de thi

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

I. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình bËc nhÊt hai Èn

Xét phơng trình : ax + by = c (a, b, c Z , a, b, c không đồng thời
bằng không)

Khi giải phơng trình (1) ta chú ý đến định lý sau : Phơng trình ax + by = c
có nghiệm nguyên khi và chỉ khi c chia hết cho (a,b)

Ta xÐt mét sè c¸ch giải thông qua các ví dụ sau
1. Dùng phơng pháp tính chia hết của một ẩn
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau :
35x + 20y = 600

Lêi gi¶i

(1) 7x + 4y = 120 (2) Ta thấy 120 _(7,4) do đó phơng trình đã cho có
nghiệm nguyên

Ta thấy 4y 4

120 _4 nªn từ 7x + 4y = 120 Suy ra 7x _4  x _4 ( V×
(7,4 ) = 1)

Đặt x = 4t ( t _Z)

Suy ra (1) có dạng 7. 4t + 4y = 120 _{7t + y = 30}

 y = 30 – 7t ( t  Z)
Vậy phương trình có nghiệm 4

30 7

<i>x</i> <i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>





 

 ( t

_Z)
2. Dùng phơng pháp tách ra các giá trị nguyên

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên của phơng tr×nh ë vÝ dơ 1:
Từ phơng trình (2) ta có y = 120 7

4
<i>x</i>



y = 30 2
4
<i>x</i>
<i>x</i>

Để y nguyên thì

4
<i>x</i>

phải nguyên , đặt

4
<i>x</i>

= t Suy ra x = 4t ( t  Z)
Do đó y= 30 – 2.4t + 4

4
<i>t</i>

y= 30 – 7t

Vậy phương trình có nghiệm <i>x_y</i>4_{30 7}<i>t</i> <i>_t</i>
 

 ( t

_Z)
3. Phơng pháp tìm nghiệm riêng của phơng trình

Ta cú nh lý sau : Phơng trình ax + by = c (a, b, c Z , a, b, c không
đồng thời bằng không) . Nếu (x0 ; y0) là 1 nghiệm ngun của phơng

trình thì phơng trình có vơ số nghiệm nguyên và đợc biểu diễn dới

dạng :

0
0

<i>x x</i> <i>bt</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>at</i>

 




 


( t  Z)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

7x + 4y = 120 (1)
Lêi gi¶i

DƠ thấy x= 4 và y= 23 là 1 nghiệm riêng của phơng trình (1) nên tập hợp các
nghiệm nguyên của phơng trình (1) là

4 4
23 7

<i>x</i> <i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>





 

 ( t

 Z)

Hc : Ta thÊy x=8 và y=16 là 1 nghiệm riêng của phơng trình (1) nên tập
hợp các nghiệm nguyên của phơng trình (1) lµ

8 4

16 7

<i>x</i> <i>t</i>

<i>y</i> <i>t</i>

 



 

 ( t

 Z)
NhËn xÐt:

- Tuy nhiên sử dụng phơng pháp này các đồng chí cần chú ý đến định
lí ( chứng mịh định lí ) thứ 2 là nhẩm nghiệm riêng. Với những phơng
trình có hệ số lớn , phức tạp thì việc tìm nghiệm ngun là khó khăn.
- Ta thấy có nhiều công thức cùng biểu thị tập hợp các nghiệm nguyên
của phơng trình bậc nhất 2 ẩn tuỳ theo nghim riờng ta tỡm c.

