O và ma trận côsin chỉ
hướng của vật. Như vậy, ta hoàn toàn biểu diễn được chuyển động của vật rắn thông
qua ma trận biến đổi toạ độ thuần nhất T(t).
1.2.2. Vận tốc góc của vật rắn
Xét vật rắn B chuyển động đối với hệ qui chiếu Ro = (Oxyz)o . Vận tốc góc của
vật rắn đặc trưng cho tốc độ thay đổi hướng của vật rắn trong hệ qui chiếu Ro đó.
z0 , e3
z, e3

P

y, e2
y0 , e2

O
x0 , e1

x, e1
Hình 1.2: Hệ toạ độ của vật rắn

Theo định nghĩa, vận tốc góc của vật rắn là đại lượng vector thoả mãn hệ thức sau:
d
c = Ro B  c , c  0 gắn vào vật B.

dt
Ở đây ta ký hiệu Ro  B là vector vận tốc góc của vật B so với hệ qui chiếu Ro . Trong

trường hợp chỉ xét chuyển động của một vật B đối với hệ qui chiếu Ro , thì ta có thể
viết gọn thành  = Ro  B . Nếu gắn vào vật B một hệ qui chiếu Ro = (Oxyz)o , thì ta có

 R = R  B và R B = 0 .
Biểu diễn vận tốc góc của vật rắn theo các vector chỉ phương của hệ qui chiếu động:
Ro

o

 = R B = (  e1 )e1 + (  e2 )e2 + (  e3 )e3
Chú ý đến các công thức:
e1 = e2  e3 , e2 = e3  e1 , e3 = e1  e2
a  (b  c ) = b  (c  a ) = c  (a  b )
d
ei =   ei
dt

7

(1.4)


Ta biến đổi biểu thức (1.4) về dạng:

 = R  B = (e3
o

d
d
d
e2 )e1 + (e1 e3 )e2 + (e2 e1 )e3
dt
dt
dt

d
d Ro d
Ở đây các đạo hàm được hiểu là đứng trong hệ qui chiếu cố định Ro , tức là 
dt dt
dt

Biểu diễn vector vận tốc góc trong hệ qui chiếu:
Vector vận tốc góc của vật rắn được biểu diễn qua các vector đơn vị của hệ cố định
Ro như sau:
T

 =xoe1o + yoe2o + zoe3o , ωo = xo , yo , zo 
Và qua các vector đơn vị của hệ gắn liền vật R:
T

 =xe1 + ye2 + z e3 , ω = x , y , z 

Mối liên hệ giữa các thành phần hình chiếu của vector vận tốc góc trong hai hệ qui
chiếu thông qua ma trận quay như sau:
ωo = Aω

(1.5)

1.2.3. Gia tốc góc của vật rắn
Vector gia tốc góc của vật rắn, ký hiệu là  hoặc  , đặc trưng cho tốc độ thay
đổi vận tốc góc của vật rắn theo thời gian.
Ro

B =

d Ro R
d
 hay  = 
dt
dt

Biểu diễn vector gia tốc góc trong các hệ qui chiếu trong hệ cố định Ro và trong hệ
gắn lên vật R như sau:

 O =  xo e1o +  yo e2o +  zo e3o , αo =  xo ,  yo ,  zo 
 =  x e2 +  y e2 +  z e3 ,

α =  x ,  y ,  z 

T

T

Mối liên hệ giữa các thành phần hình chiếu của vector gia tốc góc trong hai hệ qui
chiếu thơng qua ma trận quay như sau:
αo = Aα

(1.6)

1.2.4. Liên hệ giữa vận tốc và gia tốc hai điểm thuộc vật rắn
Xét điểm P thuộc vật, đặt u = OP . Như trên hình 1.1 ta có:
rP = r0 + u

(1.7)
8


Đạo hàm theo thời gian (1.7) ta nhận được vận tốc của điểm P:
vP =

d
d
rP = (ro + u ) = vo +   u
dt
dt

(1.8)

Tiếp tục đạo hàm biểu thức trên theo thời gian ta nhận được gia tốc của điểm P:
aP =

d
d
vP = (vo +   u ) = ao +  + u +   (  u )
dt
dt

(1.9)

T

Gọi u = ux , uy , uz  là vector toạ độ điểm P trong hệ qui chiếu R gắn vào vật. Ta có toạ
độ của điểm P trong hệ qui chiếu cố định như sau:
rPo = rOo + Au

(1.10)

Tính các thành phần hình chiếu của vector vận tốc trong hệ qui chiếu cố định R0.
Chiếu các phương trình vector (1.8) và (1.9) trong hệ qui chiếu cố định, ta nhận
được các thành phần vận tốc của điểm P:
voP = vOo + S(ωo )uo = vOo + S(ωo )Au

