BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 9
NĂM 2017-2018 (CÓ ĐÁP ÁN)
1. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phịng GD&ĐT Hịa Bình
2. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phịng GD&ĐT huyện Thạch Thành
3. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phịng GD&ĐT Lâm Thao
4. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phịng GD&ĐT Phù Ninh
5. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phịng GD&ĐT Quế Sơn
6. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phịng GD&ĐT Tiền Hải
7. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh
8. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Đăk Lăk
9. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Hải Dương
10. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Lạng Sơn
11. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Nghệ An
12. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Bình
13. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Thanh Hóa
14. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Trà Vinh
15. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Tốn 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO
TẠO HỊA BÌNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2017 - 2018
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3 2013n2 2n chia hết cho 6.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho A n2 10n 136 là một số chính
phương.
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 12x+40 = x-2 10 x
1 1 1
x + y + z = 2
b) Giải hệ phương trình:
2 - 1 =4
xy z2
Câu 3 (5,0 điểm).
a) cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x y z 2 . Tìm giá trị biểu thức
x2
y2
z2
M
y z z x x y
b)
cho
a,
b,
c
>
0
và
a b c 3.
Chứng
mimh
rằng :
a1 b1 c1
3
b2 1 c2 1 a2 1
Câu 4 (5,0 điểm)
Hình vng ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB, E là giao điểm
của CN và DA. Vẽ tia Cx vng góc CE và cắt AB tại F. M là trung điểm của EF
a) Chứng minh rằng CM vng góc với EF
b) Chứng minh : ND.DE a2 và B, D, M thẳng hàng
c) Tìm vị trí N trên AB sao cho diện tích tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích hình
vng ABCD
- - - Hết - -
Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: .....................................
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THẠCH THÀNH
Đề chính thức (Gồ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 C P HUYỆN
MƠN: TỐN
NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi 09/10/2017
(Thời gian: 150 phút khơng tính thời gian phát đề)
0 trang)
Bài 1: (4 điểm). Cho biểu thức:
1
1
2
1
A
.
y x y x
x
3
3
1 x y x x y y
:
; (x > 0; y > 0).
y
x 3 y xy 3
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x 24 16 2 24 16 2 ;
y 2
24 16 2 24 16 2
c) Cho xy
T các giá trị của x, y ể A c giá trị nh nh t, t
Bài 2: (3 điểm). Giải các phương tr nh sau:
a) 1 x (2 x 5) 6 x
b)
giá trị
.
x 1 x 3 x 2 x 1 1 ( x 1)( x 3 x 2 x 1)
Bài 3: (3 điểm).
a) Cho a; b nguyên dương và a + 1; b + 2007 ều chia hết cho
Chứng inh rằng 4a + a + b chia hết cho
b) Tìm các nghi
nguyên dương (x; y) của phương tr nh: 7x - xy - 3y = 0
Bài 4: (6 điểm). Cho hình vng ABCD và các iể E, F lần lượt trên các cạnh AB,
AD sao cho AE = AF Gọi H là h nh chiếu của A trên DE.
a) Chứng inh: AD2 = DH.DE; AH.DC = AF.DH
b) Xác ịnh vị trí của các iể E và F ể di n tích ta giác DHC g p 4 lần
di n tích ta giác AHF
c) Chứng
inh rằng Sin
DHC
DC
2
DH HC
Bài 5: (4 điểm).
a) Cho ba số x; y; z 0 th a
ãn
1 1 1
0
x y z
xy yz zx
Tính giá trị của biểu thức: P 2 2 2 4
x
y
z
b) Cho a; b; c là ba số dương th a
Chứng
inh rằng:
2017
ãn abc = 1
a2
b2
c2
3
b 1 c 1 a 1 2
Họ, tên thí sinh: .................................... Chữ ký của giám thị 1:...............................
Số báo danh:........................................... Chữ ký của giám thị 2:...............................
HƯỚNG DẪN CH M BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LP 9 C P HUYN
MễN: TON
NM HC 2017 - 2018
Đáp ¸n
Bài
Điểm
a)
1
x3
1
2
1
1
.