II PHƯƠNG TRìNH ĐA THứC Có MéT HC NHIỊU ÈN

Phơng trình đa thức là phơng trình có dạng f(x, y, z…) = 0 trong đó
f(x, y, z…) là đa thức của các biến x, y, z ,

Phơng trình đa thức thờng sử dụng các phơng pháp giải sau:
1. Đa về phơng trình tích ( phơng tr×nh íc sè )

2. Đa về phơng trình tổng.
3. Phơng trình xét số d từng vế
4. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
5. Phơng pháp tách ra các giá trị nguyên
6. Phng phỏp nhn xột s n

Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh:

x + y + xy = 4 (1) (x, y  Z)
C¸ch 1: Đa về phơng trình tích :

(1)  (x + 1).(y +1) = 5 (2)

Do (x, y  Z) nªn x + 1, y + 1  Z vµ x + 1, y + 1  Z (5)
nên ta có bảng sau:

x + 1 -5 -1 1 5
y + 1 -1 -5 5 1
x -6 -2 0 4
y -2 -6 4 0
Vậy phơng trình có nghiệm (x, y) = ( 6; 2);( 2; 6);(0; 4);(4;0)  

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Vì vai trò của x và y là nh nhau nên ta có nghiệm:
(x, y) = (4;0);( 2; 6);(0; 4);( 6; 2)   



C¸ch 2: Phơng pháp tách ra giá trị nguyên
(1) y.(x + 1) = 4 – x (2)

+) XÐt y = 0 suy ra (2) cã d¹ng 0 = 4 – x  x = 4
Phơng trình có nghiệm (x; y ) = (4; 0)

+) XÐt x + 1 = 0 => x = -1 suy ra phơng trình (2) có dạng 0 = 4 +1 (v«
lÝ )

+) XÐt y 0, x 1
Tõ (2) suy ra y = 4

1
<i>x</i>
<i>x</i>


 =

5 ( 1)
1
<i>x</i>
<i>x</i>

 

 = -1 +

5
1
<i>x</i>

Do y  Z nªn

5
1

<i>x</i>  Z suy ra x + 1  Ư(5)
Do đó ta có bảng sau:

x + 1 -5 -1 1 5

x -6 -2 0
4

y = -1 +

5

1
<i>x</i>

-2 -6 4
0

Kết hợp các trờng hợp trên ta có tập nghiệm
Phơng pháp đa về tổng

Ví dụ 2: Giải phơng trình sau:

x2 _{- 4xy + 5y}2_{= 169 (1) (x, y  Z )}

Lêi gi¶i

(1) (x – 2y )2_{+ y}2_{= 169}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ta thÊy: 169 = 02_{+ 13}2_{= 12}2_{+ 5}2

Do y  Z+_,_ <i>_x</i>_ ₂<i>_y</i> __N

Nªn ta có các khả năng sau:
1. ₂ 2 ₂ 0

13
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
  







=> 26

13
<i>x</i>
<i>y</i>






2. ₂ 2 13

0
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>

=> 13

0

<i>x</i>
<i>y</i>




hoặc
13
0
<i>x</i>
<i>y</i>

(loại)
3. ₂ 2 ₂ 12

5
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
  






=> 22

5
<i>x</i>
<i>y</i>

hoặc 2

5
<i>x</i>
<i>y</i>





(loại)
4. ₂ 2 ₂ 5

12
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>

=> 29

12
<i>x</i>
<i>y</i>




hoặc
19
12
<i>x</i>
<i>y</i>

Vậy phơng trình có nghiệm (x, y) = (26;13);(22;5);(29;12);(12; 29)



Tỉng qu¸t : PT f1k(x,y…) + f2k(x,y…) +………..+ fnk(x,y…) = 1

<i>k</i>

<i>a</i> + 2

<i>k</i>

<i>a</i> +

+ <i>k</i>
<i>n</i>

<i>a</i>

<b>Bài tập vận dụng:</b>

Tìm nghiêm nguyên của phơng trình:
a) x2_+13y2_{= 100 6xy}

HD: Bin đổi pt thành: (x – 3y)2_{+ 2y}2_{= 100}

b) x2_{– x – 6 = - y}2

HD: Biến đổi pt thành: (2x – 102 _{+ 4y}2_{= 25}

c) 3 x2 _{+ 2y}2 _{+ z}2_{+ 4xy + 2xz = 26 – 2yz}

HD: Biến đổi pt thành: x2_{+ (x + y)}2_{+ (x + y + z)}2_{= 26}

Chú ý: Các phơng trình cã d¹ng ax2 _{+ bxy + cy}2_{+ cb = 0 (a, b, c}

nguyên) có thể giải đợc bằng phơng pháp trên.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình sau:

x2 _+y3 _{– 3y}2 _{= 65-3y}

Gi¶i:

+ NÕu y = 0 => x2 _{= 65 => x =} ₆₅

+ NÕu y  1 => x2 _{+ y}3 _-3y2 _{= 65 – 3y}

 x2 _{+ (y}3 _-3y2_{+ 3y - 1) = 64}
 x2 _{+ (y-1)}3 _{= 64}

Mµ x, y – 1  N ; 64 = 02 _{+ 4}3 _{= 8}2 _{+ 0}2

Cách phân tích trên là duy nhất do đó ta có:

+ 0

1 4
<i>x</i>
<i>y</i>



 

=> 0
5
<i>x</i>
<i>y</i>







+ <i>x_y</i>_{1 0}8
 

 =>

8
1
<i>x</i>
<i>y</i>

Vậy phơng trình có nghiệm: 8

1
<i>x</i>
<i>y</i>

=> 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

f1h(x,y…) + f2h(x,y… ………) + ..+ fnh(x,y…) = a

( a N; fi (x,y…)N ; i = 1;n Th× ta viÕt a díi d¹ng:

+ a = m1k + m2k + … + mnk (mi N, i = 1;n )

Xét trờng hợp có thể sảy ra. Từ đó tìm nghiệm thích hợp
* Dùng phơng pháp nhận xét số ẩn:

VD4: Giải phơng trình sau:
x + y + z = x.y.z (x,y,z Z+₎

Do vai trò x,y,z nh nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử
0 < x ≤ y ≤ z

Ta cã x.y.z = x + y + z ≤ 3z => x.y <3

NÕu x=y=z th× x3 _{= 3x  x}2 ₌₃_{Z (loại) nên có ít nhất hai trong ba}

số x,y,z khơng bằng nhau. Do đó: x.y.z <3z => x.y <3 => x.y = 1 hoặc
x.y = 2

+ NÕu x.y = 1 mµ x,y Z+ _{=> x= 1, y = 1 => 2 + z = z (vô lý)}

+ Nếu x.y = 2 mà x,y Z => x = 1; y = 2; z = 3 hc x =2; y = 1; z = 3
Vậy phơng trình có nghiệm (x,y,z) = (1;2;3) và các hoán vị

Phơng pháp dùng BĐT

VD6:

Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
x6 _{+ z}3 _{-15 x}2_{z = 3x}2 _y2_{z – ( y}2 _{+ 5)}3

Lêi gi¶i

Phơng trình tơng đơng

( x2 ₎3 _{+ (y}2 ₊₅₎3_{+ z}3 _{= 3x}2_{z (5 + y}2₎

áp dụng BĐT cosi cho 3 sè x2 _{, y}2 _{+5, z ta cã:}

( x2 ₎3 _{+ (y}2 ₊₅₎3_{+ z}3 ≥ _3x2_{z (5 + y}2₎

DÊu “=” x¶y ra khi x2 _{= y}2 _{+5 = z}

+ XÐt x2 _{= y}2 _{+5 => (x + y).(x – y) = 5}

V× x,y  Z+_nªn 5
1
<i>x y</i>
<i>x y</i>

 




 



 3

2
<i>x</i>
<i>y</i>








=> z = 9

Vậy nghiệm của phơng trình là: (x, y, z) = (3; 2; 9)
VD6 : Tìm nghiệm không âm của phơng trình sau:
(x2_{+ 4y}2 ₊₂₈₎2 _{=17 (x}4_+y4_+14y2₊₄₉₎

</div>

<!--links-->