(1.11)

Và các thành phần gia tốc của điểm P:
aoP = aOo + S(αo )uo + S(ωo ) S(ωo )  uo = aOo + S(αo ) Au + S(ωo )S(ωo ) Au

(1.12)

Tương tự trên, nếu chiếu các phương trình vector (1.8) và (1.9) trong hệ qui chiếu
gắn liền vật, ta nhận được các thành phần vận tốc và gia tốc của điểm P trong hệ qui
chiếu gắn liền vật R như sau:
(1.13)
vP = vO + S(ω)u
aP = aO + S(α)u + S(ω) S(ω) u = aO + S(α)Au + S(ω)S(ω)u

(1.14)

Mối liên hệ giữa các thành phần toạ độ được tính dựa trên ma trận cơsin chỉ hướng như sau:
voP = Av P = A  vO + S(ω)u

(1.15)

aoP = AaP = A aO + S(α)Au + S(ω)S(ω)u

(1.16)

Trong các phương trình hình chiếu trên, phép tính tích có hướng hai vector trong
không gian ba chiều, c = a  b , được viết ở dạng các toạ độ của vector này như sau:
(1.17)
c = a  b  c = ab = S(a)b
Với ma trận sóng cỡ 3  3 ứng với một vector 3 phần tử như sau:
 0 −az ay 


a = S(a) =  az
0 −ax  = −ST (a)
−ay ax
0 

9

(1.18)


1.2.5. Liên hệ giữa vận tốc góc của vật rắn và ma trận côsin chỉ hướng
Để đưa ra mối liên hệ vận tốc của vật rắn và ma trận côsin chỉ hướng A. Ta

tính vận tốc của điểm P bằng cách đạo hàm (1.10) theo thời gian.
rPo = rOo + Au  voP = rPo = rOo + Au

(1.19)

So sánh các biểu thức (1.19) và (1.11) với nhau, ta suy ra được:
S(ωo )A = A

(1.20)

 S(ωo ) = AAT

(1.21)

Như thế, từ phương trình (1.21) cho phép ta xác định được các thành phần hình chiếu của
vector vận tốc góc của vật rắn trong hệ qui chiếu cố định từ ma trận côsin chỉ hướng:
 0

o
S(ω ) =  zo
−yo


−zo
0

xo

xo 
yo 


 
−xo  = A AT  ωo = yo 
zo 
0 
 

Các thành phần hình chiếu của vector vận tốc góc trong hệ qui chiếu gắn liền vật
được xác định thông qua phép biến đổi toạ độ biểu thức (1.6):
ω = A−1ωo = AT ωo

(1.22)

Để đưa ra liên hệ giữa vận tốc góc ω và ma trận cơsin chỉ hướng A, ta chú ý đến các
phương trình (1.14) và phương trình (1.19) sau khi nhân trái hai vế với ma trận AT :
vP = vO + S(ω)u và vP = AT voP = AT rOo + AT Au = vO + AT Au

So sánh hai phương trình trên ta nhận được:
S(ω) = AT A

(1.23)

1.2.6. Toạ độ suy rộng xác định hướng của vật rắn
Hướng của vật rắn trong không gian được mô tả bằng ma trận côsin chỉ hướng,
tuy nhiên để trực quan người ta hay sử dụng các góc quay quanh các trục giao nhau.
Đó là các góc Euler, tuỳ theo thứ tự các trục quay mà các góc Euler này có tên gọi
khác nhau. Trong phần này trình bày các góc quay Euler và các ma trận quay tương
ứng, từ đó tính được vận tốc góc của vật theo đạo hàm của các góc quay đó.
-

Các góc Euler và ma trận quay Euler ( các góc có thứ tự quay ZXZ).

Xét vật rắn B quay quanh điểm cố định O. Hướng của vật rắn này (hệ qui chiếu
{Oxyz}) so với hệ qui chiếu cố định Ro={Oxyz}o được xác định bằng ba góc Euler
 ,  ,  hình (1.3). Để chỉ ra các góc này, trước hết vẽ đường nút OK là giao tuyến
của hai mặt phẳng (xOy)o và (xOy).
10