A
:
y x y x y
x
x y
2
x y x x y x x
.
:
xy
xy
x
y
x xy y
2
x y
:
xy
xy
A
Bài 1
(4 điểm)
b)
x y
xy
.
2
x
y
y
xy
yy y
0,5
xy
0,5
0,5
(*)
4 2 2
4 2 2
2
x 42 2 42 2 8
x 3 y xy 3
x 24 16 2 24 16 2 =
y 2
y3
x y x y
xy x y
xy
x
y xx y
24 16 2 24 16 2 =
2
4 2 2
2
2
0,5
4 2 2
2
y 2 4 2 2 (4 2 2) 8
0,5
8 8 4 2
1
8
8.8
2
Thay x 8; y 8 vào (*) ta ược A
c) Ta có:
A
2
y 0 x y 2
x
x
xy
x y 2
y
2
xy
xy
0,5
xy 0
xy
2
16
16
Vậy MinA = 1 khi x = y = 4 (thoả
a) 1 x (2x 5) 6 x (1)
0,25
1 (v xy = 16)
0,5
ãn ĐK ề bài)
0,25
1 x 0
5
x
ĐKXĐ 6 x 0
(**)
2
(2 x 5) 0
Bài 2
(3 điểm)
b)
0,25
2
Ta c ( ) 1 x (2 x 5) 6 x 1 x. (2 x 5) x 5
(1 x)(2 x 5) ( x 5) 2 (ĐK x 5 )
0,5
x 2 7 x 30 0 ( x 3)( x 10) 0
x 3 (th a ãn các ĐK) x 10 (loại v
Vậy tập nghi của phương tr nh là: S 3.
0,5
h ng th a
ãn (**))
0,25
x 1 x 3 x 2 x 1 1 ( x 1)( x 3 x 2 x 1) (2)
Điều i n: x 1
0,25
(2)
0,5
x 1 1
x x x 1 1 0
3
2
x 1 1
x 2
3
2
x0
x x x 1 1
0,5
x 2 (th a m n ĐK); x 0 (không TMĐK)
Vậy tập nghi của phương tr nh là: S 2.
0,25
a) 4a + a + b = (4a + 2) +(a + 1) + (b + 2007) – 2010
Ta c : a 16 ; b 20076 ; 2010 6
0,5
4 a 2 4 a 1 3 4 1 4 a1 4 a2 ... 4 1 33
t hác: 4 a 2 là số ch n 4 a 22 à (3;2) 1 nên 4 a 26
Vậy 4 a a b6
Bài 3
(3 điểm)
b) T các c p số nguyên dương (x; y) của phương tr nh: 7x - xy - 3y = 0
Ta có: 7x - xy - 3y = 0 ( x 3)(7 y) 21 (3)
0,5
0,25
0,25
0,5
x 3 7
x 4
7 y 3 y 4
Vì x nên x 3 4 t ( ) suy ra
x 3 21 x 18
7
y
1
y 6
ho c
Vậy phương tr nh ã cho c hai nghi nguyên dương là:
( x; y) (4;4) ; ( x; y) (18;6)
- Học sinh vẽ h nh úng
A
E
0,75
0,25
B
H
0,5
F
I
D
C
M
a) Xét tam giác ADE và tam giác HDA
Bài 4
(6 điểm)
Có DAE DHA 900 (gt); ADH là góc chung
AD DE
HDA (g.g)
AD 2 DH .DE
Vậy ADE
HD DA
HDA
T ADE
AD AE
DC AF
ta có
(1) (do AD = DC; AE = AF (gt))
HD HA
HD HA
t hác HDC ADH 900 ; HAD HDA 900
suy ra HDC HAD (2)
T ( ) và (2) suy ra HAF
HDC (c.g.c)
AH AF
AH .DC AF .DH
DH DC
AHF
b) Theo chứng inh câu a DHC
2
nên ta có
0,5
0,5
0,5
2
SDHC DC SDHC
DC
2
2
4
;
4 DC 4 AF DC 2 AF
SAHF AF SAHF
AF
Vậy ể di n tích ta
0,5
giác DHC g p 4 lần di n tích ta
giác AHF thì E; F
1,0
lần lượt thuộc AB và AD sao cho AE AF
iể của AB và AD)
c) Vẽ ường phân giác HM của ta
1
AB (hay E; F lần lượt là trung
2
giác DHC, theo tính ch t ường phân giác
DM MC
DM DM MC
DC
HD HC
HD
HD HC HD HC
Vẽ DI HM ( I HM ) suy ra DI DM
Xét IHD có HID 900 ;
DI
DHC DI DM
DC
Do
hay Sin
SinDHI
HD
2
HD HD HD HC
DHC
DC
Vậy Sin
2
HD HC
của ta
giác, ta c :
3
a)
1 1 1
1 1 1
1 1
1
0
x y z
x y
z
x y z
3 4
2017
1
2017
0,5
0,5
0,25
0,5
1 1 1
3
1 1
1 1 1
1
3 3 3 3 3 3
3
x
y
z
xyz
x
y
xy x y
z
yz xz xy
2 2 2 3
x
y
z
2017
0,75
3
xy yz zx
P 2 2 2 4
x
y
z
0,5
1
0,5
0,5
0,5
b) Áp dụng b t ẳng thức Cauchy ta c :
Bài 5
(4 điểm)
a2
b 1
a2 b 1
a
2
.
2. a (1)
b 1
4
b 1 4
2
2
b
c 1
b (2)
Tương t ta c :
c 1
4
c2
a 1
c (3)
a 1
4
0,25
0,25
0,25
Cộng t ng vế các b t ẳng thức ( ) (2) và ( ) ta ược:
a2
b2
c2
b 1 c 1 a 1
abc
b 1 c 1 a 1
4
4
4
a2
b2
c2
3(a b c) 3
(4)
b 1 c 1 a 1
4
0,5
t hác c ng theo b t ẳng thức Cauchy ta c :
a b c 33 abc 33 1 3 (5)
0,25
a2
b2
c2
3.3 3 3
b 1 c 1 a 1
4
2
ảy ra khi a b c 1
0,25
T (4) và ( ) suy ra
u
Chú ý: - Học sinh là cách hác úng ở mỗi bài vẫn cho iểm tối a
- Bài 4 học sinh vẽ hình sai ho c khơng vẽ hình thì khơng ch
0,25
iểm.
PHÒNG GD& ĐT LÂM THAO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
Mơn: TỐN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề
(Đề thi có 02 trang)
I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng
Câu 1.Giá trị x thỏa mãn : 2 x 1 5 2 là :
1
A. x 25
B.
1
x4
2
2
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 x 3 với x 3 là :
x
A.-3
B. 3
C.
C.-4
D.
1
x 25
2
D.4
Câu 3. Cho x 5 2 6 5 2 6 thì giá trị biểu thức N x 3x 2008 là
A.2017
B.2018
C.2019
D. 2020
3
3
3
2
3
1
và trục Ox là:
2
A. 146019/
B. 330 42/
C. 146030/
D. 33069/
Câu 5 . Trên mặt phẳng tọa độ Cho ba điểm A 1;3 ; B 3; 1 ; C 4; 2 thì diện tích tam giác ABC là:
Câu 4 . Góc tạo bởi đường thẳng y x
A. 20
B. 18
C. 17
D. 15
Câu 6. Điều kiện của m để 2 đường thẳng y m(m 3) x 5m 2 và đường thẳng
y (m 8) x m(m 4) song song là :
A. m 4
B. m 2; m 1
C. m 2 hoặc m 4
D. m 2; m 1
mx 2 y m 1
có nghiệm duy nhất là
2 x my 2m 1
Câu 7 . Giá trị m để hệ phương trình :
A. m 2
B. m 2
C. m 2
D. Giá trị khác
x y 4m 1
2 x y 5(m 1)
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x 3 y 13
A. m 2
B. m 2
C. m 4
Câu 8. Cho hệ phương trình :
D. m 4
x y 2(m 1)
2 x y m 8
Câu 9. Cho hệ phương trình
Hệ có nghiệm duy nhất x; y thì giá trị nhỏ nhất của x 2 y 2 là:
A.-2
B. 20
C.16
D.18
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH kẻ HD AB, HE AC
(H BC, D AB,E AC) thì AD.BD+AE.EC bằng:
B. BC2
A. DE 2
C. AH2
D. 2AH2
Câu 11. Một tam giác vng có tỉ số hai cạnh góc vng bằng
4
thì tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh
9
góc vng đó trên cạnh huyền là:
A.