+  là góc giữa trục Oxo và đường nút OK.
+  là góc giữa trục Ozo và trục Oz.
+  là góc giữa đường nút OK và trục Ox
Bằng cách vẽ như vậy, chuyển động qua quanh O của vật rắn được hiểu là tổng hợp
của ba chuyện động quay quanh ba trục giao nhau: zo, OK, và z. Việc di chuyển để hệ
(Oxyz)0 về trùng với hệ (Oxyz) được thực hiện nhờ ba phép quay có thứ tự như sau:
+ Quay quanh trục z0 một góc  hệ (Oxyz)0 về trùng với hệ (Oxyz)1, có các
trục z1  z0 , x1  OK .
+ Quay quanh trục x1 một góc  hệ (Oxyz)1 về trùng với hệ (Oxyz)2, có các
trục x2  x1, z2  z .
+ Quay quanh trục z2 một góc  hệ (Oxyz)2 về trùng với hệ (Oxyz)3=(Oxyz),
có các trục z3  z2  z, x3  x, y3  y .
o

z0, e3

z0
z

y, e2

y

z, e 3





O

y0








x

x0

y0, e2o
x , e1

o

x0 , e1

K

K

Hình 1.3: Các góc quay Euler, thứ tự quay ZXZ
Các ma trận quay ứng với ba phép quay trên như sau:
0
0 
cos − sin 0
1



A z0 ( ) =  sin cos 0 ,
A x1 ( ) = 0 cos  − sin   ,
 0
0 sin  cos  
0
1
cos  − sin  0
A z ( ) =  sin  cos  0
 0
0
1
Nếu ký hiệu Aij là ma tận quay tương ứng phép quay từ hệ qui chiếu j sang hệ qui
chiếu i, ứng với ba phép quay trên ta có các ma trận quay sau đây:
A00 = diag(1, 1, 1) là ma trận đơn vị
A10 = Az ( ),

A12 = Ax ( ),

A32 = Az ()

11


A02 = A10 A12 ,
c
A =  s
 0
2
0

−s c
c c
s

A30 = A10 A12 A32

s c 
−c c  ,
c 

c c − s c s −c s − s c c s s 
A =  s c + c c s −s s + c c c −c s 

s s
s c
c 
3

0

Như thế ma trận quay (ma trận côsin chỉ hướng) của vật rắn B trong hệ cố định Ro
được đưa ra là:
A = A z ( )A x ( )A z ( )
0

1

c c − s c s −c s − s c c s s 
A =  s c + c c s −s s + c c c −c s 

s s
s c
c 

Đặt q =     là vector toạ độ suy rộng xác định vị trí (hướng) của vật, ta viết được:
T

A(q) = Az0 ( )Ax1 ( )Az ()

Xác định vận tốc góc từ ba góc Euler
Vector vận tốc góc của vật rắn được xác định từ cơng thức cộng vận tốc góc:
 =  +  +  =  ez +  ex + ez
0

1

2

(1.24)

Chú ý rằng: khi chiếu vector vận tốc góc này quay trong hệ qui chiếu cố định, ta
thấy ngay được ez , ex , ez có các thành phần hình chiếu tương ứng là cột thứ ba của
0

1

2

ma trận A , cột thứ nhất của ma trận A10 , và cột thứ ba của ma trận A02 . Từ đây ta
0
0

cho kết quả là:
ω0 =  ez(0)
+  A10ex(1)1 +  A02ez(2)
0
2
0 
cos 
 sin sin     cos + sin sin  






=  0 +   sin  +  − cos sin   =  sin −  cos sin  


1
 0 
 cos 
 
 +  cos 


Hay viết dưới dạng ma trận ta có:
xo  0 cos sin  sin   
 o 
 
y  = 0 sin − sin  cos   
zo  1
  
0
cos
 

(1.25)

Các thành phần hình chiếu của vector vận tốc góc trong hệ qui chiếu gắn liền vật
được xác định thông qua các ma trận côsin chỉ hướng:
x   sin  sin  cos  0  
T o
(1.26)
ω = A ω   y  = sin  cos  − sin  0  
z   cos 
0
1  
12

Đặt q =     là vector toạ độ suy rộng xác định hướng của vật, ta có thể viết:
T

 sin  sin  cos  0
ω = J (q)q với J (q) = sin  cos  − sin  0
 cos 
0
1

Từ phương trình trên, với det(J (q))  0 , ta có thể biểu diễn được:

q = J−1 (q)ω,

cos 
 sin 

0


 
x 
sin 
sin 


  =
− sin 
0  y 

   cos 
   − sin  cot  − cos  cot  1  z 






Ta thấy với cách sử dụng ba góc Euler, bài tốn biểu diễn trên khơng xác định tại vị
trí  = 0,   . Các điểm này được gọi là các điểm kì dị của phương pháp. Đây là
một nhược điểm của ba góc Euler.
-

Các góc Cardan và ma trận quay Cardan (thứ tự quay XYZ)