2
3
B.
16
81
C.
4
9
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 21cm, cosC =
A.
3
4
B.
4
3
C.
21
35
D.
9
4
3
. Khi đó tanB là :
5
35
D.
21
Câu 13.. Cho tam giác đều có độ dài cạnh là a thì độ dài bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác
đó là:
A.
a
3
B.
a 3
6
C.
a 3
2
D.
a 3
3
Câu 14. Cho đường trịn tâm O bán kính R=4cm dây AB=5cm trên dây AB lấy điểm C sao cho
AC=2cm kẻ CD vuông góc với đường kính AE tại D .Tính độ dài AD :
5
7
5
D. 1,5cm
A.
B.
C.
cm
cm
cm
3
4
4
Câu 15. Cho đường tròn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm. Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O
kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt Ax tại C thì độ dài OC là:
A. 20cm
B. 25cm
C. 30cm
D. 35cm
Câu 16. Nêú bạn An đi lên môt thang cuốn tốc độ là 1 bước trên giây thì bạn An sẽ đến đỉnh thang
trong 10 bước nêú bạn An tăng vận tốc lên 2 bước trên giây thì sẽ lên tới đỉnh thang trong 16 bước .
Hỏi thang cuốn có bao nhiêu bước.
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
II. PHẦN TỰ LUN( 12 im)
Cõu 1 (3,0 im).
a) Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình :
1 x x 2 x3 y 3
b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x 2 x 6 là một số chính phương
Câu 2 (3,5 điểm)
a)Giải phương trình: 2 x2 5x 5 5x 1
x 2 y 2 1 10 y 2
b) Giải hệ phương trình :
xy x 1 7 y
Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường trịn tâm O bán kính R đường kính AB. T hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp tuyến
Ax và By với n a đường tròn , điểm M thuộc n a đường tròn (sao cho tia Ax, By và n a đường tròn
chứa điểm M cùng nẳm trên n a mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp
tuyến Ax và By l n lư t ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là H.
a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH.
b) ẽ tam giác vng cân MBE đỉnh B ra phía ngồi n a đường trịn (O) (BE và BD cùng n a
mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên n a đường trịn đường kính AB thì đường
thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, AC,
(a b c) 2
BC là ha, hb,,hc .Chứng minh rằng: 2
4
ha hb2 hc2
Câu 4 (1,5 điểm).
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1 1 1
P 21 a 2 b2 c 2 12 a b c 2017
a b c
------HẾT------
2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 9
I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)
Mỗi lựa chọn đúng 0,5 điểm Câu có 2 trở lên phải chọn đủ mới cho điểm
1.D
2.C
3.B
4.A
5.D
6.A
7.C
8.B
9.D
10.A,C
11.B
12.A
13.D
14.C
15.B
16.B
II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm )
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 1 x x 2 x3 y3
b) Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức x 2 x 6 là một số chính
phương.
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
b) (1,5 điểm)Ta có
2
2
1 3
11 19
x x 1 x 0;5 x 2 11x 7 5 x
0
2 4
10 20
0,5
x3 1 x x 2 x3 x 2
0,5
2
x3 x 2 x 1 1 x x 2 x 3 8 12 x 6 x 2 x 3 5 x 2 11x 7
3
vì x, y Z mà y 3 1 x x 2 x3
Suy ra
x 0
1 x x 2 x 3 x x 1 0
x 1
Voi x 0 y 1
Voi x 1 y 0
x 1
Vay
3
0,5
x; y 0;1 ; 1;0
b) (1,5 điểm)
x 2 x 6 n 2 ;(n, x Z ) 4 x 2 4 x 24 4n 2 4 x 2 4 x 1 4n 2 23
2 x 1 2n 2 x 1 2n 23;2 x 1 2n 2 x 1 2n
2 x 1 2n
2 x 1 2n
4x 2
-1
23
22
5
x
ậy số nguyên x c n tìm là 5 hoặc –6
Câu 2 (3,5 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x2 5x 5 5x 1
-23
1
-22
-6
0,75
0,75
3
x 2 y 2 1 10 y 2
b) Giải hệ phương trình :
(I)
xy x 1 7 y
ĐÁP ÁN
1
5
2
2 x 5 x 5 5 x 1 2 x 2 3x 2 x 1 5 x 1 0
ĐIỂM
a)( 1,5 điểm) ĐKXĐ x
2 x 2 3x 2
x 1
2
5x 1
x 1 5x 1
0,5
2
0
x 2 3x 2
1
2 x 3x 2
0 x 2 3x 2 2
0
x 1 5x 1
x 1 5x 1
2
0,5
1
1
do x 2
0
5
x 1 5x 1
x 1
x 2 3x 2 0 x 1 x 2 0
x 2
0,5
S 1;2
b)( 2 điểm)
ta thấy y=0 không thoả mãn hệ (I) với y 0
2
2 1
1
x
x
10
x 2 10
2
y
y
y
0,5
(I )
x
1
x 1
x 7
x
7
y y
y y
đặt
1
S
x
y
P x
y
S 2 2 P 10
P 7 S
S 6 S 4
0,5
2
thay vào (II) ta đư c
P 13 P 3
S P 7
S 2S 24 0
t 1
1
S 4
ới
=> x và
là 2 nghiệm của phương trình t 2 4t 3 0 t 1 t 3 0
y
P 3
t 3
x 1
x 1
* 1
1
y 3 y 3
x 3
x 3
* 1
y 1 y 1
4
S 6
1
suy ra x và
là 2 nghiệm của phương trình
y
P 13
2
t 2 6t 13 0 t 3 4 0 Vo nghiem
0,5
1
x; y 1; ; 3;1
3
0,5
Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường trịn tâm O bán kính R đường kính AB. T hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp
tuyến Ax và By với n a đường tròn , điểm M thuộc n a đường tròn (sao cho tia Ax, By và n a
đường tròn chứa điểm M cùng nẳm trên n a mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba,
cắt các tia tiếp tuyến Ax và By l n lư t ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB
là H.
a) Chứng minh MK vng góc với AB và MK=KH;
b) ẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngồi n a đường trịn (O) (BE và BD cùng
n a mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên n a đường tròn đường kính AB thì
đường thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC,
AC, BC là ha, hb,,hc chứng minh rằng.
( a b c) 2
4
ha2 hb2 hc2
.
F
D
E
M
C
K
A
H
B
O
N
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
5
a)( 2 điểm) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AC = CM, BD = DM.
ì Ax và By cùng vng góc với AB nên Ax By, theo định lí Ta-l t ta
có:
KD BD
KD MD
MK // AC mà AC AB MK AB
KA MC
KA AC
Ta có
1,0
KH BK
KM DK
KD BK
(1);
(2);
(3);Tu (1)(2)(3) ta có :
AC BC
AC DA
AD BC
KH MK
MK KH
AC AC
1,0
b)( 1 điểm )Gọi F là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua E và song song với
MB. Ta có BEF = 90 0 .
Chứng minh tam giác AMB và tam giác FEB bằng nhau ( g-c-g)
AB = BF=2R BF không đ i,
F thuộc tia By cố định F cố định.