Việc thực hiện các phép quay để hệ cố định R0=(Oxyz)0 về trùng với hệ gắn liền vật
R=R3=(Oxyz)3 có thể được thực hiện với nhiều cách theo thứ tự quay khác nhau. Ứng
với mỗi cách ta có những góc quay và tên gọi khác nhau. Khi thứ tự và trục quay lần lượt
là x, y, z thì có các góc quay Cardan (hình 1.4). Trình tự các phép quay này như sau:
z1

z0

z,z3,z2
y, y3









y1,y2




O



y0




x, x3

x2

x 0, x 1

Hình 1.4: Các góc Cardan, thứ tự XYZ
+ Quay quanh trục x0 một góc  , hệ (Oxyz)0 về trùng với hệ (Oxyz)1, có các trục x1  x0 .
+ Quay quanh trục y1 một góc  hệ (Oxyz)1 về trùng với hệ (Oxyz)2, có các trục y2  y1 .
+ Quay quanh trục z2 một góc  hệ (Oxyz)2 về trùng với hệ (Oxyz)3=(Oxyz), có các
trục z3  z2  z
13

Các ma trận quay ứng với ba phép quay trên như sau:
0
0 
1

A = A x0 ( ) = 0 cos − sin  ,
0 sin cos 
cos  − sin  0
3
A2 = A z2 ( ) =  sin  cos  0 ,
 0
0
1
1
0

 cos  0 sin  
A = A y1 ( ) =  0
1
0  ,
− sin  0 cos 
2
1

A00 = diag (1, 1, 1)

Các ma trận tổng hợp tương ứng là:
0

sin 
 cos 


2
1 2
A0 = A0 A1 =  sin sin  cos − sin cos  
− cos sin  sin cos cos  
A30 = A10 A12 A32 = A x0 ( )A y1 ( )A z2 ( ) = A(q)
c c
c s
s 


A(q) = c s + s s c c c − s s s −s c 
 s s − c s c s c + c s s c c 

Xác định vận tốc góc của vật
Vector vận tốc góc của vật rắn được xác định từ cơng thức cộng vận tốc góc:
ω =  +  +  =  ex0 +  ey1 + ez2

(1.27)

Chú ý rằng: khi chiếu vector vận tốc này trong hệ qui chiếu cố định, ta thấy ngay được
ex , ey , ez có các thành phần hình chiếu tương ứng là cột thứ ba của ma trận A00 , cột
0

1

2

thứ nhất của ma trận A10 , và cột thứ ba của ma trận A02 . Từ đây ta cho kết quả là:
2 (2)
ω0 =  ex(0)
+  A10e(1)
y1 +  A0 ez2
0

 +  cos 
1
 0 
 sin 
 








=  0 +  cos  +  − sin cos  =   cos − sin cos 
0
 sin 
 cos cos    sin +  cos cos 
Hay viết dưới dạng ma trận ta có:
xo  1
0
 o 
y  = 0 cos

zo  0 sin
 

sin 
  
− sin cos   
cos cos   

(1.28)

Các thành phần hình chiếu của vector vận tốc góc trong hệ qui chiếu gắn liền vật
được xác định thông qua các ma trận côsin chỉ hướng:

14


x   cos  cos  sin  0  
ω = A ω   y  = − cos  sin  cos  0  
z   sin 
0
1  
T

o

(1.29)

Đặt q =     là vector toạ độ suy rộng xác định hướng của vật, ta có thể viết:
T

cos  cos  sin  0
ω = J (q)q với J (q) = cos  cos  cos  0
 sin 
0
1

Từ phương trình trên, với det(J (q))  0 , ta có thể biểu diễn được:
− sin 
 cos 
 cos 
cos 

−1
−1
cos 
q = J (q)ω, với J (q) =  sin 
− cos  tan  sin  tan 




0

0
1



(1.30)

Ta thấy với cách sử dụng ba góc Euler, bài tốn biểu diễn trên khơng xác định tại vị
trí  = 0,   . Các điểm này được gọi là các điểm kì dị của phương pháp.
-

Các góc Roll-Pitch-Yaw (thứ tự quay zyx)

Các góc Roll-Pitch-Yaw hay được sử dụng khi khảo sát động học các phương tiện
giao thông chuyển động không gian như tàu thuỷ, máy bay, vệ tinh, tên lửa, tàu
ngầm,…

Hình 1.5: Các góc Roll-Pitch-Yaw, thứ tự ZYX
Để chuyển hệ cố định (O0xyz)0 về trùng với hệ gắn liền vật (Oxyz), ta cần thực hiện
các bước sau. Trước hết tịnh tiến hệ (Oxyz)0 về đặt tại gốc của hệ (Oxyz) được hệ
(Oxyz)0. Sau đó thực hiện ba phép quay thứ tự:
+ Quay quanh trục z0 một góc  , hệ (Oxyz)0 về trùng với hệ (Oxyz)1, có các trục z1  z0 .
+ Quay quanh trục y1 một góc  hệ (Oxyz)1 về trùng với hệ (Oxyz)2, có các trục y2  y1 .
15