0,5
ậy khi M di chuyển trên n a đường trịn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và
song song với MB luôn đi qua điểm cố định F.
0,5
c) ( 1 điểm)
D
c
ha
A
d
b
ha
c
ha
H
C
B
a
Qua A kẻ đường thẳng d BC gọi D là đối xứng của B qua d thì BD 2ha , AD c
Trong tam giác ACD ta có DC AD AC c b DC 2 b c
2
dấu “=: xảy ra khi ABC A 600
mà trong tam giác vuông DBC
DC BD BC 4h a 4h b c a b c a b c a ,(1)
2
2
2
2
a
2
2
a
2
2
0,5
Tương tự 4hb2 a c b b c a ,(2);4hc2 a b c b c a ,(3)
T (1);(2);(3) ta có:
6
4ha2 4hb2 4hc2 a b c b c a a c b a b c a b c
a b c
2
2
ha2 hb2 hc2
0,5
4
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
2
1 1 1
P 21 a 2 b2 c 2 12 a b c 2017
a b c
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Ta có Theo BĐT Bunhiacơpky ta có 3 a 2 b2 c 2 a b c ;
2
1 1 1
9
1 1 1
Mặt khác a b c 9
a b c a bc
a b c
Nên
P 19 a b c
2
18153
8
8
2
17849
19 a b c
Q
abc
a b c a b c a b c
0,5
0,5
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có
P Q 19.3 3 a b c .
2
8
8
17849
17849 18305
.
228
abc abc
2
2
2
a b c 0
18305
2
Min(P)
a b c 2
abc
2
3
8
2
a b c
abc
0,5
...................................... HẾT .................................
Chú ý : - Điểm tồn bài làm trịn đến 0,25
- Nếu cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với t ng ph n trong hướng dẫn chấm
7
D C
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 - 2018
MƠN: TỐN
Thời gian: 135 phút khơng kể thời gian giao đề
ề thi có: 03 trang
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và ghi vào Tờ giấy thi (Ví dụ: 1 - D)
Câu 1. ếu phương trình
A. 0;
Câu 2.
1 x
B. 1;
m 0 có nghiệm thì giá trị của m là:
2
C. - 1;
D. - 2.
x 1 x 5 3
ọi a là nghiệm của phương trình:
1 x 0 với x 1 thì
a 2 a bằng:
A. 10;
B. 12;
C. 14;
Câu 3. Cho hàm số bậc nhất: y =
R, ta có kết quả là :
A. m -1
B. m -1
D. 16.
2
x 1.
m 1
ìm m để hàm số đồng biến trong
C. m < - 1.
D. m > -1
Câu 4. Cho hàm số y 2x 5 . Kết luận nào sau đây là sai ?
A) ồ thị cắt trục tung tại điểm M(0; 5) .;
B) ồ thị cắt trục hoành tại điểm N(
5
;0) .
2
C) Các điểm E( 5; 4 5), F(1; 2 5) thuộc đồ thị hàm số.
D) Các điểm G( 2; 2 2 5), H(1; 5 2) khơng thuộc đồ thị hàm số.
Câu 5. hương trình 4 x 2 1 có nghiệm là:
A) x
1
4
B) x
1
2
C) x
1
2
1
2
D) x
x y xy 5
Câu 6. iải hệ phương trình 2
. ập nghiệm của hệ phương trình là?
2
x y 5
A.
S 2;3 ; 3; 2
B. S 3; 2 ; 5;10
C. S 1; 2 ; 2;1
D. S 2;5 ; 5; 2
Câu 7. Biết rằng phương trình 3x2 - 4x + mx = 0 (m là tham số) có nghiệm nguyên
dương bé hơn 3. Khi đó giá trị của m là:
A. - 1
B. 1
C. - 2
D. 2
Câu 8. Cho ABC có điểm M trên cạnh AC . Kẻ MN song song với BC N AB ,
kẻ MP song song với AB P BC . Biết S AMN 4 cm2 ; SCMP 9 cm2 . Tính S ABC ?
A. 16 cm2
B. 25 cm2
C. 32 cm2
D. 50 cm2
1
Câu 9. Cho tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm. Một đường thẳng đi qua M
thuộc cạnh AB và song song với BC, cắt AC ở , sao cho A = BM, khi đó độ dài
của đoạn AM là:
A. 3cm
B. 6cm
C. 5cm
D. 4cm
Câu 10. Một tam giác vng có cạnh góc vng lớn dài gấp 3 lần cạnh góc vng
nhỏ và diện tích là 24 cm2 khi đó số đo cạnh huyền là
A. 13 cm
B. 12 cm
C. 4 10
Câu 11. Cho tam giác ABC có Â = 900, A
Kết quả nào sau đây là sai:
A) cos C =
AH
AC
D. 2 10
vng góc với BC, sinB = 0,6.
; B) cos C = sin HAC; C) cos C = 0,6 ; D) cos C =
CH
AC
Câu 12. Cho ường tròn ( ;R) . Một dây cung của đường trịn có độ dài bằng
bán kính R . Khoảng cách từ tâm đến dây cung nầy là : ( Chọn câu đúng )
A. R 2 ;
B. R.
2
;
2
C.
R.
3
;
2
D. R. 3
Câu 13. Cho ( ; 6cm). ừ M nằm ngồi đường trịn tâm dựng tiếp tuyến MA
với đường tròn tâm , A là một tiếp điểm. MA = 10 cm thì khoảng cách từ M đến
O là:
A. 8 cm
B. 2 34 cm
C. 34 cm
D. 3 34 cm
Câu 14. Cho (O ; 3cm) và (O’ ; 2cm) ở ngoài nhau, OO’ = 10 cm. iểm M nằm ở
bên ngồi hai đường trịn sao cho các đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến ( ) và ( ’) bằng
nhau. ọi là hình chiếu của M trên OO’. độ dài của đoạn
là :
A. 4,75 cm
B. 5 cm
C. 5,25 cm
D. 5,5 cm
Câu 15. Cho ABC vuông tại A , đường cao A . ọi (O; r ) , (O1; r1 ) , (O2 ; r2 ) theo
thứ tự là các đường tròn nội tiếp các ABC, ABH, AC . Khẳng định nào sau
đây là đúng:
A. O, O1, O2 thẳng hàng
B. r r1 r2 AH
D. Cả ba khẳng định trên đều sai.
C. r12 r22 r 2
Câu 16. Ba bạn học sinh am, Bắc, rung làm bài kiểm tra mơn Tốn đạt các
điểm khác nhau là 8, 9, 10. Biết rằng trong 3 mệnh đề:
a) am đạt điểm 10;
b) Bắc không đạt điểm 10; c) rung khơng đạt điểm 9.
Chỉ có một mệnh đề đúng. Khi đó điểm kiểm tra Tốn của từng bạn là:
A. Bắc 10, rung 9, am 8
B. Bắc 10, rung 8, am 9
C. Bắc 8, rung 9, am 10
D. Không xác định được.
II. PHẦN T
LU N (12 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết
cho 19
2
b) ìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Câu 2. (3,5 điểm)
a) iải phương trình: x2 2015x 2014 2 2017 x 2016 .
1 1 1
1
b) Cho x, y, z thỏa mãn :
1.
x
y
z
x
y
z
Tính giá trị của biểu thức B x21 y 21 y11 z11 z 2017 x2017 .
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm đường kính BC. ọi A là một điểm cố định trên
nửa đường tròn (A B;C ), D là điểm chuyển động trên AC. ai đoạn thẳng BD
và AC cắt nhau tại M, gọi K là hình chiếu của M trên BC.
a) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK.
b) Chứng minh rằng BM.BD + CM.CA không đổi khi D di chuyển trên
AC.
c) Khi D di chuyển trên AC ( D C), chứng minh đường thẳng DK luôn đi
qua một điểm cố định.
Câu 4. (2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2x + 1 4 x 5x 2 với -1 ≤ x ≤
1
5
……………… Hết ……….…….
Cán bộ coi thi khơng cần giải thích gì thêm./
Họ và tên thí sinh:……………………………………..SBD:……………
3
D C
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2017 - 2018
MƠN: TỐN
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm
Câu
Đáp
án
1
2
3
A
B
C C,D C
II. PHẦN T
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
15
16
C B,C B
D
C
B,C
B
A
C
A
C
LU N (12 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
a) Với n = 0 ta có A(0) = 19 19
iả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19
a phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng
minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
= 7.52k.52 + 12.6n. 6
= 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6
= 6.A(k) + 7.52k .19 19
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi
số tự nhiên n
n 24 k 2
b) Ta có:
n 65 h 2
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
k 2 24 h2 65
k hk h 89 1.89
k h 89 k 45
k h 1
h 44
0,25
0,25
2
Vậy:
n = 45 – 24 = 2001
Câu 2. (3,5 điểm)
0,50
0,25
a) iải phương trình: x2 2015x 2014 2 2017 x 2016
2016
iều kiện x
2017
hương trình đã cho tương đương với
x2 2 x 1 2017 x 2016 2 2017 x 2016 1 0
x 1
2
2
2017 x 2016 1 0
x 1 0
2017 x 2016 1 0
1,0
4
x 1
2017 x 2016 1
x 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho.
1
b) Cho x, y, z thỏa mãn
x
1 1
1
:
1.
y z x y z
0,75
ính giá trị của biểu thức B x21 y 21 y11 z11 z 2017 x2017
1
1 1 1
1 1
1
:
1 x y z 1
x y z x yz
x y z
Ta có:
(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
2
2
2
2
2
2
xyz + zy + yz + zx + xyz + xz + yx + xy + xyz = xyz
2
2
2
2
2
2
(xyz + zx + xy + yx )+ (zy + yz + xz + xyz) = 0
2
2
x(yz + zx + y + yx)+ z(y + yz + xz + xy) = 0
x y
(yz + zx + y + yx)( x+ z) = 0 ( x y)( y z )( x z ) 0 y z
z x
1,0
2
hay vào B tính được B = 0
0,75
Câu 3. (4,0 điểm)
D
A
M
B
K
O
C
I
a. Tứ giác MKCD nội tiếp MDK MCK
0,25
ADB ACB
(hai góc nội tiếp (O) cùng chắn AB ) MDK MDA hay DM
là phân giác của tam giác ADK.
ương tự chứng minh được AM là phân giác của tam giác
ADK. Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK
b. Hai tam giác BMK và BCD đồng dạng
BM
BK
BC
BM.BD BK.BC
BD
ương tự ta có CM.CA CK.CB
0,25
0,5
0,5
0,25
5
BM.BD CM.CA BK.BC CK.BC BC2
0,25
Do BC không đổi, vậy BM.BD CM.CA không đổi khi D
chuyển động trên cung AC
0,5
c. ường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK tại I.
0,25
AI // MK IAC KMC
0,25
Lại có tứ giác MDCK nội tiếp KMC KDC .
Vậy IAC IDC tứ giác ADCI nội tiếp hay I đường tròn ngoại tiếp tam
giác ADC I O cố định, mà I đường
thẳng qua A cố định, vng góc với BC cố định. Vậy I cố định hay DK qua
I cố định.
0,5
0,5
Câu 4. (2,0 điểm)
A 2x
1 4 x 5 x 2 = 2x + ( x 1)(1 5x)
1
với 1 x có (x 1) 0 và 1 5x 0
5
0,5
0,25
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số (x 1) và 1 5x khơng âm
Có ( x 1)(1 5x)
( x 1) (1 5 x)
0,5
1 2x
2
A 2x 1 2x A 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
(x 1) 1 5x 6x 0 x 0 thỏa điều kiện 1 x
Vây giá trị lớn nhất của A là 1 đạt được khi x 0
0,25
0,25
5
0,25
………………… ết ………………….
6